Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số | Giải bài tập Toán lớp 12

Bài 2. Cực trị của hàm số

Hoạt động 1 trang 13 Toán lớp 12 Giải tích: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x² + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) ^{y x}





 3  trong các khoảng 1 3 2 2;

 

 

  và 3 2;4

 

 

 .

Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các bảng dưới đây.

Lời giải:

Quan sát các đồ thị hàm số, ta thấy:

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Xét dấu đạo hàm:

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng ⁴ 3. Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xét dấu đạo hàm:

Hoạt động 2 trang 14 Toán lớp 12 Giải tích: Giả sử f(x) đạt cực đại tại x0. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số f x



  

x

  

 khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

Lời giải:

+ Với Δx > 0, ta có: ^lim_{x 0} ^{f x}



  

 

 x



 

     

 .

+ Với Δx < 0, ta có: ^lim_{x 0} ^{f x}



  

 

 x



 

  

  

 .

Do đó:



  

 

x 0

f x x f x

lim 0 f x

  x

  

  

 .

Vậy f’(x0) = 0.

Hoạt động 3 trang 14 Toán lớp 12 Giải tích:

a) Sử dụng đồ thị, hãy xét xem các hàm số sau đây có cực trị hay không.

• y = -2x + 1;

• ^{y x}





 3  (H.8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Lời giải:

a, Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị (vì đồ thị của hàm số là một đường thẳng).

Quan sát Hình 8, ta thấy hàm số ^{y x}





 3  đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

b, Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

Hoạt động 4 trang 16 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Lời giải:

Ta có: y |x | ^{x khi x 0} x khi x 0

 

   

Khi đó: y ^{1 khi x 0} 1 khi x 0

 

    Lại có:

xlim y0_ 1; lim yx 0_ 1

     hay

xlim y0_ xlim y0_

    Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|

Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.

Hoạt động 5 trang 16 Toán lớp 12 Giải tích: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = x(x² – 3).

Lời giải:

1. TXĐ: D = .

Ta có: f(x) = x(x² – 3) = x³ – 3x Khi đó: f’(x) = (x³ – 3x)' = 3x² – 3

2. Cho f’(x) = 0 3x² – 3 = 0 x² – 1 = 0 ^{x 1}

x 1

 

    3. Ta có bảng biến thiên:

4. Từ bảng biến thiên, ta thấy:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.

Bài tập

Bài 1 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích:Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ + 3x² – 36x – 10;

b) y = x⁴ + 2x² – 3;

c) 1

y x

  x;

d) y = x³ (1 – x²);

e) y x² x 1. Lời giải:

a) TXĐ: D =

Ta có: y' = 6x² + 6x – 36

y' = 0 6x² + 6x – 36 = 0 ^{x 2}

x 3

 

    Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCĐ = 71 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b) TXĐ: D =

Ta có: y' = 4x³ + 4x = 4x(x² + 1)

y' = 0 4x(x² + 1) = 0  x = 0 (do x² + 1 > 0 với mọi x) Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3 hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = \ {0}

Ta có: 1₂

y 1

   x

y' = 0 1₂ ²

1 0 x 1

  x     x = ±1 Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = -2;

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.

d) TXĐ: D =

Ta có: y' = (x³)’.(1 – x)² + x³.[(1 – x)²]’

= 3x².(1 – x)² + x³.2(1 – x).(1 – x)’

= 3x²(1 – x)² – 2x³(1 – x)

= x².(1 – x)(3 – 5x)

y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = ³ 5 Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x ³

 5, giá trị cực đại là yCĐ = ¹⁰⁸ 3125. hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là yCT = 0.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D = Ta có:

2

y 2x 1

2 x x 1

  

 

Có y' = 0 1

2x 1 0 x

     2 Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

2, giá trị cực tiếu yCT = 3 2 .

Bài 2 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x⁴ - 2x² + 1;

b) y = sin2x – x;

c) y = sinx + cosx;

d) y = x⁵ - x³ - 2x + 1.

Lời giải:

a) TXĐ: D =

Ta có: y' = 4x³ - 4x

Có y' = 0 4x(x² – 1) = 0  x = 0 hoặc x = ±1.

Lại có: y" = 12x² - 4

y"(0) = -4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y"(1) = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

y"(-1) = 8 > 0 nên x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: D =

Ta có: y' = 2cos2x – 1;

Có y' = 0 2cos2x – 1 = 0

 cos 2x = 1 2

 2x = ^k2





3

   

 x = ^k





6

   

Lại có: y" = -4.sin2x

y k 4sin k2

6 3

 

   

       

4sin 4. 3 2 3 0

3 2

       với k

Do đó: x = ^k





6

   là các điểm cực đại của hàm số.

Lại có: y k 4sin k2

6 3

 

   

         

4sin 4. 3 2 3 0

3 2

 

 

        với k

Do đó: x = ^k





6

    là các điểm cực tiểu của hàm số.

c) TXĐ: D =

Ta có: y’ = cos x – sin x.

