Phương trình bậc hai, hệ thức Viet và ứng dụng - Dương Minh Hùng

(1)



➊. Công thức nghiệm:

➋. Công thức nghiệm thu gọn:

➌. Định lí Vi-ét:

Tóm tắt lý thuyết

Ⓐ

 Phương trình ax²+bx+c = 0 (a  0) có  = b²- 4ac

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = ; x2 =

➋ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-ỨNG DỤNG VIÉT



(2)





➍. Ứng dụng Vi-ét: (nhẫm nghiệm đặc biệt của phương trình bậc hai)

➎. Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số:

Phân dạng toán cơ bản

Ⓑ

Phương pháp:

 Chuyển vế

 Quy đồng (ĐK nếu có)

 Phân phối, thu gọn đưa về phương trình bậc nhất

❖Dạng ➊ Giải phương trình quy về bậc nhất

(3)



 Lời giải

Điều kiện: x −3

 1 1

5 15

3 3

x+ x = +x

+ + 5x=15  =x 3

 Lời giải

 Điều kiện: x3

 (1)x−3+1=7−2x x=3 (loại)

 Vậy phương trình vô nghiệm.

 Hướng dẫn giải Câu 1: 3x 1

x 1 2x 2 3x 1 x 1

2

− = −  − = −  = −

 Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Câu 2:

Điều kiện: x1



x 1 x2 x

x 1 x 1

+ = + 

− −

2 x 1

x 1

 =

=   = −

 Đối chiếu điều kiện, phương trình có nghiệm x = -1 Câu 3:

Giải phương trình:

Ví dụ ➊

Giải phương trình: (1)

Ví dụ ➋

Bài tập rèn luyện



Giải các phương trình sau:

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

(4)





Điều kiện: x 1

 ₂6 3 15

x 1+x 1=x 1

− − + 6 + 3(x + 1) = 15(x – 1)12x – 24 = 0

 x = 2 (nhận)

 Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

 Lời giải

a) Giải phương trình x² - 49x - 50 = 0

Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50)  = (- 49)²- 4.1.(- 50) = 2601;  = 51

Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2 51 ) 49 (

1 − − − =−

=

x ; 50

2 51 ) 49 (

2 − − + =

= x

Cách 2: Ứng dụng của định lí Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0

Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50 1

50 =

−−

Cách 3:  = (- 49)²- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có :





=

−

 =





−

=

−

=

+

−

=

= +

50 1 50

).

1 ( 50 49 .

50 ) 1 ( 49

2 1 2

1 2 1

x x x

Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50 1

50 =

−−

b) (2- 3)x² + 2 3x – 2 – 3 = 0

Phương pháp: Áp dụng một trong các cách sau

 Công thức nghiệm

 Nhẫm nghiệm đặc biệt

 Sử dụng các ứng dụng của Vi-ét

 Ẩn phụ

❖Dạng ➋ Giải phương trình bậc hai

Giải phương trình

a) x² - 49x - 50 = 0 b) (2- )x² + 2 x – 2 – = 0 Ví dụ ➊

(5)



Cách 3: Dùng công thức nghiệm (a = 2- 3; b = 2 3; c = – 2 – 3)  = (2 3)²- 4(2- 3)(– 2 – 3) = 16;  = 4

Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

) 3 2 ( 2

4 3 2

1 =

− +

= −

x ; (7 4 3)

) 3 2 ( 2

4 3 2

2 =− +

−

= − x

Cách 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- 3; b^’ = 3; c = – 2 – 3) ^’ = ( 3)²- (2 - 3)(– 2 – 3) = 4;  = 2

Do ^’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

3 2

2 3

1 =

− +

= −

x ; (7 4 3)

3 2

2 3

2 =− +

−

= − x

Cách 3: Nhẫm nghiệm đặc biệt

Do a + b + c = 2- 3 + 2 3+ (- 2 - 3) = 0

Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = (7 4 3) 3

2 3

2 =− +

−

−−

 Lời giải

2 2 2

a)2x − = 8 0 2x = 8 x =  = 4 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x= 2

2

x 0

b)3x 5x 0 x(3x 5) 5

3x 5 0 x

3

 =

 = 

− =  −  − =  =

Vậy phương trình có nghiệm x 0; x ⁵

= =3 c) 2x− 2+3x+ =5 0

Nhẩm nghiệm :

Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0

Do đó phương trình có nghiệm : x₁ 1; x₂ ⁵ ⁵ 2 2

= − = − =

−

4 2

d)x +3x − =4 0

Giải các phương trình sau:

