Công thức giải phương trình mũ đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

(1)

Công thức giải phương trình mũ đầy đủ, chi tiết nhất 1. Phương trình mũ cơ bản

- Phương trình mũ cơ bản có dạng: ^a^x ⁼^{b a}

(

^^0,a^¹

)

- Cách giải:

+ Cách 1: Sử dụng định nghĩa lôgarit:

Nếu b0 phương trình vô nghiệm

Nếu b0 phương trình có nghiệm duy nhất x =log b_a + Cách 2: Sử dụng đồ thị hàm số mũ

Giao điểm của đồ thị hàm số y=a^x và đường thẳng y=b là nghiệm của phương trình a^x =b

- Nhìn vào đồ thị ta thấy rõ ràng:

Khi b0 thì 2 đồ thị không cắt nhau tức phương trình vô nghiệm Khi b0 hai đồ thị chỉ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất x =log b_a 2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a. Đưa về cùng cơ số

VD1. Giải các phương trình sau:

a. 2^x² ^{4 x} ¹ 8

− =

b.

x 1

2x 3 2

2,5 5

+

−  

=  

 

(2)

c. 7^{x 1}⁻ =2^x

Lời giải:

a. 2^x² ^4x ¹ 2^x² ^4x 2 ³ x² 4x 3 x² 4x 3 0 ^x ¹ x 3 8

− − −  =

=  =  − = −  − + =   =

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1;x= =3 b.

x 1 2x 3 x 1

2x 3 2 5 5 2

2,5 2x 3 x 1 x

5 2 2 3

+ − − −

− =      =    − = − −  =

      Vậy phương trình đã cho có nghiệm x ²

= 3 c.

x x

x 1 x x

7 2

7 7

7 2 2 7 x log 7

7 2

− =  =     =  =

b. Đặt ẩn phụ

VD2. Giải các phương trình sau:

a. 4^x −3.2^x + =2 0 b. 9^{x 1}⁺ −6.3^{x 1}⁻ − =7 0 c. 4.9^x +12^x −3.16^x =0

Lời giải:

a. ⁴^x ⁻^3.2^x ^{+ = }² ⁰

( )

²^x ²⁻^3.2^x ^{+ =}² ⁰

Đặt ^t⁼^{2 , t}^x

(

^⁰

)

. Phương trình trở thành

2 t 1

t 3t 2 0

t 2

 =

− + =   = Với t= 1 2^x =  =1 x 0 Với t= 2 2^x =  =2 x 1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=0;x 1=

b. 9^{x 1}⁺ −6.3^{x 1}⁻ − =7 0 ^x 3^x

9.9 6. 7 0

 − 3 − =

(3)

( )

^x ² ^x

9. 3 2.3 7 0

 − − =

Đặt ^t⁼^{3 , t}^x

(

^⁰

)

. Phương trình trở thành:

2

t 1

9t 2t 7 0 7 t 1

t 9

 =

− − =   =

 = −



Với t= 1 3^x =  =1 x 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0 c.

x x

x x x 9 12

4.9 12 3.16 0 4. 3 0

16 16

   

+ − =    +  − =

x 2 x

3 3

4. 3 0

4 4

    

     +   − = Đặt ^t ³ ^x^{, t}

(

⁰

)

4

=   

  . Phương trình trở thành:

2

t 1

4t t 3 0 3

t 4

 = + − =  

 = −



 =t 1

Với

3 x

t 1 1 x 0

4

=     =  =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0 c. Lôgarit hóa (lôgarit 2 vế)

VD3. Giải các phương trình sau a. 2 .3^x ^x² =1

b.

x x 2 2 x

8 ⁺ =36.3 ⁻

Lời giải:

(Loại)

(4)

a. Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta được:

(

^x ^x²

)

log2 2 .3 =0log 2₂ ^x +log 3₂ ^x² =0

( )

2

2 2

3

x 0 x x .log 3 0 x 1 x.log 3 0

x log 2

 =

 + =  + =   = −

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0; x= −log 2₃ b. Điều kiện: x −2

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được:

x x 2 2 x

2 2 2

log 8 ⁺ =log 36+log 3 ⁻

( )

2 2

3x 2log 3 2 2 x .log 3 x 2

 = + + −

+

( )

2

3x 2 4 x .log 3 x 2

 = + −

+

( )

2

x 4

4 x .log 3 x 2

 − = −

+

( )

₂

3

x 4

x 4 1 log 3 0

x 2 log 2 x 2

 =

 

 −  + + =  = − − Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=4; x= − −2 log 2₃

d. Đánh giá hàm số

VD4. Giải các phương trình sau a.

1 x 1

2 x 2

  = −

  

b. ⁹^x ⁺^{2 x}

(

⁻^{2 .3}

)

^x ⁺^2x^{− =}⁵ ⁰

Lời giải:

a. Xét hàm số: ^{f x}

( )

¹ ^x ^x ¹

2 2

=    − +

Ta có: ^{f ' x}

( )

¹ ^x^.ln¹ ^{1 0}

2 2

=    −  . Suy ra hàm số nghịch biến Do đó: ^x^{ }¹ ^{f x}

( ) ( )

^^{f 1} ⁼⁰^;^x^{ }¹ ^{f x}

( ) ( )

^^{f 1} ⁼⁰

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1=

(5)

b. ⁹^x ⁺^{2 x}

(

⁻^{2 .3}

)

^x ⁺^2x^{− =}⁵ ⁰ ^

( )

³^x ²⁺^{2 x}

⁽

⁻^{2 .3}

⁾

^x ⁺^2x^{− =}⁵ ⁰

Đặt ^t⁼^{3 , t}^x

(

^⁰

)

. Phương trình trở thành:

( )

t2 +2 x−2 t+2x− =5 0

a 1; b= =2x−4; c=2x 5−  − + =a b c 0 Do đó phương trình có nghiệm ^t ¹

t 5 2x

 = −

 = −

  = −t 5 2x, x ⁵ 2

  

 

 

Với 5

x 2 ta có: 3^x = −5 2x Xét hàm số: ^{f x}

( )

⁼³^x ⁺^2x⁻⁵^.

Ta có: ^{f ' x}

( )

⁼^{3 .ln3 2}^x ^{+ }⁰^{Do vậy}^{f x}

( )

đồng biến.

Do vậy với ^x^{ }¹ ^{f x}

( ) ( )

^^{f 1} ⁼⁰

Với ^{1 x} ⁵ ^{f x}

( ) ( )

^{f 1} ⁰

  2  =

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1= . 3. Luyện tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. 0,5^{2x 3}⁻ =1 b.

1 2x

3 9

  =

   c. 5^x²^{− +}^{3x 2} =25 Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. 3^{2x 1}⁻ +9^x =108 b. 25^x −5^x −56=0

c. 5^2x −7^x +7 .17^x −5 .17^2x =0 Bài 3. Giải các phương trình sau:

a.

x 1

x x

5 .8 500

+

= b.

2x 1 x x 1

5 .2 50

− + = c. x^{2 log x} =10x

(Loại)

(6)

a. 2⁻^x =3x 10+ b. 3^x = −11 x

a. 3.4^x −2.6^x =9^x b. 2^x −3.2⁻^x =2

c. − +8^x 2.4^x +2^x − =2 0