Ứng dụng hàm số giải toán Phương trình mũ - Logarit

Câu 1. Có bao nhiêu cặp số nguyên

(

x y;

)

thỏa mãn 0£ £x 2020 và log 42



x4



   x y 1 2^y?

A. ¹⁰. B. ¹¹. C. ²⁰²⁰. D. 4 .

Lời giải Chọn B

Đặt log 42

(

x+ = Û4

)

t 4x+ =4 2^t Û x=2^t-2- 1.

Từ điều kiện 0£ £x 2020Þ 0 2£ ^t-2- £1 2020Û £ - £ +1 t 1 1 log 2021² . Theo giả thiết ta có: t- +1 2^t-2= + +y 1 2 *^y

( )

.

Xét hàm số f u

( )

= +u 2^u-1 với 1£ £ +u 1 log 2021² .

Có f u'

( )

= +1 2 .ln 2^u-1 > " Î0, u

[

1;1 log 2021+ ₂

]

nên hàm f u

( )

đồng biến trên đoạn

[

1;1 log 2021+ 2

]

.

Dựa vào

( )

* Þ f t

(

- 1

)

= f y

(

+ Û - = +1

)

t 1 y 1.

Mặt khác 1£ - £ +t 1 1 log 2021² Þ £ + £ +1 y 1 1 log 2021² Þ 0£ £y log 2021 10,98² » . Vì yÎ ¢Þ yÎ

{

0;1;2;3; 4;5;6;7;8;9;10

}

.

Vậy có 11 cặp số nguyên thỏa mãn ycbt.

Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



_{thỏa mãn x2020và}

2

log2 3( 1 y) y

2 1

y x x

x     

 ?

A. 43_{. B.} 44. C. 2020_{. D.} 1011

Lời giải Chọn A

Điều kiện bài toán:

0 2020

1

  

  x y

Ta có:

2

log2 3( 1 y) y

2 1

y x x

x     



2

2 2

log y y 3y log x 1 (x 1) 3 x 1

         (1) Xét hàm sốf(t) log ²t t ² 3ttrên



^0;



_.

Ta có

'( ) 1 2 3 0, (0; )

f t 2 ln t t

 t       

hàm số đồng biến trên



^0;



_.

Khi đó(1) f y( ) f( x1) y x1

Vì 1 x 2020 _{nên 2}^{ y x 1 2021  2 y 44} Do

y nguyên dương nên có 43 số nguyên dương y thỏa yêu cầu bài toán

Rõ ràng, với mỗi ^y ta xác định được tương ứng duy nhất một giá trị x nguyên dương thỏa mãn.

Vậy có 43 cặp số nguyên



^{x y;}



_.

Câu 3. Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn ^{2y y 2xlog2}



^x2y1



. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P x

 y

bằng A.

ln 2 2

  e

B.

ln 2 2

  e

C.

ln 2 2  e

D. ^{2 ln 2} e

Lời giải Chọn C

Có

 

 

1 2

2

2 2 log 2

2 2 log 2 2 1(1)

y y

y y

y x x

y x x

    

     

.

Đặt ^{tlog 22}



^x2y



^{2x2y2t 2x 2t 2y}_.

 

¹ trở thành: ^{2y  y 2t 2y  t 1 2y1   y 1 2t t(2)}.

Xét hàm số f x^{( ) 2} ^x   x x^{, 0} f x( ) 2 ln 2 1 0, ^x    x 0 nên hàm số ^{f x( ) 2 xx} luôn đồng biến trên



^0;



. Kết hợp với

 

² _{ta có:} t y 1 hay ^{log 22}



^x2y



^{  y 1 2x2y 2y1 x 2y1}_.

Khi đó

1 1 1

2

2 2 ln 2 2

'

y y y

x y

P P

y y y

   

   

. Cho

0 ln 2 1 0 1

P  y    y ln 2 . Bảng biến thiên:

Vậy ^min

ln 2 2 P e

khi ² xe

và 1 y ln 2

.

