[ET] Đề thi thử THPT Sở Hà Nội 2022

(1)

HƯỚNG ĐẾN KỲ THI THPT 2022 ĐỀ THI THỬ THPT SỞ GD & ĐT HÀ NỘI

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A



2;0;0 ,



B



0;3;0



và C



0;0; 4 .



Mặt phẳng



ABC



có phương trình là

A. 1.

2 3 4 x   y z

B. 0.

2 3 4 x  y z

C. 1.

2 3 4 x  y z

D. .

2 3 4

x  y z Lời giải

Chọn C

Phương trình mặt chắn cắt các trục tọa độ Ox Oy Oz, , lần lượt lại ( ;0;0), ( ; ;0)A a B b y và (0;0; )

C c có phương trình mặt phẳng là: x y z 1 a b c   Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là 1.

2 3 4 x  y z

Câu 2: Cho n k, ^* và ^{n k}^ ^. Công thức nào dưới đây đúng?

A. ^Cⁿ^k ^



^{n k k}^ⁿ^!



^{! !}^. _B.C_n^k n!. C. ^Cⁿ^k ^



^{n k}ⁿ^^!



^!^. _D.^Cⁿ^k ^ⁿ_k^!_!^.

Lời giải Chọn A

Công thức tổ hợp chập ^k của ⁿ phần tử là ^Cⁿ^k ^



^{n k k}^ⁿ^!



^{! !}^.

Câu 3: Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy ^r ^⁴ và độ dài đường sinh ^l^⁵ bằng

A. ^{12 .} B. ^{20 .} C. ^{40 .} D. ^{16 .}

Lời giải Chọn B

Diện tích xung quanh hình nón được tính theo công thức: ^S^xq ^rl ²⁰ Câu 4: Cho hàm số f x

 

có ^f

 

² ^{ }^{1, 3}^f

 

^^5;_{hàm số} f x

 

liên tục trên đoạn

 

^{2;3 .}_{Khi đó}

3

 

2

d f x x



bằng

(2)

A. ^6. B. ^7. C. ^4. D. ^9.

Ta có: ³

 

2

d (3) (1) 6

f x x  f  f 



Câu 5: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^^{; 4 .}



_B.



^{ }^{; 2 .}



_C.



^^{2;3 .}



_D.



^0;^



^.

Hàm số nghịch biến khi '( ) 0f x  , nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên



^{ }^{; 2 .}



Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hàm số ylogx nghịch biến trên



0;



. B. Hàm số ylogx đồng biến trên ^.

C. Hàm số ylogx nghịch biến trên ^. D. Hàm số ylogx đồng biến trên



^0;^



^.

Lời giải Chọn D

Ta có điều kiện của logx là: ^x^⁰ nên loại câu B, C.

Xét

' 1 0 0

y ln10 x

 x   

. Do đó hàm số đồng biến trên



^0;^



^.

Câu 7: Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên  và ^k là một số thựC. Khẳng định nào sau đây sai?

A.



kf x x k f x x

 

^d 

  

^{d .} _B.



^^^{f x}

 

^^^{ }^d^x ^{f x}

 

^^C^.

C. ^_



^{f x x}

 

^d ^{ }_^ ^{f x}

 

^. _D.



^^{f x}

 

^^k^^d^x^



^{f x x}

 

^d ^



^{k x}^{d .}

Lời giải

(3)

Chọn A

Ta có:



kf x x k f x x

 

^d 

  

^d _khik 0 Câu A sai do thiếu điều kiện ^k^⁰

Câu 8: Đồ thị của hàm số y x ³3x²2 là đường cong trong hình nào dưới đây?

A. B.

C. D.

Lời giải Chọn C

Theo đề đồ thị hàm số là hàm bậc 3 với hệ số ^a^⁰ nên ta loại câu A, B.

Xét câu C ta thấy hàm số đi qua điểm (2; 2) .

Thay vào phương trình đề cho ta thấy thỏa yêu cầu bài toán nên ta chọn C.

Câu 9: Tiệm cận đứng của đồ thị của hàm số

2

2 1

y x x

 

  có phương trình

A. ^x^{ }^2. B.

1. x 2

C. ^x^^2. D.

1. x 2 Lời giải

Chọn D

Ta có: ¹² lim 2

2 1

x

x x



  

  nên đồ thị hàm số nhận 1 x 2

làm tiệm cận đứng

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 

^S có phương trình x²y²z²2x4y4z27 0. Tọa độ tâm của mặt cầu

 

^S _là

A.



