Các dạng toán cơ bản và nâng cao cực trị của hàm số - TOANMATH.com

(1)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

MỤC LỤC

Chuû ñeà ② Cöïc trò cuûa haøm soá <Nhoùm toaùm vdc> ... 2

2

1. Định nghĩa ... 2

2. Định lý, quy tắc ... 2

a. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ... 2

b. Chú ý ... 2

c. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị ... 2

... 3

1. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN ... 3

1.1.Dạng 1.Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng xét dấu, bảng biến thiên. ... 3

a. Các bài toán trắc nghiệm cơ bản ... 3

b. Các bài toán tự luận ... 7

1.2.Dạng 2: Tìm điểm cực trị của hàm số dựa vào đồ thị hàm số ... 8

b. Ví dụ minh họa: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau: ... 12

1.3.Dạng 3.Tìm cực trị hàm số ^y^ ^{f x}

 

đựa vào đồ thị hàm số ^y^ ^f ^'

 

^x ... 13

Chú ý ... 13

a. Các bài toán cơ bản ... 13

b. Các bài toán trắc nghiệm trong đề thi đại học ... 15

1.4.Dạng 4.Tìm cực trị của hàm số ^y^ ^{f u}

 

dựa vào đồ thị hàm số ^y^ ^f^

 

^x . ... 20

1.5.Dạng 5.Các bài toán cực trị hàm số bậc 3 ... 25

a. Các bài toán trắc nghiệm cơ bản ... 26

b. Các bài toán tự luận ... 30

1.6.Dạng 6.Các bài toán cực trị hàm số bậc 4 ... 31

1.7.Dạng 7.Các bài toán cực trị hàm phân thức... 34

2. CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO ... 35

2.2.Dạng 6.Các bài toán cực trị hàm số bậc 3 chứa tham số ... 36

KIẾN THỨC CƠ BẢN I.

=I

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA II.

=I

(2)

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du. vn

a. Các bài toán cơ bản ... 37

Chú ý ... 37

b. Các bài toán trắc nghiệm cơ bản ... 38

c. Các bài toán trắc nghiệm tương tự ... 39

2.3.Dạng 3. Các bài toán cực trị hàm số bậc 4 chứa tham số ... 44

Chú ý ... 44

a. Các bài toán cơ bản ... 45

b. Các bài toán minh họa ... 48

c. Các bài toán trắc nghiệm tương tự ... 49

2.4.Dạng 4. Các bài toán cực trị hàm số phân thức, lượng giác vô tỉ, hàm bậc cao. ... 56

b. Các bài toán tự luận minh họa ... 58

2.5.Dạng 5. Các bài toán cực trị hàm chứa trị tuyện đối ... 58

(3)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Chuû ñeà ② Cöïc trò cuûa haøm soá

< Nhoùm toaùm vdc >

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y f x( ) xác định trên tập hợp D



^D^^R



và x_oD.

xo được gọi là một điểm cực đại của hàm số y f x( ) nếu tồn tại một khoảng



^{a b}^;



chứa điểm x_o sao cho



a b;



D và

   

o o

( ) ( ) ; \

f x  f x  x a b x .

Khi đó f x

 

o được gọi là giá trị cực đại của hàm số f x( ).

xo được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y f x( ) nếu tồn tại một khoảng



^{a b}^;



chứa điểm x_o sao cho



a b;



D và

   

o o

( ) ( ) ; \

f x  f x  x a b x .

Khi đó f x

 

o được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f x( ).

2. Định lý, quy tắc

a. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lý 1

Giả sử hàm số y f x( ) đạt cực trị tại điểm x_o. Khi đó, nếu f x( ) có đạo hàm tại điểm x_o thì

 

o 0 f x  .

b. Chú ý

 

o

f x có thể bằng 0 tại điểm xo nhưng hàm số f x( ) không đạt cực trị tại điểm xo.

Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm nằm trong tập xác định của hàm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không có đạo hàm. Những điểm như thế gọi là những

“điểm tới hạn”.

xo và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm



xo; f x

 

o



thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

c. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lý 2

Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng



^{a b}^;



chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng



a x; _o



và



x_o; b



. Khi đó,

KIẾN THỨC CƠ BẢN I.

=I

(4)

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du. vn

ếu

   

 

^oo



o ^o



0, ; 0, ;

f x x a x

f x x x b

   

    

 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_o.