Câu 4. Gọi S là tập các giá trị của tham số m sao cho phương trình



^x1



^{3  3 m 3 33 xm} _{có đúng}

hai nghiệm thực. Tính tổng tất cả các phần tử trong tập hợp S.

A. 4. B. 2. C. 6. D. 5.

Lời giải Chọn C

Hàm số ^{f x( )x33x} đồng biến trên  nên:



^x1



^{3  3 m 3 33 xm}



^{x 1}



^{3 3}



^{x 1}

 33x m3 3 33 x m

       

1 33

x x m

    3 3 2 1

m x x

   

Bảng biến thiên của hàm số ^{yx33x21}

x _ 2 3 

y + 0  0 +

y ₅ 

 1

Phương trình ban đầu có đúng hai nghiệm thực khi và chỉ khi m5 hoặc m1.

 

^1;5

 S .

Câu 5. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

 

3 2

3 2

2

3 3 5

log 1 6 7

1

x x x

x x x

x

  

    



A. ^{ 2 3}. B. ^2. C. 0 . D. ^{ 2 3}.

Lởi giải Chọn C Điều kiện:

3 2

2

3 3 5

1 0

x x x

x

   

  x³3x²3x 5 0 x³3x²3x 1 6x 6 0





^x1



^36



^x_{  }¹



⁰



^x1

 

^x22x_{  }⁵



^{0  }_ ^{1 1 6  6xx 1}_.

 

3 2

3 2

2

3 3 5

log 1 6 7

1

x x x

x x x

x

  

    

 .

 ^log



^{x33x2 3x 5}



^log



^{x2 1}



^{x26x  7}



^{x 1}



³_.

 ^log



^{x33x23x 5}



^{x33x23x 5 log}



^{x2 1}



^{x21 *}

 

_.

Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^{logt t}



^t0



_.

Ta có:

 

^{1 1}

f t ln10

 t  . Với ^{t 0 f t}

 

^0_.

Vậy hàm ^{f t}

 

^{logt t} đồng biến với t0. Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

3 3 2 3 5 2 1

x  x  x x  .

 x³ 8 2x²3x14 0 .





^x2

 

^x22x4



^



^{x2 2}

 

^x7



^0_.





^x2

 

^{x2 3}



⁰_.



2 3 3 x x x

  

  

 

 .

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình có hai nghiệm

3 3 x x

 

   . Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng 0 .

Câu 6. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

 

3 2

3 2

2

3 3 5

log 1 6 7

1

x x x

x x x

x

       



A. ^{ 2 3}. B. ^2. C. 0 . D. ^{ 2 3}.

Lởi giải Chọn C Điều kiện:

3 2

2

3 3 5

1 0

x x x

x

   

  x³3x²3x 5 0 x³3x²3x 1 6x 6 0





^x1



^36



^x_{  }¹



⁰



^x1

 

^x22x_{  }⁵



^{0  }_ ^{1 1 6  6xx 1}_.

 

3 2

3 2

2

3 3 5

log 1 6 7

1

x x x

x x x

x

  

    

 .

 ^log



^{x33x2 3x 5}



^log



^{x2 1}



^{x26x  7}



^{x 1}



³_.

 ^log



^{x33x23x 5}



^{x33x23x 5 log}



^{x2 1}



^{x21 *}

 

_.

Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^{logt t}



^t0



_.

Ta có:

 

^{1 1}

f t ln10

 t  . Với ^{t 0 f t}

 

^0_.

Vậy hàm ^{f t}

 

^{logt t} đồng biến với t0. Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

3 3 2 3 5 2 1

x  x  x x  .

 x³ 8 2x²3x14 0 .





^x2

 

^x22x4



^



^{x2 2}

 

^x7



^0_.





^x2

 

^{x2 3}



⁰_.



2 3 3 x x x

  

  

 

 .

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình có hai nghiệm

3 3 x x

 

   . Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng 0 .

Câu 7. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



thỏa mãn 0 x 2020 và 1 y 2020và

   

1

2 2

4^x log y 3 16.2^ylog 2x1

?