^^{1; 2; 2 .}^



_B.



^{2; 4; 4 .}^



_C.



^{1; 2; 2 .}^



_D.



^^{2; 4; 4 .}^



Lời giải

(4)

Chọn C

Phương trình mặt cầu tổng quát x²y²z²2ax2by2cz d 0 có tâm là ( ; ; )I a b c và bán kính ^R^ ^a²^^b²^^c²^^d

Do đó phương trình mặt cầu x²y²z²2x4y4z27 0 có tâm là (1; 2;2)I  Câu 11: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy ^B^⁶ và chiều cao ^h^⁷ bằng

A. 32. B. 24. C. 14. D. 42.

Thể tích khối lăng trụ được tính theo công thức : ^V ^^Bh^^{6.7 42}^ Câu 12: Số phức liên hợp của số phức ^z^{ }^{5 2}ⁱ là

A. z  5 2 .i B. z  5 2 .i C. z 5 2 .i D. z 2 5 .i Lời giải

Chọn C

Số phức liên hợp của số phức ^z^{ }^{5 2}ⁱ là z 5 2 .i

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^A



^{1; 2;3}



và mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^y^³^z^{ }^{2 0.}_Đường

thẳng đi qua ^A và vuông góc với mặt phẳng

 

^P có phương trình là

A.

1 2 2 . 3 3

x t

y t

z t

  

   

  

 B.

1 2 2 . 3 3

x t

y t

z t

  

   

  

 C.

1 2 2 . 3 3

x t

y t

z t

  

  

  

 D.

1 2 2 . 3 3

x t

y t

z t

  

  

  

 Lời giải

Chọn C

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( )P nên ta có vecto chỉ phương ^{u n}^{/ /} ^P

 

Ta có: ⁿ^P ^^{(1; 2;3)}^



Phương trình đường thẳng đi qua ^A và có vecto chỉ phương ^u^ ^^{(1; 2;3)}^ là:

1 2 2 . 3 3

x t

y t

z t

  

  

  



Câu 14: Tập xác định của hàm số ^y^



^x³^²⁷



^⁴_là

A. ^D^ ^{\ 3 .}

 

B. ^D^



^3;^



^. _C._D___. _D.^D^



^3;^



^.

Ta có: 4 Z

do đó điều kiện xác định là: x³27 0  x 3

(5)

 

có đạo hàm ^{f x}^

 

^^{x x}



^^{1 .}



Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Xét

'( ) 0 0

1 f x x

x

 

    , với x0,x1 đều là nghiệm bội lẻ Vậy hàm số đã cho có ² cực trị

Câu 16: Cho mặt cầu có diện tích bằng 16cm². Bán kính của mặt cầu đó bằng

A. ²^cm^. B. 2 3 .cm C. ⁴^cm^. D. ³12cm.

Diện tích mặt cầu được tính theo công thức: S4R² Theo đề: S 4R² 16  R 2

Câu 17: Với ,a b là hai số thực dương tùy ý, ^log³

 

^ab³ _bằng

A. 3log³alog .³b B. ³ ³ log 1log .

a3 b

C. 3 log



3alog3b



. D. log³a3log .³b Lời giải

Chọn D

Ta có: ^log³

 

âb³ ^^log³â^^log³^b³ ^^log³â^^3log³^b

Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^M thỏa mãn hệ thức OM  2 i k.

Tọa độ của điểm ^M là A.



^{2;1;0 .}



_B.



^{0; 2;1 .}



_C.



^{2;0;1 .}



_D.



^{1; 2;0 .}



Ta có: ^OM^{}^^(2;0;1) nên điểm ^M có tọa độ là



^{2;0;1 .}



Câu 19: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

¹

 x

trên



^0;^



_là

A. ^{ln .}^x B. ^ln^{x C}^ ^. C. ² 1 .

x

D. ² 1 C.

x  Lời giải

Chọn B Ta có:

1dx lnx C

x  



_với_x_₀

Câu 20: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ⁰?

