[PTMH TOAN 2021] DẠNG-47-ỨNG-DỤNG-PHƯƠNG-PHÁP-HÀM-SỐ-GIẢI-PHƯƠNG-TRÌNH-MŨ-VÀ-LOGARIT-GV.docx

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Định lý: Nếu hàm số ^{y f x}

 

đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên

 

^{a b;} _thì

* ^{u v; }

   

^{a b f u; :  f v}

 

^{ u v}_.

* Phương trình ^{f x}

 

^k



^{k const}



có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng

 

^{a b;} _.

2. Định lý: Nếu hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên

 

^{a b;} _:

* ^{y f x}

 

đồng biến trên

 

^{a b;} _{thì :} ^{u v; }

   

^{a b f u; :  f v}

 

^{ u v}

* ^{y f x}

 

nghịch biến trên

 

^{a b;} _{thì :} ^{u v; }

   

^{a b f u; :  f v}

 

^{ u v}_.

3. Định lý: Nếu hàm số ^{y f x}

 

đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên

 

^{a b;} , đồng thời

 

lim . lim ( ) 0

x a_ f x x b_ f x

  

thì phương trình ^{f x}

 

^{k k const}



^



có duy nhất nghiệm trên

 

^{a b;} _.

4. Tính chất của logarit:

1.1. So sánh hai logarit cũng cơ số:

Cho số dương ^a1 và các số dương ,b c.

 Khi ^a1 thì log_ablog_ac b c.

 Khi ^{0 a 1} thì log_ablog_ac b c.

1.2. Hệ quả:

Cho số dương ^a1 và các số dương ,b c.

 Khi ^a1 thì log_ab  0 b 1.

 Khi ^{0 a 1} thì log_ab  0 b 1.

 log_ablog_ac b c. 2. Logarit của một tích:

Cho 3 số dương a b b, ,^{1 2} với ^a1, ta có

1 2 1 2

log ( . ) log_a b b  _ab log_ab

3. Logarit của một thương:

Cho 3 số dương a b b, ,^{1 2} với ^a1, ta có

1 1 2

2

log_a b log_a log_a

b b

b  

Đặc biệt: với ,a b0, a1 1

log_a log_ab b  

. 4. Logarit của lũy thừa:

Cho ,a b0, a1, với mọi ^, ta có log_ab^ log_ab.

Đặc biệt:

log_a ⁿb 1log_ab

n

(ⁿ nguyên dương).

5. Công thức đổi cơ số:

Cho 3 số dương , ,a b c với a1,c1, ta có log log

log

c a

c

b b

 a

. Đặc biệt:

log 1

a log

c

c a và

log_ab 1log_ab



với

 0. BÀI TẬP MẪU Câu 47. ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 - BDG 2020-2021)

Có bao nhiêu số nguyên ^{a a}



^2



sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn



^alogx2



^{loga  x 2?}

DẠNG TOÁN 47: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

A. 8. B. 9. C. 1. D. Vô số Lời giải

Chọn A

Điều kiện x>0. Đặt y=a^logx+ >2 0 thì y^loga = -x 2Û a^logy+ =2 x. Từ đó ta có hệ

log log

2 2

x y

y a x a ìï = + ïíï = +

ïî .

Do a³ 2 nên hàm số ( )f t = +a^t 2 là đồng biến trên .¡ Giả sử x³ y thì ^{f y( )³ f x( )} sẽ kéo theo y³ x, tức là phải có x=y. Tương tự nếu x£ y.

Vì thế , ta đưa về xét phương trình x=a^logx+2 với x>0 hay ^{x- xloga =2}. Ta phải có x>2 và x>x^loga Û >1 logaÛ a<10.

Ngược lại, với a<10 thì xét hàm số liên tục g x( )= -x x^loga- 2=x^loga(x^{1 log- a}- 1) 2- có lim ( )

x g x

®+¥ =+¥

và ^g(2)<0.

nên ^{g x( )} sẽ có nghiệm trên ^{(2;+¥ ).} Do đó, mọi số ^{aÎ {2,3, ,9}K} đều thỏa mãn Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 3

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số



x y;



thỏa mãn

3 5 3 1

e ^{x y}e^{x y}  1 2x2y, đồng thời thỏa mãn log 33²



x2y 1

 

m6 log



3x m ² 9 0

A. 6. B. 5. C. 8. D. 7.

Lời giải Chọn B

Ta có: e^3x5ye^{x 3y1}  1 2x2y ^{e3x5y}



^3x5y



^{ex 3y1}



^x3y1



_.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ et t} _{trên  . Ta có} ^{f t}

 

^{  et 1 0} nên hàm số đồng biến trên  . Do đó phương trình có dạng: f



3x5y



 f x



3y1



3x5y x 3y12y 1 2x. Thế vào phương trình còn lại ta được: log3²x



m6 log



3x m ² 9 0.

