Nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm – Trần Văn Tài - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

ⓣⓗⓑⓣⓝ

Khái niệm nguyên hàm và tính chất 1. Khái niệm nguyên hàm

— h h f x( ) h K. H F x( ) g i nguyên hàm h

f x( ) trên K F x( ) f x( ), x K.

— N F x( ) g h f x( ) trên K h h nguyên hàm h f x( ) trên K

( ) ( ) , .

f x dx F x C const C

2. Tính chất N f x( ), ( )g x 2 h i ụ K và k 0 thì ta luôn có:

( ) ( ) .

f x dx f x C kf x dx( ) k f x dx( ) .

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x dx f x dx g x dx

ảng nguyên hàm c m t hàm thư ng g p v i C à h ng t y



1

x dx x C

1 ( ) 1

( )

1

n

n ax b

ax b dx C

a n

 ¹ dx lnx C x

1 1

ln

dx ax b C

ax b a

 1₂ 1

dx C

x x ²

1 1 1

( ) dx C

a ax b ax b

 sinx dx cosx C _sin(_ax _{b dx}₎ ¹_cos(_ax _b₎ _C a

 cosx dx sinx C _cos(_ax _{b dx}₎ ¹ _sin(_ax _b₎ _C a

 1₂

sin dx cotx C

x ²

1 1

cot( )

sin ( )dx ax b C

ax b a

 1₂

cos dx tanx C

x ²

1 1

tan( )

cos ( )dx ax b C

ax b a

 e dx^x e^x C _e^{ax b} _dx ¹ _e^{ax b} _C a

 ln

x

x a

a dx C

a ² ²

1 ln 2

dx x a

a x a C

x a

♦ Nhận xét. Khi thay x g ⁽^ax ^b⁾ h g h h h ¹ a

PHẦN 1:

NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

(2)

M t ưu

1. ầ ắ vữ g g g h .

2. Ng h h h g hi h h g

h h g g h hữ g h h h hầ .

3. M g h h h i h

hữ g h g h v g g h .

Dạng toán 1. TÍNH NGUYÊN HÀM ẰNG ẢNG NGUYÊN HÀM

ⓣⓗⓑⓣⓝ

BÀI TẬP VẬN DỤNG

a) ( ) 3 ² 2

f a a a ĐS:

2

( ) 3 .

4

F a a a C

………

b) f b( ) 2b³ 5b 7. ĐS:

4 2

( ) 5 7 .

2 2

b b

F b b C

1. T h hứ h ặ ũ hừ h i iể .

2. T h h ũ h i iể he ô g hứ ũ.

3. hứ ă h ể v ũ hừ .

4. T h g gi ậ i v i h i iể he ô g hứ h h h

ổ g.

5. Bậc chẵn c a sin và cosin Hạ bậc.

Phương Pháp

Tìm nguyên hàm c a các hàm s gi ử i iệ h

P ươ p áp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất nguyên hàm.

Bài 1

(3)

………

c) f c( ) 6c⁵ 12c³ c² 8. ĐS:

3

6 4

( ) 3 8 .

3

F x c c c c C

………

d) f x( ) (x² 3 ) (x x 1) ĐS:

4 2 3 3 2

( ) .

4 3 2

x x x

F x C

………

e) f x( ) (3 x) .³ ĐS:

(3 )4

( ) .

4

F x x C

………

f) 1₂ ² 1

( ) 3

f x x

x ĐS:

1 3

( ) .

3 3

x x

F x C

x

………

g) f x( ) 10 .²^x ĐS:

102

( ) .

2 ln10

x

F x C

………

h) f x( ) x³ 4x ³

x ĐS:

4

( ) 2 2 3.ln .

4

F x x x x C

………

i)

2 4 2 ( ) t

f t t ĐS: ( ) ² ³ ² .

F t 3 t C

t

………

j) ₂1

( ) x

f x x ĐS: F x( ) ln x ¹ C.

x

………

k) ( ) 2 sin² 2

f x x ĐS: ^{F x}^{( )} ^x ^sin^x ^C^.

………

l) f x( ) cos .²x ĐS: ( ) ¹ ¹sin 2 .

