[PTMH TOAN 2021] DẠNG-13-PHƯƠNG-TRÌNH-LOGARIT-GV.docx

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Mũ hóa hai vế

       

 

^{ }

log_a 0 1 g x 0_{f x} .

g x f x a

g x a

 

    

  2. Biến đổi, quy về cùng cơ số

       

0 1

log log .

a a 0

f x g x a

f x g x

  

    

3. Đặt ẩn phụ

     

 

log 0 0 1 log .

0

a a

t g x

f g x a

f t

 

   

  

   

4. Phương pháp đồ thị

5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Mũ hóa hai vế.

 Biến đổi, quy về cùng cơ số.

 Đặt ẩn phụ.

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Nghiệm của phương trình log 32

 

x 3 là

A. ^x3. B. ^x2. C.

8 x3

. D.

1 x2

. Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN

Đây là dạng toán giải phương trình logarit cơ bản.

2. HƯỚNG GIẢI

B1: Đặt điều kiện xác định của phương trình.

B2: Mũ hóa hai vế.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau

Lời giải Chọn C

2

 

log 3x 3 ³

3 0 0 8

8 3

3 2

3 x x

x x x

 

  

      .

Bài tập tương tự và phát triển

 Mức độ 1

Câu 1. Tìm tập nghiệm ^S của phương trình log4



x2



2 .

A. ^{S }

 

¹⁶ _{. B.} ^S

 

¹⁸ _{. C.} ^S

 

¹⁰ _{. D.} ^{S }

 

¹⁴ _.

DẠNG TOÁN 13. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Lời giải Chọn B

Ta có

 

log4 x2 2 4

 

4 ²

2 0

log 2 log 4

x x

  

    ²

2 2 4 x

x

 

   

2 18

18

x x

x

 

    . Câu 2. Phương trình log⁴2



x²2



² 8

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. ^2. B. ^3. C. ^4. D. ^8.

Lời giải Chọn B

 

4

2 2

log 2 x 2 8

 

¹

ĐK: x²    2 0 x 2

 

^{1 }



^x22



^{2 }

 

^{42 8 }



^x22



^{2 4}

   

2 2

2 2

4

0 .

0

x x tm

x

x tm

x

   

  

  

  

 

Câu 3. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 1



²



2

log x 5x7 0 bằng

A. 6 B. 5 C. 13 D. 7

Lời giải Chọn C



²



^{2 2 2 2}

1 1 2 1 2

2

log x 5x7  0 x 5x  7 1 x 5x  6 0 x  2 x  3 x x 13 Câu 4. Số nghiệm dương của phương trình

ln x2 5 0 là

A. ². B. ⁴. C. ⁰. D. ¹.

Lời giải Chọn A

Điều kiện: x  5

Có

ln x2 5 0  x² 5 1

2 2

5 1

5 1

x x

  

    

6 6 2

2 x x x x

 

  

  

  

 .

Vậy phương trình có ² nghiệm dương là x 6, ^x2.

Câu 5. Gọi x x¹, ²là 2 nghiệm của phương trìnhlog2x x



3



1. Khi đóx¹x²bằng

A. ^3. B. ^2. C. 17 . D.

3 17 2

  . Lời giải

Chọn A

Điều kiện:

3 0 x x

  

 

   

²

log2x x3  1 x x3  2 x 3x 2 0 Vậyx¹x²  3.

Câu 6. Số nghiệm của phương trình ^{log 22}



^{x  1}



² _bằng

A. ⁰. B. ¹. C. ². D. ³.

Lời giải Chọn B

Ta có ^{log 22}



^{x  1}



^{2 2 2}

2 1 0 0

log 5

1 log 5 4

2 1

4 4

x

x

x x x

    

 

   

  

 

 .

Câu 7. Gọi x x¹, ² là nghiệm của phương trình log2x x



1



1. Khi đó tích x x¹. ² bằng

A. ^2. B. 1. C. ^1. D. 2.

Lời giải Chọn A

Điều kiện ^x0hoặc ^x1

 

^{2 1}

2 1 2

2

log 1 1 2 0 1 . 2

2

x x x x x x x

x

  

         

  

   

Câu 8. Số nghiệm của phương trình ^{(x3) log (52 x2) 0} .