Ví dụ ➋

(6)





Đặt t=x (t² 0). Ta có phương trình : t²+ − =3t 4 0 a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0

Do đó phương trình có nghiệm : t₁= 1 0 (thỏa mãn); ₂ 4

t 4 0

= − = − 1 (loại) Với: t= 1 x² =  = 1 x 1

Vậy phương trình có nghiệm x= 1

 Lời giải

x 2 6

a) 3

x 5 2 x

+ + =

− − (ĐKXĐ : x2; x5) Phương trình : x 2 6

x 5 3 2 x + + =

− −

2 2

(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)

4 x 6x 3x 30 15x 6x 30 4x 15x 4 0

15 4.( 4).4 225 64 289 0; 17

+ − − − −

 + =

− − − − − −

 + − + − − = −

 − + − − + = −

 − + + =

 = − − = + =   =

Do đó phương trình có hai nghiệm : ₁ 15 17 1

x 2.( 4) 4

= − + = −

− (thỏa mãn ĐKXĐ)

₂ 15 17

x 4

2.( 4)

=− − =

− (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có hai nghiệm ₁ 1

x = −4, x₂ =4

( ) ( )

²

)2 4 7 2

b x x+ + = x+ x²+4x+ =3 0 1 3 x x

 = −

  = − Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = −1, x₂ = −3

Giải các phương trình sau:

Ví dụ ➌

Bài tập rèn luyện



(7)



 Hướng dẫn giải a) x²− + =x 5 x²+2x−1

x²− −x x²−2x= − −1 5  − = −3x 6 =x 2

b) Phương trình 2x²−9x+ =4 0có:  = −( 9)²−4.2.4=490

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

1

2

9 49 1

4 2

9 49

4 4 x

x

 = − =



 = + =

 Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 1

2; 4

 

 

 

 Hướng dẫn giải

a) Nhẵm nghiệm đặc biêt:

Phương trình có a+b+c= 1-5+4=0

Do đó phương trình có hai nghiệm x=1;x=4

Cách khác: Ta có ^x²⁻⁵^x^{+ = }⁴ ⁰ ^x²⁻⁴^x^{− + = }^x ⁴ ⁰ ^{x x}

(

^{− − − =}⁴

) (

^x ⁴

)

⁰

(

¹

)(

⁴

)

⁰ ¹

4 x x x

x

 =

 − − =   = _.

Vậy tập nghiệm của phương trình là ^S⁼

 

^{1; 4} _.

b) x²−2x− =3 0.

Phương trình đã cho có a b c− + =0.

Suy ra phương trình có hai nghiệm x= −1 và x=3. c) x²− = 4 0 x² =  = 4 x 2

Vậy phương trình có tập nghiệm ^S ^{= }

 

²

d) ² 0

5 0

5 x x x

x

 = + =   = −

Vậy phương trình có tập nghiệm ^S ⁼



^{0; 5}⁻



Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) b)

Câu 2: Giải các phương trình sau:

a) b)

c) d)

Câu 3: Giải các phương trình sau:

a) ^b)x⁴ - 20x² + 64 = 0

(8)





 Hướng dẫn giải a) Đặt t =x t²( 0).

Phương trình

( )

¹ ^{trở thành}^t⁴⁻¹²^t²⁺¹⁶⁼^{0 2}

( )

^{, Với}^a⁼^1,^b^{= −}^12,^c⁼^16.

( )

²

' 6 1.16 36 16 20 ' 2 5.

 = − − = − =   =

Vậy phương trình

( )

² có hai nghiệm t1= +6 2 5

( )

N t, 2 = −6 2 5

( )

N . Vậy phương trình

( )

¹ có bốn nghiệm

( )

1 6 2 5 5 1, 2 6 2 5 5 1 ,

x = + = + x = − + = − +

( )

3 6 2 5 5 1, 4 6 2 5 5 1 .

x = − = − x = − − = − −



^{5 1;}^{+ −}

(

^{5 1 ; 5 1;}⁺

)

^{− −}

(

^{5 1 .}⁻

) 

b) Đặt: x² = t  0.

Khi đó phương trình trở thành: t² - 20t + 64 = 0  t = 4 và t = 16.

Với t = 4 suy ra x = 2 và x = -2 Với t = 16 suy ra x = 4 và x = -4

Suy ra phương trình đã cho có tập nghiệm ^S ^{=  }



^{2; 4}



a) Điều kiện: x0, x1, x2.