2 4

F x x x C

………

m) f x( ) tan .²x ĐS: ^{F x}^{( )} ^tan^x ^x ^C^.

………

n) ₂ 1 ₂

( ) sin .cos

f x x x ĐS: F x( ) 2cot2x C.

………

(4)

o) f x( ) 2 sin 3 cos2 .x x ĐS: ( ) ¹cos 5 cos .

F x 5 x x C

………

p) f x( ) e e^x.( ^x 1). ĐS: ( ) ¹ ² .

2

x x

F x e e C

………

q) ( ) 2 ₂

cos

x

x e

f x e

x ĐS: F x( ) 2e^x tanx C.

………

r) I ( x ³x dx) . ĐS:

2

3 3

2 .

I x C

………

s) ²

3 2

2 1

I x dx

x ĐS: ² ³ 3³ .

I 3x x C

………

t) 1 ₃3 ₅5

I 2 dx

x x x ĐS: ( ) ⁹³ ² ²⁵ ⁵ ⁴ .

2 4

F x x x x C

………

u) I 4 sin²x dx. ĐS: I 2x sin2x C.

………

v) ¹ ^{cos 4} .

2

I x dx ĐS: ^{sin 4} .

2 8

x x

I C

………

w) I (3 cosx 3 )^x ¹ dx ĐS:

3 1

3 sin .

ln 3

x

I x C

………

x) I (tanx 2 cot ) . .x dx² ĐS: I tanx 4 cotx 9x C.

………

y) I ³u u.( 4). .du ĐS: ³ ³ ⁷ 3³ ⁴ .

I 7 u u C

………

(5)

a) F x( ) 5x³ 4x² 7x 120và f x( ) 15x² 8x 7.

...

b) F x( ) ln(x x² 3)và

2

( ) 1 .

3 f x

x

...

c) F x( ) (4x 5) e^x và f x( ) (4x 1) e^x.

...

d) F x( ) tan⁴x 3x 5 và f x( ) 4 tan⁵x 4 tan³x 3.

...

e)

2 2

( ) ln 4

3 F x x

x và

2 2

( ) 2 .

( 4) ( 3)

f x x

x x

...

f)

2 2

2 1

( ) ln

2 1

x x

F x x x và

2 4

2 2( 1)

( ) .

1 f x x

x

...

Chứng minh là m t nguyên hàm c a hàm s g ờng h p sau:

P ươ p áp: Để là một nguyên hàm của hàm số ta cần chứng minh:

Bài 2

(6)

a) f x( ) x³ 4x 5, (1)F 3. ĐS:

4

2 5

( ) 5

4 4

F x x x x

...

b) f x( ) 3 5 cos , ( )x F 2. ĐS: F x( ) 3x 5sinx 2 3 . ...

...

c)

3 5 2

( ) x , ( ) 1.

f x F e

x ĐS:

2 2

5 5

( ) 3 ln 2.

2 2

x e

F x x

...

d)

2 1 3

( ) , (1)

2

f x x F

x ĐS:

2

( ) ln 1.

2

F x x x

...

e) ^{f x}^{( )} ^{x x} ¹ ^{, (1)}^F ^2.

x ĐS: ( ) ² ⁵ 2 ²²

5 5

F x x x

...

f) I sin 2 .cos . ,x x dx i 0.

F 3 ĐS: ( ) ¹cos 3 ¹cos ¹

6 2 12

F x x x

...

Tìm nguyên hàm c a các hàm s thỏ ã i u kiệ h ớ g ờng h p sau:

P ươ p áp: Tìm nguyên hàm của hàm số tức đi tính Rồi sau đó thế để tìm hằng số

Bài 3

(7)

g)

4 3

2

3 2 5

x x ,

I dx

x i F(1) 2. ĐS: F x( ) x³ x² ⁵ 7.

x ...

...

h)

3 2

2

3 3 7

( 1) ,

x x x

I dx

x i F(0) 8. ĐS:

2 8

( ) 2 1

F x x x

x ...