A. ². B. ⁰. C. ¹. D. ³.

Lời giải Chọn A

Điều kiện: 5x²   0 5 x 5.

Phương trình

2

2 2 2

2

3 0 3 3

( 3)log (5 ) 0

log (5 ) 0 5 1 2

x x x

x x

x x x

      

 

            .

Đối chiếu điều kiện ta có ^{x 2} thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Câu 9. Bất phương trình ^log2



^{x22x 3}



¹ có tập nghiệm là

A.  ^{\ 1}

 

. B.  . C.

 

¹ _{. D. .}

Lời giải Chọn A

^log2



^{x22x  3}



^{1 x22x 3 21 x22x  1 0}



^x1



^{2   0 x 1}_.

Vậy tập nghiệm ^{S } ^{\ 1}

 

.

Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình 1

 

2

log 2x  1 1 là A.

1;3 2

 

 

 . B.

3; 2

 

 

 . C.

1 3; 2 2

 

 

 . D.

;3 2

 

 

 . Lời giải

Chọn C

Ta có

 

1 2

3

2 1 2 2 1 3

log 2 1 1 .

2 1 0 1 2 2

2 x x

x x

x x

 

   

          



 Mức độ 2

Câu 1. Số nghiệm của phương trình ^ln



^{x26x 7}



^ln



^x3



_là

A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.

Lời giải Chọn D



²

  

2 2

3 0 3 3

ln 6 7 ln 3 5 5

6 7 3 7 10 0

2

x x x

x x x x x

x x x x x

x

 

  

  

                 

Câu 2. Tìm tập nghiệm ^S của phương trình ^log2



^x24x3



^{log 42}



^x4



A. ^{S }



^{1 ;7 .}



_B. ^{S }

 

^{7 .} _C. ^{S }

 

^{1 .} _D. ^{S }



^{3;7 .}



Lời giải Chọn B



²

  

2 2

log x 4x3 log 4x4

2 2

1 1

4 3 4 4 8 7 0 7.

x x

x x x x x x

 

 

   

      

 

Câu 3. Gọi x x¹, ²là 2 nghiệm của phương trình ^log3



^{x2  x 5}



^{log 23}



^x5



_.

Khi đó x¹x² bằng

A. 5. B. 3. C. ^2. D. 7.

Lời giải Chọn D



²

  

3 3 2

5

2x 5 0 2 5

log 5 log 2 5

5 2

5 2 5

2

x x

x x x

x x

x x x

x

  

   

  

                .

Khi đó x¹x² 7.

Câu 4. Phương trình ^{log 3.22}



^{x 1}



^2x1có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Lời giải Chọn B

 

^{2 1}

2

2 1 0

log 3.2 1 2 1 3.2 1 2 2.4 3.2 1 0 2 1 1

2

x

x x x x x

x

x x

x



   

                .

Câu 5. Tập nghiệm của phương trình log² xlog (² x 3) 2 là

A. ^{S }

 

⁴ _B. ^{S }



^{1, 4}



_C. ^{S  }

 

¹ _D. ^{S }

 

^4,5

Lời giải Chọn A

Điều kiện: ^x3.

PT log2x x



3



 2 x²3x 4 0

4 1 x x

 

    . So sánh điều kiện ta được ^x4.

Vậy tập nghiệm của phương trình là ^S

 

⁴ _.

Câu 6. Nghiệm của phương trình log3



x  1 1 log 4



3



x1



A. ^x4. B. ^x2. C. ^x3. D. ^{x 3}. Lời giải

Chọn B

Điều kiện:

1. x 4 Ta có

   

 

3 3

log 1 1 log 4 1

1 1

4 4 2.

3 1 4 1 2

x x

x x

x

x x x

   

   

 

   

     



Vậy nghiệm của phương trình là ^x2.