Phương trình

( )

¹ ^{trở thành}

( )

( )( ) ( )( )

2 2 2 3 1 2

1 1 2 2

x x x x x

x x x x

− − −

+ =

− − −

2 2 2

2x 4x 2x 3x 9x 6 x 7x 6 0

 − + = − +  − + =

Vì a b c+ + = − + =1 7 6 0. Nên x1 =1

( )

L , x2 =6

( )

N . Vậy phương trình có nghiệm x=6.

b) ĐKXĐ: x 2 0 x 2

x 0 x 0

−  

 

   

 

x 2 1 2

x 2 x x(x 2) + + =

− − 

( )

( ) ( )

x x 2 x 2 2

x x 2 x x 2 x(x 2)

+ −

+ =

− − −

 x(x + 2) + x - 2 = 2 x² + 2x + x - 2 = 2

 x² + x - 4 = 0 x 1

x 4

 =

  = (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4}.

Câu 4: Giải các phương trình sau:

a) b)

(9)



 Lời giải

Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:

x1 + x2 =− 3; x1.x2 = − 5

A = 15

5 1 5 3 .

1 1

2 1

2 1 2 2

− =

= −

= +

+ x x

x x x x

Phương pháp:

Sử dụng các dạng phân tích của tổng và tích hai nghiệm:

①.

②.

③.

④.

⑤.

⑥.

⑦.

⑧.

⑨.

⑩.

❖Dạng ➌ Tính giá trị biểu thức nghiệm dùng Vi-ét

Cho phương trình x² + x - = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23

Ví dụ ➊

(10)





B = x12 + x22 = (x1+x2)²- 2x1x2= (− 3)²−2(− 5)=3+2 5

C = (3 2 5)

5 1 ) 5 (

5 2 3

. ₂² ²

2 1

2 2 2

1 = +

−

= + +

x x

x

x ;

D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = (− 3)[3+2 5−(− 5)]=−(3 3+3 15)

 Lời giải

Ta có ₁ ₂ b 8; _{1 2} c 15

x x x x

a a

+ = − = = =

a) x₁²+x₂² =(x₁+x₂)²−2x x_{1 2} =8²−2.15=64 30− =34

b) ¹ ²

1 2 1 2

1 1 8

15 x x

x x x x

+ = + =

c) ¹ ² ¹² ²²

2 1 1 2

34 15

x x x x

x x x x

+ = + =

 Đáp số:

a) x₁²+x₂² =65 b)

1 2

1 1 9

8 x +x =

 Đáp số:

Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính

a) b) c)

Ví dụ ➋

Bài tập rèn luyện



Câu 1:

a) b)

Câu 2:

a) b)

(11)



a) x₁³+x₂³=1526 b) ¹ ²

1 2

1 1 44

29

x x

− − −

+ =

 Lời giải

a) Với m = 3 ta có phương trình: x² – 6x + 4 = 0.

Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3+ 5; x₂ = −3 5. b) Ta có: ∆^/ = m² – 4

Phương trình (1) có nghiệm  ^/ m 2

0 m -2

 

     ^(*).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4.

Suy ra: ( x1 + 1)² + ( x2 + 1)² = 2

x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0(x1 + x2)² – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m² – 8 + 4m = 0

m² + m – 2 = 0  ¹

2

m 1

m 2

 =

 = −

 .

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.

Phương pháp: Sử dụng kết hợp

①. Định lý Vi-ét

②. Các hệ thức đối xứng

③. Các điều kiện có liên quan đến sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai

❖Dạng ➍ Toán tham số m với ứng dụng định lý Vi-ét

Cho phương trình ẩn x: x² – 2mx + 4 = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

( x1 + 1 )² + ( x2 + 1 )² = 2.

Ví dụ ➊

(12)





 Lời giải

a) Ta có ∆^/ = m² + 1 > 0, m  R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1.

Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7(x1 + x2)² – 3x1.x2 = 7

4m² + 3 = 7m² = 1 m = ± 1.

 Lời giải

a) Với m = 0 ta có phương trình x²– x + 1 = 0 Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.

b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m.

Để phương trình có nghiệm thì ∆0 - 3 – 4m0 4m - 3

3 m

 −   4 (1).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2) = 3( x1 + x2), ta được:

(1 + m)(1 + m – 2) = 3m² = 4 m = ± 2.

Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.

 Lời giải

a) Với m = 5 ta có phương trình: x² + 12x + 25 =0.

