Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác chi tiết nhất | Toán lớp 11

(1)

Công thức gộp nghiệm phương trình lượng giác 1. Lý thuyết

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác:

Cung lượng giác

k2 m ;k

   

được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác (các điểm

cách nhau đúng góc

2 m



)

Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn cung ^.

Bước 2: Xác định m – 1 điểm còn lại cách đều điểm M một góc

2 m



. (Hoặc chia đường tròn thành m phần bằng nhau, bắt đầu chia từ điểm M, ta được m – 1 điểm còn lại).

2. Công thức:

Sau khi biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác

* Ta hợp các nghiệm bằng cách:

- Tìm ra các điểm cách đều nhau. Tìm khoảng cách giữa chúng là



.

- Công thức biểu diễn các điểm đó là ^x^{   }^k



^k^



^với^ là 1 cung bất kì của 1 điểm trong các điểm đó.

* Loại nghiệm:

- Ta bỏ đi những điểm không xác định và tìm công thức biểu diễn các điểm còn lại như phần hợp nghiệm.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hợp các họ nghiệm sau:

a) ^x ^k



^k



x k

2

  

  

   



b)

x 6 k  k 

x 2 k

3

    

 

 

   



c) ^x ^k3



^k



x k2

  

 

    



(2)

a) ^x ^k



^k



x k

2

  

  

   



Bước 1: Biểu diễn ^x^{    }^k ⁰ ^k



^k



trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc  (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M₂ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu điễn

x k  k 

2

    

- Xác định điểm N₁ biểu diễn cung

2



.

- Điểm còn lại cách N₁ một góc  (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N₂ trên hình vẽ.

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc

2



(3)

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là:

x 0 k  k 

2

   

hay

x k  k 

2

  

.

b)

x 6 k  k 

x 2 k

3

    

 

 

   



Bước 1: Biểu diễn

x k  k 

6

    

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung

6



.

x  2     k  k  trên đường tròn lượng giác.

(4)

2 3



.

- Điểm còn lại cách N₁ một góc  (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N₂ trên hình vẽ.

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc

2



và chọn điểm bắt đầu là

6



.

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là:

x k  k 

6 2

 

  

.

c) ^x ^k3



^k



x k2

  

 

    



x k 0 k2  k 

3 6

 

   

trên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

(5)

- Điểm còn lại cách M₁ một góc

3



(hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm M₁) là các điểm M₂; M₃; M₄; M₅; M₆ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu diễn điểm ^x^{  }^k2^{ }



^k



- Xác định điểm N biểu diễn cung .

- Các điểm còn lại cách N đúng

2

(tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn

 

x  k2 k trên đường tròn.

Bước 3: Loại nghiệm

Ta thấy điểm M₄ trùng với N. Nên ta chỉ nhận các điểm M₁; M₂; M₃; M₅; M₆.

(6)

- Điểm M₂; M₅ cách nhau một góc  và chọn điểm bắt đầu là M₂ có góc lượng giác là

3



. Công thức

biểu diễn hai điểm M₂; M₅ là

x k  k 

3

    

.

- Điểm M₃; M₆ cách nhau một góc  và chọn điểm bắt đầu là M₆ có góc lượng giác là

3

 

. Công thức

biểu diễn hai điểm M₃; M₆ là

x k  k 

3

     

.

- Điểm M₁: công thức biểu diễn là ^x^{ }⁰ ^k2^{ }



^k



^.

Vậy các họ nghiệm thu được là

x k ; x 2k ; k  

3

       

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin2x – 2sinx = 0 b) tan3x = tanx

Lời giải a) Ta có: sin2x – 2sinx = 0

2sin x cos x 2sin x 0

  

 

2sin x cos x 1 0

  

sin x 0 cos x 1

 

    x k  k 

x k2

  

     

Ta kết hợp nghiệm:

Bước 1: Biểu diễn ^x^{    }^k ⁰ ^k



^k



(7)

Bước 2: Biểu điễn ^x^^k2^{ }



^k



- Xác định điểm N biểu diễn cung 0.

- Các điểm còn lại cách N đúng

2

(tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn

 

xk2 k trên đường tròn.

Bước 3: Kết hợp nghiệm

Ta thấy hai họ nghiệm lồng nhau. Vậy chỉ cần lấy họ nghiệm ^x^{  }^k



^k



^.

Kết luận: Họ nghiệm của phương trình là

x    k ;k

. b) tan3x = tanx

Điều kiện xác định:

cos3x 0 cos x 0

 

 



3x k

2

x k

2

    

       



 

x k

6 3 k

x k

2

 

  

        



Ta có: tan3x = tanx

3x x k

    2x k

  

 

x k k 2

   

Kết hợp với điều kiện xác định như sau:

x k k2  k 

2 4

 

  

trên đường tròn lượng giác. (Có 4 điểm biểu diễn) - Xác định điểm M₁ biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc

2



(hoặc chia đường tròn thành 4 phần, bắt đầu chia từ điểm M₁) là các điểm M

(8)

x k  k 

6 3

 

  

trên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

6



.

- Điểm còn lại cách N₁ một góc

3



(hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm N₁) là các điểm N₂; N₃; N₄; N₅; N₆ trên hình vẽ.

Bước 3: Biểu điễn

x k  k 

2

    

- Xác định điểm P₁ biểu diễn cung

2



.

- Điểm còn lại cách P₁ một góc  (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm P₂ trên hình vẽ.

(9)

Bước 4: Loại nghiệm

Nghiệm của phương trình là các điểm M. Các điểm không thỏa mãn điều kiện xác định là các điểm N, P.

Theo hình vẽ ta chỉ lấy được nghiệm là biểu diễn bởi điểm M₁ và M₃.

Điểm M₁; M₃ cách nhau một góc  và chọn điểm bắt đầu là M₁ có góc lượng giác là 0. Công thức biểu diễn hai điểm M₁; M₃ là ^x^{  }^k



^k



^hay

x    k ;k

^.

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

x    k ;k

.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Phương trình

sin x 1 cos x  0



có nghiệm là:

A.

k

B.

k2

C.

(2k 1)

2

 

D.

(2k 1)  

Câu 2. Cho phương trình ²

1 cos x

 2

. Các nghiệm của phương trình là:

A.

k

2

   

B.

k

4 2

  

C.

k2

2

   

D.

k2 2

  

Câu 3. Phương trình lượng giác

cos x 3 sin x 2sin x 1 0

 



có nghiệm là:

A. Vô nghiệm B.

7

x k2

6

   

C.

x k 6

   

D.

x k2 6

   

Đáp án: 1 – B, 2 – B, 3 – B