Câu 7. Nghiệm của phương trình



log3x



²3log3x 2 0 là

A. x1;x2. B. x3;x9. C. x1;x8. D. x3;x8. Lời giải

Chọn B

Điều kiện: ^x0.



log3x



²3log3x 2 0

3 3

log 1 3

log 2 9

x x

x x

 

 

    .

Câu 8. Nghiệm lớn nhất của phương trình log³x2log² x 2 logx là

A. 100. B. 2. C. 10. D. 1000.

Lời giải Chọn A

Điều kiện: ^x0

3 2

1

log 1 10

log 2log 2 log log 2 100

log 1 10

x x

x x x x x

x x

 

  

 

       

   

 



Câu 9. Phương trình ² log 2 log 5

x  x2

.

A. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương. B. Vô nghiệm.

C. Có một nghiệm âm. D. Có hai nghiệm dương.

Lời giải Chọn D

Điều kiện: ^{0 x 1}.

² log 2 log 5

x  x 2

2 2

2 2

log 2 4

1 5

log 0 1

log 2 log 2

2

x x

x x x x

   

         .

Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình 1

 

1

 

5 5

log 3x5 log x1 là

A. (0;3) . B. (3;). C.

5;3 3

 

 

 . D. ( 1;3) . Lời giải

Chọn C

Điều kiện:

3 5 0 5

1 0 3.

x x

x

  

    



Ta có 1

 

1

 

5 5

log 3x5 log x 1 3x    5 x 1 x 3.

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là 5;3 3

 

 

 .

 Mức độ 3

Câu 1. Tích các nghiệm của phương trình log (125 ).log_x x ²²⁵x1 là

A.⁶³⁰. B.

1

125 . C.

630

625. D.

7 125 . Lời giải

Chọn B

Điều kiện:

0 1 x x

 

  . Ta có

     

 

 

2

2 2 2

25 5 5

5

2 5

5 5 4

5

3 1

log 125 .log 1 log 125 log log 1 0 1 . log 1 0

log 4

5 tmdk

log 1

1 3

log log 1 0 log 4 1

4 4 5 tmdk

625

x x x x xx x x

x x x

x x

x x ^

 

         

 



 

 

         

Vậy tích các nghiệm là

1 1

5.625 125 .

Câu 2. Số các giá trị nguyên của tham số ^m để phương trình log 2



x 1



log2



mx8



có hai nghiệm thực phân biệt là

A. Vô số. B. ⁴. C. ⁵. D. ³.

Lời giải Chọn D

 

2

 

log 2 x 1 log mx8

 

²

1 0 8 0

1 8

x mx

x mx

  

  

   



 

²

1

1 8

x

x mx

 

    

2

1

2 9

x

x x

m x

 

    

Xét hàm số

2 2 9

x x

y x

 

 trên



^1;



_{, ta có}

2 2

' x 9

y x

 

.

' 0 3

y    x Bảng biến thiên

Để thỏa mãn yêu cầu thì ^{4 m 8} nên các giá trị nguyên của tham số m là 5,6,7 .

Câu 3. Tập hợp các số thực ^m để phương trình ^{ln 3}



^{x mx  1}



^ln



^{ x2 4x3}



có nghiệm là nửa khoảng



^{a b;}



. Tổng của ^{a b} bằng

A.

10

3 . B. ⁴. C.

22

3 . D. ⁷.

Lời giải Chọn D

Phương trình ^{ln 3}



^{x mx  1}



^ln



^{ x2 4x3}



2

2

4 3 0

3 1 4 3

x x

x mx x x

   

 

     



2

1

4 3

m x

x x x

  

   

 ²

 

1 3

4 * x

m x x

x

 

  

 

 

 . Xét hàm số ^{f x}

 

^{x2 x 4}

x

  

với ^{1 x 3}. Khi đó ^{f x'}

 

^x2 ₂ ⁴

 x

; ^'

 

^{0 2}

2 f x x

x

 

     .