∆’ = 6² -25 = 36 - 25 = 11 x1 = - 6 - 11; x2 = - 6 + 11

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:

∆’ > 0  (m + 1)² - m² > 0 2m + 1 > 0  m > - 1 2 ^(*) Cho phương trình ẩn x: x² – 2mx - 1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1

và x2.

b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.

Ví dụ ➋

Cho phương trình ẩn x: x² – x + 1 + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 0.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ).

Ví dụ ➌

Cho phương trình: x² + 2 (m + 1)x + m² = 0. (1) a) Giải phương trình với m = 5

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2.

Ví dụ ➍

(13)



Phương trình có nghiệm x = - 2  4 - 4 (m + 1) + m = 0

 m² - 4m = 0  m = 0 m = 4



 (thoả mãn điều kiện (*)) Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm.

 Lời giải

a) Với m = - 3 ta có phương trình: x² + 8x = 0  x (x + 8) = 0  x = 0 x = - 8



 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:

∆’  0 (m - 1)² + (m + 3) ≥ 0 m² - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0

m² - m + 4 > 0  1 ² 15

(m ) 0

2 4

− +  đúng m Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m Theo hệ thức Vi ét ta có: ¹ ²

1 2

x + x = 2(m - 1) (1) x - x = - m - 3 (2)





Ta có x + x₁² ²₂ = 10  (x1 + x2)² - 2x1x2 = 10

4 (m - 1)² + 2 (m + 3) = 10

 4m² - 6m + 10 = 10

m = 0

2m (2m - 3) = 0 3

m = 2



 

 c) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:

x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8

 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0

Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.

 Lời giải

Cho phương trình: x² - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức = 10.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.

Ví dụ ➎

Cho phương trình ẩn x: x² - (2m + 1) x + m² + 5m = 0 a) Giải phương trình với m = -2.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6.

Ví dụ ❻

(14)





a) m = - 2, phương trình là: x² + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 2 = - 3 33

2



b) Ta có ∆ =



- (2m +1 - 4 (m + 5m) =



² ² 4m² + 4m + 1 - 4m² - 20m

= 1 - 16m.

Phương trình có hai nghiệm  ∆ ≥ 0  1 - 16m ≥ 0 1

m 16

 

Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m² + 5m.

Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó m² + 5m = 6  m² + 5m - 6 = 0

Ta thấy a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0 nên m1 = 1; m2 = - 6.

Đối chiếu với điều kiện m ≤ 1

16 thì m = - 6 là giá trị cần tìm.

 Lời giải

a) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x²- 4x + 3 = 0 Ta thấy: a +b + c = 1 - 4 +3 = 0

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3

b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:  =^, b' - ac² 0 2²−(m 1)+ 0

3 - m  0 m  3 (1)

Áp dụng hệ thức Vi ét ta có : ¹ ²

1 2

x x 4

x x m 1

+ =

 = +



2 2

1 2

x + x = 5 (x1+ x2) (x₁+ x₂)²- 2x1x2 = 5 (x1 + x2)

4² - 2 (m +1) = 5.42 (m + 1) = - 4  m = - 3 Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3

 Lời giải

x² - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)

Cho phương trình: x²- 4x + m +1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 2.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức = 5 (x1 + x2)

Ví dụ ❼

Cho phương trình x² - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2 c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn Ví dụ ❽

(15)



a) Khi m = 1, ta có phương trình x - 6x + 5 = 0 a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0  x1 = 1; x2 = 5 b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi:

(-2)² - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0  4 + 2m + 10 - m + 6 = 0

 m = - 20

c) ∆ = (m + 5)² - 4(- m + 6) = m² + 10m + 25 + 4m - 24

= m² + 14m + 1

Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m² + 14m + 1 ≥ 0 (*) Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

S = x1 + x2 = m + 5; P = x1. x2 = - m + 6. Khi đó: x x₁² ₂+x x₁ ²₂=24x x x₁ ₂( ₁+x₂)=24

(− +m 6 m 5)( + =) 24  m² − − = m 6 0 m=3 m; = −2. Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

 Lời giải

a) Với m=2, ta có phương trình: 2x² +3x+1=0. Các hệ số của phương trình thoả mãn 0

1 3 2− + =

= +

−b c

a nên phương trình có các nghiệm: x₁ =−1,

2 1

2 =−

x .

b) Phương trình có biệt thức ^⁼

(

²^m⁻¹

)

²⁻⁴^.²^.

(

^m⁻¹

) (

⁼ ²^m⁻³

)

² ^⁰ nên phương trình luôn có hai nghiệm x₁,x₂ với mọi m.