...

i) sin² ,

2

I x dx i

2 4

F ĐS: ( ) ^sin ¹

2 2 2

x x

F x

...

j) I x x ¹ dx,

x i (1) ⁷

F 2 ĐS:

3 13

( ) .

3 6

F x x x

...

k)

2 2

2 cos 1 cos ,

I x dx

x i

4 2

F ĐS: F x( ) 2x tanx 1.

...

a)

3 2

2

( ) (3 2) 4 3

( ) 3 10 4

F x mx m x x

f x x x ĐS: ^m ^1.

...

T i u kiện c a tham s m hoặc a, b, c ể là m t nguyên hàm c a hàm s

P ươ p áp: Để là một nguyên hàm của hàm số Từ đó, ta sử dụng đồng nhất thức để tìm ra tham số cần tìm.

Bài 3

(8)

...

b)

2

( ) ln 5

2 3

( ) 3 5

F x x mx

f x x

x x

ĐS: m 3.

...

c)

( ) ( 2 )

( ) ( 3)

x x

F x ax bx c e

f x x e ĐS: ^a ^0,^b ^1,^c ^4.

...

d)

2 2

( ) ( )

( ) (2 8 7)

x x

F x ax bx c e

f x x x e ĐS: ^a ^1,^b ^3,^c ^2.

...

e)

2 2

( ) ( )

( ) ( 3 2)

x x

F x ax bx c e

f x x x e ĐS: ^a ^1,^b ^1,^c ^1.

...

f) ^{( )} ⁽ ^1)sin ₂^{sin 2} ₃^{sin 3} ( ) cos

b c

F x a x x x

f x x ĐS: ^a ^b ^c ^0.

...

(9)

g)

2 2

( ) ( ) 2 3

20 30 7

( ) 2 3

F x ax bx c x

x x

f x x

ĐS: a 4, b 2, c 1.

...

h) ( ) 3₂ , ( 3)

( ) ( ) 3

f x x x x

F x ax bx c x ĐS: ²; ²; ¹²

5 5 5

a b c

...

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM

Câu 1. Ng h h f x x³ 3x 2 h g h ? A.

4 2

3 2

4 2

x x

F x x C . B.

4

3 2 2 3

F x x x x C .

C.

4 2

4 2 2

x x

F x x C . D. F x 3x² 3x C .

Câu 2. H F x 5x³ 4x² 7x 120 C h g h h ? A. f x 15x² 8x 7. B. f x 5x² 4x 7.

C.

2 3 2

5 4 7

4 3 2

x x x

f x . D. f x 5x² 4x 7.

Câu 3. H g h h y x² 3x ¹ x là A.

3

3 2

3 2 ln

F x x x x C . B.

3

3 2

3 2 ln

F x x x x C .

C.

3

3 2

3 2 ln

F x x x x C . D. 1₂

2 3

F x x C

x .

Câu 4. T g h h f x x 1 x 2 A.

3

3 2

3 2 2

F x x x x C . B.

3

2 2

3 3 2

F x x x x C.

C. F x 2x 3 C. D.

3

2 2

3 3 2

F x x x x C.

(10)

Câu 5. Nguyên hàm F x h 2 2 3₂ 5 2

f x x x x h ?

A. F x ln 5 2x 2 lnx ³ C

x . B. F x ln 5 2x 2 lnx ³ C x . C. F x ln 5 2x 2 lnx ³ C

x . D. F x ln 5 2x 2 lnx ³ C x . Câu 6. M g h h f x( ) x³ 3x² 5 là

A. 3x² 6x B. 3x² 6x C C.

4

3 5

4

x x x C D. x⁴ x³ 5x C

Câu 7. M g h h f x( ) x 3 ⁴ là A.

3 4

4

x B. 4 x 3 ³ C.

3 5

5

x D.

3 3

3 x

Câu 8. M g h h f x( ) x³ 3x² 5 là A. 3x² 6x B. 3x² 6x C C.

4

3 5

4

x x x C D. x⁴ x³ 5x C

Câu 9. M g h h g x( ) 5x⁴ 4x² 6 là:

A. ⁵ ⁴ ³ 6

x 3x x CB. 20x³ 8x C C. 20x³ 8x D. ⁵ ⁴ ³

x 3x C

Câu 10. Tính 3x² ¹ 2dx x

A.

