50 bài tập về Các dạng bài tập Hệ thức Vi-ét và ứng dụng (có đáp án 2022) - Toán 9

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

A. Lí thuyết.

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu ²

1 2

x , x là nghiệm của phương trình thì ta có:

1 2

1 2

S x x b

a P x .x c

a

    



  



- Ứng dụng của hệ thức Vi – ét:

+) Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có ² một nghiệm là x = 1, nghiệm kia là ₁ x₂ ^c

 a

+) Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có ² một nghiệm là x = -1, nghiệm kia là ₁ x₂ ^c

 a

+) Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X² SX P 0

B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa.

Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm.

Phương pháp giải:

- Áp dụng hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm:

1 2

1 2

S x x b

a P x .x c

a

    



  



- Biến đổi biểu thức về nghiệm của phương trình từ đề bài (dùng hằng đẳng thức, nhân đa thức với đa thức, công trừ phân thức,…) để áp dụng công thức Vi-ét nhằm tính giá trị của biểu thức theo (x₁ x₂) và (x .x ) _{1 2}

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình x² 5x 6 0 có hai nghiệm phân biệt x , x . Không _{1 2} giải phương trình, tính giá trị của biểu thức x₁² x₂².

Lời giải:

Xét phương trình x² 5x 6 0 có a = 1, b = 5, c = -6 Có a.c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x nên ta áp dụng hệ thức Vi-ét, có: _{1 2}

1 2

1 2

b 5

x x 5

a 1

c 6

x .x 6

a 1

      

 

    



Mặt khác, ta có:

2 2

1 2

x x

2 2

1 1 2 2 1 2

x 2x x x 2x x

   





   





  

 

   

= 37

Ví dụ 2: Cho phương trình x² 7x 4 0 có hai nghiệm phân biệt x , x . Không _{1 2} giải phương trình, tính giá trị của biểu thức

1 2

1 1

x  x . Lời giải:

Xét phương trình x² 7x 4 0 có a = 1, b = 7, c = -4 Do a.c < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x nên ta áp dụng hệ thức Vi-ét, có: _{1 2}

1 2

1 2

b 7

x x 7

a 1

c 4

x .x 4

a 1

      

 

    



Mặt khác, ta có:

1 2

1 1

x  x

2 1

1 2 1 2

x x

x x x x

 

2 1

1 2

x x

x x

 

7 7

4 4

  



Dạng 2: Tìm tham số m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

- Tính biệt thức:  b²- 4ac hoặc  ' b'²- ac (với b = 2b’) để tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

- Áp dụng hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm:

1 2

1 2

S x x b

a P x .x c

a

    



  



- Biến đổi biểu thức về nghiệm của phương trình từ đề bài để áp dụng công thức Vi-ét nhằm tìm ra điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình x² 5mx 4 0. Tìm m để x , x là nghiệm của _{1 2} phương trình và thỏa mãn: x₁² x₂² 6x x_{1 2} 9.

Lời giải:

Xét phương trình x² 5mx 4 0 (*)

Để phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:

2 2

(5m) 4.1.( 4) 25m 16 0

      

Mà m² 0 với mọi m nên  25m² 160 với mọi m.

Do đó, phương trình (*) có nghiệm với mọi m. Gọi hai nghiệm của phương trình là

1 2

x , x

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

1 2

x x 5m 5m

1

x .x 4 4

1

     

 

   



Mặt khác, ta có:

2 2

1 2 1 2

x x 6x x 9

2 2

1 1 2 2 1 2

x 2x x x 4x x 9

    





   





    

25m2 16 9

  

25m2 25

 

m2 1

 

m 1

  

Vậy m = 1 hoặc m = -1 thì phương trình có hai nghiệm x , x_{1 2} thỏa mãn:

2 2

1 2 1 2

x x 6x x 9.

Ví dụ 2: Cho phương trình x² 2(m 1)x   3 m 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x_{1 2} thỏa mãn x₁² x₂² 10

Lời giải:

Xét phương trình x² 2(m 1)x   3 m 0 (*) Ta có:





           

2 2 2 2

4m 8m 4 12 4m 4m 4m 16 4m 4m 1 15 (2m 1) 15

              

Ta có: (2m 1) ² 0 với mọi m (2m 1)2 15 0

      với mọi m

Do đó, phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . Gọi hai nghiệm của phương trình là x , x_{1 2}

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

 

1 2

1 2

2(m 1)

x x 2m 2

1

3 m

x .x 3 m

1

   

   



      



Mặt khác, ta có:

2 2

1 2

x x 10

2 2

1 1 2 2 1 2

x 2x x x 2x x 10

    





   





     

4m2 8m 4 6 2m 10

     

4m2 6m 0

  

2m(2m 3) 0

  

m 0

m 0 3

m 3

2m 3 0 2 m

m 0 m 0 2

m 0

2m 3 0 3

m 2

 



   

     

 

      

Vậy khi 3

m 2 hoặc m0 thì phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn _{1 2}

2 2

1 2

x x 10

Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số.

