KIẾN THỨC CƠ BẢN I) PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 3

SINH HOẠT CHUYÊN MÔN CỤM THPT THUẬN THÀNH THÁNG 12 NĂM 2019 MÔN TOÁN HỌC - ÔN THI THPT QUỐC GIA

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I) PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1). Phương trình mũ cơ bản:

Là phương trình dạng: a^x = b (*) với a, b cho trước và 0 < a  1 + b  0: (*) VN

+ b > 0: a^x bxlog_ab (0<a1 và b>0) 2) Phương pháp giải phương trình mũ a. Phương pháp đưa về cùng cơ số ^{af x ag x  a1} hoặc

   

0 1



 

 a f x g x

b. Phương pháp dùng ẩn phụ.

Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau:

B1: Đưa pt về dạng ẩn phụ quen thuộc.

B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ.

B3: Giải pt với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện.

B4: Thay giá trị t tìm được vào  giải PT mũ cơ bản B5: Kết luận.

Sau đây là một số dấu hiệu.

Loại 1: Các số hạng trong pt, bpt có thể biểu diễn qua a^{f x( )}  đặt t = a^{f x( )}

Hay gặp một số dạng sau:

+ Dạng 1: A a. ^{2 ( )f x} B a. ^{f x( )}C0 ^ bậc 2 ẩn t.

+ Dạng 2: A a. ^{3 ( )f x} B a. ^{2 ( )f x} C a. ^{f x( )}D0  bậc 3 ẩn t.

Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với a^{f x( )} và b^{f x( )}. Hay gặp một số dạng sau:

+ Dạng 1: A a. ^{2 ( )f x} B a b.( . )^{f x( )}C b. ^{2 ( )f x} 0

 Chia 2 vế cho a^{2 ( )f x}  loại 1(dạng 1)

+ Dạng 2: A a. ^{3 ( )f x} B a b.( ². )^{f x( )}C a b( . )^{2 f x( )}D b. ^{3 ( )f x} 0

 Chia 2 vế cho a^{3 ( )f x } loại 1(dạng 2)

Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho a^{nf x( )} hoặc b^{nf x( )} với n là số tự nhiên lớn nhất có trong pt Sau khi chia ta sẽ đưa được pt về loại 1.

Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo + Dạng 1: A a. ^{f x( )}B b.. ^{f x( )}C0 với a.b = 1

+ Dạng 2: A a. ^{f x( )}B b.. ^{f x( )}C c. ^{f x( )} 0 , với a.b = c²

Với dạng 1 ta đặt ẩn phụ t = a^{f x( )}  b^{f x( )}= 1/t ; còn với dạng 2 ta chia cả 2 vế của pt cho c^{f x( )} để đưa về dạng 1.

Loại 4: Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

● ^{u v uv 1}



^u1



^v1



^{0 với đặt uaf x ,vbg x  u0,v0}

● ^{Au Bv Av Bu }



^{A B u v}



^



^{0 với đặt uaf x ,vbg x  u0,v0}

c. Phương pháp logarit hóa

Đôi khi ta không thể giải một PT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó  PT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa)

Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng a^{f x( )}.b^{g x( )}.c^{h x( )}d ( nói chung là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) 

khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).

Dạng hay gặp

● Phương trình ^{ }

 

0 1, 0

log

  



  

 



f x

a

a b

a b

f x b .

● Phương trình a^{f x }b^{g x log}aa^{f x  log}ab^{g x } f x

 

^g x

 

^.logab hoặc ^logba^{f x  log}bb^{g x  } f x

 

^.logba^g x

 

^.

d.Giải bằng phương pháp đồ thị

o Giải phương trình: ^{ax  f x}

  

^0a1



.

 

^

o Xem phương trình

 

^ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ya^x



⁰a¹



và y f x

 

. Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số ya^x



^0a1



_và ^{y f x}

 

_.

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

e. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Tính chất 1. Nếu hàm số ^{y f x}

 

luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên



^{a b;}



thì số nghiệm của phương trình f x

 

k trên



^{a b;}



không nhiều hơn một và ^{f u}

 

^{ f v}

 

^{uv, u v, }



^{a b;}



^.

Tính chất 2. Nếu hàm số ^{y f x}

 

liên tục và luôn đồng biến ; hàm số ^{yg x}

 

liên tục và luôn nghịch biến trên D thì số nghiệm trên D của phương trình

 

^

 

f x g x không nhiều hơn một.

Tính chất 3. Nếu hàm số ^{y f x}

 

luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên

D thì bất phương trình f u

 

 f v

 

uv ^hoac



uv



^, u v^, D.