Bảng biến thiên của hàm số ^{f x}

 

^{x2 x 4}

x

  

trên khoảng

 

^1;3

Nhận xét: Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình

 

^* có nghiệm trên khoảng

 

^1;3 _.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình

 

^* có nghiệm trên khoảng

 

^1;3 khi và chỉ khi 3 m 4 hay ^m



^3;4



_{. Do đó a3, b4.}

Vậy ^{a b 7}.

Câu 4. Phương trình log4



x1



² 2 log 2 4 x log 48



x



³

có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. Vô nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 2 nghiệm. D. 3 nghiệm.

Lời giải Chọn C

Điều kiện của phương trình ^{  4 x 4} và ^x1. Khi đó phương trình đã cho tương đương

2 2 2 2

log |x 1| log 4 log (4  x) log (4x)



²



2

2

4 4 16 2 4 | 1| 16

2 2 6

16 0

x x x

x x

x x

 

   

    







 

 

  

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Câu 5. Cho ,a b là các số nguyên dương thỏa mãn ^{log log2}



^2a



^{log 22b 1000}

  0. Giá trị lớn nhất của ab là

A. ⁵⁰⁰. B. ³⁷⁵. C. ²⁵⁰. D. ¹²⁵.

Lời giải Chọn A

Ta có biến đổi mũ và loagarit

 



¹⁰⁰⁰

  1000 1000

2 2 2 2 2 2

1000 .2

log log log 2 0 log log 2 1 log 2 2

2 2 .2 1000

a b a b b

a

a

b b a

    

   

Do ,a b là các số nguyên dương nên 1000 2 ^a  a 3. +) Nếu ^{a  3 b 125ab375}.

+) Nếu ^{a  2 b 250ab500}. +) Nếu ^{a  1 b 500ab500}. Vậy giá trị lớn nhất của ^ab là 500.

Câu 6. Bất phương trình

2 3

2 1 1

2 21 2 0

2

x x



        có tập nghiệm là



^{log ;}ab 



. Biết a là số nguyên tố. Khi đó

 

^{ab 2} _bằng

A. ². B. ³. C. ⁴. D. ⁵.

Lời giải Chọn B

Bất phương trình

2 3

2 1 1

2 21 2 0

2

x x



       

3 2

2 1 1

2.2 21 . 2 0

2 2

x x    

          

2 21 2

2.2 .2 2 0

8

x  x

   

Đặt: t2 ,^2x t0

2

2. 21 2 0 8

16 16 21 0

t t

t t

   

   

7 3

t 4 4 t

     . So với điều kiện t2^2x 0 Ta được

2

2

3 3 3

2 2 log

4 4 4

t  x  x    

2 2

1 3 3

log log

2 4 4

x   x

     

Suy ra 2; 3 a b 4

. Do vậy

 

^{ab 2 3}

Câu 7. Bất phương trình

1 1 1

9.4^x 5.6^x 4.9^x có tập nghiệm là



^{a b;}



_{. Khi đó} ^b_{a bằng}

A. ⁰. B. ². C. ⁴. D. ⁶.

Lời giải Chọn A

1 1 1

9.4^x5.6^x 4.9^x, điều kiện ^x0 Chia 2 vế cho

1

9^x 0

  ta được

1 1

4 6

9. 5. 4

9 9

x x

 

     

   

    Đặt

2 1

3 0 t x

 

  

 

2 4

9. 5 4 0 1

t t t 9

       

Vì điều kiện ^t0 ta được 0 4

t 9

 

Vậy

1 2

2 2 1 1 2 1

2 2 0 0

3 3

x x

x x x

 

           

   

   

Xét dấu ta có

1 0

2 x

  

. Do đó b 0 a

. Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình

1 1

4 3.2 8

2 1 0

x x

x





 

  có dạng là ^{S }



^{a b;}



^



^c;



_{. Giá trị}

3 a b c 

thuộc khoảng nào dưới đây?

A.



