50 bài tập về biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số (có đáp án 2022) – Toán 12

Văn bản

(1)Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số. A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI.. Đưa phương trình g(x;m) = 0 về các dạng bài sau: Dạng 1: f(x) = h(m), trong đó h(m) là một hàm phụ thuộc vào tham số m.. - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), tìm các giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của miền xác định của hàm số y = f(x). - Đường thẳng y = h(m) di động song song với trục hoành, dựa vào số giao điểm của đường thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = f(x) để biện luận số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0. =+ Dạng 2: f(x)axb. , trong đó a cố định, b thay đổi.. - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).. - Tìm các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc cho trước là a.. - Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục tung ( hoặc trục hoành) và giao điểm của =+ đường thẳng yaxb với trục tung ( hoặc trục hoành). Cho b di động trên trục tung để suy ra số nghiệm của phương trình g(x;m). =+ Dạng 3: f(x)axb. , trong đó a thay đổi, b tùy ý.. - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).. =+ - Tìm điểm A(x0,y0) là điểm cố định của đường thẳng yaxb. .. - Viết các phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) đi qua A. =+ - Cho đường thẳng yaxb phương trình g(x;m) = 0.. xoay quanh điểm cố định A. Từ đó suy ra nghiệm của. Chú ý:. - Nếu hàm số y = f(x) có miền xác định là đoạn thẳng [a,b] thì đồ thị hàm số y =f(x) ta chỉ xét phần x Î[a,b].. - Một số bài toán đặt ẩn phụ t = ¶ (x) , với ¶ (x) là một biểu thức trong phương trình ban đầu thì:. + Dựa vào miền xác định của x để tìm miền xác định của t. + Vẽ đồ thị hàm số y = f(t) rồi làm giống như trên. - Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối.. 1. Dạng y = |f(x)|..

(2) + Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).. + Lấy các phần của ( C) ở phía trên trục hoành.. + Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) phía dưới trục hoành. y=. 2. Dạng. f(x) g(x). + Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).. + Lấy các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) >0.. + Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) <0. y=. 3. Dạng. f(x) g(x) làm tương tự như mục 2.. 4. Dạng y = f(x) + |g(x)|.. Đồ thị gồm 2 phần: + Đồ thị ( C) y= f(x) + g(x) tương ứng với x sao cho g(x) >0. + Đồ thị ( C’) y = f(x) – g(x) tương ứng với x sao cho g(x) <0. 5. Dạng y = f(|x|).. + Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y= f(x).. + Lấy phần của ( C) bên phải trục oy tương ứng với x>0.. + Lấy thêm phần đối xứng qua trục oy của phần của ( C) bên phải trục oy. Mở rộng: Đối với bài toán bất phương trình làm tương tự, lưu ý:. Giả sử hàm fx(. ) tồn tại Max-Min trên ¡. mfx,xmMaxfx ³"ÎÛ³ ¡ ( ) mfx,xmMinfx £"ÎÛ£ ¡ ( ). ¡. ¡. - Nếu hàm fx(. . Ta có:. ( ). mfx,xmMaxfx >"ÎÛ> ¡ ( ). ( ). mfx,xmMinfx <"ÎÛ< ¡ ( ). ) không tồn tại Max-Min trên ¡ 12<<( ) thiên ta tìm được điều kiện bị chặn: MfxM mfx,xmM ³"ÎÛ³ ( ). ¡. 2. ¡. ( ) ( ). ¡. , tuy nhiên thông qua bảng biến , khi đó:. mfx,xmM >"ÎÛ³ ( ). ¡. 2.

(3) mfx,xmM £"ÎÛ£ ( ). ¡. 1. mfx,xmM <"ÎÛ£ ( ). ¡. 1. Mở rộng: Đối với dạng bài tập phương trình tương giao.. - Cách giải: Chuyển tất cả ẩn, tham số của phương trình về 1 vế, ta sẽ được phương trình mới có dạng: g(x;m) = 0. Như vậy, bài toán đã được đưa về dạng cơ bản. Tuỳ từng phương trình, chọn cách giải thích hợp. B. Ví dụ minh hoạ.. = 32-+3x 1 có đồ thị (C). Biện luận theo m số nghiệm Ví dụ 1. Cho hàm số y2x 32 - 3x --= phương trình 2xm10 (*). Lời giải. Đồ thị (C) 32 - 3x --= Ta có: 2xm10. 32 Û+2x1m2 - 3x +=. Vậy số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường =+ thẳng d: ym2 . +< +> Û m2<- hoặc m1>- thì d và (C) có một điểm - Với m20 hoặc m21 chung Þ phương trình (*) có một nghiệm. += += Û m = –2 hoặc m = –1 thì d và (C) có hai điểm - Với m20 hoặc m21 chung Þ phương trình (*) có hai nghiệm.. <+< Û -<<2m1 - Với 0m21 trình (*) có ba nghiệm.. thì d và (C) có ba điểm chung Þ phương.

