y  log .3x C

ÔN TẬP : MŨ – LÔGARIT (27-5-2022)

Câu 1. Tập xác định của hàm số ^y



^2x



^{3 là:}

A. ^D_^{\ 2}

 

. B. ^D



^2;



. C. ^{D }



^;2



. D. ^{D }



^;2



^.

Câu 2. Tính

 

^{58 log 2432}

A. 27. B. 9. C.

29

33 . D. 8. Câu 3. Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên

 ?

A. ^y

  2 1 .  x B. y  log .3x C. y       1 3 x. D. 3 . y  x

Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số ^yln



^{ x2 4}



^.

A. ^{D    }



^{; 1}

 

^2;2



^{. B. D   }



^{; 2}

 

^2;



. C. ^D



^2;



^{. D. D }



^2;2



^.

Câu 5. Bất phương trình

2 4

1 1

2 32

x  x

  

   có tập nghiệm là ^{S }

 

^{a b; , khi đó b a là?}

A. 4 . B. 2 . C. 6. D. 8.

Câu 6. Cho , ,a b c0,a1 và log_ab 2022. Tính 6

7 4 6

log _a a . b.

 

 

A. 2022

42 6 . B. 7

6 2022

4 . C. 21

2  2022. D. 2

21 2022. Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình log2



x  1 1 log 2



2

 

x là

A. 1

;3

 

 

 . B. 1

0;3

 

 

 . C. 1 3;

  

 

 . D. 1

1;3

 

 

 . Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình 1

 

3

log x  3 2.

A.



^;12



^{. B.}



^{12; }



^{. C.}



^3;12



^{. D. }^;7₃^

 ^.

Câu 9. Cho hai số thực dương a ^và b thỏa mãn ^{ln 8}

 

^{a 2ln}



^a2b



^{ln .b} Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a2b. B. b 2a. C. a4b. D. b 4a. Câu 10. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 1

 

4

 

4

log x 1 log 14 2 x 0

A. 6. B. 3. C. 4 . D. 5.

Câu 11. Tính tổng các nghiệm của phương trình ^log



^{x23x  1}



^{9 bằng}

A. 3. B. 9. C. 10^9. D. 3.

Câu 12. Tập xác định D của hàm số ^y



^{5 4 x x 2}



^2022.

A. ^D^\



^1;5



. B. ^D



^{1; 5}



^.

C. ^{D   }



^{; 1}

 

^5;



^{. D. D }



^1;5



^.

Câu 13. Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình

9

^x

 4.3

^x

 45 0 

A. x

 2

. B. x

  5;

x

 9

C. x

 9

D. x

 2;

x

 log 5

₃ Câu 14. Với a,b là các số thực dương tùy ý và a1, log_a3b bằng

A. 3 log _ab B. 3log_ab C. 1

3log_ab D. 1 3log_ab Câu 15. Bất phương trình 1 log ( ₂ x2) log ( ₂ x²3x2) có tập nghiệm là

A. ^{S }



^3;



^{. B. S}

 

^{2;3 . C. S}



^2;



^{. D. S}

 

^{1;3 .}

Câu 16. Với mọi a, b, x là các số thực dương thoả mãn log₂x5log₂a3log₂b. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. x

  5

a

3

b B. x a ⁵b³ C. x a b ^{5 3} D. x

  3

a

5

b Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình ²

1

¹

(3 9)(3 ) 3 1 0

27

x



x



x

 

chứa bao nhiêu số nguyên ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 18. Tập nghiệm của bất phương trình



^{4x65.2x 64 2 log}



^ ^{ 3}



^x3



^^0có tất cả bao nhiêu số nguyên?

A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số

Câu 19. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 3^x2y2 4^{x y}

A. Vô số. B. 5 . C. 2. D. 1.

Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình



log²3 x3log3 x2



m2^x 0 có không quá 3 nghiệm nguyên?

A. 127. B. 128. C. 63. D. 64.

Câu 21. Cho log 5₉ a, log 7₄ b,log 3₂ c. Biết log 175₂₄ mb nac pc q

 

 với , , ,m n p q và q là số nguyên tố.

Tính A mnpq .

A. 42. B. 24. C. 8 D. 12

Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình



²



 

ln 2 4 2ln 2 1

2022 ^{x x m} 2022 ^x 0 chứa đúng bốn số nguyên?