^{ 2; 1}



_{. B.}



^1;0



_{. C.}

 

^0;1 _{. D.}

 

^1;4

Lời giải

Chọn C

Ta có

1 2

1 1

1 1 2

1

4 3.2 8 0 2 6.2 8 0

2 1 0 2.2 1

4 3.2 8

2 1 0 4 3.2 8 0 2 6.2 8 0

2 1 0 2.2 1

x x x x

x x

x x

x x x x x

x x



 

 



       

 

  

 

 

             .

 

2 2

2 4

1 1 2 2 1 1

2 2 2 2

2 4

2 2 4

2 1 2

x x x x

x x

x

x x VN

 

 

 

      

   

      

 

 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^{S  }



^1;1



^



^2;



_.

2

 

1; 1; 2 0;1

3 3

a b c

a b c  

       

.

Câu 9. Biết phương trình 6



^{3 2}

 

6



6

 

1 1

log 2 6 2 1 log log 1

2 x  x  6  x  x

có có nghiệm duy nhất

3

x a

 b c

 với ^{a b c a, ,}



^0



là các số nguyên và a

c tối giản. Tính ^{S a 2b3c}. A. ^{S 4}. B. ^{S 6}. C. ^{S 2}. D. ^{S 3}.

Lời giải Chọn C

Điều kiện: ^{3 2} 1

3 1 0

x

x x

 

   



Phương trình tương đương với



^{3 2}



³

 

⁶



^{3 2}



³

 

⁶

6 6

2 6 2 2 6 2

log log 1 1

6 6

x x x x

x x x x

   

 

     

 

²

 

³

 

²

3 2 3 3

2x 6x 2 x 1 6x 2 x 1 6x x 1 6x 0

          

3 2

3

3 3 3

1 1 1

2 1 0 1 1 6

6 6 6

x x x

x x

x x x

  

   

           

    ³

1 x 2 1

  

Vậy nghiệm của phương trình là ³ 1 x 2 1

 . Suy ra a1;b2;c 1  S 2.

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số ^m để bất phương trình ^{9 log}



^{3 3 x}



^{2log3x2m0}

nghiệm đúng với mọi giá trị ^x



^3;81



_.

A. ^{m 1}. B. ^m10. C. ^{m 10}. D. ^{m 1}. Lời giải

Chọn D

Với ^x



^3;81



_{ta có}



³³



^{2 3}

9 log x log x2m0

1 2

3 3 3

9 log x  log x 2m 0

     

  



log3x



²log3x2m0. Đặt log³x t , khi ^x



^3;81



_thì ^t

 

^{1; 4} _.

Khi đó, ta có t² t 2m0^{2m  t2 t}

 

^* _.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{  t2 t} _với ^t

 

^{1; 4} _.

Ta có ^{f t}

 

     ^{2 1 0,t t}

 

^1;4

. Ta có bảng biến thiên

Bất phương trình đã cho đúng với mọi ^x



^3;81



khi và chỉ khi bất phương trình

 

^* _{đúng với}

mọi ^t

 

^1;4 _{2m    2 m 1.}

 Mức độ 4

Câu 1. Cho phương trình



^{m3 9}



^log2x2



^m1



^{xlog 32   m 1 0}

 

¹ . Biết rằng tập các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt là một khoảng



^{a b;}



_{. Tổng S  a b}

bằng

A. ⁴. B. ⁶. C. ⁸. D. ¹⁰.

Lời giải Chọn A

Điều kiện: ^x0

Với ^x0 ta có x^{log 32} 3^log2x do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình



^{m3 9}



^log2x2



^{m1 3}



^{log2x  m 1 0}

Đặt t3^log2x



^t0



Khi đó phương trình

 

¹ trở thành



^m3



^t22



^m1



^{t m  1 0}

 

^* _.

Phương trình

 

¹ _{có 2 nghiệm x} phân biệt  phương trình

 

^* _{có 2 nghiệm t} dương phân biệt

3 0 0 0 0 m

S P

  

 

  

 

 

 

2

3 0

2 2 0

2 1

3 0

1 0

3 m

m m m

m m

  

  

 

  

 

  





3 1 1

1 3

m m m

m

 

  

  

  

   1 m 3.

Khi đó, 1 3 a b

 

   S 4.