(6)

A.

lim 8 . 3

 n

   B. lim 4 .ⁿ C.

lim 1 . 4

 n

   D. lim 2 .ⁿ Lời giải

Chọn C

Ta có:

1 1

lim lim 0

4 4

n

   n 

   khi ⁿ^{ }

Câu 21: Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

2 1 3

3 2 1 ?

x y z

 

 

A. u1  



2; 1;3 .



B. u2 



3; 2; 1 . 



C. u4 



2;1;3 .



D. u3 



3; 2;1 .



Đường thẳng

2 1 3

3 2 1

x y z

 

  có vecto chỉ phương là ^u^ ^



^{3; 2; 1 .}^{ }



Câu 22: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

_và^{y g x}^

 

có đồ thị như hình vẽ.

Diện tích ^S của phần gạch chéo trong hình vẽ trên được tính bằng công thức

A.

   

^{d .}

c

a

S 



g x  f x  x

B.

   

^{d .}

c

a

S 



f x g x x

C.

   

^{d .}

c

a

S 



f x g x  x

D.

   

^{d .}

c

a

S 



f x g x  x Lời giải

Chọn B

Công thức tính diện tích hình phẳng là:

   

^{d .}

c

a

S 



f x g x x

(Lý thuyết) Câu 23: Số cạnh của hình lập phương bằng

A. 12. B. 8. C. 6. D. 10.

Lời giải

(7)

Chọn A

Số cạnh của hình lập phương là ¹² (4 cạnh đáy trên + 4 cạnh đáy dưới + 4 cạnh bên).

Câu 24: Cho số phức ^z^{  }^{3 5 .}ⁱ Phần ảo của số phức z_bằng

A. 5. B. ^^3. C. 3. D. ^{5 .}ⁱ

Phần ảo của số phức z_bằng⁵_. Chú ý: tránh sai lầm ở đáp án D

Câu 25: Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y x ³3x²2 là

A.



^{2; 2 .}^



_B.



^{0; 2 .}^



_C.



^{2; 2 .}



_D.



^{0; 2 .}



Ta có:

2 0

' 3 6 0

2 y x x x

x

 

     

Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là



0; 2 .



Câu 26: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên. Số đi m c c tr c a hàm số ể ự ị ủ ^y^ ^{f x}

 

_là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Nhìn đồ thị ta thấy hàm số có ³ điểm cực trị.

Câu 27: Phương trình log3



x5



2 có nghiệm là

A. ^x^^14. B. ^x^^7. C. ^x^^13. D. ^x^^11.

Lời giải

(8)

Chọn A

Điều kiện ^x^{   }^{5 0} ^x ⁵

Ta có: log3



x5



   2 x 5 3²  x 14 (nhận)

Câu 28: Số giao điểm của đồ thị hàm số y x ⁴4x²1 với trục hoành là

A. 2. B. 0. C. 4. D. 3.

Phương trình hoành độ giao điểm x⁴4x² 1 0

Bấm máy tính ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x ³3x5 trên đoạn

 

^{2; 4} _là

A. min^{ }^2;4 y3.

B. min^{ }^2;4 y0.

C. min^{ }^2;4 y5.

D. min^{ }^2;4 y7.

Ta có:

   

2 1 2; 4

' 3 3 0

1 2; 4 y x x

x

   

      

Tính các giá trị: (2) 7, (4) 57f  f 

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y x ³3x5 trên đoạn

 

^{2; 4} _làmin 2;4 y7.

 

_và^{g x}

 

liên tục trên đoạn

 

^0;1 _và¹

 

0

d 1, f x x



¹

 

0

d 3.

g x x



Tích phân

   

1

0

2f x 3g x dx

 

 



bằng

A. 9. B. 10. C. 5. D. 11.

Ta có:

   

1 1 1

0 0 0

2f x 3g x dx2 f x dx( ) 3 g x dx( ) 2.1 3.3 11 

 

 

  

Câu 31: Một phòng thi có 24 thí sinh trong đó có 18 thí sinh nam, 6 thí sinh nữ. Cán bộ coi thi chọn ngẫu nhiên 2 thí sinh chứng kiến niêm phong bì đề thi. Xác suất để chọn được 1 thí sinh nam và 1 thí sinh nữ bằng

A.

9 .

23 B.

2 .

23 C.

3 .