Đặt tlog³x, phương trình có dạng: t²



m6



t m ² 9 0.

Để phương trình có nghiệm thì   0 3m²12m0   0 m 4. Do đó có 5 số nguyên m _{thỏa mãn.}

Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên

 

^{x y;} _{thỏa mãn} 0 y 2020 và

3

2 1

log 1 2 ?

x y x

y

    

 

 

A. 2019_{. B. 11. C.} 2020_{. D. 4 .}

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết ta có:

0

2 1

0 2 1 0

0

 

 

     



 

x x

y y x y

Ta có: PT log 23



^x 1



2^x 1 log3 y y (*) Xét hàm số f t

 

log3t t trên



^0;



Khi đó

 

^{1 1 0}

f t ln 3

 t  

do đó hàm số f t

 

log3t t đồng biến trên



0;



(*) có dạng ^f



^{2x 1}



^{f y}

 

^{ y 2x1}

Vì 0 y 2020 0 2^x 1 2020 1 2^x2021  0 x log 20212

 

   

0 log 20212

0;1;2;3; 4;5;6;7;8;9;10

x x

x

    

 

  . Vậy có 11 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Câu 3. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



thỏa mãn 0 x 2020 và

 

log 5124 x768 2x 1 2y16^y?

A. 2019 B. 0 C. 2020 D. 1 Lời giải

Chọn B Ta có:

 

log 5124 x768 2x 1 2y16^y

 

²

log 256 24 x 3 2x 1 2y 4 ^y

     

   

²

log 24 x 3 2x 3 2y 4 ^y

      .

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t 4t} _{trên  .}

 

' 1 4 ln 4 0,^t

f t     x  . Suy ra hàm số đồng biến trên  .

Khi đó: 4

 

16 3

log 2 3 2 2 3 16

2

y

x  y x  y  x  .

Vì: ^{16 16}

16 3

0 2020 0 2020 3 16 4043 log 3 log 4043

2

y

x  y y

          

. Mà ^{y  } ^y

 

^{1; 2} .

Với ^{1 13}

 

y  x 2 l . Với ^{2 253}

 

y  x 2 l .

Vậy không có cặp số



^{x y;}



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4. Giả sử ^{a b;} là các số thực sao cho: x³y³  a 10^3z  b 10^2z đúng với mọi các số thực dương

; ;

x y z thỏa mãn: ^log



^{x y}



^{z và log}



^x2y2



^{ z 1}. Giá trị của a b là:

A.

31

2 . B.

29

2 . C.

31

 2

. D.

25

 2 . Lời giải

Chọn B

Đặt ^t10z. Khi đó: x³y³ a t.³b t. ².

Ta có:

 

 

2

2 2 2 2

log 10 10.

2

log 1 10.10 10

z z

x y z x y t t t

x y z x y t xy

       

   

       

 .

Khi đó: 3 3

 

³

 

3 3



² 10



1 3 2

3 15

2 2

t t t

x y x y xy x y t  t t

         

. Suy ra:

1 a 2

và b15. Vậy

29 a b  2

.

Câu 5. Cho hai số thực dương ^x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức



^{xy1 .2}



^2xy1



^x2y



^.2x2y. _Tìm

giá trị nhỏ nhất y^min của y.

A. y^min 3. B. y^min 2. C. y^min 1. D. y^min  3. Lời giải

Chọn B

Ta có



^{xy1 2}



^2xy1



^x2y



^{2x2y }



^{2xy 1 1 2}



^2xy1



^x2y



^{2x2 y 1}

 

¹

Xét hàm ^{f t}

  

^{ t 1 .2}



^t _{với t1.}

Khi đó f t

 

  ^2t



t 1 .2 .ln 2 0



^t 

với ^{ t 1}. Từ

 

^{1 2xy 1 x2 y 1 y} ₂^x2_x^_²₁

 

2 2

2 2 4

2 1 0

x x

y x

 

  

 2x²2x 4 0

2 1 x x

 

    Loại ^{x 1} vì điều kiện của t nên ^f

 

^{2 2}_.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy GTNN của y bằng 2 khi x2.

Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực ^y thỏa mãn log3

(

x+ =y

)

log4

(

x²+y²

)

A. 3 . B. 2. C. 1. D. Vô số.

Lời giải Chọn B

Đặt log3

(

x+ =y

)

log4

(

x²+y²

)

=t

. Điều kiện:^{x+ >y 0}.

Suy ra ^{2 2}

( )

²

3 3

3 9 4

4 2 4

2

t t t

t t

t t

x y x y

x y

x y x y xy xy

ìï + =

ì ìï + = ï

ï + = ï ï

ï Û ï Û ï

í í í -

ï + = ï + - = ï =

ï ï ï

î ïî ïïî nên ^S=3t và

9 4

2

t t

P -

= .

Để tồn tại ^{x y,} thì ^{S2 ³ 4PÛ}

(

^x+y

)

^{2³ 4xy} _nên ^{9 4 9} 2^{4 9 2.4 9}4 ²

t t t

t ³ æççççè - ö÷÷÷÷øÛ t£ t Û æöçççè ø÷÷÷£ .

Khi đó ⁹⁴ log 2 t£

.

Ta có: 4

(

^{2 2}

)

9 ^{2 2 log 294} 4

log x +y = £t log 2Û x +y £ 4 » 3, 27 . Mặt khác x là số nguyên nên ^{x=- 1;x=0,x=1}.

Thử lại:

Với x 1 ta có

2 2

2

3 1 0

2 5

1 4 1

t t

y t

x y y y

    

    

     

 

 . Suy ra loại x 1.

Với x0 ta có ²

3 0

4 1

t t

y t

y y

   

 

   

 

 . Suy ra nhận x0.

Với x1 ta có ²

3 1 0

4 1 0

t t

y t

y y

    

 

    

 

 . Suy ra nhậnx1.

Vậy có hai giá trị nguyên của x thỏa yêu cầu bài toán là x0 và x1. Câu 7. Cho a_, b là hai số thực dương thỏa mãn ⁵

4 2 5

log a b 3 4

a b a b

 

    

  

  . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức ^{T a2b2}. A.

1

2. B. 1_{. C.}

3

2. D.

5 2. Lời giải

Chọn D

   

5 5 5

4 2 5

log a b 3 4 log 4 2 5 log 3 4

a b a b a b a b

a b

 

            

  

 

       

5 5

log 4a 2b 5 4a 2b 5 log 5 a b 5 a b

           (*).

Xét hàm f x

 

log5x x x , 0.

Đạo hàm

 

^{1 1 0, 0}

.ln 5

f x x

  x    

. Suy ra hàm số f x

 

đồng biến trên



0;



. Phương trình (*) viết lại:



^{4 2 5}

 

⁵

  

^{4 2 5 5}

 

^{3 5}

f a b  f a b  a b  a b  a b . Mặt khác: ^{52 }



^a3b



^{2 }



^{123 .2}

 

^a2b2



^{ T a2b2  5}₂

. Dấu " " _{xảy ra} 1 3

a b

   1 3

2; 2 a b

.

Câu 8. Xét các số thực dương x, ^y thỏa mãn

    

  

 

ln 1 2x 3 1

x y x y . Tìm giá trị nhỏ nhất P^min của

 1 1 P x xy .

A. P_min 8. B. P_min 4. C. P_min 2. D. P_min 16. Lời giải

Chọn A

Điều kiện ^{ } 0 1

x 2 .

Từ giả thiết

    

  

 

ln 1 2x 3 1

x y x y ^{ln 1 2}



^{ x}

 

^{ 1 2x}



^ln



^{x y}

 

^{ x y}

  

¹

Xét hàm số ^{f tt}

 

^{ln t} _trên



^0;



_có ^{f t}

 

^{  1 1 0}

t ,^{ t 0} do đó hàm ^{f t}

 

_{đồng biến}

trên khoảng



^0;



_.

Vậy

 

1 ^{ }1 2x^{  }x y 3x y^{ }1

 

2

Có

     

 

1 1 1 2 1 2

P 1 2

x xy x x y x x

Đặt

 

^{ 1} _²

g x 1 2

x x, ta có

     

     

 

2 2 2 2

1 4 4 1

1 2 . 1 2

g x x

x x x x

suy ra ^

 

^{  0 1}

g x x 4 Ta có bảng biến thiên:

.