Câu 2. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số ^m sao cho phương trình



^{2 2}



²

 

1 1

log _{m  m} x y log 2x4y5

có nghiệm nguyên



^{x y;}



_{duy nhất ?}

A. ². B. ³. C. ¹. D. ⁶.

Lời giải Chọn C

Điều kiện ^{  1 m 1}

Có ^{2 m 1 1 m 2}



^{m  1 1 m}



^{ 2.2 2}



^{2 2}



²



^{2 2}



1 1

log _{m  m} x y log x y

   

  

^{2 2}



2 2

log 2x 4y 5 log x y

    

2 2

2x 4y 5 x y

    



^{x 1}

 

^{2 y 2}



^{2 0}

    

1 2 x y

 

  

Với x1,y 2 log _{m  }1 1 _m

 

5 log 52

 

 m 0 . Câu 3. Cho phương trình log9x²4log 43



x  1



log3m

(m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của ^mđể phương trình đã cho có nghiệm?

A. ⁵. B. ³. C. Vô số. D. ⁴.

Lời giải Chọn C

Điều kiện:

2 0 1

4 1 0 4

0 0

x x

x m m

   

   

 

   



Phương trình đã cho tương đương với

 

^{4 1}

3 3 3

log xlog 4x1 log m^

 

3 4 3

log log 1

4 1

x x m

 



 

⁴

1

4 1

x x m

 





^{4 1}



⁴

x (*)

m x

  

Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số



^{4x 1}



⁴

y x

 

và đường thẳng ^{y m} .

Xét hàm số



^{4 1}



⁴ 1

, 4

y x x

x

  

.

 

³

 

⁴

  

³

   

³



2 2 2

16 4 1 4 1 4 1 16 4 1 4 1 12 1

x x x x x x x x 0

y x x x

       

    

,

1 x 4

  .

Do đó



^{4 1}



⁴ 1

0, 4

y x x

x

    

Do đó phương trình có nghiệm khi ^m0.

Vậy có vô số giá trị của ^m thoả mãn yêu cầu đề bài.

Câu 4. Cho phương trình 2 log ²3x



m7 log 9



3

 

x 20 4 m0. (m là tham số thực). Tập hợp tất cả giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x¹, ² thỏa x¹ 3 x² là

A.



^1;



_{. B.}



^2;



_{. C.}



^{ 1;}



_{. D.}



^1;



Lời giải Chọn D

Phương trình đã cho tương đương 2log 3²x



m7 (log



3x 2) 20 4 m0

 

2

3 3

2 log x m 7 log x 6 2m 0

     

.

Đặt tlog³x. Khi đó phương trình trở thành ^2t2



^m7



^{t 6 2m0} ₍₁₎

Ta dễ dàng nhẩm được 1 nghiệm của phương trình (1) là ^t2 nên nghiệm còn lại là 3

2 t m

 .

Ta có x¹  3 x² log^{3 1}x log 3 log³  ³x²   t¹ 1 t².

Vậy ta đã có 1 nghiệm t²  2 1 nên phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện khi và chỉ khi

3 1 1

2

t m m

   

.

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ^{log 323 xlog3x m  1 0} có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng

 

^0;1 _.

A.

0 9 m 4

  . B.

9 m4

. C.

0 1 m 4

  . D.

9 m 4

. Lời giải

Chọn A

Điều kiện: ^x0.

Đặt tlog ;3x x

 

0;1   t



;0



Khi đó ta có phương trình: log 33² xlog3x m   1 0



log 3 log3  3 x



²log3x  1 m

2

3 3

log x 3log x m

    .

Đặt tlog³x ta được phương trình t²  3t m (*)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc

 

^{0;1 } phương trình ẩn t có hai nghiệm phân biệt thuộc



^;0



_.

Xét hàm số y t ² 3t trên



^;0



ta có ' 2y  t 3 ' 0 2 3 0 3

y t t 2

        .

Ta có BBT

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thuộc



^;0



thì đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số ^{y f t}

 

tại hai điểm phân biệt thuộc



^;0



^{9 0 0 9}

4 m m 4

         .