Nói một cách khác, nếu f

 

xo đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x_o thì hàm số đạt cực tiểu tại x_o.

ếu

   

 

^oo



o ^o



0, ; 0, ;

f x x a x

f x x x b

   

    

 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x_o.

Nói một cách khác, nếu f

 

xo đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x_o thì hàm số đạt cực đại tại x_o.

Định lý 3

Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp một trên khoảng



^{a b}^;



chứa điểm x_o, f

 

xo 0 và f x( ) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo.

ếu f

 

xo 0 thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x_o. ếu f

 

xo 0 thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x_o.

1. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

1.1.Dạng 1.Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng xét dấu, bảng biến thiên.

Phương pháp giải

Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp một trên khoảng



^{a b}^;



chứa điểm x_o, f

 

xo 0 và f x( ) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x_o.

ếu f

 

xo 0 thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x_o. ếu ^f^

 

^x_o ^⁰ thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x_o. a. Các bài toán trắc nghiệm cơ bản

Ví dụ 1

Cho hàm số f x có bảng biến thiên như hình vẽ f(b)

xo

a b

f(a)

f(x0)

+ y

y' x

0

f(b) xo

a b

f(a)

f(x0) +

y y' x

0

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA II.

=I

(5)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. x 3. B. x 0. C. x 1. D. x 2.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 2

Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên và có bảng xét dấu ^f^

 

^x như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x2. B. Hàm số đạt cực đại tại x 3. C. x1 là điểm cực trị của hàm số. D. Hàm số có hai điểm cực trị.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 3

Cho hàm số y f x

 

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm

A. x0. B.



^{0; 3}^



^. ^C.^y^{ }³^. ^D.^x^{ }³^.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 4

Hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?

(6)

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. C. Hàm số có đúng hai cực trị.

D. Hàm số đạt cực đại tại x0, x1và đạt cực tiểu tại x2.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 5

Cho hàm sốy f x( )liên tục trên và có bảng xét dấu f

 

x như sau:

Kết luận nào sau đây đúng

A. Hàm số có 4 điểm cực trị. B. Hàm số có 2 điểm cực đại.

C. Hàm số có 2 điểm cực trị. D. Hàm số có 2 điểm cực tiểu.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 6

Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Có một điểm. B. Có ba điểm. C. Có hai điểm. D. Có bốn điểm.



Lời giải: ...

...

0

0 + + +

4

2 3 +∞

x 1 f '(x)

-∞

(7)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

...

Ví dụ 7

Cho hàm số f x( ) liên tục trên các khoảng (;1), (1;) và có bảng biến thiên như hình dưới

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực tại x0 và đạt cực tiểu tại x2. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số đạt cực tại x2 và đạt cực tiểu tại x0.

D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 5.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 8

 

có bảng biến thiên như hình bên.

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số có đúng một điểm cực trị. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2. C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2. D. Hàm số đạt cực đại tại x0.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 9

Cho hàm số y f x

 

xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

(8)

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du. vn

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x0.

B. Đồ thị của hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 4. D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3 hoặc 2.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 10

 

có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị.

A. 5. B. 3. C. 4 D. 2.



Lời giải: ...

...

b. Các bài toán tự luận Ví dụ 11

Tìm hàm số y ax⁴ bx² c a 0 biết rằng hàm số có bảng biến thiên dưới đây:



Lời giải: ...

...

(9)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

...

Ví dụ 12

 

có đạo hàm trên và có bảng xét dấu ^f^

 

^x như sau

Hỏi hàm số ^y^ ^{f x}



²^²^x



có bao nhiêu điểm cực tiểu?



Lời giải: ...

...

Ví dụ 13

Cho hàm số ^{y f x}^

 

có bảng biến thiên như sau. Hàm số ^{y f x}^



^³



có bao nhiêu điểm cực trị



Lời giải: ...

...

(10)

...

1.2.Dạng 2: Tìm điểm cực trị của hàm số dựa vào đồ thị hàm số Phương pháp giải

 Đồ thị đang đi lên sau đó đổi hướng đi xuống tại điểm x_o thì hàm số đạt cực đại tại điểm xo

.

Khi đó f x

 

o được gọi là giá trị cực đại của hàm số f x 

 Đồ thị đang đi xuống sau đó đổi hướng đi lên tại điểm x_o thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xo.