Do đó

 

 

 

  1 

0;2

ming x 8

. Vậy P_min 8.

Câu 9. Cho hai số thực ^{a b;} thỏa mãn: ^log_a²_b²



^{a b}



^1 _{và a}²_b² _1. Giá trị lớn nhất của biểu thức

2 4 3

P a b là :

A. 10 B.

10

2 C.

1

10 D. 2 10 Lời giải

Chọn B

Điều kiện: ^{a b 0}

Do ^{a2 b2 1} nên ^log_a²_b²



^{a b}



^1_.

2 2 0 a a b b

     .

2 2

1 1 1

2 2 2

a b

   

       .

Ta có:

1 1

2 4 3 2 4

2 2

P a b  a  b .

 

^{2 2}

2 2 2 1 1

2 4 10

2 2

P a  b  

         

   

 

  .

Suy ra:  10 P 10.

Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên của ^m để phương trình log 22



x m



2log2 x x ²4x2m1 có hai nghiệm thực phân biệt ?

A. 2 . B. ³. C. 1. D. 4

Lời giải Chọn C

Điều kiện 0

2

 

  



x x m

 

²

2 2

log 2x m 2 log x x 4x2m1

 

²

 

2 2

log 2x m 2log x x 2 2x m 1

      

   

^{2 2}

2 2

log 2x m 2 2x m 1 log x x

      

   

^{2 2}

2 2

log 2 2 2 2 log

 x m  x m  x x

(1) Xét f u

 

log2u u u ,



0



 

¹

' 1 0

 ln 2 

f u u , do đó hàm số đồng biến trên ^(0;).

Khi đó (1) ^{ f}



^{2 2}



^{x m}

 

^{ f x}

 

^{2 2 2}



^{x m}



^{x2 x24x2m}

Xét hàm số ^{g x}

 

^{x24 ,x x}



^0



Phương trình có 2 nghiệm dương khi ^{ 4 2m    0 2 m 0} suy ra có 1 giá trị nguyên.

 Mức độ 4

Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực ythỏa mãn 2^2x2y2 3^{x y} ?

A. 1. B. 2 . C. 0 . D. Vô số.

Lời giải

Chọn B

Đặt2^2x2y2 3^{x y} t, suy ra

2 2

2 3

2 log

log

x y t

x y t

  

  

 .

Ta có

 

^{2 1 . 2 1. 2 1}₂ ^{1 2}



^{2 2}



x y  2 x y    x y nên suy ra:

2

3 2 2 3

3 3

log log log 3.log

2 2

t t t ₃ 3 ₂

log log 3 2,37

 t2  . Do đó 2x²y² log²tlog 3.log^{2 3}t3,7.

Mà x nên x 



1;0;1



.

+ Với x0, ta có

2

2 2 3

3

log log 3.log log

y t t

y t

  



  , suy ra

2

2

2

.log 3 0

log 3 y y y

y

 

    . + với x1, ta có

2

2 2 3

3

2 log log 3.log

1 log

y t t

y t

   



   , suy ra

 

2

2y log 3. 12 y  y²log 3.₂ y 2 log 3 0₂  phương trình có nghiệm.

+ Với x 1, ta có

2

2 2 3

3

2 log log 3.log

1 log

y t t

y t

   



  

 , suy ra

 

2

2y log 3. 12  y  y²log 3.₂ y 2 log 3 0₂  phương trình vô nghiệm.

Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn ^log3



^x2y



^log2



^x2y2



_?

A. 3. B. 2. C. 1. D. vô số.

Lời giải Chọn B

Đặt

  

^{2 2}



3 2 2 2

2 3

log 2 log

2

t t

x y

x y x y t

x y

  

     

 

 (*)

Ta có



^x2y

 

^{2  1 4}

 

^{x2 y2}

 

^{5 x2y2}



_nên: ^{9 5.2 9}2 ^{5 log 59}₂

t

t  t       t .

Suy ra

9 2

log 5

2 2 2^t 2 2.1

x y    . Vì y nên ^{y }



^1;0;1



_.

+Với y 1, hệ (*) trở thành

 

²

2 2

2 3 3 2

3 2 2 1 9 4.3 5 2 0

1 2 2 1

     

          

 

   

 

 

t t

t t t t t

t t

x x

x x (**)

Nếu t0 thì 2^t   1 9^t 4.3^t  5 2^t 0. Nếu t     0 9^t 2^t 0 9^t 2.3^t   2^t 2 0. Vậy (**) vô nghiệm.