Câu 6. Gọi ^S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số ^m thuộc đoạn



^10;10



để bất phương trình

2

2

3 2

2 1

log 2 4 5 2

1 x x m

x x m

x x

  

   

  có nghiệm. Số phần tử của tập hợp ^S bằng

A. 15. B. 5. C. 20. D. 10.

Lời giải Chọn D

Điều kiện xác định

2 2

2 1

1 0 x x m

x x

   

  2x²   x m 1 0.

Ta có

2 2

3 2

2 1

log 2 4 5 2

1

x x m

x x m

x x

  

   

 

2 2

3 2

2 1

log 1 2 4 4 2

1 x x m

x x m

x x

  

     

 

 

2

2

3 2

2 1

log 2 4 4 2

3 1

x x m

x x m

x x

  

    

 



²

 

²



3 3

log 2x x m 1 log 3 x x 1

       ^{ 2 2}



^{x2   x m 1}

 

^{6 x2 x 1}





²



log 23 x x m 1

    ^{2 2}



^{x2  x m 1}



^{ log 33}



^{x2 x 1}



^6



^{x2  x 1}



_.

Xét hàm số f t

 

log3t2t với ^t0.

Ta có

 

^{1 2 0, 0}

.ln 3

f t t

 t    

. Suy ra hàm số f t

 

đồng biến trên khoảng



0; 



. Do đó phương trình tương đương với



^{2 2 1}



f x   x m ^{ f}



³



^{x2 x 1}

  2x2  x m 1 3x2 x 1

2 2 2

x x m

    .

BPT x²2x 2 m có nghiệm ^{ m ming x}

 

_với ^{g x}

 

^{x22x2}_.

Xét hàm số g x

 

x²2x2 với ^x có g x

 

2x2.

 

⁰

g x  _{2x 2 0  x 1} . Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra ^{ming x}

 

^1_.

Do đó ^m1.

Vì ^{m }



^10;10



_{nên tập} S



1; 2;...;10



. Vây ^S có 10 phần tử.

Câu 7. Gọi ^{S }

 

^{a b;} là tập hợp tất cả các giá trị của tham số ^m để bất phương trình

   

log3 x.3^x  m x 1 1

có nghiệm đúng với mọi ^x

 

^3;9 . Tính tổng ^{T  a b}. A.

9 T  4

. B.

61 T 16

. C.

41 T 16

. D.

25 T 16

. Lời giải

Chọn D

Bất phương trình ^log3

 

^{x.3x  m x}



^{  1 1}



^log3x



^m1

 

^{x m1 *}

   .

Ta cần tìm m để (*) nghiệm đúng ^{ x}

 

^3;9 _.

Xét sự tương giao của đồ thị ^{y log 3x C d}

 

^{; : y}



^m1

 

^{x m1}



_.

Xét m    1 0 0 m 1, khi đó với ^{ x 1} thì (C) nằm phía trên của đường thẳng d hay (*) đúng với ^{ x 1} nghĩa là nó cũng đúng với mọi ^{ x}

 

^3;9 _(1).

Xét m   1 0 m 1, khi đó đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại điểm có hoành độ ^x1 và một điểm có hoành độ x x ⁰.

Xét ⁰ 9 25 x   m 16

. Khi d có hệ số góc nhỏ hơn 1

4 thì x⁰ 9. Do đó các giá trị thỏa mãn

trường hợp này là 1;²⁵

 

2 m  16

  .

Từ (1) và (2) suy ra

25 0 25

0; 25

16 16

16 a

m S T a b

b

 

  

        .

Câu 8. Có bao nhiêu bộ ( ; )x y với ^{x y,} nguyên và 1x y, 2020thỏa mãn

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           ?

A. ²⁰¹⁷. B. ⁴⁰³⁴. C. ². D. ^2017.2020.

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết kết hợp ĐKXĐ của bất phương trình ta có 1 y 2020, 4 x 2020, ;x y (1).