46 D.

9 . 46 Lời giải

Chọn A

(9)

Gọi ^Alà biến cố “ chọn được 1 thí sinh nam và 1 thí sinh nữ “

 

¹⁸¹ ₂ ⁶¹

24

. 9

23 P A C C

 C 

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^y^²^z^{ }^{1 0} _và

 

^{Q x}^: ^²^y^²^z^{ }^{7 0.} Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

 

^P _và

 

^Q _bằng

A.

8.

3 B. 6. C. 8. D. 2.

Ta có n P nQ 



^{1; 2; 2}  

    

P ^{/ /} Q d__{   }P Q_, _ d_A Q_,_{ }_

, với ^A



^^1;0;0

  

^ ^P

  

   

, 2 2 2

1 7 6

3 2

1 2 2

dA Q  

  

   

Câu 33: Cho hình chóp tứ giác đều ^{S ABCD}^. có cạnh đáy bằng ^{2 .}â Gọi Ô là giao điểm của ÂC và BD (tham khảo hình bên). Biết SO a , khoảng cách từ điểm Ô đến mặt phẳng



^SBC



_bằng

A.

5. 5 a

B.

3. 2 a

C. . 2 a

D.

2. 2 a Lời giải

Chọn D

(10)

Ta có .S ABCDlà hình chóp tứ giác đều nên ^SO^



^ABCD



Gọi ^Elà trung điểm của ^AB Ta có

 

^ ⁰ _ ,_ __ _ , _ ⁰

45 sin 45 2.

O SE 2

O SBC

OE BC a

BC SOE SOE d d OH OE

SO BC

          

 



Câu 34: Cho hình chóp ^{S ABC}^. có đáy ^ABC là tam giác đều cạnh ^a^. Cạnh bên ^{SA a}^ và ^SA vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng ^SB và mặt phẳng



^ABC



bằng

A. ^{60 .}^ B. ^{30 .}^ C. ^{45 .}^ D. ^{90 .}^

Ta có cạnh bên ^SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên



^^{SB ABC}^,

  

^^SBA^

Lại có

  ⁰

tan SA 1 45

SBA SBA

 AB  

Câu 35: Cắt một khối trụ có chiều cao 5 dm bởi một mặt phẳng vuông góc với trục thì được hai trụ mới có tổng diện tích toàn phần nhiều hơn diện tích toàn phần của khối trụ ban đầu là 18 dm ². Tổng diện tích toàn phần của hai khối trụ mới bằng

A. 48 dm . ² B. 66 dm . ² C. 144 dm . ² D. 51 dm . ² Lời giải

(11)

Chọn A

Gọi rlà bán kính đáy của hình trụ.

Gọi ,5h hlần lượt là chiều cao của hình H H², ¹trụ . Theo đề ta có



¹ ² ²

  

²



²



2 2

2 2 2

18

2 2 2 5 2 2 .5 2 18

2 18

9 3

2 .5 2 2 3.5 2 .3 48 dm .

tpH tpH tpH

tpH

S S S

rh r r h r r r

r

r r

S r r



      

 

    

  

 

       

 

   

     

Câu 36: Cho số thực dương x 1, 1 x x 2

   

 

  thỏa mãn log 16_x



x



log2_x

 

8 .x Giá trị ^{log 16}x



x



bằng log m

n

  

  với m và n là các số nguyên dương và phân số m

n tối giản. Tổng m n bằng

A. 12. B. 11. C. 9. D. 10.

Đặt ² ² ²

2 2

2 log (8 ) log (4 ) 2log 2 1 2log 2 1 1 1

log log 1

x t t t

t x x t

t x

          

 Mặt khác

 

   

 

   

2

2 2

log 16 4log 2 1 log (8 ) 2 1

log 1

4log 2 1 2 1

log 1

4log 2 1 . log 1 2 log 1

4 4log 2 log 1 2 log 1

4log 2 1 1 log 16

1 1

log 16 1 log 10 log log 11

10 10

x x x

x

x x

x

x x

x

m m

x m n

n n

    



   



     

      

    

 

   

              

Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình 2^x²^²4 là

(12)

A.



^{  }^{; 2}

 

^2;^



^. _B.



^^{2; 2 .}



_C.



^2;^



^. _D.