- Với y0 thì hệ (*) trở thành ²

3 9

9 2 1 0 1

2 2

t t

t t

t

x t x

x

          

    

 .

- Với y1 thì hệ (*) trở thành

 

²

 

2

2 3 3 2 2 1 ***

1 2

  

    

  



t

t t

t

x

x .

Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm t  1 x 1. Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn là y0, y1.

Câu 3. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y,}



_{thỏa mãn} ^log _{3 2 2}



³

 

³



^.

2

x y x x y y xy

x y xy

     

  

A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.

Lời giải Chọn D

Điều kiện ^{2 2}

0 0.

2

x y x y

x y xy

    

  

   

2 2

log 3 3 3

2

x y x x y y xy

x y xy

     

  

  

^{2 2}



^{2 2}

3 3

2log x y 2log x y xy 2 x y xy 3x 3y

          

  

^{2 2}



^{2 2}

3 3

2log x y 2 2log x y xy 2 x y xy 2 3x 3y

            

    

^{2 2}



^{2 2}

3 3

2log 3x 3y 3x 3y 2log x y xy 2 x y xy 2

           

Xét hàm đặc trưng f t

 

2log3t t t , 



0;



,

ta có

 

^{2 1 0,}



^0;



^.

.ln 3

f t t

 t     

Suy ra hàm ^{f t}

 

đồng biến trên khoảng



^0;



_.

Phương trình ^{ f}



^3x3y



^{ f x}



^{2y2xy2}



^{x2y2xy 2 3x3y}

 

2 3 2 3 2 0

x  y x y  y  .

Điều kiện của y để phương trình có nghiệm là



^y3



^24



^y23y2



^0

2 3 2 3 3 2 3

3 6 1 0

3 3

 

  y  y    y

. Do y nên ^y



^{0 ;1; 2}



_.

+ Với y0, ta được

2 1

3 2 0

2 x x x

x

 

      .

+ Với y1, ta được

2 0

2 0

2

 

     x x x

x .

+ Với y2, ta được

2 0

0 1

x x x

x

 

     . Vậy có 6 cặp số thỏa mãn đề bài.

Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số mđể tồn tại các số thực ,x y thỏa mãn đồng thời e^{3x 5y 10}e^{x 3y 9}  1 2x2y và log 35²



x2y4

 

 m6 log



5



x 5



m² 9 0.

A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 6 .

Lời giải Chọn C

Ta có

   

3^x 5^y 10 ^x 3^y 9 1 2 2 3^x 5^y 10 ^x 3^y 9 3 9 3 5 10

e ^{ } e ^{ }   x ye ^{ } e ^{ }  x y  x y

     

3^x 5^y 10 3 5 10 ^x 3^y 9 3 9 1

e ^{ } x y e ^{ } x y

        .

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ et t}liên tục trên  , có ^{f t}

 

^{    et 1 0, t}  nên hàm số ^{f t}

 

^{ et t}

đồng biến trên



^{ ;}



_{. Do đó}

 

^{1 3x5y10 x 3y 9 2x2y1}

Khi đó phương trình

     

2 2

5 5

log 3x2y4  m6 log x 5 m  9 0

     

2 2

5 5

log x 5 m 6 log x 5 m 9 0

        .

Đặt tlog5



x5 ,



t , ta được

   

2 6 2 9 0 2

t  m t m   .

 

² _{có nghiệm} ^{  }



^m6



^24



^m29



^{ 3m212m   0 0 m 4}_.

Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn là 4 giá trị.

Câu 5. Cho 0 x 2020 và log (2² x  2) x 3y8^y.Có bao nhiêu cặp số ^{( ; )x y} nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

A. 2019. B. 2018. C. 1. D. 4.

Lời giải Chọn D

Do 0 x 2020 nên log (2² x2) luôn có nghĩa.

Ta có log (2² x  2) x 3y8^y

3

log (2 1) 1 3 2

 x   x y ^y

log (2 1) 3

log (2 x 1) 2 ^x 3y 2 ^y

     ₍₁₎

Xét hàm số ( )f t  t 2^t.

Tập xác định ^D và ( ) 1 2 ln 2f t   ^t  ^{f t( ) 0}  t  .