Khi đó f x

 

o được gọi là giá trị cực trị của hàm số _{f x} 

 Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số được gọi chung là điểm cực trị của hàm số

 Các điểm M x



0; ( )f x0



của hàm số được gọi chung là điểm cực trị của hàm số trên đồ thị a. Các bài toán trắc nghiệm cơ bản

Ví dụ 14

Cho hàm số _y_ _{f x}  xác định, liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. x 3. B. x1. C. x0. D. x2.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 15

x y

Hình vẽ minh hoạ yCT

yCĐ

xCĐ

xCT

O

x y

3 1

2 O

(11)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Cho hàm số _y_ _{f x}  xác định, liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x3. B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0. C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 16

Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên đoạn



^^{1; 3}



và có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x 1 và x2. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x0, x3.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x0, cực đại tại x2. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x0, cực đại tại x 1.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 17

Cho hàm số _y_ _{f x}  xác định, liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x y

1 3

2 O

x y

1

2 1

2

O 2

(12)

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x0. B. Hàm số đạt cực đại tại x1.

C. Hàm số đạt cực đại tại x 1 và tại x1. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và tại 1

x .



Lời giải: ...

...

Ví dụ 18

Đường cong bên là đồ thị của hàm số yax⁴bx²c với a b c, , là số thực và a0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Phương trình y0 có ba nghiệm thực phân biệt.

B. Phương trình y0 có đúng một nghiệm thực.

C. Phương trình y0 có hai nghiệm thực phân biệt.

D. Phương trình y0 có vô số nghiệm thực.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 19

Đường cong bên (nét đậm) là đồ thị của hàm số y f x  x²3x4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x y

1 1

1

O

x y

O

(13)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

A. Hàm số đạt cực đại tại ²⁵

x 4 . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x0. C. Giá trị cực đại bằng ³

2. D. Giá trị cực tiểu bằng 0.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 20

Đường cong bên (nét đậm) là đồ thị của hàm số y f x  x²2x1. Xét các phát biểu sau đây có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1): Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

(2): Giá trị cực đại bằng f  1 2 và giá trị cực tiểu f



1 2



 f



1 2



0. (3): Hàm số chỉ có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

(4): Hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x 1 2 0, loại điểm x 1 20.

A. 1 phát biểu đúng. B. 2 phát biểu đúng. C. 3 phát biểu đúng. D. 4 phát biểu đúng.



Lời giải: ...

...

x y

25 4

3 2 1 O 4

x y

1 2 1+ 2 2

1 O

(14)

...

b. Ví dụ minh họa: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

Ví dụ 21

1. y x⁴2x²1 2. y x⁴2x²1



Lời giải: ...

...

1.3.Dạng 3.Tìm cực trị hàm số ^y^ ^{f x}

 

đựa vào đồ thị hàm số ^y^ ^f ^'

 

^x

B1: Từ ĐTHS ^y^ ^f ^'

 

^x xác định dấu của ^f ^'

 

^x trên từng khoảng xác định B2: Lập trục xét dấu của hàm ^f ^'

 

^x hoặc bảng biến thiên của hàm số B3: Kết luận

Chú ý

+) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Khi f x( ) đổi dấu từ dương sang âm qua xc thì xc được gọi là điểm cực đại của hàm số

Khi f x( ) đổi dấu từ âm sang dương qua xc thì xc được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.

+) Nếu xc là điểm cực trị của hàm y f x( ) thì f c( )0 hoặc f c( ) không xác định, nhưng nếu f c( )0 thì chưa chắc xc đã là điểm cực trị của hàm số.

a. Các bài toán cơ bản Ví dụ 22

 

có đạo hàm trên và đồ thị hàm số ^y^ ^f^

 

^x được cho như hình vẽ.

Xác định số điểm cực trị của hàm số ^y^ ^{f x}

 



Lời giải: ...

...

O x

y 1

1 1



(15)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

...

Ví dụ 23

 

có đạo hàm liên tục trên . Tìm số điểm cực trị của hàm số

 

⁵

y f x  x biết đồ thị hàm số ^y^ ^f^

 

^x như hình vẽ sau:



Lời giải: ...

...

Ví dụ 24

 

xác định trên và có đồ thị của hàm số ^f^

 

^x như hình vẽ. Hỏi hàm số

 

y f x đã cho có mấy điểm cực tiểu?