A. 2019 . B. 2020 . C. 1010 . D. 1011.

Lời giải Chọn C

Điều kiện bài toán:

0 2020

1 2020

  

  

 x y

Ta có: ^4x1log₂



^{y 3}



^{16.2ylog 2}₂



^x1



^{22x2log 2}₂



^{x 1}



^2y4log₂



^{y3 *}

  

Xét hàm số ^{f t( ) 2 t1log2t}trên



^1;



_.

Ta có ^{( ) 2 ln 21 1 .2 .ln 2 11 2 0,}



^1;



ln 2 ln 2

  

  ^t  t ^t     

f t t

t t hàm sốđồng biến trên



^1;



_.

Khi đó ^{(*) f}



^{2x 1}



^{f y}



^{ 3}



^{2x    1 y 3 y 2x2}

Vì

1 2020 1 2 2 2020 3 1011

 y   x    2 x . Do x nguyên nên x



2;3; 4;...;1011



. Rõ ràng, với mỗi x ta xác định được tương ứng duy nhất một giá trị^y nguyên thỏa mãn.

Vậy có 1010 cặp số nguyên



^{x y;}



_.

Câu 8. Phương trình log³2



x 1



27y³ 8^y  1 x có bao nhiêu nghiệm nguyên



^{x y;}



_với

1992 2020

8 ;8 x     

_.

A. 26 B. 28 C. 24 D. 30

Lời giải Chọn B

   

3 3 3 3 3

2 2

log x 1 27y 8^y  1 x log x   1 x 1 27y 2 ^y Đặttlog2



x   1



x 1 2^t

.Thay vào phương trình ta được^{t32t }

 

^{3y 323y} _(1).

Xé thàm số ^{y f u}

 

^u32u_.

Ta có ^{f u'}

 

^{3u22 ln 2 0,u   u}  . Do đó hàm số đồng biến trên  . Khi đó

 

1  f t

 

 f

 

3y  t 3ylog2



x 1



3y x 8^y1

. Do

1992 2020

8 ; 8

x  nên8¹⁹⁹²8^y 1 8²⁰²⁰ 1992 y 2019vớiy . Vậy có 28 giá trị nguyên của y nên phương trình có 28 nghiệm.

Câu 9. Cho ^mloga

 

^3ab _{, với} a1, b1và ^{Plog2ab16 logba}. Tìm m sao cho ^P đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

1 m 2

. B. m2. C. m1. D. m4.

Hướng dẫn giải Chọn C

Cách 1: Tự luận.

Ta có ^mloga

 

^{3 ab  1 1}_{3 3}^logab _{log 3 1}

ab m

   ; log 1

3 1

ba

 m

 . Do đó ^{log2 16log}



^{3 1}



^{2 16}

3 1

a b

P b a m

     m

 .

Xét hàm số

  

^{3 1}



^{2 16}

3 1

f m m

   m



 

 

²

18 6 48

3 1

f m m

 m

   

 .

 

^{0 3 1 2 1}

f m   m   m .

Bảng biến thiên.

. Vậy giá trị nhỏ nhất của ^P là ¹² tại m1.

Câu 10. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



thỏa mãn 0 x 2020 và 1 y 2020và

   

1

2 2

4^x log y 3 16.2^ylog 2x1

?

A. 2019 . B. 2020 . C. 1010 . D. 1011.

Lời giải Chọn C

Điều kiện bài toán:

0 2020

1 2020

  

  

 x y

Ta có: 4^x1log2



y 3



16.2^ylog 22



x1



2^2x2log 22



x 1



2^y4log2



y3 *

  

Xét hàm số ^{f t( ) 2 t1log2t}trên



^1;



_.

Ta có ^{( ) 2 ln 21 1 .2 .ln 2 11 2 0,}



^1;



ln 2 ln 2

  

  ^t  t ^t     

f t t

t t hàm sốđồng biến trên



^1;



_.