A. 16. B. 10. C. 11. D. 9.

Câu 23. Cho phương trình ^{3x 3 3m3x }



^{x39x2 24x m}



^{.3x3  3x 1}. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt là

A. 38. B. 34 C. 27 D. 5

Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, điểm ^{M x y}

  ;

biểu diễn nghiệm của bất phương trình

 

log 93 x18   x y 3^y. Có bao nhiêu điểm

M

có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm O bán kính 7

R ?

A. 7 . B. 2 . C. 3 . D. 49 .

Câu 25. Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình log 3



x³6x²9x 1



x x



3



² 3^m2m1 có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng



^2;2



A. 4. B. 3. C. 1. D. 0.

Câu 26. Xét hai số thực ,a b thỏa mãn 2^{a b 1}2^{2a 2 1b} 7 log2



a b 



3 là hai số thực x y, thỏa mãn

 

2 2 2

log_{x y } 4x6y10 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P



2a x

 

² b y



² bằng A. 9 4 2 . B. 11 6 2

2

 . C. 41 12 5

5

 . D. 21 8 5

5

 .

Câu 27. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương y sao cho tồn tại số thực ^x

 

^1;8 thỏa mãn



^{x1 2}

 

^exy2

 

^{ y exx2}



^?

A. 11 B. 14 C. 12 D. 13

Câu 28. Xét các số thực ,x y thỏa mãn 2 2 2



²

 

²



4 2

log 2 1 1

2 x y

x x y y

x y

       

  

  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P   x y 3xy

A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 0.

Câu 29. Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình 2^x1log4



x 2 2m



m có nghiệm ^{x }



^{1;6 .}



A. 30. B. 29. C. Đáp án khác. D. 28.

Câu 30. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y,}



thỏa mãn đồng thời

    

4 2 2 4 4 2 2 2 2

2 4 2

log 1 2log 1

1

x x

y x x y x y x y

y y

  

      

  

  ^và

   

2 3

2log x y 2 3log x2y 6 1?

A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.

HẾT.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Tập xác định của hàm số ^y



^2x



^{3 là:}

A. ^D_^{\ 2}

 

^{. B. D}



^2;



^{. C. D }



^;2



^{. D. D }



^;2



^.

Lời giải Chọn C

Ta có: 3 nên hàm số xác định khi và chỉ khi 2 x 0 x 2. Vậy tập xác định của hàm số là: ^{D }



^;2



^.

Câu 2. Tính

 

^{58 log 2432}

A. 27. B. 9. C.

29

33 . D. 8. Lời giải

Chọn A

Ta có:

 

^{58 log 2432 815.log 32 5 8log 32 }



^{2log 32}



^{3 33 27}

Câu 3. Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên

 ?

A. ^y

  2 1 .  x B. y  log .3x C. y       1 3 x. D. 3 . y  x

Lời giải Chọn D

Hàm số y 3^x có

a   3 1

, nên đồng biến trên  Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số ^yln



^{ x2 4}



^.

A. ^{D    }



^{; 1}

 

^2;2



^{. B. D   }



^{; 2}

 

^2;



^.

C. ^D



^2;



^{. D. D }



^2;2



^.

Lời giải Chọn D

Điều kiện xác định:       x² 4 0 2 x 2. Suy ra ^{D }



^2;2



^.

Câu 5. Bất phương trình

2 4

1 1

2 32

x  x

  

   có tập nghiệm là ^{S }

 

^{a b;} , khi đó b a là?

A. 4 . B. 2 . C. 6. D. 8. Lời giải

Chọn C

Bất phương trình tương đương

2 4 5

1 1 2

4 5 5 1

2 2

x x

x x x

           

   

    ^.

Vậy ^{S  }



^5;1



^{  b a 6.}

Câu 6. Cho , ,a b c0,a1 và log_ab 2022. Tính 6

7 4 6

log _a a . b.

 

 

A. 2022

42 6 . B. 7

6 2022

4 . C. 21

2  2022. D. 2

21 2022. Lời giải

Chọn C

Ta có: 6 6 6

7 7

6 6

4 4 7 21

log . log log 6. 2022 2022.

