Lý thuyết Phương trình bậc hai một ẩn (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 9

(1)

Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

ax2+bx+ =c 0

trong đó x là ẩn, a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 . Ví dụ 1:

a) x²−2x 1 0+ = là một phương trình bậc hai với a = 1; b = -2; c = 1.

b) x²− =9 0 là một phương trình bậc hai với a = 1; b = 0; c = -9.

2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai a) Trường hợp b = 0.

Với trường hợp b = 0 thì khi đó phương trình bậc hai của chúng ta là ax²+ =c 0 + Nếu a và c cùng dấu thì phương trình sẽ vô nghiệm

Ví dụ 2: 3x²+ = 9 0 3x²= −9 (vô lí)

+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình sẽ có hai nghiệm Ví dụ 3: x²− = 4 0 x² =  = 4 x 2.

b) Trường hợp c = 0.

Với trường hợp c = 0 thì khi đó phương trình bậc hai của chúng ta là ax²+bx=0 Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm là x = 0 và x = b

a

− .

Ví dụ 4: x²−3x=0

( )

x x 3 0

 − =

x 0 x 0

x 3 0 x 3

= =

 

 − =  =

(2)

c) Trường hợp a0;b0;c0.

Khi đó ta sẽ biến đổi phương trình ax²+bx+ =c 0 thành tổng của một bình phương với một số.

Ví dụ 5: x²−4x 3 0+ = x2 4x 4 1 0

 − + − =

(

^x ²

)

² ^{1 0}

 − − =

(

^x ²

)

² ¹

 − =

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai một ẩn? Chỉ rõ hệ số a; b; c.

a)

(

^x⁺³

)

² ⁻^2x² ⁼⁰

b) ^{2 x}

(

⁻³

)

² ⁻^2x² ⁼⁰

c) 4x²−16=0 Lời giải:

a)

(

^x⁺³

)

² ⁻^2x² ⁼⁰

2 2

x 6x 9 2x 0

 + + − = x2 6x 9 0

 − + + =

Đây là phương trình bậc hai một ẩn với a = -1; b = 6; c = 9.

b) ^{2 x}

(

⁻³

)

² ⁻^2x² ⁼⁰

(

²

)

²

2 x 6x 9 2x 0

 − + − =

2 2

2x 12x 18 2x 0

 − + − =

0x2 12x 18 0

 − + = đây không phải phương trình bậc hai một ẩn vì a = 0.

c) 4x²−16=0

Đây là phương trình bậc hai một ẩn với a = 4; b = 0; c = -16

(3)

Bài 2: Giải các phương trình bậc hai sau:

a) x²−6x=0 b) x²+ =4 0 c) x²−5x+ =6 0 Lời giải:

a) x²−6x=0

( )

x x 6 0

 − =

x 0 x 0

x 6 0 x 6

= =

 

 − =  =

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {0; 6}.

b) x²+ =4 0 x2 4

 = − (vô lí)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) x²−5x+ =6 0

2 2

2 5 5 5

x 2.x. 6 0

2 2 2

   

 − +   −   + =

5 2 25

x 6 0

2 4

 

 −  − + =

 

5 2 1

x 0

2 4

 

 −  − =

2 2 2

5 1 1 1

x 2 4 2 2

    − 

 −  = =   =  . 5 1

x 2 2

5 1

x 2 2

 − =

 

 − = −



5 1

x 2 2 x 3

5 1 x 2

x 2 2

 = +

  =

  = −  =



(4)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm S = {2; 3}.