Theo định lý Viet, ta có:









= −

− −

= +

2 . 1

2 1 2

2 1

x m x

.

Điều kiện đề bài 4x₁² +2x₁x₂ +4x₂² =1 ⁴

(

^x₁⁺^x₂

)

²⁻⁶^x₁^x₂ ⁼¹^{. Từ} đó ta có:

(

1−2m

)

²−3

(

m−1

)

=1  4m² −7m+3=0.

Phương trình này có tổng các hệ số a+b+c=4+(−7)+3=0 nên phương trình này có

các nghiệm ₁ ₂ 3

1, 4

m = m = .

Vậy các giá trị cần tìm của m là 3

1, 4

m= m= .

Cho phương trình với là tham số.

a) Giải phương trình khi .

b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn

.

Ví dụ ❾

(16)





 Lời giải

a) Khi a=3 và b= −5 ta có phương trình: x² +3x−4=0. Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x₁ =1, x₂ =−4.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂   =a²−4(b+ 1) 0 (*) Khi đó theo định lý Vi-et, ta có ¹ ²

1 2 1

x x a

x x b + = −

 = +

 ^(1).

Bài toán yêu cầu





=

−

=

−

9 3

3 2 3 1

2 1

x x

x

x 

( ) ( )

1 2

3

1 2 1 2 1 2

x x 3

x x 3x x x x 9

− =



− + − =

 





−

=

− 2

3

2 1

x x

x

x (2).

Từ hệ (2) ta có:

(

x1+x2

) (

² = x1−x2

)

²+4x x1 2 =3²+ − =4( 2) 1, kết hợp với (1) được

2 1

1 2

a b

 = + = −



1, 3

a b

= = −

  = − = − ^.

Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Với m = 1, ta có phương trình: x²– x + 1 = 0 Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.

b)Ta có: ∆ = 1 – 4m. Để phương trình có nghiệm thì ∆0

1 – 4m0  1 m 4 (1).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = m

Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – 1 )² = 9( x1 + x2 ), ta được:

Cho phương trình với là tham số.

a) Giải phương trình khi và .

b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

thoả mãn điều kiện: .

Ví dụ ❿

Bài tập rèn luyện



Câu 1: Cho phương trình ẩn x: x² – x + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 1.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

(x1x2 – 1)² = 9( x1 + x2 ).

(17)



(m – 1)² = 9 m² – 2m – 8 = 0 m = - 2 m = 4 .



 ^.

Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.

a) Ta có  = m² + 1 > 0, m  R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7

(x1 + x2)² – 3x1.x2 = 7  4m² + 3 = 7m² = 1 m = 1.

a) Với m = 2, ta có phương trình (x² - x - 2)(x - 1) = 0 <=>

2 x 1; x 2

x x 2 0

x 1

x 1 0

= − =

 − − = 

 − =  =



Vậy phương trình có 3 nghiệm x 1; x = 2

b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

- Hoặc phương trình f(x) = x² - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1



0 1 4m 0 m 1 1

4 m

f (1) 0 1 1 m 0 4

m 0

 = + =  = −

    = −

   − −  

   

.

- Hoặc phương trình f(x) = x² - x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.



0 1 4m 0 m 1

m 0.

f (1) 0 m 0 4

m 0

  +    −

    =

 =  = 

   =

Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m = -

4

1 ; m = 0.

Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x² – 2mx - 1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.

Câu 3: Cho phương trình: (x² - x - m)(x - 1) = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.

(18)





a) Với m = 4 ta có x⁴ - 5x² + 4 = 0

Đặt x² = t , với t0 ta có pt t² - 5t + 4 = 0 <=> t1 = 1; t2 = 4 Từ đó, ta được:

2 2

x 1 x 1

x 2

x 4

 =  = 

 =  = 

 

 .

Vậy phương trình có 4 nghiệm x= 1; x= 2.

b) x⁴ - 5x² + m = 0 (1) có dạng f(y) = y² - 5y + m = 0 (2) (với y = x² ; y > 0)

Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt phương trình (2):

1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 <=>

0 m 25 25

4 m

f (0) 0 4

m 0

 =  =

   =

  

  

.

2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu  m 0. Vậy m =

4

25hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

a) Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x1 = - 1; x2 = 3 b) Phương trình có nghiệm ' > 0 1 - m > 0  m < 1 Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = 2 và x1x2 = m (1)

2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2

x x (x x ) 2x x

1 1

1 1 1

x x x x (x x )

+ + −

+ =  =  = (2)

Từ (1), (2), ta được: 4 - 2m = m² <=> m² + 2m - 4 = 0

' = 1 + 4 = 5 => ' = 5 nên m = -1 + 5 (loại); m= - 1 - 5(T/m vì m < 1).

