Công thức giải phương trình lôgarit chi tiết nhất – Toán 12

Chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Công thức giải phương trình lôgarit

1. Định nghĩa

- Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

- Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log xa =b a

(

0,a 1

)

Theo định nghĩa lôgarit ta có: log x_a =  =b x a^b Minh họa bằng đồ thị

Ta vẽ đồ thị hàm số y=log x_a và đường thẳng y=b trên cùng một hệ trục tọa độ

Dựa vào đồ thị ta thấy: Trong cả hai trường hợp thì đường thẳng y=b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b .

Vậy ta có kết luận sau:

Phương trình log xa =b a

(

0,a 1

)

luôn có nghiệm duy nhất x=a^b b - Chú ý: Khi giải một phương trình lôgarit ta cần tìm điều kiện của x 2. Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản

a. Đưa về cùng cơ số

- Áp dụng một số tính chất của lôgarit:

( )

a a a

log x.y =log x+log y _a x _{a a}

log log x log y

y= −

α

a a

log b =α.log b _a ^c

c

log b log b

log a

= a^α a

( )

log b 1log b α 0

=α 

VD1. Giải các phương trình sau:

a. log x₃ +log x₉ =6

b. log x₂ +log x₄ +log x 11₈ = c. ^{ln 2x}

(

^2−x

)

^{−ln x=ln 3}

Lời giải:

a. log x₃ +log x₉ =6. Điều kiện x 0 Phương trình ₃ 1 ₃

log x log x 6

 +2 =

4

log x3 4 x 3 x 81

 =  =  = (Thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=81

b. log x₂ +log x₄ +log x 11₈ = . Điều kiện x 0 Phương trình log x₂ ¹log x₂ ¹log x₂ 11

2 3

 + + =

2

11log x 11

 6 = log x₂ =  =6 x 2⁶  =x 64 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=64

c. ^{ln 2x}

(

^2−x

)

^{−ln x=ln 3}. Điều kiện 1 x  2 Phương trình

2x2 x

ln ln 3

x

 − =

2

2 2 x 0

2x x

3 2x x 3x 2x 4x 0

x 2 x

 =

 − =  − =  − =   =  =x 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2 b. Đặt ẩn phụ

VD2. Giải các phương trình sau a. 2

2

log x−3log x2 + =2 0

b. 1 3

3 log x +1 log x =2

− +

(L)

c. 1 2log+ x 2₊ 5=log5

(

x+2

)

Lời giải:

a. 2

2

log x−3log x2 + =2 0. Điều kiện x 0 Đặt t=log x₂ . Phương trình trở thành:

2 t 1

t 3t 2 0

t 2

 =

− + =   =

Với t 1= log x 1₂ =  =x 2 Với t = 2 log x₂ =  =2 x 4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=2; x=4

b. 1 3

3 log x +1 log x =2

− + . Điều kiện x0; log x3; log x  −1 Đặt ^{t=log x, t −}



^1;3



. Phương trình trở thành:

2

1 3 10 2t

2 2

3 t 1 t t 2t 3

+ =  − =

− + − + +

2 2

2t 4t 6 10 2t 2t 6t 4 0

 − + + = −  − + − = t 1 t 2

 =

  = Với t= 1 log x =  =1 x 10

Với t = 2 log x=  =2 x 100

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 10= ; x 100= c. 1 2log+ x 2₊ 5=log5

(

x+2

)

. Điều kiện x −2; x −1 Phương trình

( )

5

( )

5

1 2 log x 2

log x 2

 + = +

+

( ) ( )

2

5 5

log x 2 log x 2 2 0

 + − + − =

( )

( )

5 5

1 9

log x 2 1 x 2 x

5 5

log x 2 2 x 2 25 x 23

 

+ = −

  + =  = −

 + =  + =   =

Vậy phương trình có 2 nghiệm x ⁹

= −5; x=23 c. Mũ hóa.

VD3. Giải các phương trình sau:

a. ^{log 5 22}

(

^{− x}

)

^{= −2 x}

b. ^{log 2 93}

(

^{− x}

)

^=x

c. x^{log 9}+9^{log x} =6

Lời giải:

a. ^{log 5 22}

(

^{− x}

)

^{= −2 x}. Điều kiện 5−2^x  0 2^x   5 x log 5₂ Phương trình  −5 2^x =2^{2 x− x} 4_x

5 2 2

 − =

( )

^{2x 2 5.2x 4 0 2x}_x ^{1 x}_x ⁰₂

2 4

 =  =

 − + − =  =   =

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0; x=2 b. ^{log 2 93}

(

^{− x}

)

^=x. Điều kiện x log 2₉

Phương trình  −2 9^x =3^x

( )

^{3x 2 3x 2 0 3x}_x ¹ 3^x 1 x 0

3 2

 − − + =   =  =  =

 = −

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0 c. x^{log 9}+9^{log x} =6. Điều kiện x 0

Theo tính chất của lôgarit a^{log bc} =b^{log ac} x^{log 9} =9^{log x}

Do đó phương trình ^{log x log x} 1

2.9 6 9 3 log x x 10

 =  =  =  =2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x= 10 d. Đánh giá hàm số

VD4. Giải các phương trình sau:

(VN)

a. log x₃ = − +x 11 b. ^{log 12}

(

^{+ x}

)

^{=log x3}

Lời giải:

a. log x₃ = − +x 11. Điều kiện x 0 Xét hàm số ^{f x}

( )

^{=log x}₃ ^{+ −x 11}

Ta có: ^{f ' x}

( )

^{1 1 0 x 0}

x.ln 3

= +    . Do đó ^{f x}

( )

đồng biến Do vậy với ^{0  x 9 f x}

( ) ( )

^{f 9 =0}

Với ^{x 9 f x}

( ) ( )

^{f 9 =0}

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=9 b. ^{log 12}

(

^{+ x}

)

^{=log x3} . Điều kiện: x 0

Đặt ²

( )

³ t ^t

(

t ^t

)

²

x 2 1

1 x 2

log 1 x log x t

x 3 x 3

 + =  = −

 

+ = =  

 =  =

 

Ta được phương trình

(

^{2t −1}

)

^{2 = =3t }_

( )

^{3 t}_^{2 2t − =1}

( )

^{3 t vì}

(

^{2t − 1 0}

)

t t

1 3

1 2 2

 

 −   =  

    . Xét hàm số

( )

t t

3 1

f t 1

2 2

   

=  +  −

    Ta có

( )

t t

3 3 1 1

f ' t .ln .ln 0

2 2 2 2

   

=  +    . Do đó ^{f t}

( )

nghịch biến Mà ^{f 2}

( )

⁼⁰ nên phương trình có nghiệm duy nhất t =2

Với t =  =2 x 9

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=9 3. Luyện tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. log 5x3

(

+3

)

=log 7x3

(

+5

)

b. ^{log x 1}

(

^{− −}

)

^{log 2x 11}

(

⁻

)

^{=log 2}

c. ^{log x}

(

^{2 −6x+7}

)

^{=log x}

(

⁻³

)

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. ^{1log x}

(

^{2 x 5}

)

^{log 5x log 1}

2 + − = + 5x

b. log ₂ x+4log x₄ +log x₈ =13

c. 4

( )( )

4

x 2

log x 2 x 3 log 2

x 3

+ + + − =

 

  +

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a. ^log2

(

^{2x +1 .log}

)

²

(

^{2x 1+ +2}

)

⁼²

b.

3 2

3log x log x 3 3

x ⁻ =100. 10

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a. ₁

3

log x=3x

b. ₄ 4

log x

= x

c. ^x ₁

2

16 =log x