3

ln 2

3

x x x C B. ³ 1₂

2

x x C

x

C. x³ lnx C D. x³ lnx 2x C

Câu 11. Cho f x( ) x³ 3x² 2x. M g h F x( ) f x( ) hỏ F 1 0 là:

A.

4

3 2 1

4 4

x x x B.

4

3 2 1

4 4

x x x

C.

4

3 2

4 1

x x x D.

4

3 2

4 1

x x x

Câu 12. G i F x( ) ậ h g h h f x( ) 3x² 2x 1 thì F x( )là:

A. F x( ) 3x³ 2x² x C B. F x( ) x³ x² 1 C

C. F x( ) x x( ² x 1) C D. ( ) ¹ ³ ¹ ²

3 2

F x x x x C

Câu 13. K x x² 1²dx g A.

2 13

( ) 3

F x x C B.

2 13

( ) 6

F x x C

(11)

C.

2 3

( ) 2 3

x x

F x x C D.

2 3

( ) 2 1

6

F x x x C

Câu 14. M g h F x h f x( ) ¹ x là:

A. 1₂

( )

F x x B. 1₂

( )

F x x C. F x( ) lnx D. F x( ) ¹ x Câu 15. T h g h F x h f x( ) 3 sinx ²

x A. F x( ) 3 cosx 2 lnx C B. F x( ) 3 cosx 2 lnx C C. F x( ) 3 cosx 2 lnx C D. F x( ) 3 cosx 2 lnx C Câu 16. T h g h F x h f x 3x² – 3^x

A. ³ 3

( ) ln 3

x

F x x C B. ³ 3

( ) ln 3

x

F x x C

C.

3 3

( ) 3 ln 3 x x

F x C D.

3 3

( ) 3 ln 3 x x

F x C

Câu 17. Tính 1 x dx⁹ A. ( ) ¹ 1 ¹⁰

F x 10 x C B. ( ) ¹ 1 ¹⁰

F x 10 x C

C. ( ) ¹ 1 ¹⁰

F x 10 x C D. ( ) ¹ 1 ¹⁰

F x 10 x C

Câu 18. Tìm nguyên hàm F x h f x x x 2 ² A.

4

3 2

( ) 4 2

4 3

F x x x x C B.

4

( ) 2 2

4

F x x x C

C.

3

( ) 2 2

3

F x x x C D. K t qu khác.

Câu 19. H g h f x( ) x² 2x 1 là:

A. ( ) ¹ ³ 2

F x 3x x C B. F x( ) 2x 2 C

C. ( ) ¹ ³ ²

F x 3x x x C D. ( ) ¹ ³ 2 ²

F x 3x x x C

Câu 20. Ng h h f x( ) (2x 1)³ là:

A. ¹(2 1)⁴

2 x C B. (2x 1)⁴ C C. 2(2x 1)⁴ C D. K t qu khác Câu 21. Ng h h f x( ) (1 2 )x ⁵ là:

A. ¹ (1 2 )⁶

12 x C B. (1 2 )x ⁶ C C. 5(1 2 )x ⁶ C D. 5(1 2 )x ⁴ C

(12)

Câu 22. Ng h h f = 3₂

2x x là :

A. x² ³ C

x B. ² 3₂

x C

x C. x² 3 lnx² C D. K t qu khác Câu 23. T h f x i g f x’ 2x 1 và f 1 5

A. x² x 3 B. x² x 3 C. x² x D. K t qu khác

Câu 24. T h y f x( ) i f x( ) (x² x x)( 1) và f(0) 3 A.

4 2

( ) 3

4 2

x x

y f x B.

4 2

( ) 3

4 2

x x

y f x C.

4 2

( ) 3

4 2

x x

y f x D. y f x( ) 3x² 1

Câu 25. Cho f x( ) 3x² 2x 3 ó g h iệ i hi x 1. Ng h ó ?

A. F x( ) x³ x² 3x B. F x( ) x³ x² 3x 1 C. F x( ) x³ x² 3x 2 D. F x( ) x³ x² 3x 1 Câu 26. T h f x i g '( ) b₂, '(1) 0, (1) 4, ( 1) 2

f x ax f f f

x A.

