50 bài tập về Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác (có đáp án 2022) – Toán lớp 11

Các bài toán về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác

1. Lý thuyết

Một số dạng phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác a.sin x2 b.sin x c 0,(a0)

a.cos x2 b.cos x c 0,(a0) a.tan x2 b.tan x c 0,(a0) a.cot x2 b.cot x c 0,(a0) 2. Phương pháp giải:

Phương trình dạng Điều kiện xác định Cách làm Điều kiện ẩn phụ (ẩn t)

f(sinx) Đặt t = sinx   1 t 1

f(cosx) Đặt t = cosx   1 t 1

f(tanx) x k ;k

2

    Đặt t = tanx f(cotx) ^{x  k ;k} Đặt t = cotx 3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a) 2sin²x – 5sinx + 2 = 0 b) 5cos²x – 6cosx + 1 = 0 c) tan²x + 2tanx – 3 = 0

Lời giải a) Đặt t = sinx với 1 t 1   .

Ta được phương trình: 2t² – 5t + 2 = 0 2t2 4t t 2 0

     ^







 

t 1 2 t 2 Loai

 

  

Khi đó 1 sin x

 2 ^{x 6 k2}





x 5 k2

6

   

 

   



Vậy họ nghiệm của phương trình là: 5

x k2 ; x k2 ;k

6 6

 

       . b) Đặt t = cosx với 1 t 1  

Ta được phương trình: 5t² – 6t + 1 = 0 5t2 5t t 1 0

     ^







 



 

(Thỏa mãn)

Khi đó

cos x 1 cos x 1

5

 

 



 

x k2

1 k x arccos k2

5

 



 

    



Vậy họ nghiệm của phương trình là: 1

x k2 ; x arccos k2 ;k

    5   . c) Điều kiện xác định: cos x 0 x k ;k

2

      . Đặt t = tanx. Ta được phương trình: t² + 2t – 3 = 0

t2 3t t 3 0

    



 

   

t 3

t 1

  

  

Khi đó tan x 3 tan x 1

  

  

   

x arctan 3 k k

x k

4

   



    



(Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: ^{x k ; x arctan}

 

4

        . Ví dụ 2: Giải các phương trình:

a) sin²x + 2cosx + 2 = 0

b) cos2x – 4sinx = 3

c) cos2x – 3cosx 4cos² x 0

 2 

Lời giải a) sin²x + 2cosx + 2 = 0

2x 2cosx 2 0 1 cos

    

2x 2cosx 3 0

cos  

 



Đặt t = cosx với 1 t 1  

Ta được phương trình: - t² + 2t + 3 = 0







    

t 1

t 3 (Loai)

  

  

Khi đó ^{cos x}     ^{1 x k2} 





Vậy họ nghiệm của phương trình là: x  k2 ;k  ^. b) cos2x – 4sinx = 3

1 2sin x2 4sin x 3 0

    

2sin x2 4sin x 2 0

    

Đặt t = sinx với   1 t 1

Ta được phương trình: -2t² – 4t – 2 = 0

 

2 t 1 0

   

t 1

   (Thỏa mãn)

Khi đó: ^{sin x 1 x k2}





2

       

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x k2 ;k 2

     .

c) ² x

cos2x – 3cosx 4cos 0

 2 

2 1 cos x

2cos x 1 3cos x 4. 0

2

     

2cos x2 cos x 1 0

   

Đặt t = cosx với 1 t 1  

Ta được phương trình: 2t² – t + 1 = 0 (*)

Ta có: ^{  }

 

Ví dụ 3: Giải các phương trình:

a) tanx + 5cotx = 6

b) 1 ²

3cot x 1 0

sin x  

Lời giải

a) Điều kiện xác định: sin x 0 cos x 0

 

 



x k

x k

2

  

    

x k ;k 2

    ^.