(4) 42 =-+ Ví dụ 2. Cho hàm số yx4x3 có đồ thị (C). Tìm m để phương trình 42 -+--= x4x3m0 (*) có 4 nghiệm phân biệt.. Lời giải. Đồ thị (C) 42 -+=Ta có: (*) Û x4x3m. Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường =- . thẳng d: ym. Vậy để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thì d và (C) phải cắt nhau tại 4 điểm. 1m3 Þ -<-<. 3m1 Û -<<. 3m1 Vậy với -<<. thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.. ==-+ ( ) Ví dụ 3. Cho hàm số yfxx2x2 x -¥. -. y¢. 42. có bảng biến thiên như sau +¥ 0 1. -1 0. +. +¥. y. 0. -. 0. +¥. 2. 1. +. 1. 42 -+-= Số giá trị nguyên dương của m để phương trình 2x4xm50 nghiệm. A. 3. B. 4. C. 5. có đúng 2 D. 6.

(5) Lời giải Ta có: PT đã cho. 4242 Û-=Û-+= x2xx2x22. 5m9m -22. (). Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng. y=. 9m 2. Do vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm Û d cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt 9m é =1 ê 2 ÛÛ ê 9mm5 -< ê >2 ê ë 2 + mm1;2;3;4;7 ÎÞ= ¢ { }. Kết hợp. m7 = é ê ë. Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG. Câu 1. (Cho hàm số bậc bốn. nghiệm thực của phương trình. A. 2.. yfx =. ( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số. fx(. )=. B. 4 .. 1 2 là. C. 1 .. D. 3 .. = Câu 2. Cho hàm số bậc ba yf(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f(x)1= là:.

(6) B. 3.. A. 0. Câu 3. Cho hàm số bậc ba. yfx =. C. 1.. D. 2.. ( ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.. ( ) = là: Số nghiệm thực của phương trình fx2 A. 0 .. B. 3 .. Câu 4. Cho hàm số y = f(x) xác định trên và có bảng biến thiên như sau. x -¥ 0. y’. -. R\0{ }, liên tục trên mỗi khoảng xác định. +¥. 1 +. +¥ y. D. 2 .. C. 1 .. 0. -. 2 -1. -¥. -¥. = có Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f(x)m ba nghiệm phân biệt. A. [-1;2]. B. (-1;2). C. (-1;2]. D. (- ¥ ;2]. Câu 5. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:.

(7) -= Số nghiệm thực của phương trình 2f(x)30 A. 2.. B. 1.. là: C. 4.. D. 3.. Câu 6. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:. -= Số nghiệm thực của phương trình 3f(x)50 A. 2. B. 3. =-+42 Câu 7. Cho hàm số yx2x. là: C. 4. D. 0. có đồ thị như hình bên.. 42 x2xm Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình -+= nghiệm thực phân biệt.. A. m > 0.. ££ B. 0m1. .. << C. 0m1. .. D. m<1.. Câu 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.. có bốn.

(8) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình f(sinx)0= có nghiệm thực thuộc khoảng (0;π). B. (-1; 1).. A. [-1;3). Câu 9. Cho hàm số bên.. fx(. mf22 ³- (. ). .. D. [-1;1).. = ¢( ) liên tục trên ¡ ), hàm số yfx. ( ) <+ Bất phương trình fxxm khi và chỉ khi: A.. C. (-1;3).. và có đồ thị như hình vẽ. ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi. ³ B. mf0. ( ).. C.. mf22 >- (. ). .. D.. mf0 >. x0;2 Î(. ). ( ).. Câu 10. Cho hàm số f(x) , hàm số y = f’(x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. y. yfx =. ¢(. ). 1 x. O. >+ Bất phương trình f(x)xm khi và chỉ khi: A.. mf22 £ (. )-. .. 2. (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x Î(0;2) <- ( B. mf22. ). ..

(9) C.. mf0 £. ( ).. D.. Câu 11. Cho hàm số bậc ba. yfx =. ). ( ) có đồ thị như hình vẽ bên.. Số nghiệm thực của phương trình A. 3 .. mf0. < (. fx3x ( 3 -=. ). 4 3 là C. 7 .. B. 8 .. D. 4 .. Câu 12. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.. Số nghiệm thực của phương trình. |f(3)| xx3 -=. 1 2 là:. B. 10.. A. 6.. C. 12.. D. 3.. Câu 13. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau -¥ -3 1 +¥ x. +¥. 0. f’(x). -¥. -3. <+x Bất phương trình f(x)em. ³A. mf(1)e. .. Îđúng với mọi x(1;1). B.. mf(1) >--. khi và chỉ khi 1 e..

(10) C.. mf(1) ³--. 1 e.. >D. mf(1)e. .. 432 =++++Î Câu 14 Cho hàm số f(x)mxnxpxqxr(m,n,p,q,rR). .. Hàm số f’(x) có đồ thị như hình vẽ.. Tập nghiệm của phương trình f(x) = r có số phần tử là: A. 4.. B. 3.. Câu 15. Cho hàm số bậc bốn. C. 1.. yfx =. ( ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình A. 8 . Câu 16. Cho hàm số. fxf(x)20 ( 2 )+=. C. 6 .. B. 12 . yfx =. D. 2.. là D. 9 .. ( ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.. Số nghiệm thực của phương trình. fxfx2 (2(. ))=. là:.

(11) B. 12.. A. 6.. C. 8.. D. 9.. Đáp án. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 11 12 13 14 15 16. A. B. B. B. C. C. C. D. B. A. B. B. C. B. D. D.

(12)