Vậy giá trị m cần tìm là: m= − −1 5

Câu 4: Cho phương trình: x⁴ - 5x² + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 4.

b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Câu 5: Cho phương trình: x² - 2x + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = - 3.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: = 1.

(19)



a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x² - 4x -12 = 0

'= 16, pt đã cho có 2 nghiệm: x = - 2; x = 6.

b) Phương trình (1) có nghiệm ' 0 m² + 6m m −6; m0 (2) Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: ¹ ²

1 2

x + x = 2m x x = - 6m



 (3) Phương trình có 1nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi:

2 2

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2

x =2x ; x =2x (x −2x )(x −2x )= 0 5x x −2(x +x )=0

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

5x x 2[(x x ) 2x x ] 0 9x x 2(x x ) 0

 − + − =  − + = (4)

Từ (3), (4), ta có: ² 27

54m 8m 0 m 0; m

− − =  = = − 4 (TMĐK (2))

Vậy các giá trị m cần tìm là 27

m 0; m

= = − 4 .

a) Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi:

2

0

(2 3) 4 ( 4) 0

m

m m m

 

 = + − − 

 ^

0

28 9 0

m m

 

 + 

 ^

0 9 28 m m

 

  −



Vậy với 9

0  −m 28 thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt.

b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: ¹ ²

1 2

2 3

4 x x m

m x x m

m

 + = +

 −

 =



 ¹ ²

1 2

2 3 1 4 x x

m

x x m

 + = +



 = −



 ¹ ²

1 2

4( ) 8 12

3 3 12

x x

m

x x m

 + = +



 = −



Cộng 2 vế pt trên ta đợc:

Câu 6: Cho phương trình: x² - 2mx - 6m = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.

Câu 7: Cho phương trình: mx²- (2m + 3 )x+ m - 4= 0

a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

(20)





4(x1+x2) +3 x1x2=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.

a) Ta có: ^’ = (m-1)² – (– 3 – m ) =

4 15 2

1² +



 

 −m

Do 0

2 1 ²

 



 

 −m với mọi m; 0 4

15   > 0 với mọi m  Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3 Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0

3

3 1 0

) 3 (

0 ) 1 (

2  −





−



 





 +

−



 − m

m m m

m Vậy m < -3

d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)

Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)² - 2x1x2 = 4(m-1)²+2(m+3) = 4m² – 6m + 10 Theo bài A  10  4m² – 6m  0  2m(2m-3)  0









 









































−









−





0 2 3

2 3 0 2 3 0

0 3 2

0 0 3 2

0

m m

m m m m

m m

Câu 8: Cho phương trình: x² - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 10.

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2

(21)



Vậy m  2

3 hoặc m  0

e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có:





−

=

−

=

 +





+

−

=

−

= +

6 2 .

2

2 . 2

) 3 ( .

) 1 ( 2

2 1

2 1 2

1 2 1

m x

x

m x x m

x x

m x

x  x1 + x2+2x1x2 = - 8

Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8  x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) 

2 2

1 1 2

8 x x x

+

− +

=

Vậy

2 2

1 1 2

8 x x x

+

− +

= (

2 1

2 −

x )

a) Ta có:  = m² - 4(m + 3) = m² - 4m - 12 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

 > 0  m² - 4m - 12 > 0 

(

m - 6 m + 2 > 0

)( )

^{m < -2}

m > 6

 

 ^. b) Ta có x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên.

Theo định lý Vi-et, ta có:

1 2

x x m

x x m 3

+ = −

 = +



2 2 2

1 2 1 2 1 2

x +x =(x +x ) −2x x = −( m)²−2(m 3)+ =m²−2m 6− Thay vào ta được:

m² - 2m - 6 = 9  m² - 2m - 15= 0 m = -3 m = 5

 

 c) Phương trình có nghiệm x ; x₁ ₂   0

Câu 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: . c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.

e) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.