Khi đó ^{(*) f}



^{2x 1}



^{f y}



^{ 3}



^{2x    1 y 3 y 2x2}

Vì

1 2020 1 2 2 2020 3 1011

 y   x    2 x . Do x nguyên nên x



2;3; 4;...;1011



. Rõ ràng, với mỗi x ta xác định được tương ứng duy nhất một giá trị^y nguyên thỏa mãn.

Vậy có 1010 cặp số nguyên



^{x y;}



_.

Câu 11. Có bao nhiêu cặp số nguyên

(

x y;

)

thỏa mãn 0£ £x 2020 và log 42



x4



   x y 1 2^y?

A. ¹⁰. B. ¹¹. C. ²⁰²⁰. D. 4 .

Lời giải Chọn B

Đặt log 42

(

x+ = Û4

)

t 4x+ =4 2^t Û x=2^t-2- 1.

Từ điều kiện 0£ £x 2020Þ 0 2£ ^t-2- £1 2020Û £ - £ +1 t 1 1 log 2021² . Theo giả thiết ta có: t- +1 2^t-2= + +y 1 2 *^y

( )

.

Xét hàm số f u

( )

= +u 2^u-1 với ^{1£ £ +u 1 log 20212} .

Có f u'

( )

= +1 2 .ln 2^u-1 > " Î0, u

[

1;1 log 2021+ 2

]

nên hàm f u

( )

đồng biến trên đoạn

[

1;1 log 2021+ 2

]

.

Dựa vào

( )

* Þ f t

(

- 1

)

= f y

(

+ Û - = +1

)

t 1 y 1.

Mặt khác ¹£ - £ +t 1 1 log 2021² Þ £ + £ +1 y 1 1 log 2021² Þ 0£ £y log 2021 10,98² » .

Vì yÎ ¢Þ yÎ

{

0;1;2;3; 4;5;6;7;8;9;10

}

. Vậy có 11 cặp số nguyên thỏa mãn ycbt.

Câu 12. Phương trình ^log2

(

^{2x2+ + +1 1}

)

^x=log2

(

^{2x2+ -1 1}

)

^{+ 2x2+1} có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. ^0. B. ^1. C. ^2. D. ^4.

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện: ^{x¹ 0.}

Phương trình đã cho ² 2 ^{2 2}

(

²

)

²

log 2 log 2 1 1 2 1

2 1 1

x x x x

Û x + = + - + +

+ -

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

log 2 log 2 1 1 log 2 1 1 2 1

1 2log 2log 2 1 1 2 1

2log 2log 2 1 1 2 1 1 .

x x x x x

x x x x

x x x x

Û - + - + = + - + +

Û + + = + - + +

Û + = + - + + -

Xét hàm ^{f t( )=2log2t t+} trên ^(0;+¥) và đi đến kết quả ^{x= 2x2+ -1 1}

1 2 2 1 2.

x x x

Û + = + Û = ±

Câu 13. Cho các số thực ,x y thỏa mãn 0x y, 1 và log3



1

 

1



2 0 1

x y x y

xy

      

  

  . Tìm giá trị

nhỏ nhất của P với P2x y .

A. 2. B. 1. C.

1

2. D. ⁰.

Lời giải Chọn D

   

log3 1 1 2 0

1

x y x y

xy

  

    

  

  log3



x y

 

 x y



log 13



xy

 

 1 xy

  

1 . Xét hàm số f t

 

log3t t với ^t0, ta có

 

^{1 1 0, 0}

.ln 3

f t t

 t     .

 

 f t luôn đồng biến với ^{ t 0}.



 

1    x y 1 xy 1 2

1 1 1

y x

x x

     

 

 

2 . Thế

 

2 vào P ta được

2 1 1 P x x

x

  

 với ^{0 x 1}.

 

²

2 2 P 1

   x

 ;

 

 

0 0;1

0 2 0;1

P x

x

  

   

  

 .

 

^{0 1}

P  , ^P

 

^{1 2}_.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 đạt được khi ^x0, y1.