Lời giải: ...

...

O x

y ^f^

 

^x

(16)

Ví dụ 25

Cho hàm số^y^ ^{f x}

 

có đạo hàm trên . Biết rằng hàm số ^y^ ^f^

 

^x có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Đặt ^{g x}

 

^ ^{f x}

 

^^x. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?



Lời giải: ...

...

b. Các bài toán trắc nghiệm trong đề thi đại học

Ví dụ 26 (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số xác định trên và hàm số có đồ thị như hình dưới:

Xét các khẳng định sau:

(I) Hàm số có cực trị.

(II) Phương trình có nhiều nhất ba nghiệm.

(III) Hàm số nghịch biến trên khoảng . Số khẳng định đúng là

A. . B. . C. . D. .



Lời giải: ...

...

 

y f x ^y^ ^f^

 

^x

 

y f x 3

 

²⁰¹⁸

f x  m



¹



y f x

 

^0;1

1 3 2 0

O x

y

1 2 3

(17)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

...

Ví dụ 27 (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018)

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ sau.

Số điểm cực trị của hàm số là:

A. . B. . C. . D. .



Lời giải: ...

...

Ví dụ 28

Cho hàm số . Hàm số có đồ thị trên một khoảng như hình vẽ bên.

Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng?

. Trên , hàm số có hai điểm cực trị.

. Hàm số đạt cực đại tại . . Hàm số đạt cực tiểu tại .

A. . B. . C. . D. .



Lời giải: ...

...

Ví dụ 29

 

y f x ^y^ ^f^

 

^x

 

²

y f x  x

4 1 3 2

 

y f x ^y^ ^f^

 

^x ^K

 

^I ^K ^y^ ^{f x}

 

^II ^y^ ^{f x}

 

x3

 

^III ^y^ ^{f x}

 

x1

3 0 1 2

(18)

Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. có một cực tiểu. B. có hai cực đại.

C. có 3 điểm cực trị D. có 2 điểm cực trị.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 30

Cho hàm số xác định và liên tục trên và hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. đạt cực đại tại . B. đạt cực đại tại .

C. đạt cực đại tại . D. đạt cực đại tại .



Lời giải: ...

...

Ví dụ 31 (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

 

y f x ^{y f x}^ ^'

 

f x ^{f x}

 

f x ^{f x}

 

y f x ^y^ ^f^

 

^x

 

f x x1 ^{f x}

 

^x^⁰

 

f x x 1 ^{f x}

 

^x^{ }²

 



y f x ^y^ ^f^

 

^x

O x

y

2 2

 

y f x

(19)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số đạt cực đại tại .

C. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.

D. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 32 (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Đồ thị sau đây là của hàm số ^y^ ^f^

 

^x . Khi đó hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 33

Hàm số f x( )có đạo hàm trên là hàm số f '( )x . Biết đồ thị hàm số f '( )x được cho như hình vẽ. Hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm nào?

A. x₀ 0. B. x₀ 1. C. ^{f x}

 

^⁰^. ^D. ^{f x}

 

^¹^.



Lời giải: ...

...

 



y f x



^^;1



 



y f x x1

 

 y f x

 

 y f x

O y

x

(20)

...

Ví dụ 34 (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018)

 

^x được cho như hình vẽ.

Chọn khẳng định đúng

A. ^{f x}

 

đạt cực đại tại x0. B. ^{f x}

 

đạt cực tiểu tại x 1. C. ^{f x}

 

đạt cực tiểu tại x1. D. ^{f x}

 

có ba điểm cực trị.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 35 (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

^x ^trên như hình vẽ.

Mệnh đề nào đúng?

A. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

B. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

C. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

D. Hàm số ^y^ ^{f x}

 



Lời giải: ...

...

O x

y

O x

y 1

1 1



(21)

...

Ví dụ 36 (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018)

 

xác định trên và có đồ thị hàm số ^y^ ^f^

 

^x là đường cong ở hình bên.

Hỏi hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6. B. 5. C. 4. D. 3.



Lời giải: ...

...

1.4.Dạng 4.Tìm cực trị của hàm số ^y^ ^{f u}

 

dựa vào đồ thị hàm số ^y^ ^f^

 

^x ^.

a. Các bài toán trắc nghiệm cơ bản Ví dụ 37

 

xác định và liên tục trên và hàm số ^y^ ^f^

 

^x có đồ thị như hình vẽ.