Ta có: tanx + 5cotx = 6 5

tan x 6

tan x

  

Đặt t = tanx. Ta được phương trình: 5

t 6

 t (Điều kiện: t0) t2 5 6t

  

t2 6t 5 0

    t 1

t 5

 

  

Khi đó tan x 1 tan x 5

 

 

 ^x 4 ^k





x arctan 5 k

   

 

   



Vậy họ nghiệm của phương trình là: x k ; x arctan 5 k ;k 4

       .

b) Điều kiện xác định: sin x    0 x k ;k

Vì 1₂ ²

1 cot x

sin x   nên ² 1₂

cot x 1

sin x

 

Thay vào phương trình ta có: 1 1₂

3 1 1 0

sin x sin x

 

    

2

1 1

3 2 0

sin x sin x

   

Đặt 1

tsin x (Vì  1 sin x 1;sin x 0 nên t 1 hoặc t 1)

Ta được phương trình: 3t² + t – 2 = 0

 

t 1

t 2 Loai 3

  



  Khi đó 1

sin x  1sin x 1 ^{x k2}





2

     

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x k2 ;k 2

     .

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos²x + 3sinx – 3 = 0 thỏa mãn điều kiện 0 x

2

   là:

A. x 3

 B. x 2

  C. x 6

 D. 5

x 6

 

Câu 2. Các họ nghiệm của phương trình cos2x – sinx = 0 là:

A. k2 ; k2 ;k

6 2

 

      B. 5

k2 ; k2 ;k

6 2

 

     

C. k2

6 3 ;k

   D. k2

6 3 ;k

 

  

Câu 3. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin²x + 5sinx – 3 = 0 là:

A. x 2

 ^B. 3

x 2

  ^C. 5

x 6

  D. x 6



Câu 4. Nghiệm của phương trình 2cos 2x2cos x 20 là

A. x k2 ;k

4

     B. x k ;k 4

    

C. x k ;k

3

     D. x k ;k 3

    

Câu 5. Trong





A. ; ;2 2

  

 

  ^B.

 

2

  

 

  ^D.

0; ; ;2 2

   

 

 

Câu 6. Có bao nhiêu nghiệm của phương trình cos4x + 3sin2x + 1 = 0 thuộc khoảng





A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 7. Phương trình ² x x

sin 2cos 2 0

3  3   có các nghiệm là:

A. x  k ,k ^B. x  k3 ,k ^C. xk2 ,k  ^D.

xk6 ,k 

Câu 8. Họ nghiệm của phương trình 3cos4x + 2cos2x – 5 = 0 là:

A. k2 ;k  B. k2 ;k 3

   C. k ;k  D.

k2 ;k 3

   

Câu 9. Phương trình tan²x + 5tanx – 6 = 0 có các nghiệm là:

A. x k ; x arctan( 6) k ;k 4

       

B. x k2 ; x arctan( 6) k2 ;k 4

       

C. x k ; x arctan( 6) k2 ;k 4

        

D. x  k ; x arctan( 6)   k ;k

Câu 10. Một họ nghiệm của phương trình 3tan 2x2cot 2x 5 0 là

A. k

4 2 ;k

 

   B. k

4 2 ;k

  

C. 1 2 k

arctan ;k

2 3 2

    D. 1 2 k

arctan ;k

2 3 2

  

Câu 11. Số nghiệm của phương trình 2tanx – 2cotx – 3 = 0 trong khoảng ; 2

 

 

  ^{là :}

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3

Câu 12. Phương trình cos2x + sin²x + 2cosx + 1 = 0 có nghiệm là:

A. ^{x k2}





x k2

3

 

  

   



B. x k ;k

3

    

C. x k2 ;k 3

    D. x  k2 ;k 

Câu 13. Các nghiệm của phương trình 3 tan xcot x 3 1 0  là:

A. ^{x 4 k}





x k

6 2

   

 

  

  



B. ^{x 4 k2}





x k2

6

   

 

 

   



C. ^{x 4 k3}





x k3

6

   

 

 

   



D. ^{x 4 k}





x k

6

   

 

 

   



Câu 14. Số nghiệm của phương trình

sin x2

1 cos x 1

 ^thuộc 2^;0

 

 

  ^là:

A. 2 B. 0 C. 1 D. 3

Câu 15. Họ nghiệm của phương trình cos²x + sinx + 1 = 0 là:

A. x k2 ;k 2

     B. x  k ;k

C. x k2 ;k 2

    D. x k ;k 2

   

Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C C D A C D D C A D D D D B A