Suy ra hàm số ^{f t( )} đồng biến trên  . Do đó (1)log (² x 1) 3y _{  x 1 8}^y log (8 1)

y x

   .

Ta có 0 x 2020 nên 1  x 1 2021 suy ra 0 log ( ⁸ x 1) log 2021⁸ . Lại có log 2021 3,66⁸  nên nếu ^y thì ^y



^{0;1; 2;3}



_.

Vậy có 4 cặp số ^{( ; )x y} nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp ^(0;0), ^(7;1),^(63;2),^(511;3). Câu 6. Cho hai số thực ,x y không âm thỏa mãn

2

2

2 1

2 1 log

1 x x y y

x

    

 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P e ^{2 1x} 4x²2y1 là

A.

1

2

. B. 1. C.

1

2 . D. 1.

Lời giải Chọn A

2

2

2 1

2 1 log

1 x x y y

x

    

 ^2



^x1



^{2log 22}

 

^x1



²



^{log 22}



^{y 1}

 

^2y1



_.

Xét hàm số f t

 

 t log2t ,



t 0



; ^{f t}

 

^{ 1} _{t.ln 2}^{1   0, t 0}

Suy ra ²



^x1



^{2 2y1 2y2}



^x1



^21_.

2 1^x 4 2 2 1

P e ^  x  y ^{e2 1x 4x22}



^x1



^{2 1 1 e2 1x 2x24x g x}

 

_.

 

^{2 2 1x 4 4}

g x  e ^  x

là hàm số đồng biến trên nửa khoảng



^0;



_nên ^{g x}

 

^0 có tối đa ¹ nghiệm, nhẩm được nghiệm

1 x2

nên nghiệm đó là duy nhất.

Vậy min 1

P 2 tại

1 x 2

.

Câu 7. Có tất cả bao giá trị nguyên của tham số a _thuộc



^{1999; 2050}



_để

2017

2017 2017

1 1

2 2

2 2

a a

a

     

   

    .

A. 29 B. 33 . C. 34 D. 32 Lời giải

Chọn B

Ta có:

2017

2017 2017

1 1

2 2

2 2

a a

a

     

   

   

  

^{2017 2017}



2017 ln 2^a 2^a aln 2 2^

   

  

^{2017 2017}



ln 2 2 ln 2 2

2017

a a

a

 

 

 

; vì a



1999;2050



. Xét hàm số

 

^{ln 2}



^{x 2 x}



f x x

 

 . Tập xác định D \ 0

 

.

       

 

2

2 2 ln 2 2 2 ln 2 2

2 2

  



   

 



x x x x x x

x x

f x x

x .

Vì : ^{xln 2 ln 2 x ln 2}



^x2x



_{và 0 2} ^x_2^x _2^x_2^x _{( Do x}



^{1999; 2050}



₎

Suy ra ^{f x'}

 

^{ 0 f x}

 

nghịch biến . Do đó:

  

^{2017 2017}



ln 2 2 ln 2 2

2017

a a

a

 

 

 .

2017

 a .

Vậy có: 33 giá trị của a

Câu 8. Cho phương trình 2^x m log2



x m



với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của



^18;18



m 

để phương trình đã cho có hai nghiệm ?

A. 20_{. B.} 17. C. ⁹. D. 21.

Lời giải Chọn B

Điều kiện x m

PT2^x   x x m log2



x m



2^x x 2^{log (5 x m )} log (2 x m ) (1)

Xét hàm số ^{f t}

 

^{   2t t t,} _{ ; Ta có:} f t

 

2 ln 2 1 0,^t     t  _{Hàm số} ^{f t}

 

_đồng

biến trên  .

Từ (1) suy ra f x

 

 f



log (2 x m )



 x log (2 x m ) _{  x m 2}^x _{m x 2}^x Xét hàm số ^{g x}

 

^{ x 2x} _trên



^m;



_{. Ta có:} ^{g x'}

 

^{ 1 2 ln 2x} _;

 

2



2



' 0 2 ln 2 1^x log log

g x     x e g



log log2



2e

 

log log2



2e



log2e

 

lim 2 ; lim ( )^m

x m_g x m x g x

     

Bảng biến thiên:

Do đó. Phương trình đã cho có 2 nghiệm

   

2 2 2 2 2 2

2 log log log log log log 0,91

 ^m        

m m e e m e e

Vì



^18;18



 

  



m 

m nên m 



17; 16; 15;....; 1  



Vậy có 17 giá trị của m .