Câu 14. Gọi ^{x y,} là các số thực dương thỏa mãn điều kiện log9xlog6 ylog4



xy



và 2

x a b

y

  

, với a_, b là hai số nguyên dương. Tính ^ab.

A. ^{a b 6}. B. ^{a b 11}. C. ^{a b 4}. D. ^{a b 8}.

Lời giải Chọn A

Đặt ^{log9 x t}

Theo đề ra có

 

9 6

9 4

9 (1)

6 (2)

log log

4 (3)

log log

3 (4)

2

t t

t t

x x y t y

x x y t x y x y

 

 

 

   

    

 

    

  



Từ (1), (2), và (3) ta có

 

²

 

²

3 1 5

( )

2 2

3 3

9 6 4 3 3.2 4 0 1 0

2 2 3 1 5

2 2 ( )

t

t t

t t t t t t

t

TM L

    

  

    

                    

Thế vào (4) ta được

3 1 5

1; 5

2 2 2

x t a b

a b

y

   

       

 

Thử lại ta thấy a1;b5 thỏa mãn dữ kiện bài toán. Suy ra ^{a b 6.}

Câu 15. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



thỏa mãn 0 x 2020 và 1 y 2020và

   

1

2 2

4^x log y 3 16.2^ylog 2x1

?

A. 2019 . B. 2020 . C. 1010 . D. 1011.

Lời giải Chọn C

Điều kiện bài toán:

0 2020

1 2020

  

  

 x y

Ta có: 4^x1log2



y 3



16.2^ylog 22



x1



2^2x2log 22



x 1



2^y4log2



y3 *

  

Xét hàm số ^{f t( ) 2 t1log2t}trên



^1;



_.

Ta có ^{( ) 2 ln 21 1 .2 .ln 2 11 2 0,}



^1;



ln 2 ln 2

  

  ^t  t ^t     

f t t

t t hàm sốđồng biến trên



^1;



_.

Khi đó ^{(*) f}



^{2x 1}



^{f y}



^{ 3}



^{2x    1 y 3 y 2x2}

Vì

1 2020 1 2 2 2020 3 1011

 y   x    2 x . Do x nguyên nên x



2;3; 4;...;1011



. Rõ ràng, với mỗi x ta xác định được tương ứng duy nhất một giá trị^y nguyên thỏa mãn.

Vậy có 1010 cặp số nguyên



^{x y;}



_.

Câu 16. Cho bất phương trình:^9x



^{m1 .3}



^{x m 0 1}

 

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất

phương trình

 

¹ nghiệm đúng ^{ x 1}. A.

3. m 2

. B.

3. m 2

. C. m 3 2 2.. D. m 3 2 2.. Lời giải

Chọn A Đặt ³

t x

Vì x  1 t 3 Bất phương trình đã cho thành: ^t2



^{m1 .}



^{t m 0} nghiệm đúng ^{ t 3}

2

1 t t

t m

   

 nghiệm đúng ^{ t 3}.

Xét hàm số

   

 

²

2 2

2 , 3, ' 1 0, 3

1 1

g t t t g t t

t t

         

  . Hàm số đồng biến trên



^3;



_và

 

^{3 3}

g  2

. Yêu cầu bài toán tương đương

3 3

2 2

m m

     .

Câu 17. Cho phương trình 7^x m log7



x m



với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của



25; 25



m  để phương trình đã cho có nghiệm?

A. ⁹. B. ²⁵. C. 24. D. ²⁶.

Lời giải Chọn C

Điều kiện: x m _.

Đặt tlog7



x m



ta có 7 7

x t

m t m x

  



   7^x x 7^t t

 

¹ _.

Do hàm số ^{f u}

 

^7uu đồng biến trên  , nên ta có

 

^{1  t x}_{. Khi đó:}

7^x  m x m x 7^x.