Kết luận đúng về số điểm cực trị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

^là:

(22)

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du. vn

A. Hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. B. Một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu C. Hai điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. D. Một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 38 (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

^{. Hàm số}^y^ ^f^

 

^x có đồ thị như hình dưới. Hàm sô ^y^ ^{f x}

 

² ^{có bao}

nhiêu điểm cực đại?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 39

 

có đạo hàm ^y^ ^f^

 

^x liên tục trên và có đồ thị như hình dưới.

Hàm số y f(2x2) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.



Lời giải: ...

...

(23)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

...

Ví dụ 40

 

^. Đồ thị hàm số ^y^ ^f^

 

^x như hình bên dưới

Hỏi hàm số ^{g x}

 

^ ^f



¹^^x²



^²⁰¹⁹ có mấy điểm cực trị?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 41

 

có đồ thị ^f^

 

^x như hình vẽ. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số



¹



²

2 y f  x x x.

A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 42 (Trích câu hỏi dẫn THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đạo hàm trên . Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số

 

y f x , (^y^ ^f^

 

^x liên tục trên ). Xét hàm số ^{g x}

 

^ ^{f x}



²^²



. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

(24)

A. Hàm số ^{g x}

 

B. Hàm số ^{g x}

 

C. Hàm số ^{g x}

 

có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

D. Hàm số ^{g x}

 

4 điểm cực trị.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 43 (trích dẫn đề THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đạo hàm trên . Đường cong trong hình vẽ bên

là đồ thị của hàm số ^y^ ^f^

 

^x ⁽^y^ ^f^

 

^x liên tục trên ). Xét hàm số

  

² ³



g x  f x  . Kết luận đúng về cực đại của hàm số g(x) là?

A. Hàm số ^{g x}

 

đạt cực đại tại x = - 1.

B. Hàm số ^{g x}

 

đạt cực đại tại x = 1.

C. Hàm số ^{g x}

 

đạt cực đại tại x = 0.

D. Hàm số ^{g x}

 

đạt cực đại tại x = -2.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 44 (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Biết rằng hàm số ^{f x}

 

có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số

 

y f f x .

O x

y

2

2

4

1 1

y

O x

2 1

2

1 4

(25)

A. 5. B. 3. C. 4. D. 6.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 45 (Theo đề THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

^{. Hàm số}^y^ ^f^

 

^x có đồ thị như hình bên. Kết luận đúng về cực trị àm số ^y^ ^{f x}



^^x²



^là:

A. Hàm số đạt cực tiểu tại ³ x2. B. Hàm số đạt cực tiểu tại ¹

x2. C. Hàm số không có cực trị.

D. Hàm số đạt cực đại tại ¹ x 2.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 46 (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018)

 

có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số y f x'( ) như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số g x( ) f x( ²3) và các mệnh đề sau:

I. Hàm số g x( ) có 3 điểm cực trị.

II. Hàm số g x( )đạt cực tiểu tại x0.

III. Hàm số g x( )đạt cực đại tại x2.

IV. Hàm số g x( ) đồng biến trên khoảng



^^{2;0 .}



V. Hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng



^^{1;1 .}



Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.

O

x

y 2

4

O x

y

1 2

2

(26)

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du. vn



Lời giải: ...

...

Ví dụ 47 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018)

 

xác định trên và có đồ thị ^f^

 

^x như hình vẽ. Đặt ^{g x}

 

^ ^{f x}

 

^^x^{. Hàm}

số ^{g x}

 

đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

A. x2. B. x0. C. x 1. D. x1.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 48 (Trích theo đề THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị của hàm ^y^ ^f^

 

^x như hình vẽ. Xét hàm số ^{g x}^{( )}^ ^{f x}



²^²



. Số điểm cực trị của hàm số là?

A. Hàm số g x( ) có 2 điểm cực trị. B. Hàm số có 1 điểm cực trị.

C. Hàm sốg x( )có 3 điểm cực trị. D. Hàm số g x( ) có 4 điểm cực trị.



Lời giải: ...

...

( ) g x

O y

1 x

 2

4 1

2

1

O

1 1 2x 1

2 y

(27)

...