Tính chất 4: Cho hàm số ^y ^{f x}

 

có đạo hàm đến cấp k liên tục trên



^{a b;}



. Nếu phương trình ^{f k}

 

^{x 0} có đúng m nghiệm thì phương trình ^fk1

 

^{x 0} có nhiều nhất là m1 nghiệm.

f. Sử dụng đánh giá

Giải phương trình ^{f x}

 

^{g x}

 

_.

Nếu ta đánh giá được

 

 





 



f x m g x m

thì

     

 





  

 



f x m f x g x

g x m

. II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương trình lôgarit cơ bản:

PT logax = b ( a > 0, a1) luôn có nghiệm duy nhất x = a^b với mọi b 2.Cách giải một số phương trình logarit đơn giản :

a. Đưa về cùng cơ số:

( ) 0 log ( ) log ( )

( ) ( )

 

  

 

a a

f x g x f x

f x g x với mọi 0a1 ^{loga f x( )b } f(x) = a^b Lưu ý rằng với các PT logarit ta cần phải đặt điều kiện để các biểu thức log_af(x) có nghĩa là

f(x) > 0.

b. Đặt ẩn phụ

Với các PT mà có thể biểu diễn theo biểu thức logaf(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logaf(x).

Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT đang xét ( chứa căn, có ẩn ở mẫu) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT có nghĩa.

c. Mũ hóa

Đôi khi ta không thể giải một PT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = a^t_ PT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa)

Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau Dạng 1: ^loga f x

 

b

Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:

Từ phương trình

 

 

0 1

log_a a _b

f x b

f x a

 



  

 



. Dạng 2: ^loga f x

 

g x

 

Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:

Từ phương trình

   

 

^{ }

0 1

log_a a _{g x}

f x g x

f x a

 



  

 



. Dạng 3: ^loga f x

 

^logbg x

 

Phương pháp giải: Đặt

     

log log

 

t

a b t

f x a

f x g x t

g x b

 

   

 



. Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình theo ẩn t, giải phương trình này tìm t, từ đó tìm x.

d. Phương pháp đồ thị , hàm số và đánh giá:

Tương tự như phương trình mũ B. BÀI TẬP CÁC DẠNG : I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ:

1) Phương trình cơ bản

Câu 1: Phương trình 8^x 4 có nghiệm là

A. ²

3

x . B. ¹

 2

x . C. ¹

2

x . D. x 2. Lời giải

Chọn A.

Ta có: 8^x 4 xlog 4₈ 3 2 2

log 2 2

x 3

Câu 2:Nghiệm của phương trình 2^x2^x13^x3^x1 là:

A. ₃

2

log 3

 4

x . B. ^x1. C. ^x0. D. ₄

3

log 2

 3

x .

Lời giải

1 1

3 2

3 3 3

2 2 3 3 3.2 4.3 log

2 4 4

   

         

 

x

x x x x x x x

Câu 3: Nghiệm của phương trình 12.3^x3.15^x5^x120 là:

A. xlog 5 1₃  . B. xlog 5₃ . C. xlog 5 1₃  . D.

log 3 15

 

x .

Lời giải

12.3^x3.15^x 5^x120^{3.3 5x}



^x4

 

^{5 5x4}



^{0 }



^{5x4 3}



^x15



^0

3 ^1 5

 ^x  xlog 5 1₃ 

Câu 4:Tập nghiệm của phương trình 2 ^{2 4 1} 16

  

x x

là

A.



^{2; 2 .}



B. . C.



^{2; 4 .}



D.

 

^{0;1 .}

Lời giải Chọn D.

Ta có 2^{x2 x 4} 2^4  x²   x 4 4  x²x0 0 1

 

   x x . Câu 5: Phương trình 3 .5^{x x1}7có nghiệm là

A. log 35.₁₅ B. log 5.₂₁ C. log 35.₂₁ D.

log 21.15

Lời giải Chọn A.

 PT  15^x 35 xlog 35₁₅

Câu 6: Tìm các nghiệm của phương trình 2^x2 8¹⁰⁰.

A. x204. B. x102. C. x302. D.

202



x .

Lời giải Chọn C.

2 100

2^x 8  2^x2 2³⁰⁰ x 2 300  x302

Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình ^{2x }

 

^{3 x.}

A. x1. B. x 1. C. x0. D. x2.

Lời giải Chọn C.

 

2^x  3 ^x 2 3 1

 

  

 

x

x0.

Câu 8: Số nghiệm của phương trình 2^2x27x51 là:

A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

Lời giải Chọn D.

Phương pháp: +Giải phương trình tìm tất cả các nghiệm của phương trình.

+ Áp dụng công thức lũy thừa ta được phương trình tương đương với:

2x27x 5 0.