Xét hàm số ^{g x}

 

^{ x 7xg x}

 

^{ 1 7 ln 7 0x }   x log ln 77

 

. Bảng biến thiên:

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m g



log ln 77

  

 0,856 (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì ^{x m 7x 0})

Do m nguyên thuộc khoảng



^25;25



_{, nên} m 



24; 23;...; 1 



.

Câu 18. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



thỏa mãn 0 x 2020 và ^{1 y 2020} và

   

1

2 2

4^x log y 3 16.2^ylog 2x1 ?

A. 2019. B. 2020. C. 1010. D. 1011.

Lời giải Chọn C

Điều kiện bài toán:

0 2020

1 2020

x y

  

  



Ta có: 4^x1log2



y 3



16.2^ylog 22



x 1



2^2x2log 22



x 1



2^y4log2



y3 *

  

Xét hàm số f t

 

2^t1log2t

trên



^1;



_.

Ta có

 

^{2 ln 21 1 .2 .ln 2 11 2 0,}



^1;



ln 2 ln 2

t t t

f t t

t t

  

        

hàm số đồng biến trên



^1;



_.

Khi đó

 

^{*  f}



^{2x 1}



^{f y}



^{ 3}



^{2x    1 y 3 y 2x2}

Vì

1 2020 1 2 2 2020 3 1011.

y x 2 x

        

Do x nguyên nên x



2;3;4;...;1011 .



Rõ ràng, với mỗi x ta xác định được tương ứng duy nhất một giá trị ^y nguyên thỏa mãn.

Vậy có 1010 cặp số nguyên



^{x y;}



^.

Câu 19. Biết ^x1, ^x2 là hai nghiệm của phương trình

2

2 7

4 4 1

log 4 1 6

2

x x

x x

x

     

 

  và

 

1 2

2 1

x  x  4 a b

với a_, b là hai số nguyên dương. Giá trị của a+b _bằng

A. 16. _B. 11. _C. 14. _D. 13.

Lời giải Chọn C

Điều kiện 0

1 2 x x

 



  Ta có

 

²

2 2 2

7 7

2 1

4 4 1

log 4 1 6 log 4 4 1 2

2 2

x x x

x x x x x

x x

  

           

   

   

  

²



²

 

7 7

log 2x 1 2x 1 log 2x 2 1x

     

Xét hàm số

 

7

 

log 1 1 0

f t t t f t ln 7

 t

     

với t0 Vậy hàm số đồng biến

Phương trình

 

¹ trở thành

 



^{2 1 2}

  

²



^{2 1}



^{2 2 3}₃ ^{4 5}₅

4 x

f x f x x x

x

 

 

     

 

 

Vậy

 

 

1 2

9 5

2 4 9; 5 9 5 14.

9 5

4 l

x x a b a b

tm

 

         

 

Câu 20. Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn 2^{x2 y2 1}  



x y 1

 

x y  1



log 22



xy



.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

 

2 2

log 2 4

P xy

x y

 

 .

A. ³. B. 2_{. C.} 1_{. D.} 4_.

Lời giải Chọn A

Giả thiết 2^{x2 y2 1}  



x y 1

 

x y  1



log 22



xy



2^{x2 y2 1} 



x y



² 1 log 22



xy



   

2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

2 2

2 2^{x y} 1 log 2 1 2^{x y} 2 log 2

x xy y ^{ } xy x y ^{ } xy xy

           

 

^{ }

2 2

log 22

2 2 1

1 2^{x y} log 22 2 ^xy

x y ^{ } xy

     

 

^* _.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t 2 ,t} _{ta có} f t

 

 1 2 ln 2 0,^t   t . Do đó hàm số ^{f t}

 

luôn đồng biến trên  .

Từ (*) suy ra f x



²y² 1



f



log 22



xy

 

x²y² 1 log 22



xy



.

Khi đó ²

 

2 2 ^{2 2} 2 2



^{2 2}



2 2

4 4 4

log 2 1 2 . 1 3

P xy x y x y

x y x y x y

         

   .

Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi

 

2 2

2 2

2 2

2

4 1

1 log 2 1

x y x y

x y

x y xy x y

     

  

    

   

 .