4 2

aa b a a a b

     

 

 

Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình log2



x  1 1 log 2



2

 

x là

A. 1

;3

 

 

 . B. 1

0;3

 

 

 . C. 1 3;

  

 

 . D. 1

1;3

 

 

 . Lời giải

Chọn B

   

2 2

log x  1 1 log 2x

2 2

 

log 1 log 2

2 0

x x

x

    

  

  

 

1 4 0 0

x x

x

  

  

1 3 0 x x

 

   .

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình 1

 

3

log x  3 2.

A.



^;12



^{. B.}



^{12; }



^{. C.}



^3;12



^{. D. }^;7₃^

 ^. Lời giải

Chọn B

Điều kiện x   3 0 x 3

 

²

1 3

log 3 2 3 1 3 9 12

x x 3 x x

 

           

  ^.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: ^S



^{12; }



Câu 9. Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn ^{ln 8}

 

^{a 2ln}



^a2b



^{ln .b} Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a2b. B. b 2a. C. a4b. D. b 4a. Lời giải

Chọn A

Ta có^{ln 8}

 

^{a 2 ln}



^a2b



^{lnbln 8}



^ab



^ln



^a2b



²

 

^{2 2 2}

 

²

8 2 4 4 0 2 0 2

 ab a b a  ab b   a b   a b Câu 10. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 1

 

4

 

4

log x 1 log 14 2 x 0

A. 6. B. 3. C. 4 . D. 5.

Lời giải Chọn C

ĐK XĐ 1 0

1 7

14 2 0

x x

x

  

  

  



   

1 4

4

log 1 log 14 2 0

14 2 1

5

x x

x x x

   

   

 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là ^S



^1;5



. Suy ra só nghiệm nguyên là 4.

Câu 11. Tính tổng các nghiệm của phương trình ^log



^{x23x  1}



^{9 bằng}

A. 3. B. 9. C. 10^9. D. 3.

Lời giải

Chọn D

Phương trình tương đương với x²3x 1 10^9  x²3x 1 10^9 0. 5 4.10^9 0

    nên phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂ phân biệt.

Ta có x₁x₂ 3.

Câu 12. Tập xác định D của hàm số ^y



^{5 4 x x 2}



^2022.

A. ^D^\



^1;5



. B. ^D



^{1; 5}



^.

C. ^{D   }



^{; 1}

 

^5;



^{. D. D }



^1;5



^.

Lời giải Chọn D

Ta có 5 4 x x ²     0 1 x 5. Vậy ^{D }



^1;5



^.

Câu 13. Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình

9

^x

 4.3

^x

 45 0 

A. x

 2

. B. x

  5;

x

 9

C. x

 9

D. x

 2;

x

 log 5

₃ Lời giải

Chọn A

Đặt ²

9

3 0 4 45 0 3 9 2

5 0

x t x

t t t x

t

 

               

^.

Câu 14. Với a,b là các số thực dương tùy ý và a1, log_a3b bằng A. 3 log _ab B. 3log_ab C. 1

3log_ab D. 1 3log_ab Lời giải

Chọn D Ta có: 3

log 1log .

3 ^a

a b b

Câu 15. Bất phương trình 1 log ( ₂ x2) log ( ₂ x²3x2) có tập nghiệm là

A. ^{S }



^3;



^{. B. S}

 

^{2;3 . C. S}



^2;



^{. D. S}

 

^{1;3 .}

Lời giải Chọn B

ĐK: ₂ 2 0 2

1 2 2

3 2 0

x x

x x x

x x

  

 

  

       

 .

2

2 2

1 log ( x2) log ( x 3x2)

  

²



2 2

log 2 x 2 log x 3x 2

    

2x 4 x2 3x 2

    

2 5 6 0

x x

    2 x 3

   .

So điều kiện^{ x}

 

^{2;3 .}

Câu 16. Với mọi a, b, x là các số thực dương thoả mãn log₂x5log₂a3log₂b. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. x

  5

a

3

b B. x a ⁵b³ C. x a b ^{5 3} D. x

  3

a

5

b Lời giải

Chọn C

Có log₂x5 log₂a3log₂blog₂a⁵log₂b³ log₂a b^{5 3}  x a b^{5 3}.

Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình ²

1

¹

(3 9)(3 ) 3 1 0

27

x



x



x

 

chứa bao nhiêu số nguyên ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn B

Điều kiện

3

^x1

   1 0 3

^x1

    1

x

1

. Ta có x

  1

là một nghiệm của bất phương trình.