Cách giải: Phương trình có 2 nghiệm là: x₁1 và ₂ ⁵

 2 x . Câu 9: Cho phương trình: 3^x m1. Chọn phát biểu đúng A. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

B. Phương trình có nghiệm với m 1. C. Phương trình có nghiệm dương nếu m0.

D. Phương trình luôn có nghiệm duy nhất xlog3



m1



. Lời giải

Chọn C.

+ A sai vì với m 2 phương trình đã cho 3^x  1(Vô lý).

+ B sai vì với m 1 phương trình đã cho 3^x 0 (Vô lý).

+ C đúng. Vì với m0 phương trình đã cho xlog3



m1



0 do 3 1 và m 1 1.

+ D sai vì với m 2 thì log3



m1



không tồn tại.

2) Phương pháp quy về cùng cơ số:

Câu 1: Tập nghiệm của phương trình 2^x25x6 1 là

A.

 

^{1; 2 . B.}

 

^{1;6 . C.}



^{ 6; 1 .}



^D.



^{2;3 .}



Lời giải Chọn D.

2 5 6 2 5 6 0 2

2^{x x}  1 2^{x  x} 2 x 5x 6 0x2hoặc x3. Câu 2: Phương trình 2^x29x164có nghiệm là

A. x2, x7. B. x4, x5. C. x1, x8. D. x3,

6

 x .

Lời giải Chọn A

Ta có: 2^{2 9 16} 4 ² 9 16 2 ² 9 14 0 ⁷

2

   

          

 

x x x

x x x x

x . Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình 3^x43x2 81.

A. 0. B. 1. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn A.

Ta có

4 32

3^{x x} 81x⁴3x² 4x⁴3x² 4 0

2

2 2

1 4 2

4

  

     

 

x x x

x

Vậy Tổng các nghiệm của phương trình 3^x43x2 81bằng 0. Câu 4: Tìm nghiệm của phương trình

2 6

3 1

27 3 .

  

  

 

x x

A. x4. B. x2. C. x5. D. x3.

Lời giải Chọn D.

2 6 2

6

3 1 3 1

27 3 3 .27 3

    

    

   

x x

x x

2

2 9 9

3 3 3 3 2 9 3

3

  

         

x

x x x x x x .

Câu 5:Tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng:

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B.

Ta có

2

3 2 1 3 2 2 2 1

5 5 5 3 2 .

5 2



     

         

x

x x x x

x x

x

Vậy tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Câu 6:Cho phương trình: ²

28 4

x 1

23 16

 



x . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên.

C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D. Phương trình vô nghiệm.

Lời giải

 

2 28 4

x 1 2

3 2

2

1 1

1 1 2 3

28 3

2 16 4 4 x 1 7 3 3x 3 3 7

3 7 3 3x 3 7 3

0 3

 

   



    

   

      

          

  

 

      

     



x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

.

Nghiệm của phương trình là : ⁷;3 3

 

  

 

S .

Vì ⁷.3 7 0

3    . Chọn A.

3)Phương pháp đặt ẩn phụ :

2

3 2 1

5 5

x x



  

  

 

0. 5. 2. 3.

Câu 1 : Cho phương trình 4^x2^x1 3 0. Khi đặt t2^x ta được phương trình nào sau đây

A. 2t²3t0 B. 4t 3 0 C. t²  t 3 0 D. ^{t22t 3 0} Lời giải

Chọn D

Phương trình 4^x2.2^x 3 0

Câu 2: Tập nghiệm của phương trình 5^x24x35^x27x6 5^2x23x91 là

A.



^{1; 1;3}



. B.



^{1;1;3; 6}



. C.



^{ 6; 1;1;3}



. D.

 

^1;3 . Lời giải

Chọn C

2 4 3 2 7 6 2 2 3 9

5^{x  x} 5^{x  x} 5^{x x} 1 ² 4 3 ² 7 6  ^{2 4 3}  ^{2 7 6} 5^{x  x} 5^{x  x} 5^{x  x x  x} 1

    .

Đặt

2 2

4 3

7 6

a x x

b x x

   



  



, ta được phương trình:

5^a5^b 5^{a b} 15^a5^b 5 .5^{a b}1^



^{1 5 a}



^{1 5 b}



^{0 5 1}

5 1

a b

 

  

0 0 a b

 

  

Khi đó

2 2

4 3 0

7 6 0

x x

x x

   

   



1 3 1 6 x x x x

 

 



  

  



.

Tập nghiệm của phương trình là



^{ 6; 1;1;3}



.

Câu 3: Phương trình 9^x6^x 2^2x1có bao nhiêu nghiệm âm?

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Lời giải Chọn C

Phương trình  

2

2 1 3 3

9 6 2 9 6 2.4 2

2 2

x x

x x x x x x    

          

    .

Đặt ³ 2

x

  t

  

  với t0, phương trình

 

^ trở thành ² 2 0 ^{1 (L)} 2 t t t

t

  

     

.