Vì ^x0,y0 nên ^{x y 1}.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P _bằng 3 khi và chỉ khi ^{x y 1.}

Câu 21. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

 

log2 m x 2m2^x3x1 có nghiệm thuộc

 

^0;2 _?

A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. ³.

Lời giải Chọn C

Điều kiện: m x 0

Ta có: log2



m x 



2m2^x3x1

 

log 22 m 2x 2m 2x 2^x x

     

 

2 2

log 2m 2x 2m 2x log 2^x 2^x

     

 

^* _.

Xét hàm số f t

 

log2t t trên



^0;



_{. Ta có:}

 

^{1 1 0, 0}

.ln 2

f t t

  t    . Suy ra hàm số f t

 

liên tục và đồng biến trên



^0;



_.

Do đó

 

^{*  f}



^2m2x



^{ f}

 

^{2x 2m2x2x2m2x2x}_.

Đặt ^{g x}

 

^2x2x_{. Vì} g x^'

 

2 .ln 2 2 0, ^x    x

 

0;2 nên ta có BBT:

Do đó ycbt

1 2 8 1 4

m 2 m

     . Vì m ^m



^{1; 2;3;4}



Vậy có ⁴ giá trị m cần tìm.

Câu 22. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



_{thỏa mãn 0 x 2020 và} 2.625^x2 10.125^y 3y4x²1

A. ²⁰²⁰. B. ⁶⁷⁴. C. ²⁰²¹. D. ¹³⁴⁷.

Lời giải Chọn D

Cách 1:

Ta có:

2 2 4 2 3 1 2

2.625^x 10.125^y 3y4x 112.5 ^x 2.5 ^y 3y4x 1

 

4 2 2 3 1

2.5 ^x 4x 2.5 ^y 3y 1 *

    

Xét hàm số ^{f t}

 

^{2.5t t} là hàm số đồng biến trên  .

Ta có:

 

^{*  f}

 

^{4x2  f}



^{3y 1}



^{4x2 3y 1 4x2 1 3y}



^{2x1 2}

 

^{x 1}



^{3 **y}

 

Do x y, nguyên nên 2x1;2x 1 Z _{và 3}

là số nguyên tố nên

 

^** tương đương với hoặc



^{2x1 3}



 hoặc



^{2x1 3}





Nếu



^{2x1 3}



 ^{2x1 mod 3}

 

^{2x4 mod 3}

 

^{ x 2 mod 3}

 

Nếu



^{2x1 3}



 ^{2x 1 mod 3}

 

^{2x2 mod 3}

 

^{ x 1 mod 3}

 

Ta có 2021 giá trị nguyên của x sao cho ^{0 x 2020}. Trong đó có 674 số chia hết cho 3. Nên có 1347số thỏa

 

^** . Với mỗi giá trị nguyên của x thì ta tìm được một và chỉ một giá trị ynguyên tương ứng. Vậy có 1347 cặp



^{x y;}



nguyên thỏa mãn bài toán.

Cách 2:

Ta có:

2 2 4 2 3 1 2

2.625^x 10.125^y 3y4x 112.5 ^x 2.5 ^y 3y4x 1

 

4 2 2 3 1

2.5 ^x 4x 2.5 ^y 3y 1 *

    

Xét hàm số ^{f t}

 

^{2.5t t} là hàm số đồng biến trên  .

Ta có:

 

^{*  f}

 

^{4x2  f}



^{3y 1}



^{4x2 3y 1 4x2  1 3y}

 

^

Ta thấy

 

3

3 1

3 2

x k

x x k k

x k

 

    

  



 

.

Với ^x3k thì ^{4x2 1 4.9k21} không chia hết cho ³ nên trường hợp này loại.

Với

3 1

3 2

x k x k

 

  

 thì ^{x2 3m1}



^m



nên ^{4x2  1 12m3} chia hết cho 3.

