Công thức biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị chi tiết nhất – Toán 12

Công thức biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị chi tiết nhất 1. Lí thuyết

Cho hai hàm số ^{y=f x}

( )

có đồ thị

( )

C1 và ^{y=g x}

( )

có đồ thị

( )

C2 . Khi đó số nghiệm của phương trình ^{f x}

( ) ( )

^{=g x} sẽ bằng số giao điểm của

( )

C1 và

( )

C2

2. Áp dụng vào biện luận số nghiệm phương trình

Cho phương trình ^{f x}

( )

^=m. Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng y=mvới đồ thị hàm số ^{y=f x}

( )

. Trong đó đường thẳng y=m tịnh tiến trên trục Oy.

3. Cách biện luận số nghiệm phương trình ^{f x}

( )

^=m

a. Cách 1: Khi bài toán cho sẵn đồ thị hàm số ^{y=f x}

( )

- Ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng y=m xem nó cắt đồ thị ^{y=f x}

( )

^tại

mấy điểm, từ đó biện luận phương trình có 1 nghiệm; 2 nghiệm; ... hoặc vô nghiệm khi nào tùy thuộc vào khoảng giá trị của m.

- Hình bên là đồ thị hàm số y=x³ +3x² −2

Ta biện luận số nghiệm của x³+3x² − =2 m như sau:

+ Phương trình có 1 nghiệm m 2

m 2

 

   − + Phương trình có 2 nghiệm m= 2

+ Phương trình có 3 nghiệm  −  2 m 2

b. Cách 2: Khi bài toán không cho đồ thị

- Với cách này thì ta lập bảng biến thiên của hàm số ^{y=f x}

( )

Sau đó ta biện luận tương tự như cách 1

- Cách này sẽ thuận tiện với những bài toán chưa có sẵn đồ thị 4. Ví dụ

VD1. Cho đồ thị hàm số y= − +x³ 3x 1+ như hình bên.

a. Từ đồ thị hãy chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến b. Biện luận số nghiệm của phương trình x³ −3x+ =m 0

Lời giải:

a. Dựa vào đồ thị ta thấy

- Hàm số nghịch biến trên 2 khoảng

(

^{− −; 1}

)

^và

(

^1;+

)

- Hàm số đồng biến trên trên khoảng

(

^−1;1

)

b. x³−3x+ =  − +m 0 x³ 3x 1 m 1+ = + (1) Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số ^{y=f x}

( )

và đường thẳng y= +m 1

- Đường thẳng y= +m 1 là đường thẳng song song với trục Ox. Tịnh tiến đường thẳng ta được:

y = m

+ phương trình (1) có 1 nghiệm m 1 3 m 2

m 1 1 m 2

+  

 

  +  −    − + phương trình (1) có 2 nghiệm  = m 2

+ phương trình (1) có 3 nghiệm  −  +   −  1 m 1 3 2 m 2

VD2. Tìm m để phương trình x³ +3x² + − =2 m 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.

Lời giải:

3 2 3 2

x +3x + − = 2 m 0 x +3x + =2 m (1)

- Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của y=x³ +3x² +2 và y=m - Xét hàm số y=x³ +3x² +2 ta có: ² x 0

y ' 3x 6x 0

x 2

 =

= + =   = −

Bảng biến thiên:

x − −2 0 +

y ' + 0 − 0 + y

−

6

2

+

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, (1) có 3 nghiệm phân biệt   2 m 6

5. Luyện tập Bài 1.

Cho hàm số y= − +x⁴ 4x² +2 có đồ thị như hình bên.

Biện luận số nghiệm của phương trình x⁴ −4x² + − =m 3 0 theo m Bài 2. Cho hàm số ^{y=f x}

( )

có bảng biến thiên như hình dưới.

x − −2 0 +

y ' + 0 − 0 + y

−

5

5

+

Biện luận số nghiệm của phương trình ^{2f x}

( )

^{− =m 0}

Bài 3.

Cho hàm số ^{y=f x}

( )

liên tục trên



^{−2; 2}



và có đồ thị là hình cong bên.

Số nghiệm của phương trình ^{f x}

( )

⁼¹ trên đoạn



^{−2; 2}



^bằng?

Bài 4. Tìm m để phương trình x²−4x+ =3 m có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 5. Tìm m để bất phương trình x³ −3x² + − 1 m 0 nghiệm đúng với mọi

 

x −1;1 .