Với x

  1

, bất phương trình tương đương với ²

1 (3 9)(3 ) 0

27

x



x

 

.

Đặt t

 3

^x

 0

, ta có ²

1

( 9)( ) 0

t



t

 27  1

( 3)( 3)( ) 0

t t t

27

    

3

1 3

27

t

t

  

 

  



. Kết hợp điều

kiện t

 3

^x

 0

ta được nghiệm

1

27  

t

3 1

3 3 3 1

27

x x

      

. Kết hợp điều kiện x

  1

ta được

   1

x

1

suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.

Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm nguyên.

Câu 18. Tập nghiệm của bất phương trình



^{4x65.2x 64 2 log}



^ ^{ 3}



^x3



^^0có tất cả bao nhiêu số nguyên?

A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số

Lời giải Chọn C

Ta có



^{4x 65.2x64 2 log}



^ ^{ 3}



^x3



^^0

 

 

3

3

1 2 64 0 6

4 65.2 64 0

6 6

2 log 3 0 6

2 64 6 3 0

4 65.2 64 0 2 1 0

2 log 3 0

3 6

3 6

x

x x

x

x x

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

     

      

      

    

               .



^{2; 1;0;6}



x     x ^.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình có 4 giá trị nguyên.

Câu 19. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 3^x2y2 4^{x y}

A. Vô số. B. 5 . C. 2. D. 1.

Lời giải

 

2 2 2 2 2 2

3 3

2 2

3 3

3 4 log 4 ( ) log 4

log 4 log 4 0, *

x y x y x y x y x y x y

y y x x

          

    

Ta xem phương trình

 

^* là phương trình ẩny, tham số x.

Phương trình

 

^* có nghiệm thực y     0



log 43



²4(x²xlog 4) 03 

3 3

(1 2) log 4 (1 2) log 4

2 x 2

 

   ,

 

^{* .}

Do đó có hai số nguyên x0 và x1 thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình



log²3 x3log3 x2



m2^x 0 có không quá 3 nghiệm nguyên?

A. 127. B. 128. C. 63. D. 64.

Lời giải Chọn B

Điều kiện: ^*

2

0 0 0

log , 2^x 0 2^x

x x x

x m m

m m

  

  

  

      

  

 

^*

+ Nếu ^{m 1}

 

^* vô nghiệm kéo theo bpt vô nghiệm nên không chứa số nguyên nào thỏa mãn.

+ Nếu m 1

 

*   0 x log2m. Bất phương trình tương đương với

2

3 3 3

log x3log x   2 0 1 log x   2 3 x 9. Kết hợp điều kiện trong trường hợp này ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình có thể là

  

3;9 , log2 9 ;

 

3;log2

 

, 3 log2 9 ;



, log



2 3



x x x

S  m S  m  m S   m .

Trường hợp: Sx 

 

^3;9 có 5 số nguyên nên loại.

Trường hợp: S_x   không có số nguyên nào thỏa mãn.

Trường hợp: ^S_x ^



^3;log₂^m



có chứa tối đa 3 số nguyên là các số

 

4,5,6log2 m  7 m 1; 2;...;128 .

Câu 21. Cho log 5₉ a, log 7₄ b,log 3₂ c. Biết log 175₂₄ mb nac pc q

 

 với , , ,m n p q và q là số nguyên tố.

Tính A mnpq .

A. 42. B. 24. C. 8 D. 12

Lời giải Chọn B

Ta có

3 3 3

2 2

24 2 .3 2 .3 2 .3

3 3

5 7 5 5 7 7

log 175 log 5 .7 log 5 log 7

2 1 2 1

log 2 .3 log 2 .3 3.log 2 log 3 3log 2 log 3

  

   

 

Theo giả thiết ta có:

7

9 3

4 2 5

2

5

log 3 log 5 log 5 2 2

log 7 log 7 2 log 3 1

log 3 21

log 2 2

c

a a b

b b

c a

ac

 

   

 

     

 

  

  



.

Suy ra:

24

2 1 2 1 4 2 4 2

log 175

3 1 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

ac b ac b

c c c c c c

ac a b b ac b

       

    

  ^.

Vậy ta có:

2

4 24

1 3 m

n mnpq

p q

 

   

 

 

.

Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình



²



 

ln 2 4 2ln 2 1

2022 ^{x x m} 2022 ^x 0 chứa đúng bốn số nguyên?

A. 16. B. 10. C. 11. D. 9.

Lời giải Chọn B

Điều kiện: ₂

2

2 1 0 1

2 4 0 2 24 0

x x

x x m x x m

   

 

 

  

    

Ta có: ^{2022ln 2}



^{x2 4x m}



^{20222ln 2} ^x1 ^{ 0 ln 2}



^{x24x m}



^{2ln 2}



^x1



 

²

2x2 4x m 2x 1

    

2x2 8x 1 m 0

    

2 2 8 1

m x x

   

Xét ^{f x}

 

^{2x28x1 với 1}

x 2. Ta có đồ thị hàm số như sau:

Để bất phương trình có đúng 4 nghiệm thì: 1 m 11 Vậy có 10 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Câu 23. Cho phương trình ^{3x 3 3m3x }



^{x39x2 24x m}



^{.3x3  3x 1}. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt là

A. 38. B. 34 C. 27 D. 5

Lời giải Chọn C

Ta có hệ sau: ^{3x 3 3m3x }



^{x39x2 24x m}



^{.3x3  3x 1}

 

^{* .}

Phương trình

 

^* tương đương:

 

 

   

 

3

3

3

3

3 3 2

3

3 3 2 3

3 3 2 3

3 3

3 3 3

3

3 2

3 1

3 9 24

3

3 9 24 3 3 27 3

3 3 3 27 27 9

3 3 3 3

3 3

9 24 27

x m x

x

m x x

m x x

m x x

x x x m

x x x m x x

m x x x x

m x x

m x x

m x x x f x





 

 

 

     

        

       

     

   

      

Xét

 

^{3 2 18 24 0 2}

4

f x x x x

x

 

         ^. BBT

Dựa vào BBT, để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì 7 m 11 Vì ^{m   m}



^8,9,10



^



^m27.

Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, điểm ^{M x y}

  ;

biểu diễn nghiệm của bất phương trình

 

log 93 x18   x y 3^y. Có bao nhiêu điểm

M

có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm O bán kính 7

R  ?

A. 7 . B. 2 . C. 3 . D. 49 .

Lời giải Chọn B

Điều kiện: 9x18 0   x 2.

   

3 3

log 9x18   x y 3^y log x2    x 2 y 3^y Đặt t

 log

3



x

 2 

, t

Khi đó ta có: ^{t3t  y 3y}

 

^*

Ta thấy hàm số ^{f x}

 

^{ x 3x} đồng biến trên



^{( do} f x

 

 1 3 .ln 3 0^x   x ⁾ Suy ra

 

^{*   t y log}₃



^x2



^{   y x 2 3y}

Do

M

có tọa độ nguyên thuộc hình tròn tâm O bán kính R7 nên

2 2

49

,

x y

x y

  

 

 

 Khi đó        ^{1 x 7 1 x 2 9 30} ^3y ³²  ^y



^{0;1; 2}



TH1:

y     0 x 1

( thỏa mãn)

TH2:

y    1 x 1

( thỏa mãn) TH3:

y    2 x 7

( loại)

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu là

  1;0 , 1;1   

^.

Câu 25. Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình log 3



x³6x²9x 1



x x



3



² 3^m2m1 có duy nhất một nghiệm thuộc khoảng



^2;2



A. 4. B. 3. C. 1. D. 0.

Lời giải Chọn C

Ta có

   

 

3 2 2

3

3 2 3 2

3

log 6 9 1 3 3 2 1

2log 6 9 1 6 9 1 3 2

m

m

x x x x x m

x x x x x x m

       

         

Đặt tlog3



x³6x²9x 1



x³6x²9x 1 3^t. Khi đó ta có



^{3 2}



^{3 2}

2 log3 x 6x 9x 1 x 6x 9x 1 3^m2m 3^t 2t3^m2m. Xét hàm số ^{f u}

 

^{3u 2u} là hàm đồng biến  u  nên suy ra

   

^{3 6 2 9 1 3m}

f t  f m   t m x  x  x  . Xét hàm số ^{f x}

 

^{x36x29x1} trên khoảng



^2;2



^{có bbt:}

Để thỏa mãn ycbt thì

3

1

0 3 3

log 5

3 5

m m

m m

    

     

 .

Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của m thỏa ycbt.

Câu 26. Xét hai số thực ,a b thỏa mãn 2^{a b 1}2^{2a 2 1b} 7 log2



a b 



3 là hai số thực x y, thỏa mãn

 

2 2 2

log_{x y } 4x6y10 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^P



^{2a x}

 

^{2 b y}



^{2 bằng}

A. 9 4 2 . B. 11 6 2 2

 . C. 41 12 5

5

 . D. 21 8 5

5

 . Lời giải

Chọn D

 Ta có ^log_x²_{ y}² ₂



^4x6y10



^{ 1}



^x2

 

^{2 y3}



^{2  1 M x}

 

^{; y} thuộc đường tròn có tâm ^I

 

^2;3

, R1.

Với giả thiết đầu tiên, ta đặt t a b t  ,



0



2^t12^{2 1t} 7log2t3

 

2^{t 1} 2^{2 1t} 7log2 3 0 *

 

g t ^{ } t

      .

 Có

 

2 .ln 2 2.2^{1 2 1}.ln 2 ⁷ t .ln 2

t t

g t  ^  ^  ;

 

2 .ln 2 4.2 .ln 2^{1 2 2 1 2} ₂⁷ 0 ln 2

t t

g t t

 

     ,  t 0.

 Do đó ^{g t}

 

^0 có tối đa 1 nghiệm trên



^0;



^{và g t}

 

^0 có tối đa 2 nghiệm trên



^0;



 Nhận thấy ^g

 

^{1 g}

 

^{2 0, do đó g t}

 

^{  0 t 1,t2.}

 Lập bảng xét dấu suy ra

 

^*         ^{1 t 2 1 a b 2 2 2a}^2b⁴.

 Do đó điểm ^N



^{2 ;a b}



thuộc hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng d x₁: 2y 2 0,

2: 2 4 0

d x y  (tham khảo hình vẽ).

 Khi đó ²

  

²



²

 

2

 

^{2 2}

4 21 8 5

, 1

5 5

P MN  IN IM  IN R  d I d R     

  .

Câu 27. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương y sao cho tồn tại số thực ^x

 

^1;8 thỏa mãn



^{x1 2}

 

^exy2

 

^{ y exx2}



^?

A. 11 B. 14 C. 12 D. 13

Lời giải Chọn D

Xét ^{f x}

  

^{ x1 2}

 

^exy2

 

^{y exx2}



^trên

 

^{1;8 với y} là tham số.

Ta có ^{f x}

 

^{2xexyexy22yx}



^exy

 

^{2x y}



^{ f x}

 

^{  0 x} ₂^{y .}

Nhận thấy ^f

 

^{1  y e}



^{ 1}



^{0 (vì y} nguyên dương)

 

^{8 7 2}



^{8 2}

 

^{8 64}



^{7 2}



^{8 64}



^{14 8}

f  e y y e    y  e  y e .

Trường hợp 1: ^{1 2}

 

⁰

2

y    y f x  . Bảng biến thiên

Suy ra ^f

 

^{8   0 7y2}



^e864



^{y14e8    0 0 y 13.85.}

Do vậy ^{0   y 2 y}

 

^{1; 2 .}

Trường hợp 2: 8 16

 

0

 

8

 

1 0 2

y   y  f x   f  f  khi đó phương trình vô nghiệm trên

 

^{1;8 .}

Trường hợp 3: 1 8 2 16

2 ^CT 2

y y

y x

       . Bảng biến thiên

Suy ra ^f

 

^{8   0 7y2}



^e864



^{y14e8    0 0 y 13.85.}

Do vậy ^{2 y 13,85 y}



^3;4;...;13



^.

Vậy có 13 giá trị nguyên dương ythỏa mãn.

Câu 28. Xét các số thực ,x y thỏa mãn 2 2 2



²

 

²



4 2

log 2 1 1

2 x y

x x y y

x y

  

     

  

  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P   x y 3xy

A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 0.

