Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất 1. Lý thuyết

- Định nghĩa: Cho hàm số ^{y=f x}

( )

xác định và liên tục trên khoảng

( )

^{a;b (có thể}

a là −; b là +) và điểm x0

( )

a;b

a. Nếu tồn tại số h0 sao cho f x

( ) ( )

f x0  x

(

x0 −h; x0 +h

)

và x  x₀ thì ta nói hàm số ^{f x}

( )

đạt cực đại tại x₀.

b. Nếu tồn tại số h0 sao cho f x

( ) ( )

f x0  x

(

x0 −h; x0 +h

)

và x  x₀ thì ta nói hàm số ^{f x}

( )

đạt cực tiểu tại x₀.

Chú ý:

1. Nếu hàm số f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; ^{f x}

( )

₀ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số. Kí hiệu là fCĐ

( )

fCT , còn điểm M x ;f x

(

0

( )

0

)

được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số ^{y=f x}

( )

có đạo hàm trên khoảng

( )

^a;b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f ' x

( )

0 =0.

Thật vậy giả sử ^{f x}

( )

đạt cực đại tại x₀. Khi đó theo định nghĩa ta có:

(

0

) ( )

0 x 0

f x x f x

lim 0

 → x

+  −

 = + TH1:  x 0^{f ' x}

( )

^{0+ =0}

+ TH2: ^{  x 0 f ' x}

( )

^{0− =0}

Mà ^{f x}

( )

có đạo hàm nên suy ra ^{f ' x}

( )

⁼⁰.

2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị a. Điều kiện cần

- f (x) đạt cực trị tại x₀, có đạo hàm tại x₀ thì f ' x

( )

0 =0. b. Điều kiện đủ

- Định lí 1: Giả sử hàm số ^{y=f x}

( )

liên tục trên khoảng K=

(

x0 −h; x0 +h

)

và có đạo hàm trên K hoặc trên K\

 

x0 với h0

+ Nếu ^{f ' x}

( )

^0 trên khoảng

(

x0 −h; x0

)

và ^{f ' x}

( )

^0 trên khoảng

(

x ; x0 0 +h

)

thì x0 là một điểm cực đại của hàm số ^{f x}

( )

^.

+ Nếu ^{f ' x}

( )

^0 trên khoảng

(

x0 −h; x0

)

và ^{f ' x}

( )

^0 trên khoảng

(

x ; x0 0 +h

)

thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số ^{f x}

( )

^.

- Nói một cách dễ hiểu thì: Đi từ trái qua phải:

+ Nếu ^{f ' x}

( )

đổi dấu từ + sang − khi đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại + Nếu ^{f ' x}

( )

đổi dấu từ − sang + khi đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu.

- Tóm lại muốn hàm số có cực trị tại x₀thì f ' x phải đổi dấu khi qua

( )

x₀ - Định lí 2: Giả sử hàm số ^{y=f x}

( )

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng

(

x0 −h; x0 +h

)

, với h0. Khi đó:

+) Nếu

( ) ( )

0

0

f ' x 0 f '' x 0

 =



  thì x₀ là điểm cực đại;

+) Nếu

( ) ( )

0

0

f ' x 0 f '' x 0

 =



  thì x₀ là điểm cực tiểu.

3. Quy tắc tìm cực trị

a. Quy tắc 1. (Dựa vào định lí 1) +B1: Tìm tập xác định

+B2: Tính ^{f ' x}

( )

. Tìm các điểm tại đó ^{f ' x}

( )

^{=0 hoặc f ' x}

( )

không xác định.

+B3: Lập bảng xét dấu ^{f ' x}

( )

+B4: Từ bảng xét dấu suy ra các điểm cực trị.

b. Quy tắc 2 (Dựa vào định lí 2) +B1: Tìm tập xác định

+B2: Tính ^{f ' x}

( )

và giải phương trình ^{f ' x}

( )

⁼⁰ được nghiệm x_i

+B3: Tính ^{f '' x}

( )

^và f '' x

( )

i suy ra tính chất cực trị của các điểm x_i rồi kết luận.

- Chú ý: Nếu f '' x

( )

i =0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị.

- Lưu ý: Hàm trùng phương y=ax⁴ +bx² +c +) Có 1 cực trị khi a.b0

+) Có 3 cực trị khi a.b0 4. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số a) y=x³ −3x² −9x+2

b) y=x⁴ −2x² +2

Lời giải a) TXĐ: D=

Ta có: y =3x² −6x−9

2 x 3

y ' 0 3x 6x 9 0

x 1

 =

=  − − =   = −

Bảng biến thiên (xét dấu^y):

x − -1 3 +

y + 0 − 0 +

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm x= −1 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3

b) TXĐ: D=

Ta có: y =4x³ −4x; y '' 12x= ² −4

x 0

y ' 0

x 1

 =

=   = 

Ta có: ^{y '' 0}

( )

^{= − 4 0  =x 0} là điểm cực đại

( ) ( )

y '' 1 =y '' − = 1 8 0 =x 1 và _x= −₁ là hai điểm cực tiểu của hàm số.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số

a) y=x³ −2mx² +m x 1² − đạt cực đại tại _{x 1}= . b)

x2 mx 2

y x 1

− +

= − đạt cực tiểu tại _x=₂. Lời giải

a) TXĐ: D= . Ta có: y =3x² −4mx+m²; y''=6x−4m

Hàm số đạt cực đại tại

( ) ( )

y' 1 0 m2 4m 3 0

x 1 y'' 1 0 6 4m 0

=

  − + =

=  

− 

  



m 1 m 3

m 3 m 3

2

 =

 =

  =

 

Vậy m=3.

b. TXĐ: ^{D= \}

 

^{1 . Ta có:}

( ) ( )

2

2 2

x 2x m 2 m 3

y ' 1

x 1 x 1

− + − −

= = +

− −

( )

( )

³

2 m 3 y ''

x 1

 = − −

− Hàm số đạt cực tiểu tại

( )

( ) ( )

y' 2 0 m 2 0

x 2 m 2

2 m 3 0

y'' 2 0

=

  − =

=   − −   =

Vậy _m=₂.

- Lưu ý: Trong một vài bài toán tính đạo hàm cấp 2 phức tạp ta có thể thay giá trị của m tìm được vào hàm số và sử dụng công cụ ^d

dx của MTCT để xác định dấu của

y '' một cách nhanh chóng. .

Kết quả là 2 > 0 nên m=2(t/m)

5. Luyện tập

Bài 1. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a. x³−6x² +9x−2 b. x⁴ +2x² −2 c.

x2 2x 1

y x 2

+ +

= +

Bài 2. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a. y=x⁴ −4x² +1 b. y ¹x³ 2x² 5x 2

= −3 + + − c. y=sin x+cos x

Bài 3. Tìm m để hàm số:

a. y ¹x³ 2mx² 3m x² 3

= 3 − + − đạt cực đại tại _x=₂ b. ^y=mx4+

(

^{m−2 x}

)

^{2 +3} có 3 điểm cực trị

Bài 4. Tìm m để hàm số ^{y 1x3 mx2}

(

^{4m 3 x}

)

²

=3 + + − + có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục tung.