^{ }^{; 2 .}



Ta có:

 

2

2 2

2 4

2 2

4 2;2

x x

x

x x





 

  

    

Câu 38: Tìm số phức z thỏa mãn z2z 6 3 .i

A. ^z^{ }^{2 3 .}ⁱ B. ^z^{ }^{2 3 .}ⁱ C. ^z^{  }^{2 3 .}ⁱ D. ^z^{  }^{2 3 .}ⁱ Lời giải

Chọn B Đặt ^{z a bi}^{ } Ta có:

   

2 6 3

2 2 6 3

3 6 3

3 6 2

3 3 2 3

z z i

a bi a bi i

a bi a bi i

a bi i

a a

z i

b b

  

     

   

 

 

      

Câu 39: Tính môđun của số phức z biết ^z^



^{4 3 1}^ ⁱ

 

^ⁱ



^.

A. z 7 2. B. z 25 2. C. z 5 2. D. ^z ^^50.

Ta có: ^z^



^{4 3 1}^ ⁱ

 

      ⁱ



⁷ ⁱ ^z ⁷ ⁱ ^z  ⁷²¹² ^{5 2}

Câu 40: Cho a, b, c là các số thực dương, ^a^¹ và log_ab5, log_ac7. Tính giá trị của biểu thức log _a b .

P c

    

A. ^P^^4. B. ^P^^1. C. ^P^{ }^4. D. ^P^{ }^1.

Ta có: ^log a ^{2 log}



a ^loga



^2loga ^2loga ^{2.5 2.7} ⁴

P b b c b c

c

           

(13)

Câu 41: Một vật chuyển động trong 10 giây với vận tốc v



^{m s}^/



phụ thuộc vào thời gian ^{t s}

 

_{có đồ thị}

như hình vẽ. Quãng đường vật chuyển động được trong 10 giây bằng

A.

61 . 2 m

B.

67 . 2 m

C.

65 . 2 m

D.

63 . 2 m Lời giải

Chọn B

Đặt ^{y v t}^

 

, ta được hệ trục tọa độ Oty

Ta có quãng đường vật chuyển động được trong 10 giây là

10

 

0

S



v t dt

 

^m

Mà

10

 

0

v t dt



chính là phần diện tích giới hạn bởi đường ^{y v t y}^

 

^, ^^0,^t^⁰_và_t_₁₀

Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Dựa vào hình vẽ, diện tích cần tính là:

1 1 67

2.3 2.4 .4.3 .1.3 3.4

2 2 2

AODC CDHM CME EGF GFKH

S S S S S S      

Vậy quãng đường đi được là 67

2 m

Câu 42: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ² 2 z

z  z là số thực và



^z^²

 

^z ^²ⁱ



là số thuần ảo?

A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

Lời giải

(14)

Chọn B

Điều kiện xác định:

   

2 2

2 2 2

2 0

2 0 2 2 2 0 0

2 2 0

1

x y x

z z x y x xy y i y

xy y

x

   

    

          

 

  

Đặt z x yi  , ta có:

Vì ² 2 z

z  z là số thực nên

   

2

2 2 2

2

2 2 2 2

z k

z z

z k z z x yi k x y xyi x yi

  

        





² ² ²

 

² ²



x yi k x y x k xy y i

      

 

   

 

2 2

2 2 2 2 2

2

0

1 2

0

2;0;1

2 2

1 2 1 2

2 1

0; 0

0; 1 2 2;0;1

2 2 2 4 0

x k x y x x k x y

y k xy y x

x y x

k x x

x

y x

k

x x x y x x y x

   

   

     

  

       

   

     

  



 



     

        



Với y0;x0 thì vi phạm điều kiện xác định

Vậy điểm biểu diễn của z là đường thẳng y0 và đường tròn



^I^{; 2}



_với^I



^2;0



và trừ các điểm



2;0 , 0;0 , 1;0

      

¹

Ta có:



^z^²

 

^z ^²ⁱ

 

^ ^x^{ }² ^{yi x}

 

^



²^^{y i}

 

^^{x x}



^²



^^{y y}



^²



^^mi_(với_m là số thực thỏa mãn đẳng thức)

Do



^z^²

 

