Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất | Toán lớp 11

(1)

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản 1. Lí thuyết

* Công thức nghiệm cơ bản a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: m 1. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

 

x k2

sin x m sin x sin k

x k2

   

            

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

 

x arcsin m k2

sin x m k

x arcsin m k2

  

         

- Các trường hợp đặc biệt:

 

sin x    0 x k k

 

sin x 1 x k2 k 2

      

 

sin x 1 x k2 k

2

        

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: m 1. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

 

x k2

cos x m cos x cos k

x k2

   

            

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

 

x arccos m k2

cos x m k

x arccos m k2

  

         

- Các trường hợp đặc biệt:

 

cos x 0 x k k

2

      

(2)

 

cos x  1 x k2 k

 

cos x     1 x k2 k

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện:

x k  k 

2

    

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

 

tan x m tan xtan      x k k

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

 

tan x  m x arctan m  k k

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: ^x^{  }^k



^k



- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

 

cot x m cot xcot      x k k

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

 

cot x  m x arccot m  k k

* Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

    2  

s u(x) v(x) k

u(x) v( k in u x si

n v k x 2

x)

  

        

 

   

^u

     

cosu x cosv x  x v x k2 k

         

tan u x tan v x u x v x  k k

         

cot u x cot v x u x v x  k k 2. Công thức

Khi đã cho số m, ta có thể tìm các giá trị arcsin m, arccos m, arctan m, arccot m bằng máy tính bỏ túi với các phím sin^-1; cos^-1; tan^-1.

Bước 1. Chỉnh chế độ rad hoặc độ - Muốn tìm số đo radian:

ta ấn qw4 (đối với Casio fx - 570VN) ta ấn qw22 (đối với Casio fx - 580VN X) - Muốn tìm số đo độ:

ta ấn qw3 (đối với Casio fx - 570VN) ta ấn qw21 (đối với Casio fx - 580VN X)

(3)

Bước 2. Tìm số đo góc

Tìm góc  khi biết sin của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt qj m =.

Tương tự đối với cos và tan.

Chú ý: Muốn tìm góc  khi biết cot của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt ql1a m $)=.

Sau đó áp dụng công thức lượng giác để giải phương trình.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a)

2

sin x

 2

b)

1

cos x

3 2

    

 

 

b)

cot 2x  3

Lời giải

a)

2

sin x

 2 sin x sin

4

  

(Bấm máy SHIFT + SIN +

2 2

⁾

 

x k2

4 k

x 3 k2 4

    

   

    



Vậy họ nghiệm của phương trình là:

3

x k2 ; x k2 ;k

4 4

 

      

.

b)

1

cos x

3 2

    

 

 

cos x cos

3 3

 

 

    

 

(Bấm máy SHIFT + COS +

1

2

⁾

x k2

3 3

x k2

3 3

      

  

 

     



 

x 2 k2

3 k x k2

   

  

  



(4)

2

x k2 ; x k2 ;k 3

      

.

c)

cot 2x  3

Điều kiện xác định:

sin 2x  0  2x   k x k  k 

2

   

.

Ta có

cot 2x cot 6

 

(Bấm máy SHIFT + Tan +

1 3

⁾

2x k

6

    

 

x k k

12 2

 

   

(Thỏa mãn điều kiện xác định)

k

x ;k

12 2

 

  

. Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

a)

cos 2x cos x

3 6

 

      

   

   

b)

tan 3x tan x 4

    

 

 

Lời giải a)

cos 2x cos x

3 6

 

      

   

   

2x x k2

3 6

2x x k2

3 6

 

     

  

 

      



x k2

2

3x k2

6

    

  

    



 

x k2

2 k

x k2

18 3

    

   

 

  



k2

x k2 ; x ;k

2 18 3

  

     

. b) Điều kiện xác định:

cos 3x 0

4 cos x 0

  

  

 



3x k

4 2

x k

2

      

       



 

x k

12 3 k

x k

2

 

  

        



(5)

Ta có:

tan 3x tan x 4

    

 

 

3x x k

4

     

2x k

4

     

 

x k k

8 2

 

    

(Thỏa mãn điều kiện xác định)

k

x ;k

8 2

 

   

. 4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Phương trình lượng giác

x

2cos 3 0

2  

có nghiệm là

A.

5

x k2 ;k

6

     

B.

5

x k2 ;k

3

     

C.

5

x k4 ;k

3

     

D.

5

x k4 ;k

6

     

Câu 2. Phương trình

sin x 1 4

    

 

 

có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn



^{ }^;2



^?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 3. Cho phương trình cot 3xcot(x 3). Nghiệm của phương trình là:

A.

3

2    k ;k

B.

3 2 k ;k 2

  

C.

3 2 k ;k

   

D.

3 k ;k

2 2

   

Đáp án: 1 – C, 2 – A, 3 – B