Vậy

3 1

3 2

x k x k

 

  

 mặt khác ^{0 x 2020} nên có 1347 số nguyên ^x thỏa

 

^** _.

Với mỗi giá trị nguyên của x thì ta tìm được một và chỉ một giá trị y nguyên tương ứng. Vậy có 1347 cặp



^{x y;}



nguyên thỏa mãn bài toán.

Câu 23. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn log 22



x2002



  x y 1002 2 ^y và 1002 x 2020?

A. 12. B. 10. C. 11. D. 18.

Lời giải Chọn B

Ta có:log 22



x2002



  x y 1002 2 ^y

   

log2 1001 1001 2

 x  x  ^y  y

Đặt x1001 u 0, 2^y  v 0 ta có phương trình log²u u log²v v với hàm số

 

log2

f t  t t

đồng biến trên



^0;



_{suy ra u v  x 1001 2} ^y

1002 x 2^y 1001 2020

     Suy ra 0 log 1 ²  y log 1019 9,99²  . y nguyên nên y



0;1;2;...;9



.

Câu 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn log 22



x2002



  x y 1002 2 ^y và 1002 x 2020?

A. 12. B. 10. C. 11. D. 18.

Lời giải Chọn B

Ta có:log 22



x2002



  x y 1002 2 ^y

   

log2 1001 1001 2

 x  x  ^y  y

Đặt ^{x1001 u 0, 2y  v 0} ta có phương trình log²u u log²v v với hàm số

 

log2

f t  t t

đồng biến trên



^0;



_{suy ra u v  x 1001 2} ^y

1002 x 2^y 1001 2020

     Suy ra ^{0 log 1} ²  y log 1019 9,99²  . y nguyên nên y



0;1;2;...;9



.

Câu 25. Cho là các số thực thoả mãn log 22



x2



 x 3y8^y_{. Biết} 0 x 2018_{, số cặp}



^{x y;}



thoả mãn đẳng thức là

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn C

Ta có

log

2

( 2 x + + - 2 ) x 3 y = 8

^y

Û 2

^log2(x+1)

+ log

2

( x + = 1 ) 2

^3y

+ 3 1 y ( )

Xét hàm số

f t ( ) = + 2

^t

t

_có

f t

^'

( ) = 2 2 1 0

^t

ln + >

Nên

( ) 1 Û log

₂

( x + = 1 ) 3 y Û = x 2

^3y

- 1

Với

0 £ £ x 2018 1 8 Û £

^y

£ 2019 Û £ £ 0 y log

₈

2019 , y Î ¢ Þ y Î { 012 3 ; ; ; }

Câu 26. Cho x y, là các số dương thỏa mãn

2 2

2 2

2 2 2

log 5 1 10 9 0

10

x y

x xy y

x xy y

     

  . Gọi M,m lần

lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

2 2

2

9 x xy y

P xy y

 

  . Tính ^{T 10M m} .

A. ^{T 60}. B. ^{T 94}. C. ^{T 104}. D. ^{T 50}.

Lời giải Chọn B

2 2

2 2

2 2 2

log 5 1 10 9 0

10

x y

x xy y

x xy y

     

 



^{2 2}

 

^{2 2}

 

^{2 2}

 

^{2 2}



2 2 2

log x 5y log x 10xy y log 2 2 x 5y x 10xy y 0

           



^{2 2}

 

^{2 2}

 

^{2 2}

 

^{2 2}



2 2

log 2x 10y 2 x 5y log x 10xy y x 10xy y

         

2 2 2 2

2x 10y x 10xy y

     (vi)

2 10 9 2 0

x xy y

   

2

10 9 0

x x

y y

   

     

    1 x 9

  y

2 2

2

9 x xy y

P xy y

 

 

2

9 1

x x

y y

x y

   

  





Đặt t x

 y

, điều kiện: ^{1 t 9}

 

^{2 9}

1 t t f t t

  

 ;

   

2 2

2 8

1 t t

f t t

   

 ;

 

^{0 4}

2 f t t

t

  

    

 

1 ¹¹ <