^z ^²ⁱ



là số thuần ảo nên ^{x x}



^²



^^{y y}



^²



^^x²^²^{x y}^ ²^²^y^⁰

Nên điểm biểu diễn số phức z cũng là đường tròn



^K^{; 2}



_với^K



^^1;1



 

²

Ta vẽ tất cả các điểm biểu diễn của z trên cùng hệ trục:

(15)

Ta thấy quỹ tích

 

¹ cắt quỹ tích

 

² 3 điểm trong đó có 2 điểm bị loại là



^0;0



_và



^^2;0



_nên

có 1 số phức thỏa mãn

(Lưu ý, khi thực chiến ta không vẽ được chính xác để nhìn thấy giao điểm thì ta cần tìm giao điểm của chúng bằng tương giao)

Câu 43: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

^._{Đồ thị}^y^ ^{f x}^

 

_trên



^^3;0



như hình vẽ bên (phần đường cong của

đồ thị là một phần của parabol y ax ²bx c ). Cho

 

3

1 ln 2

d ,

e 3

f x x x







giá trị ^f

 

⁰ _bằng

A.

14.

9 B. 2. C. 1. D.

7.

9 Lời giải

Chọn A

Ta có:

     

3

1 0 0

3 3

ln 2

d 3

e

f x

x f t dt f x dx x

  

  

  

Mặt khác:

         

           

0 0

3 3

1 0

3 1

3 0 3

3

3 0 3 3 2 *

3

f x dx x f x x f x dx

f x f x dx x f x dx

 



 

    



 

 

     

 

 

Giả sử ^{g x}

 

^^ax²^^{bx c}^{ } ^{g x}

 

^^{k x}



^³

 

^x^¹



_{. Mà}^g

 

      ² ^k ¹ ^k ¹ Vậy ^{g x}

 

^{  }



^x ³

 

^x^¹



(16)

Ta còn có đường thẳng trong hình vẽ có dạng ^{h x}

 

^^{m x}



^¹



_{. Mà}^h

 

⁰ ^{ }^m ²

Vậy ^{h x}

 

^²



^x^¹



Suy ra

       

   

3 1 3 1

2 1 1 0

x x x

f x x x

      

     



               

   

1 0

3 1

* 3 0 3 3 1 3 .2 1 2

3

2 14

3 0 4 0

3 9

f x x x dx x x dx

f f



 

 

         

 

    

 

Câu 44: Cho lăng trụ ^{ABC A B C}^. ^{  } có diện tích tam giác ^{A BC}^ bằng 4, khoảng cách từ A đến BC bằng 3, góc giữa hai mặt phẳng



^{A BC}^



_và



^{A B C}^{  }



_bằng_{30 .}_ Thể tích khối lăng trụ ^{ABC A B C}^. ^{  } bằng

A. 3 3. B. 6. C. 2. D. 12.

Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của , B C lên



A B C  



, khi đó ^MN^{/ /}^{B C}^{ } và ^MN ^^{B C}^{ } (Do ^BC^{/ /}^{B C}^{ } và ^BC^^{B C}^{ })

Ta có: ^ ^;^ ^^ ^ ^;^ ^^

1 8

. . 4

A BC 2 A BC A BC

S d BC d

       BC

Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu của ^A lên ^BC và lên ^ ^;^ ^^

8 MN d A BC A H

  BC

  

Khi đó , H K có cùng vai trò với ^BC và ^MN nên ^HK^



^{A B C}^ ^{ }



và góc hợp bởi



^{A BC}^



_và



^{A B C}^{  }



_{là góc}_{HA K}_

(17)

Ta được:

o 4

sin sin 30

8

HK HK

HA K HK

A K BC

BC

    

 

Ta có: ^ ^; ^

1 3

2 . 2

ABC A BC

S  d BC BC

Vậy thể tích khối lăng trụ là

. 4 3. 6

ABC 2

V HK S BC

  BC 

Câu 45: Cho hàm số f x

 

là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm số y f x

 

được cho trong hình vẽ

bên. Đặt hàm số

   

³ ² ^.

4 4

x x g x  f x   x

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^{g x m}



^



nghịch biến trên khoảng



^3;^



_là

A.



^{ }^{; 5 .}



_B.



^{ }^{5; 1 .}



_C.



^{ }^1;



^. _D.



^{ }^1;



^.