(22)





Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: ¹ ²

1 2

x x m (1) x x m 3 (2)

+ = −

 = +



Hệ thức: 2x1 + 3x2 = 5 (3) Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình :

1 2 1 2 1 1

1 2 1 2 2 1 2

x x m 3x 3x 3m x 3m 5 x 3m 5

2x 3x 5 2x 3x 5 x m x x 2m 5

+ = − + = − = − − = − −

   

  

 + =  + =  = − −  = +

   

Thay ¹

2

x 3m 5

x 2m 5

= − −

 = +

 vào (2) ta có phương trình:

2 2

2 2 (m)

( 3m 5)(2m 5) m 3 6m 15m 10m 25 m 3 6m 26m 28 0 3m 13m 14 0

13 4.3.14 1 0

− − + = +  − − − − = +  − − − =

 + + =

 = − = 

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ₁ 13 1 ₂ 13 1 7

m 2; m

2.3 2.3 3

− + − −

= = − = = −

Kiểm tra:

Với m= −   =2 0 (thỏa mãn).

Với 7 25

m 0

3 9

=−   =  (thỏa mãn).

Vậy với 7

m 2; m

= − = −3 phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = 5.

d) Phương trình (1) có nghiệm x₁= −3

( 3)2 m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6

 − + − + + =  − + =  =

Khi đó: x₁+x₂ = − m x₂ = − −m x₁x₂ = − − − 6 ( 3) x₂ = −3 Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm: x1 = x2 = - 3.

e) Theo định lí Vi-et, ta có: ¹ ² ¹ ² ₁ ₂ ₁ ₂

1 2 1 2

x x m m x x

x x x x 3

x x m 3 m x x 3

+ = − = − −

 

  − − = −

 = +  = −

 

a) Ta có ' = (m + 1)² - m² = 2m + 1

Phương trình đã cho có nghiệm  '  0  m - 1 2 b ) Theo hệ thức Viét ta có ¹ ² ₂

1 2

2( 1) (1) (2)

x x m

x x m + = +



 =

Câu 10: Cho phương trình x² - 2(m + 1) x + m² =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

(23)



Từ (1) ta có m = ¹ ² 1 2 x +x

− thay vào (2) ta được _{1 2} ¹ ² 1 2 x x x x = + − 

hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)² là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Câu 1: Phương trình đã cho có a b c− + =0.

Suy ra phương trình có hai nghiệm x= −1 và x=3. Câu 2: Đặt ^t⁼^x²

(

^t^⁰

)

ta có phương trình:

2 5 36 0

t + −t =

2 9 4 36 0

t t t

 + − − = ^^{t t}

(

^{+ −}⁹

) (

⁴ ^t⁺⁹

)

⁼⁰

(

^t ⁹

)(

^t ⁴

)

⁰

 + − = 4 0

9 0

t t

 − =

  + =

( )

4 9

t TM

t KTM

 =

  = − Với t= 4 x² =4  = x 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2;x= −2 Câu 3:

( )

3 ² 4.1.1 5 0

 = − − =   phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ Theo hệ thức Vi-et, ta có: ¹ ²

1 2

3

. 1

x x x x

+ =

 =

 ⁽²⁾

Ta có A=x1²+x2²=

(

x1+x2

)

²−2x x1 2 (3) Thay (2) vào (3) ta được A=3²−2.1 7= Vậy A=7.

Câu 4:

a) Giải phương trình với m=1.

Với m=1, phương trình đã trở thành: 𝑥²+ 4𝑥 + 3 = 0 Phiếu ôn tập



Câu 1: Giải phương trình

Câu 2: Giải phương trình

Câu 3: Cho phương trình . Gọi và là hai nghiệm của phương trình.

Hãy tính giá trị của biểu thức

Câu 4: Cho phương trình: ( là tham số) a) Giải phương trình với .

b) Tìm để phương trình có nghiệm kép.

Phiếu ➊

(24)





Nhận xét: a b c− + = − + =1 4 3 0nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

2

1 3 x

x c a

 = −

 = − = −



Vậy khi m=1 thì tập nghiệm của phương trình là ^S ^{= − −}



^{1; 3}



b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.

Phương trình x²+4x+2m+ =1 0 có ^{ =}^' ²²⁻

(

²^m^{+ = −}¹

)

^{4 2}^m^{− = −}^{1 3 2}^m

Để phương trình có nghiệm kép thì ^' 3

3 2 0

m m 2

 = − =  = Vậy với 3

m=2 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

Câu 1: Phương trình 2x²−9x+ =4 0có:  = −( 9)² −4.2.4=490

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt : ¹

2

9 49 1

4 2

9 49

4 4 x

x

 = − =



 = + =

 Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 1

2; 4

 

 

  Câu 2:

Đặt t =x t²( 0).