Với ₃

2

2 3 2 log 2 0

2

x

t   x

      

  .

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm.

Câu 4:Tổng các nghiệm của phương trình 4^x6.2^x20 bằng

A. 0. B. 1. C. 6. D. 2.

Lời giải Chọn B

   

 

2 2

2

log 3 7

2 3 7

4 6.2 2 0 2 6.2 2 0

2 3 7 log 3 7

x

x x x x

x

x x

  

   

        

  

  

 

. Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là

      

2 2 2 2

log 3 7 log 3 7 log  3 7 3 7 log 2 1

  .

Câu 5: Tổng các nghiệm của phương trình 3^x13^1x 10 là

A. 1. B. 0. C. 1. D. 3.

Lời giải Chọn B .Ta có: 3 ¹ 3¹ 10 3.3 ³ 10

3

x x x

x

 

    

Đặt t 3^x



^t0



, phương trình trở thành: ²

3 3

3 10 3 10 3 0 1

3 t

t t t

t t

 

       

 

. Với t3 ta có 3^x 3 x1.

Với ¹

t3 ta có 3 ¹ 3 3 ¹ 1 3

x x

 x

      .

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: 1 1 0  .

Câu 6 :Gọi x x₁, ₂ là nghiệm của phương trình



^{2 3}

 

^{x 2 3}



^{x 4. Khi}

đó x₁²2x₂² bằng

A. 2. B. 3. C. 5. D. 4.

Lời giải Chọn B

Ta có:



^{2 3}

 

^{x. 2 3}



^{x 1. Đặt t}



^{2 3}



^x,t0



^{2 3}



^{x 1}_t ^.

Phương trình trở thành: t ¹ 4 t² 4t 1 0 t 2 3

 t        . Với ^{t 2 3}



^{2 3}



^{x  2 3x1.}

Với ^{t 2 3}



^{2 3}



^{x  2 3}



^{2 3}

 

^{x  2 3}



^{1x 1.}

Vậy x₁²2x₂²3.

Câu 7: Phương trình 6^2x15.6^x1 1 0 có hai nghiệm ^x1,^x2. Khi đó tổng hai nghiệm ^x1x2 là.

A. 5. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải Chọn D

1

2

2

2 1 1 6 5.6 2 6 2

6 5.6 1 0 1 0 6 5.6 6 0

6 6 6 3

x x x

x x x x

x

   

            

 

.

1 2 1 2

1 2

6 .6^{x x} 3.2 6^xx 6 x x 1

       .

Câu 8: Cho hàm số ^{f x}

 

^{x.5 .x} Tổng các nghiệm của phương trình

 

25^xf ' x x.5 .ln 5 2 0^x   là

A. 2 B. 0 C. 1 D. 1

lời giải:

Chọn B

Ta có ^{f x}

 

^{x.5x f '}

 

^{x 5xx.5 .ln 5x}

Nên ^{25x f'}

 

^{x x.5 .ln 5 2x   0 25x5x 2 0}

Đặt ^t5x



^t0



Ta được phương trình

 

2 1

2 0 5 1 0

2 t x

t t x

t l

 

       

  

Câu 9: Phương trình



^{2 1}

 

^{x  2 1}



^{x2 20} có tích các nghiệm là?

A. 0. B. 2. C. 1. D. 1.

Lời giải Chọn C . Đặt t



2 1 (t > 0)



^x



2 1



^{x 1}

    t

Phương trình đã cho trở thành

1 2 2 0 t t 

2 2 2 1 0

1 2

1 2

t t

t t

   

  

    

Với ^{t 1 2}



^{2 1}



^{x  1 2 x 1}

Với ^{t  1 2}



^{2 1}



^{x   1 2  x1}

Vậy tích 2 nghiệm của phương trình đã cho là 1

Câu 10: Gọi x x₁; ₂là 2 nghiệm của phương trình 4^x2x2^{x2 x 1}3.Tính x₁x₂

A. 3 B. 0 C. 2 D. 1

Lời giải Chọn D

Đặt 2^x2x t t( 0). Phương trình tương đương với

2 1

2 3 0

3 t t t

t

 

      

Vì 0 1 ² 0 ⁰

1

t t x x x

x

 

         ^{1 2} 1 x x

  

Câu 11: Giải phương trình: ^{41x41x 2 2}



^{2x22x}



^8

Lời giải

   

1 1 2 2 1 1 1 1

4^x4^x 2 2 ^x2 ^x  8 4^x4^x 4 2^x2^x 8

Đặt t2^1x 2^1x t²4^1x4^1x8

Phương trình trở thành:

 

1 1 1 1

2

1 1 2

2

1 1

0 2 2 0 2 2 0

4 2 1 2 ( )

log 1 2

4 2 2 4