Ta có:

 



^{g x m}^



^ ^^{g x m}^



^



^{ }⁰ ^{g t}^

 

^⁰



^t ^{ }^{x m}



Xét

   

³ ² ¹ ^{1 0}

 

³ ² ¹ ¹

4 2 4 2

g t  f t  t  t   f t  t  t

Vậy tập các giá trị t thỏa mãn bất phương trình là tập các trị t sao cho hàm số ^y^ ^{f t}

 

_trên

tập đó luôn nằm dưới Parabol

3 2 1 4 2 1 y t  t

với hệ trục tọa độ Oty. Ta vẽ trực tiếp 3 2 1

4 2 1 y t  t

và hình vẽ:

(18)

Vậy

 

³ ² ¹ ¹ ² ⁰

4 2 2 f t t t t

t

  

       Mà t x m 

^3; 

2 0

2 3

2 min

3 1

2

x

x m x

x m

x m x khong xay ra do x khong tontai

x m

m x

 

   

    

       

       

  

Câu 46: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^^10;10



để hàm số ^{h x}

 

^ ^{f x}

 

^^m

có đúng 3 điểm cực trị?

A. 21. B. 19. C. 18. D. 20.

Ta có số điểm cực trị của ^{f x}

 

^^m bằng với số điểm cực trị của ^{f x}

 

_{và bằng 2}

Nên để hàm số ^{h x}

 

^ ^{f x}

 

^^m có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình

 

⁰

 

f x   m f x m

có 1 nghiệm đơn

Mà nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

với đường thẳng ^{y m}^ . Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có 1 nghiệm đơn thì ^m^⁰ hoặc ^m^¹

Vậy có 21 giá trị ^m thỏa đề

(19)

Câu 47: Cho bất phương trình ⁸^x^^{3 .4}^x ^x^



³^x²^^{2 2}



^x^



^m³^¹



^x³^²



^m^^{1 .}



^x Số các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có đúng 5 nghiệm nguyên dương phân biệt là

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Ta có:

     

       

2 3 3

3 2 3 3

3 3

8 3 .4 3 2 2 1 2 1

2 3 . 2 3 .2 2.2 2 2

2 2 2 2

x x x

x x x x

x x

x x m x m x

x x x x mx mx

x x mx mx



      

       

     

Xét hàm số ^{f x}

 

^^x³^²^x^ ^{f x}^

 

^³^x²^{  }^{2 0} ^x nên hàm số đồng biến trên 



²^x

  

²^x ²^x ^x ²^x ¹



⁰



f x f mx x mx m x

x x

           

Xét hàm số ^{g x}

 

²^x ¹

 x 

trên



^0;^



_{, ta có:}

 

^{.2 .ln 2 2}₂ ⁰ ¹ ^{1, 44}

ln 2

x x

g x x x

x

     



Mà ¹ ^{2,88, lim}₀

 

ln 2 ^x

g _g x



    

 

  và lim

 

x g x

  

. Từ đó, ta được bảng biến thiên của

 

g x trên



^0;^



_:

Vậy để bất phương trình ^{g x}

 

^^m cso đúng 5 nghiệm nguyên dương thì ^g

 

⁵ ^{ }^{m g}

 

⁶

7, 4 m 11,67

   nên có 4 giá trị ^m thỏa mãn

Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho điểm M



1; 2;3 .



Đường thẳng d đi qua điểm M, d cắt tia Ox tại A và cắt mặt phẳng



^Oyz



tại B sao cho ^MA^²^MB^. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

A.

5 17.

2 B. 17. C.

3 17.

2 D.

17. 2 Lời giải

Chọn C

Gọi ^{A a}



^;0;0



^^{Ox B}^{, 0; ;}



^{y z}

 

^ ^Oyz



_{, mà}_A thuộc tia Ôx nên â^⁰ TH1: ^M nằm ngoài đoạn ÂB và ^MA^²^MB

(20)

Khi đó,

   

¹

 

; ; 1;2 ;3 2

3 a loai

BA BM a y z y z y y

z z

 



             

    



 

TH2: ^M nằm trong đoạn ^AB và ^MA^²^MB

Khi đó,

   

³ ³

3 ; ; 3 1;2 ;3 6 3 3

9 3 9

2

a a

BA BM a y z y z y y y

z z

z



 

 