Phương trình

( )

¹ trở thành ^t⁴−¹²^t²+¹⁶=^{0 2}

( )

, Với a=1,b= −12, c=16.

Câu 1: Giải phương trình Câu 2: Giải phương trình

Câu 3: Cho phương trình ẩn : (1) a) Giải phương trình (1) với .

b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn

hệ thức .

Câu 4: Cho phương trình: ( là tham số).

1. Giải phương trình với

2. Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:

Phiếu ➋

(25)



( )

' 6 1.16 36 16 20 ' 2 5.

 = − − = − =   =

( )

² có hai nghiệm t1= +6 2 5

( )

N t, 2 = −6 2 5

( )

N . Vậy phương trình

( )

¹ có bốn nghiệm

( )

1 6 2 5 5 1, 2 6 2 5 5 1 ,

x = + = + x = − + = − +

( )

3 6 2 5 5 1, 4 6 2 5 5 1 .

x = − = − x = − − = − −



^{5 1;}^{+ −}

(

^{5 1 ; 5 1;}⁺

)

^{− −}

(

^{5 1 .}⁻

) 

Câu 3:

a) Giải phương trình (1) với m=6.

Với m=6 phương trình (1) trở thành phương trình: x²−5x+ =4 0 (2)

Ta có: ^{a b c}+ + = + − + =¹

( )

⁵ ⁴ ⁰ nên phương trình (2) có hai nghiệm x₁=1 và x₂=4 Vậy với m=6 thì tập hợp nghiệm của phương trình (1) là ^S ⁼

 

^{1; 4}

b) Tìm mđể phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x x₁; ₂ thỏa mãn hệ thức

1 2

1 1 3

x + x =2.

Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x x₁; ₂ thì:

1 2

0

. 0

S x x P x x

 

 = + 

 = 



( )

⁵ ² ⁴

(

²

)

⁰ ₃₃

33 4 0

5 0 4

2 2

2 0

m m m

m m

m

 − − −  

  −  

 

 −     

Vậy với 33

2 m 4 thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x x₁; ₂ Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có ¹ ²

1 2

5

. 2

x x x x m

+ =

 = −

 ⁽³⁾

Ta có

1 2

1 1 3

x + x = 2

2 1

1 2 1 2

3 2

x x

x x x x

 + =

(

¹ ²

)

¹ ²

2 x x 3 x x.

 + =

(

¹ ² ¹ ²

)

¹ ²

4 x x 2 x x. 9 .x x

 + + = (4)

Thay (3) vào (4) ta có:

( ) ( ) ( )

4 5 2+ m−2 =9 m−2 9 m− −2 8 m− −2 20=0 (5)

Đặt t = m−2 điều kiện t0khi đó phương trình (5) trở thành phương trình:

9t2− −8t 20=0 (6)

Giải phương trình (6) ta được t=2 (thỏa mãn) hoặc 10

t= −9 (không thỏa mãn) Với t=2 m− =  − =  =2 2 m 2 4 m 6

Vậy m=6 thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x x₁; ₂ thỏa mãn hệ thức

1 2

1 1 3

x + x = 2.

(26)





Câu 4:

1) Với m= −2 thì

( )

¹ ² ⁴ ³ ⁰ ¹

3 x x x

x

 = −

 + + =   = − ^(vì:a b c− + =0) Vậy PT có hai nghiệm x= −1;x= −3

2) Ta có: ^{ = −}^'

( )

^m ²⁻^1.

(

⁻⁴^m^{− =}⁵

)

^m²⁺⁴^m^{+ =}⁵

(

^m⁺²

)

²^{+  }^{1 0} ^m

( )

¹ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Theo Vi-Et ta có: ¹ ²

1 2

2

. 4 5

x x m

x x m

+ =

 = − −



Mà:

( )

1 1

( )

2

1 2 1 2

1 33

1 2 4059 2 1 2 4 33 8118

2x − m− x + x − m+ 2 =  x − m− x + x − m+ =

( ) ( )

2 2

1 2 1 2 1 2 2 4 5 38 8118 1 2 1 4 5 2 1 2 8080 *

x mx x x m x mx m x x

 − + + − − + =  − − − + + =

Do: x₁ là một nghiệm của phương trình

( )

¹ ^nên:x1² −2mx1 −4m− =5 0

( )

* 2

(

x1 x2

)

8080 2.2m 8080

  + =  = (Vì: x₁+x₂ =2m)

4m 8080 m 2020.

 =  =

Vậy m=2020 thỏa mãn yêu cầu bài toán.