Có y' = 0 cos x – sin x = 0

2 cos x 0

4

 

   

 

x k k

4 2

      

 

x k k

4

    

Lại có: y'' = – sin x – cos x 2cos x 4

 

    

Ta có:

y k 2 cos k

4 4 4

  

   

         

2 cos k

   2 khi k le

2 khi k chan

 



Do đó: hàm số đại cực đại tại các điểm ^{x k2}





4

    và đạt cực tiểu tại các điểm ^x



 



4

     .

d) TXĐ: D =

Ta có: y' = 5x⁴ – 3x² – 2

Có y' = 0  5x⁴ – 3x² – 2 = 0

 

 

2

2

x 1 tm x 2 ktm

5

 

 



x 1.

  

Lại có: y" = 20x³ – 6x

Do y"(– 1) = – 20 + 6 = –14 < 0

Nên x = – 1 là điểm cực đại của hàm số.

Do y"(1) = 20 – 6 = 14 > 0

Nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 3 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích:Chứng minh rằng hàm số y | x | không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải:

Hàm số y | x | có tập xác định D = và liên tục trên .

+ Chứng minh hàm số ^{yf x}

 

Xét giới hạn

     

x 0 x 0

f x f 0 f x

lim lim

x 0 x

 

 

 :

 

x 0 x 0 x 0

f x x 1

lim lim lim

x x x

  

  

 

   



 

x 0 x 0 x 0

f x x 1

lim lim lim

x x x

  

      

Suy ra không tồn tại giới hạn

   

x 0

f x f 0

lim .

x 0





 Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

Ta có : f(x) > 0 = f(0) với mọi x thuộc (-1; 1) và x ≠ 0 Do đó hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Bài 4 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x³ – mx² – 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: D =

Ta có: y' = 3x² – 2mx – 2

y' = 0 3x² – 2mx – 2 = 0

2

2

m m 6

x 3

m m 6

x 3

   



   

 Lại có: y'' = 6x – 2m

Do

2 2

m m 6 m m 6

y 6. 2m

3 3

     

  

2 m2 6 0 m

    

Nên

m m2 6

x 3

 

 là một điểm cực đại của hàm số.

Do

2 2

m m 6 m m 6

y 6. 2m

3 3

     

  

2 m2 6 0 m

   

Nên

m m2 6

x 3

 

 là một điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu với mọi m.

Bài 5 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Tìm a và b để các cực trị của hàm số

y = ⁵a x^{2 3} 2ax² 9x b

3   

đều là nhưng số dương và x0 = ⁵

9 là điểm cực đại.

Lời giải:

TXĐ: D =

Ta có: y' = 5a²x² + 4ax – 9 Suy ra y'' = 10a²x + 4a

- Nếu a = 0 thì y' = – 9 < 0 với mọi số thực x

Do đó hàm số không có cực trị (loại) - Nếu a ≠ 0.

y' = 0  5a²x² + 4ax – 9 = 0

 5. (ax)² + 4 . ax – 9 = 0



ax 1 ax 9

5

 

 

 

x 1 a x 9

5a

 

   



Có 1 ² 1

f 10a . 4a 14a

a a

    

 

9 ² 9

f 10a . 4a 14a

5a 5a

 

 

     + TH1: x ¹

 a là điểm cực đại Khi đó

1 5

a 9

a 9

14a 0 5

  

   

 

 Suy ra x ⁹

5a

  là điểm cực tiểu.

Khi đó: yCĐ = 1 80

f b

a 27

   

   yCT = 9 36

f b

5a 5

 

   

 

 

Các cực trị của hàm số đều dương nên

80 b 0

27 b 36

36 5

b 0 5

  

 

  

  



TH2: x ⁹ 5a

  là điểm cực đại

Khi đó:

9 5

a 81

5a 9

14a 0 25

 

 

  

 

 Suy ra x ¹

 a là điểm cực tiểu Khi đó: yCĐ = 9

f 4 b

5a

   

 

  yCT = 1 400

f b

a 243

   

  

Các cực trị của hàm số đều dương nên

4 b 0

b 400

400 b 0 243

243

  

  

  



Vậy a 9

5 b 36

5

  



 

hoặc a 81

25 b 400

243

 

 



là các giá trị cần tìm.

Bài 6 trang 18 Toán lớp 12 Giải tích: Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số

x2 mx 1

y x m

 

  đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Lời giải:

TXĐ: D = ^\

 

Ta có:

x2 mx 1

y x m

 

 

 

x x m 1 1

x m x x m

 

  

 

Suy ra

 

y 1 1

x m

  

 Có y' = 0

 

1 1 0

x m

  







  

 x m 1

x m 1

  

   



Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = – m – 1.

Để hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên – m – 1 = 2  m = – 3.

Vậy m = – 3.