1.5.Dạng 5.Các bài toán cực trị hàm số bậc 3 Phương pháp giải

Bài toán 1: Xác định điểm cực trị, cực trị hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số

3 2 .

y ax bx cx d

- Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số

Bài toán 2:Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm số y ax³ bx² cx d. Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đường thẳng qua A, B

Để viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba, thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y ), nghĩa là:

Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y ): ¹ ¹

2 2

. ( ) ( ) ( )

( ) y h x y y q x h x

y h x Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là d y: h x( ).

a. Các bài toán trắc nghiệm cơ bản Ví dụ 49

Cho hàm số yx³3x²2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x0 và cực tiểu tại x 2. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x2 và cực đại tại x0. C. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và cực tiểu tại x0. D. Hàm số đạt cực đại tại x2 và cực tiểu tại x0.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 50

Cho hàm số y f x( )  x³ 3x2. Các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số là

A. y_C_Đ 0;y_C_T  4. B. y_C_Đ 4;y_C_T  4. C. y_C_Đ 0;y_CT 4. D. y_C_Đ0;y_C_T  6



Lời giải: ...

...

Ví dụ 51

(28)

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du. vn

Số điểm cực trị của hàm số y  x³ 3x²4x5 là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 52

Tìm điểm cực đại x₀ của hàm số y x³ 3x 1.

A. x₀ 2. B. x₀ 1. C. x₀ 1. D. x₀ 3.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 53

Gọi x₁ và x₂ là hai điểm cực trị của hàm số

 

¹ ³ ³ ² ²

 3  

f x x x x. Giá trị của x₁²x₂² bằng

A. 13. B. 32. C. 40. D. 36.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 54

Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số yx³2x là

A. y_CT y_CD 0. B. y_CD y_CT. C. 2y_CD3y_CT. D. y_CD2y_CT.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 55

Trong các hàm số sau, hàm số nào có cực đại, cực tiểu thỏa mãn x_CDx_CT.

(29)

A. yx³2x²2x3. B. y 2x³3x4. C. y  x³ 2x²3x. D. y2x³x²4x1.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 56

Tìm cực đại của hàm số yx³3x²m (với m là tham số thực).

A. 0. B.  4 m. C. 2. D. m.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 57

Gọi A x y



1; 1



, B x y



2; 2



là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

3 3 2

yx  x . Giá trị y₁y₂ bằng

A. 0. B. 3. C. 2. D. 4.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 58

Cho hàm số yx³3x có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là y y₁, ₂. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2y₁y₂ 6. B. y₁y₂  4. C. 2y1y2  6. D. y1y2 4.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 59

(30)

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x³ 3x²2. A. 2x  y 2 0. B. 2x  y 2 0. C. 2x  y 2 0. D. 2x  y 2 0.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 60

Đồ thị hàm số yx³3x²9x1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?

A. ^M



^{0; 1}^



^. ^B.^Q



^^1;10



^. ^C.^P

 

^{1; 0} ^. ^D.^N



^{1; 10}^



^.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 61

Đồ thị của hàm số y  x³ 3x² 5 có hai điểm cực trị A và B. Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.

A. S5 B. 10

S 3 C. S10 D. S9



Lời giải: ...

...

Ví dụ 62

ho hàm số y2x³3x²12x2019. Gọi x₁ và x₂ lần lượt là điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Kết luận nào sau đây là đúng?

A.



x1x2



² 8. B. x2 x1 3. C. x x1 2  3. D. x1 x2 4.



Lời giải: ...

...

(31)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

...

Ví dụ 63

Biết rằng hàm số yx³2x² x 1 đạt cực trị tại hai điểm x₁, x₂. Tích x x1 2 bằng A. 1

3. B. 4

3. C. 4

3. D. 1

3.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 64

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng ^{d y}^: ^



³^m^¹



^x^{ }³ ^m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx³3x²1.

A. ¹

3. B. ¹

6. C. ¹

m 6. D. ¹

3.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 65

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx³2x²



m3



xm có hai điểm cực trị và điểm M



9; 5



nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

A. m 1. B. m 5. C. m3. D. m2.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 66

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng ^y^



²^m^¹



^x^{ }^m ³ song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx³3x²1

A. ³

m4. B. ¹

m 2. C. ³

m 4. D. ¹

m 2.



Lời giải: ...

...