Câu 9. Cho các số dương ,x y thỏa mãn ⁵

log 1 3 2 4

2 3

     

  

 

x y x y

x y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 2 4 9

   

A x y

x y bằng

A.

31 6.

4 B. 11 3. C.

27 2.

2 D. ^19.

Lời giải Chọn D

ĐK:

1 0

2 3 1

, 0

   

    

 

 x y

x y x y

x y .Ta có:

 

     

       

5

5 5

5 5

log 1 3 2 4

2 3

log 1 1 5 1 log 2 3 2 3

log 5 1 5 1 log 2 3 2 3 *

   

  

  

 

          

 

          

x y x y

x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

Xét hàm số f t( ) log 5

 

t t trên



^{0; }



_{, vì} ^{( ) 1 1 0,}



^0;



f t ln 5 t

 t      

nên hàm số ( )

f t đồng biến trên



^{0; }



^.

 

^{* 5}



^{x y  1}



^{2x3y3x2y5}

Mặt khác, ta có

 

4 9 4 9

6 2 9 4 3 2 2.6 2.6 5 19

A x y x y x y

x y x y

 

 

               .

Dấu “ = ” xảy ra 9 4

2

9 3

4 3

3 2 5 2 x x

x y y

x y y

 

 

  

 

  

  

   

 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy GTNN của ^A là 19.

Câu 10. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^{2019; 2019}



để sao cho phương trình

2 1 2 1

2019 0

1 2

  

  

 

x x mx m

x x có đúng 3 nghiệm thực phân biệt ?

A. ⁴⁰³⁸. B. ²⁰¹⁹. C. ²⁰¹⁷. D. ⁴⁰³⁹.

Lời giải Chọn C

TXĐ: D^ ^\



^{1; 2 .}



Ta có

2 1 2 1

2019 0

1 2

2 1 ( 2) 1

2019 0

1 2

2 1 1

2019 . (*)

1 2

  

  

 

  

   

 

     

 

x

x

x

x mx m

x x

x m x

x x

x m

x x

Đặt

2 1 1

( ) 2019 .

1 2

   

 

x x

f x x x Khi đó

2 2

3 1

'( ) 2019 ln 2019 0 .

( 1) ( 2)

     

 

f x x x D

x x

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có 3 nghiệm thực phân biệt thì

2 2.

    m m

Mà ^{m }



^{2019; 2019}



_{và m nên có 2017 giá trị m thỏa mãn.}

Câu 11. Cho phương trình ^{3 3x}



^{2x 1}

 

^{3x m 2}



^{3x  m 3 2 3x m 3}_{, với m} là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực?

A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn A



²

  

3 3^{x x} 1 3^x m 2 3^x  m 3 2 3^x m 3



²

  

3 3^{x x} 1 3^x m 2 3^x m 3 2 3^x m 3

         

 

33^x 3^x 3^x m 3 3^x m 3 3^x m 3

         

 

³

33^x 3^x 3^x m 3 3^x m 3

       

.

Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^{ t3 t} _có ^{f t}

 

^{3t2 1 0,  t}  .

Vậy ^{33x3x}



^{3x m 3}



^{3 3x  m 3 f}

 

^{3x  f}



^{3x m 3}



3^x 3^x m 3 32^x 3^x 3 m

        . (*)

Đặt ^u3x, với điều kiện u0 và đặt ^{g u}

 

^{u2 u 3}

Phương trình (*) ^{g u}

 

^m_.

 

^{2 1}

g u  u ,

 

^{0 1}

g u   u 2

ta có bảng biến thiên của ^{g u}

 

_:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi

13 m  4

. Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực là: -3; -2; -1.

Câu 12. Cho phương trình ^{3 3x}



^{2x 1}

 

^{3x m 2}



^{3x  m 3 2 3x m 3}_{, với m} là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm thực?

A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn A



²

  

3 3^{x x} 1 3^x m 2 3^x  m 3 2 3^x m 3



²

  

3 3^{x x} 1 3^x m 2 3^x m 3 2 3^x m 3

         

 

33^x 3^x 3^x m 3 3^x m 3 3^x m 3

         

 

³

33^x 3^x 3^x m 3 3^x m 3

       

.

Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^{ t3 t} _có ^{f t}

 

^{3t2 1 0,  t}  .

Vậy ^{33x3x}



^{3x m 3}



^3