Lời giải Chọn A

ĐKXĐ: 4x2y0. Ta có:



²

 

²



2 2 2

4 2

log 2 1 1

2 x y

x x y y

x y

  

     

  

 

  

^{2 2}



^{2 2}

2 2

log 4x 2y 1 2x y log 2x y 2x y

        

  

^{2 2}



^{2 2}

2 2

log 2x y 2x y log 2x y 2x y

       

Xét hàm số

 

2

   

log 0 1 1 0 0

.ln 2

f x x x x f x x

      x     . Vậy hàm số đồng biến trên



^0;



^{. Ta có:}

   

   

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

y x x x

f x y f x y x y x y

y x x xy xy x y



 

      

 



 





 Lại có:

2 2

2 1

2 x 1

x y x y y

  

  

2

2 2 2 3

3 2 2

2 x y x xy xy x

     

Ta có:

2 2 2 3 2

3 2 2 3 3 3 3

2 P x y xy x x x xy xy x x xy x x x

              

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  1 y 1.

Câu 29. Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình ^2x1log₄



^{x 2 2m}



^m có nghiệm ^{x }



^{1;6 .}



A. 30. B. 29. C. Đáp án khác. D. 28.

Lời giải Chọn C

Do m là số nguyên dương và ^{x }



^{1;6 .}



^{nên x  2 m 0.}

   

 

 

2

1 2

4 2

log 2 2 2

2

2 log 2 2 2 2 2 2 log 2 2

2 2 2 log 2 2

x x

x m

x

x m m x x m x m

x x m

 

  

            

      

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ 2t t với t}_ ^có f t

 

2 .ln 2 1 0,^t    t ^. Suy ra hàm số ^{y f t}

 

đồng biến trên .Ta có

 

 

     

 

^{2 2}

2 2

2

0 2 log 2 2 2 2 2 2 2 2

2 log 2 2

t

x x

f t t

f t x x m x m m x

f x f x m

 

  

               

    



Xét

hàm số g x

 

   x ^{2 2x2} g x

 

  1 2 .ln 2 0^x2    x



1;6



. Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 6 2 m248  3 m 124. Mà m0 và m nên m



3; 4;...;124



.

Vậy có 122 giá trị nguyên dương của tham số m thoả mãn phương trình có nghiệm^{x }



^{1;6 .}



^.

Câu 30. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y,}



thỏa mãn đồng thời

    

4 2 2 4 4 2 2 2 2

2 4 2

log 1 2log 1

1

x x

y x x y x y x y

y y

        

  

  ^và

   

2 3

2log x y 2 3log x2y 6 1?

A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải Chọn B

Xét phương trình: ^{2 4}4 ²



^{2 2}



^{4 4}



^{2 2}



^{2 2}

  

log 1 2log 1 1

1

x x

y x x y x y x y

y y

  

      

  

 

Điều kiện xác định: y0

 

2 ⁴4 2



^{2 2}



^{4 2 2 4}

  

1 log 1 2log 1 2

1

x x

y x x x y y

y y

  

        

• Xét x  y : Khi đó ^VT

 

^{2  0 VP}

 

² : không thỏa mãn

 

²

• Xét x  y : Khi đó ^VT

 

^{2  0 VP}

 

² : không thỏa mãn

 

²

• Xét x  y : Khi đó ^VT

 

^{2  0 VP}

 

² : thỏa mãn

 

²

Vậy

 

^{1 x y x y}

x y

 

      ^.

 Với x y: thay vào phương trình 2log2



x y 2



3log3



x2y 6



1 ta được

   

2 3

2log 2y2 3log 3y 6 12log2



y 1



3log3



y2

  

3 Đặt 2log2



y 1



3log3



y2



6t, ta được: 1 8

2 9

t t

y y

  



  

1 8 8 1 9

t

t t

  y

 

  

 

 

1 8 5

8 1

9 9 1 4

t

t t

  y

           

.

 

^{4  f t}

 

^{ f}

 

^{1 , với}

 

^{8 1}

9 9

t t

f t       

    là hàm số nghịch biến trên tập . Suy ra

 

^{4  t 1}. Thay vào

 

^{5 ta được y7. Vậy}



^{x y,}

  

^{ 7,7 .}

 Với x y: thay vào phương trình 2log2



x y 2



3log3



x2y 6



1 ta được

 

3log3 y  6 1 2log3



y6



1  y 3. Vậy



^{x y,}

 

^{ 3, 3}



^.

Vậy có 2 cặp số nguyên



^{x y,}



thỏa mãn.