Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 12

(1)

Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực.

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i² = –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; – i cũng là một căn bậc hai của –1 vì (–i)² = –1.

Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn.

Căn bậc hai của –16 là 4i vì

 

^⁴ⁱ ² ^¹⁶

Căn bậc hai của –5 là  5i vì



^ ⁵ⁱ



² ^⁵

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là i a . 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax²+ bx + c = 0 với a; b ; c  ;a 0. Xét biệt số ∆ = b² – 4ac của phương trình. Ta thấy:

 Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực b x 2a

  .

 Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai thực của ∆ là   và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức _1;2 b

x 2a

  

 .

 Khi ∆ < 0, ta có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là i  . Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức _1;2 b i

x 2a

  

 .

– Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát: Mọi phương trình bậc n ( n 1) :

a0.xⁿ + a1.x^{n – 1} + ….+ an–1.x + an = 0

Trong đó; a0 ; a1;…..; an ; a₀ 0 đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: – 10; – 15; – 73; –144.

Lời giải:

(2)

Căn bậc hai của –10 là  10i vì



^ ^10.i



²^¹⁰^.

Căn bậc hai của – 15 là  15.i vì



^ ^15.i



²^¹⁵^.

Căn bậc hai của – 73 là  73.i vì



^ ^73.i



²^⁷³^.

Căn bậc hai của –144 là 12i vì



^¹²ⁱ



²^¹⁴⁴^.

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) 2z²+ 4z + 3 = 0;

b) 5z² – 3z + 1 = 0;

c) –z² – 4z – 8 = 0.

Lời giải:

a) 2z²+ 4z + 3 = 0 có a = 2; b = 4; c = 3

∆ = 4² – 4. 2.3 = – 8 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

1;2

4 i 8 2

z 1 .i

2.2 2

    

b) 5z² – 3z + 1 = 0 có a = 5; b = –3; c = 1

∆ = (–3)² – 4. 5.1 = –11 < 0

1;2

3 i 11 3 11

z i

2.5 10 10

    .

c) – z² – 4z – 8 = 0 có a = –1; b = – 4; c = –8

∆ = (– 4)² – 4.(–1).(–8) = 16 – 32 = –16 < 0

1;2

4 4i

z 2 2i

2.( 1)

   

 .

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z⁴ + 3z² + 2 = 0;

b) z⁴ – 3z² – 18 = 0.

Lời giải:

a) z⁴ + 3z² + 2 = 0;

 z⁴ + z² + 2z² + 2 = 0;

z².(z² + 1) + 2(z² + 1) = 0

(3)

(z² + 2). (z² + 1) = 0

2 2

z 2 z i 2

z 1 z i

     

      

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ^S^



^i;^^{i;i 2;}^^{i 2}



^.

b) z⁴ – 3z² – 18 = 0

 z⁴ + 3z² – 6z² – 18 = 0

 z².(z² + 3) – 6(z² + 3) = 0

( z² – 6). (z² + 3) = 0

2 2

z 6

z 3 z i 3

  

 

      

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là là ^S^{ }



^{i 3;}^ ⁶



^.