            

   

  



 



3;0;0 , 0;3;



⁹ ^{3 17}

2 2

A B  AB

   

Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm ^A



^{1;1;1 ,}

 

^B ^{1;2;2 ,}

 

^I ^{0;0; 4 .}



Mặt cầu

 

S đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với mặt phẳng



^Oxy



_{tại điểm}_C_. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn ^IC bằng

A. 3 2. B. 4. C. 5. D. 2 3.

Gọi ^{K a b c}



^{; ;}



là tâm của mặt cầu

 

^S _{, và do}

 

^S _{đi qua}_A_và_B_nên_K nằm trên mặt phẳng trung trực

 

^P _của_AB

Do ^AB^

 

^P _nênn  P AB



^0;1;1



và

 

^P đi qua trung điểm

1; ;3 3 M 2 2

 

  của ^AB

 

^P ^:^{y z} ^{3 0} ^{b c} ^{3 0} ^{b c} ³

          

Do

 

S tiếp xúc với



Oxy



tại ^C nên KC Oxy và ^C là hình chiếu của ^K lên



Oxy



nên



^{; ;0}



C a b

Mà ^{AK CK}^ ^



^a^¹

 

²^{ }^b ¹

 

²^{ }^c ¹



² ^^c² ^^a²^{ }^b² ²



^{a b c}^{   }



^{3 0}

 

2 2 2 3 3 0 2 2 2 3 0

a b a a a b

           Mà ^{C a b}



^{; ;0}



_nên^C^



^{J R}^; ^²



_với^J

 

^1;0

(21)

Lại có

2 2

max max

IC  ID DC với ^D là hình chiếu của ^I lên



^Oxy



_và^D



^0;0;0



Mà do ^C^



^J^{; 2}



_nênDCmax DJ R   ^{1 2 3}, đạt được khi , , C J D thẳng hàng và ^J nằm giữa , C D

Vậy ^IC^max ^ ^ID²^^DC^max² ^ ⁴² ^³² ^⁵

Câu 50: Cho 2 số phức z, w phân biệt thỏa mãn ^z ^ ^w ^⁴ và



^{z i w i}^

   là số thực. Giá trị nhỏ nhất của z w bằng

A. 2 15. B. 2 3. C. 8. D. 2 14.

Đặt z a bi w x yi  ,   Ta có:



^{z i w i}^

 

^{ }

 

^a^



^b^¹



^{i x}

 

^



^y^¹



ⁱ



^^ax^



^b^¹

 

^y^{ }¹

 

^{x b}



^{ }¹



^{a y}



^¹

 

ⁱ

Là số thực



¹

 

¹



⁰ ¹

1 x y x b a y

a b

       



Xét số phức ^{z i a}^{  }



^b^^{1 ,}



^{i w i}^{  }^x



^y^¹



ⁱ có điểm biểu diễn lần lượt là



^; ^{1 ,}

 

^; ¹

 

^; ^{1 ,}

 

^; ¹



A a b B x y OA a b OB x y

Do

1 1 x y a b

 

 nên 2 vecto OA

và OB

tỉ lệ với nhau, vì thế chúng cùng phương, tức , , O A B thẳng hàng. Vậy , A B nằm trên đường thẳng ^{y kx}  A a ka B x kb



^;

 

^, ^;



Do , A B là điểm biểu diễn của z i w i ,  nên ^{M a ka}



^; ^^{1 ,}

 

^{N b kb}^; ^¹



lần lượt là điểm biểu diễn của ^{z w}^, , tức M N, nằm trên đường thẳng y kx 1

Mặt khác, do ^z ^ ^w ^⁴ nên M N, cùng thuộc đường tròn



^O^{; 4}



_và ^{z w}^ ^^MN

(22)

Nhận thấy rằng đường thẳng y kx 1 luôn đi qua điểm cố định ^A

 

^0;1 _và_MN là một dây cung của



^O^{; 4}



_nên_MN nhỏ nhất khi khoảng cách từ ^O đến đường thẳng y kx 1 lớn nhất, tức ^A

 

^0;1 là hình chiểu của ^O lên đường thẳng y kx 1, khi đó:

2 2 2 2

2 2 4 1 2 15

MN  R OA    . Dấu bằng xảy ra khi ^k ^⁰