Phương pháp giải:

Để tìm hệ thức giữa các nghiệm x , x của phương trình bậc hai không phụ thuộc _{1 2} tham số ta làm như sau:

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x , x_{1 2} là  0

- Áp dụng hệ thức Vi-ét

1 2

1 2

S x x b

a P x .x c

a

    



  



- Biến đổi biểu thức kết quả sao cho không còn chứa tham số.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình x² 2(m 1)x   m 3 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Lời giải:

Xét phương trình x² 2(m 1)x   m 3 0 (*) Ta có:

 

' (m 1) 1.(m 3) m 2m 1 m 3 m 3m 4

             

2

2 3 9 9 3 7

m 2. .m 4 m

2 4 4 2 4

 

        

Mà

3 2

m 2

  

 

  ^ 0 với mọi m nên

3 2 7

' m

2 4

 

    

  > 0 với mọi m Do đó, phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} với mọi m Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

   

1 2 1 2

1 2 1 2

2(m 1) 2(m 1)

x x 2m 2 x x 2m 2

1 1

m 3 m 3

x .x m 3 2x .x 2m 6

1 1

       

       

 

 

 

 

       

 

 

Từ hệ trên, ta dễ thấy: x₁ x₂ - 2x .x_{1 2} = 2m – 2 – (2m - 6) = 4 không phụ thuộc vào m

Vậy biểu thức liên hệ cần tìm là x₁ x₂ - 2x .x_{1 2} = 4

Ví dụ 2. Cho phương trình x² 2(m 1)x 2m 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Lời giải:

Xét phương trình x² 2(m 1)x 2m 0 ta có:

2 2 2

' (m 1) 2m m 2m 1 2m m 1

         

Mà m² 0 với mọi m nên  ' m² 1 > 0 với mọi m Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm x , x_{1 2} với mọi m Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

1 2

2(m 1)

x x 2m 2

1

x .x 2m 2m

1

 

     



  



Từ hệ trên, dễ thấy: x₁ x₂ + x .x_{1 2} = - 2m - 2 + 2m = -2 không phụ thuộc vào m Vậy biểu thức liên hệ cần tìm là: x₁ x₂ + x .x = -2 _{1 2}

Dạng 4: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm.

Phương pháp giải:

+) Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có ² một nghiệm là x₁ = 1, nghiệm kia là x₂ ^c

 a

+) Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có ² một nghiệm là x₁ = -1, nghiệm kia là x₂ ^c

 a

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) x² 9x 10 0 b) x² 8x 7 0 Lời giải:

a)

Xét phương trình x² 9x 10 0 có: a = 1, b = 9, c = -10 Ta có: a + b + c = 1 + 9 – 10 = 0

Do đó, phương trình x² 9x 10 0 có một nghiệm là x₁ = 1, nghiệm kia là

2

c 10

x 10

a 1

    

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; -10}

b)

Xét phương trình x² 8x 7 0 có: a = 1, b = 8, c = 7 Ta có: a – b + c = 1 – 8 + 7 = 0

Do đó, phương trình x² 8x 7 0 có một nghiệm là x₁ = -1, nghiệm kia là

2

c 7

x 7

a 1

     

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-1; -7}

Ví dụ 2. Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình:

x2 2(m4)x 2m 7 0. Lời giải:

Xét phương trình x² 2(m4)x2m 7 0 có: a = 1, b = -2(m+4), c = 2m + 7 Ta có: a + b + c = 1 – 2(m + 4) + 2m + 7 = 1 – 2m – 8 + 2m + 7 = 0

Do đó, phương trình x² 2(m4)x 2m 7 0 có một nghiệm x₁ = 1, nghiệm kia là ₂ 2m 7

x 2m 7

1

   

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2m + 7} với m là tham số Dạng 5: Tìm hai số khi biết tổng và tích.

Phương pháp giải:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X² SX P 0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho hai số có tổng bằng 6 và tích bằng 5. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Nếu hai số có tổng bằng 6 và tích bằng 5 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x² 6x 5 0

Xét phương trình x² 6x 5 0 có a = 1, b = -6, c = 5 Dễ thấy: a + b + c = 1 – 6 + 5 = 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm là x₁ 1 và ₂ 5

x 5

 1 Vậy hai số cần tìm là 1 và 5

Ví dụ 2. Cho hai số có tổng bằng 17 và tích bằng 180. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Nếu hai số có tổng bằng 17 và tích bằng 180 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x² 17x 180 0

Xét phương trình x² 6x 5 0 có   ( 17)² 4.1.180 431 0 Do đó, phương trình vô nghiệm.

Vậy không có số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x² 2x  m 1 0 (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} thỏa mãn x₁² x₂² 3x x_{1 2} 2m²  m 3 Bài 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x² 4x3m 2 0 (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn _{1 2} x₁ 2x₂ 1

Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x² 2(m 1)x m²  3 0 (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x , x_{1 2} thỏa mãn | x | | x | 10₁  ₂ 

Bài 4: Cho phương trình 2x² (2m 1)x   m 1 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 5: Cho phương trình x² 2(2m 1)x  3 4m0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 6: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: 3x² 12x 9 0 Bài 7: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau:

2021x2 2022x 1 0 

Bài 8: Tìm hai số thực biết tổng của chúng là 14 và tích của chúng là 13.