Công thức giải bất phương trình mũ chi tiết nhất – Toán 12

Chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Công thức giải bất phương trình mũ chi tiết nhất

1. Bất phương trình mũ cơ bản

- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x b (hoặc a^x b, a^x b, a^x b) với a0, a1.

2. Tập nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản

a. Tập nghiệm của bất phương trình a^x b

(

)

ax b Tập nghiệm

a 1 0 a 1

b0

b0

(

) (

)

b. Tập nghiệm của bất phương trình ^{ax b a}

(

)

ax b Tập nghiệm

a 1 0 a 1

b0

b0



) (



c. Tập nghiệm của bất phương trình ^{ax b a}

(

)

ax b Tập nghiệm

a 1 0 a 1

b0  

b0

(

) (

)

d. Tập nghiệm của bất phương trình ^{ax b a}

(

)

ax b Tập nghiệm

a 1 0 a 1

b0  

b0

(

 

)

3. Một số bất phương trình mũ đơn giản VD1. Giải bất phương trình sau:

a. ²

x 1

x x 1

3 3

−

−  

    b.

2 x x

2 2

5 5

  −  

   

    Lời giải:

a. ^{2 2}

x 1

x x 1 x x x 1 2

3 3 3 x x x 1

3

−

−    −  − +  −  − +

 

x²   −  1 1 x 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm ^{S= −}

(

)

b.

2 x x

2 2

5 5

  −  

   

    . Điều kiện: 2−   x 0 x 2 Bất phương trình  2− x x (vì cơ số ² 1

5  )

₂

0 x 2

0 x 2

1 x 2

x 1

2 x x

x 2

  

   

     

−  

   − Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ^S=

(



VD2. Giải các bất phương trình sau:

a. 4^x −2^x − 2 0 b. 4^{x 1+} +6^x −3.9^x 0 c. 0,4^x −2,5^{x 1+} 1,5

Lời giải:

a. ^{4x −2x −  2 0}

( )

Đặt ^{t=2 , tx}

(

)

t2 − − t 2 0 t 2

t 2

t 1

 

  −   Với t 2 2^x   2 x 1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ^{S= +}



)

b. 4^{x 1+} +6^x −3.9^x 0

x x x

4.4 6 3.9 0

 + − 

x x

4 6

4. 3 0

9 9

   

   +  − 

   

x 2 x

2 2

4. 3 0

3 3

    

     +   −  Đặt ^{t 2 x, t}

(

)

3

=   

  . Bất phương trình trở thành:

2 3

4t t 3 0 1 t

+ −   −   4. Kết hợp với điều kiện ta được:

x

2 3

3 3 2 3 3

0 t t x log

4 4 3 4 4

          

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ₂

3

S log 3; 4

 

= +

 

c.

x x

x x 1 2 5 5 3

0, 4 2,5 1,5 .

5 2 2 2

+    

−     −     Đặt ^{t 2 x, t}

(

)

5 2 t

   

=     =

    .

Bất phương trình trở thành:

(Loại)

5 3 2

t 2t 3t 5 0

2t 2

−   − − 

t 5 5

t

2 2

t 1

 

  

  −

 Với

x x 1

5 2 5 2 2

t x 1

2 5 2 5 5

     −

          −

     

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ^{S= − −}

(

)

VD3. Giải bất phương trình:

1 x

x 4

   +3

  

Lời giải:

Xét hàm số ^{f x}

( )

3

=    − −

Ta có: ^{f ' x}

( )

3 3

=   − 

  . Do đó ^{f x}

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ^{S= − +}



)

VD4. Tìm tập nghiệm của bất phương trình: 5^{x2− +5x 6} 2^{x 3−} Lời giải:

Lôgarit cơ số 5 hai vế ta được: log 5₅ ^{x2− +5x 6} log 2₅ ^{x 3−}

( )

2

x 5x 6 x 3 .log 25

 − +  −

(

)(

) (

)

 − −  −

(

)(

)

 − − − 

TH1.

5 5

x 3 0 x 3

x 3 x 2 log 2 0 x 2 log 2

−  

 

  

 − −    +

 

TH2. ₅

5 5

x 3 0 x 3

x 2 log 2 x 2 log 2 0 x 2 log 2

−  

 

   +

 − −    +

 

(Loại)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S= − +

(

) (

)

4. Luyện tập

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a. 2^{− + +x2 5x 3}8 b.

2 x2 3x

2 1,5

3

  − 

   c. 11 ^{x 6+} 11^x Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a. 2^{2x 1−} +2^{2x 2−} 48 b. 16^x −4^x − 6 0 c.

x x

3 3

3 2

− Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a. 4^x −3.2^x + 2 0 b. 4^x −2.5^2x 10^x c. 5^{x2− +5x 6} 2^{x 3−} Bài 4. Giải các bất phương trình sau

a.

1 x 1

2 x 2

   −

   b. 3^x  −5 2x