Ta có

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           

 

3

 

2

2 2 1

4 (y 2) log 3 (y 2) log 0

2 3

y x

x x

y x

    

           (*).

Xét 2 2

 

2 1 7

log log 2 0, 4; 2020

3 3

x x

x x

       

     

    (2).

+ Với y1 thay vào (*) ta được

3 2

2 2 1

3( 4) log ( 3) log 0

3 3

x x x

x

    

        (luôn đúng ^{ x}



^4;2020



do (1) và (2)).

Suy ra có 2017 bộ ( ; )x y .

+ Với y2 thay vào (*) ta thấy luôn đúng ^{ x}



^4;2020



_.

Suy ra có 2017 bộ ( ; )x y . + Với 3 y 2020  y 2 0.

Xét ^{3 3 3}

2 2

log log log 0, 3

2 2 2

y y y y

y y y y

         

        

      (3).

Suy ra (*) vô nghiệm (Do (2) và (3)).

Vậy có 4034 bộ ( ; )x y .

Câu 9. Số nghiệm của phương trình ^{log3 x2 2x log5}



^{x2 2x2}



_là

A. ^3. B. ^2. C. ^1. D. ^4.

Lời giải Chọn B

ĐK: ^{x0; x 2}.

Đặt t x ² 2x x² 2x  2 t 2log3 t log5



t2



.

Đặt log3 t log5



t2



 u ³5

 

log

log 2

t u

t u

 

 

  



3 2 5

u u

t t

 

  



5^u 2 3^u

   

5 2 3

5 2 3

u u

u u

  

   



5 3 2

3 2 5

u u

u u

  

   

5 3 2 (1)

3 1 .

2 1 (2)

5 5

u u

u u

  

          

+) Xét

 

^{1 : 5u 3u 2}

Ta thấy ^u0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm 0

u là duy nhất.

Với u    0 t 1 x² 2x 1 0, phương trình này vô nghiệm.

+) Xét

 

^{2 : 3 2 1 1}

5 5

u u

     

   

   

Ta thấy ^u1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT đánh giá để chứng minh nghiệm ^u1 là duy nhất.

Với u   1 t 3 x² 2x 3 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa ^{x0; x 2}. Câu 10. Tìm số nghiệm x thuộc



^0;100



của phương trình ^{cos 1} 4

 

2 1 cos log 3cos 1

2

x x x

 ^      

.

A. ⁵². B. ⁴⁹. C. ⁵⁰. D. ⁵¹.

Lời giải Chọn D

Ta có ^{cos 1} 4

 

2 1 cos log 3cos 1

2

x x x

 ^      

 

cos 1

2.2 ^x 1 2cosx 2log 3cos4 x 1

    

 

cos

2 ^x 1 2cosx log 3cos2 x 1

    

   

cos

2 ^x cosx 3cosx 1 log 3cos2 x 1

     

 

 

log 3cos2 1 cos

2 ^x cosx 2 ^x log 3cos2 x 1

    

(*) Xét hàm số ^{y f t}

 

^{ 2t t} _{với t .}

Có f t

 

2 ln 2 1 0,^t    t  , suy ra hàm số ^{y f t}

 

đồng biến trên  . Do đó

 

*  f



cosx



 f



log 3cos2



x1

 

cosxlog 3cos2



x1



2cos^x 3cosx 1

   2^cosx3cosx 1 0 (**)

Đặt ^{ucosx  u}



^1;1



_{. Suy ra}

 

^** trở thành ^{2u3u 1 0 1}

 

Xét hàm số ^{g u}

 

^{2u 3u1}g u

 

2 ln 2 3 0,^u     u



1;1



nên hàm số nghịch biến trên đoạn



^1;1



_.

Khi đó (1)g u( )g(1) u 1 cosx 1 x k 2  x 2 ,k k .

Mặt khác ta có ^x



^0;100



^{  0 x 100 0 2k100  0 k 50} _{vì k} nên có 51 giá trị nguyên của ^k thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có 51 nghiệm thuộc đoạn



^0;100



_.