(32)

...

b. Các bài toán tự luận Ví dụ 67

Xác định các điểm cực trị của hàm số yx³6x²9x2.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 68

Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y     x

³

3 x 1

.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 69

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng ^{d y}^: ^



²^m^¹



^x^{ }³ ^m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx³3x²1.



Lời giải: ...

...

1.6.Dạng 6.Các bài toán cực trị hàm số bậc 4 Phương pháp giải

1. Tìm cực trị hàm số qua dấu của đạo hàm y’

+ Tìm TXĐ hàm số + Tìm y’

+ Lập bảng xét dấu y’

+ Dựa vào sự đổi dấu của y’ để kết luận cực đại; cực tiểu.

2. Tìm cực trị hàm số qua bảng biến thiên

+ Quan sát bảng biến thiên (chiều chuyển động đi lên, đi xuống hoặc sự thay đổi dấu y’)

(33)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

+ y’ đổi dấu từ “ – ” sang dấu “ + ” khi qua x0  Kết luận hàm số đạt cực tiểu tại x0 tương ứng.

+ y’ đổi dấu từ “ + ” “ sang dấu “ – ” khi qua x0  Kết luận hàm số đạt cực đại tại x0 tương ứng.

+ y’ không đổi dấu khi qua điểm x0  Kết luận hàm số không đạt cực tại tại x0 tương ứng.

3. Tìm cực trị hàm số qua đồ thị hàm y = f(x)

+ Quan sát đồ thị hàm số (chiều chuyển động đi lên, đi xuống hoặc đi xuống và đi lên) + Đồ thị đi xuống rồi đi lên khi qua x0  Kết luận hàm số đạt cực tiểu tại x0 tương ứng.

+ Đồ thị đi lên rồi đi xuống khi qua x⁰ Kết luận hàm số đạt cực đại tại x0 tương ứng.

+ Đồ thị chỉ đi xuống hoặc chỉ toàn đi lên khi qua điểm x⁰  Kết luận hàm số không đạt cực tại tại x⁰.

a. Các bài toán trắc nghiệm cơ bản Ví dụ 70

Điểm cực tiểu của hàm số: là:

A. x = 0 B. x = C. x = D. x =



Lời giải: ...

...

Ví dụ 71

Cho hàm số: 1 ⁴ 1 ²

y x x 10

4 2

    . Khẳng định nào là đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 B. Hàm số đạt cực đại tại x0 C. Hàm số đạt cực đại tại x 1 D. Hàm số có một cực trị tại x0



Lời giải: ...

...

Ví dụ 72

Giá trị cực đại của hàm số yx⁴2x²3là:

A. y_CD  3 B. x_CD  3 C. y_CD  4 D. x_CD  4



Lời giải: ...

...

Ví dụ 73

Cho hàm số: y  x⁴ 2x²3. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là?

A. x_CT  1 B. x_CT 0 C. y_CT 3 D. A(0;3)



Lời giải: ...

...

Ví dụ 74

Cho hàm số: yx⁴2x². Khẳng định nào là đúng?

4 2

1 2 3

y 2x  x 

 2  2 2

(34)

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps:// toan vd.e du. vn

A. x0 là điểm cực tiểu B. x0 là điểm cực đại

C. Hàm số có cực đại và cực tiểu D. Hàm số không có cực tiểu, có cực đại



Lời giải: ...

...

Ví dụ 75

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Kết luận đúng về cực trị của hàm số là:

A. Có 1 cực tiểu, có 2 cực đại. B. Có 2 cực tiểu, có 1 cực đại.

C. Có 1 cực tiểu. D. Có 2 cực đại.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 76

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Kết luận đúng về cực trị của hàm số là:

A. y_CD 0. B. x_CT  1. C. x_CD  1 D. y_CD 2.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 77

 

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho có điểm cực đại là?

A.



^^{1; 2}



^. ^B.

 

^{1; 2} ^. ^C.



^^1;1



^. ^D.



^{0; 1}^



^.



Lời giải: ...

...

Ví dụ 78 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)

Cho hàm số

y ax 

⁴

 bx

²

 c

₍

a

_,b, c ) có đồ thị như hình vẽ bên.

O x

y

1

2

1 1

(35)

http s:// toan vd.e du. vn h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1



Lời giải: ...

...

Ví dụ 79

Giá trị tham số m để hàm số: đạt cực tiểu tại x =1 là:

A. B. C. D.