2 1 5

2 2

x

x B.

2 1 5

2 2

x

x C.

2 1 5

2 2

x

x D. K t qu khác

Câu 27. M g h h f x x² ³ 2 x

x là

A.

3

4 3

3 3 ln 3

F x x x x C.

3

3 3

3 3ln 4

F x x x x

B.

3

3 4 3

3 3

F x x x

x D.

3

4 3

3 3 ln 3

F x x x x

Câu 28. Nguyên hàm F x f x x³ 3x² 2x hỏ ã F 1 0 là:

A.

4

3 2 1

4 4

F x x x x B.

4

3 2 1

4 4

F x x x x

C.

4

3 2 1

4

F x x x x D.

4

3 2 1

4

F x x x x

NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN Câu 29. Ng h h ( ) ¹

2x 1

f x là

A. f x dx 2x 1 C. B. f x dx 2 2x 1 C.

C. 2x 1

x 2

f x d C. D. f x dx 2 2x 1 C.

(13)

Câu 30. T g h h ( ) ¹ f x 3

x .

A. f x dx 2 3 x C. B. f x dx 3 x C . C. f x dx 2 3 x C. D. f x dx 3 3 x C. Câu 31. T g h h ^{f x}^{( )} ^2x ¹.

A. x ¹ 2x 1 2x 1

f x d 3 C. B. x ² 2x 1 2x 1

f x d 3 C .

C. x ¹ 2x 1

f x d 3 C . D. x ¹ 2x 1

f x d 2 C.

Câu 32. T g h h ^{f x}^{( )} ⁵ ^3x.

A. x ² 5 3x 5 3x

f x d 9 C. B. x ² 5 3x 5 3x

f x d 3 .

C. x ² 5 3x 5 3x

f x d 9 . D. x ² 5 3x

f x d 3 C .

Câu 33. T g h h ^{f x}^{( )} ³^x ².

A. x ³ 2 ³ 2

f x d 4 x x C . B. x ³ 2 ³ 2

f x d 4 x x C .

C. x ² 2 2

f x d 3 x x . D.

2

1 3

x 2

f x d 3 x C .

Câu 34. T g h h ^{f x}^{( )} ³¹ ^3x.

A. x ¹ 1 3x ³1 3x

f x d 4 C . B. x ³ 1 3x ³1 3x

f x d 4 C .

C. x ¹ 1 3x ³1 3x

f x d 4 C . D.

2

x 1 3x 3

f x d C .

Câu 35. H F x x 1² x 1 2016 g h h ?

A. ⁵ 1 1

f x 2 x x B. ⁵ 1 1

f x 2 x x C

C. ² 1 1

f x 5 x x D. f x x 1 x 1 C

Câu 36. Bi g h h ¹ 1 1 3

f x x h F x hỏ ã

1 2

F 3. Khi ó F x h ?

A. ² 1 3x 3

F x x 3 B. ² 1 3x 3

F x x 3

C. ² 1 3x 1

F x x 3 D. 4 ² 1 3x

F x 3

(14)

Câu 37. Bi ^{F x}^{( )} ^{6 1} ^x g h h ( ) 1 f x a

x . Khi ó gi a g

A. 3. B. 3. C. 6. D. ¹

6 . Câu 38. Tính ¹ ¹

2dx x

A. 2 2 x x

C B. 2

2

x x C C. ¹ ¹

2 2x C

x D. ²

2 x C x

Câu 39. h h f x 1 ¹

x . Khi ó

A. 1₂

f x dx C

x B. f x dx x lnx C

C. 1₂

f x dx x C

x D.

1 1 2

2 1 f x dx

x

Câu 40. G i F x( ) ậ h g h h ( ) ¹ f x 1 2

x thì F x( )là:

A. ( ) ¹ln 1 2

F x 2 x C B. ( ) ¹ln 1 2

F x 2 x C

C. F x( ) ln 1 2x C D. ( ) x ₂

F x C

x x

Câu 41. T g h F h ^{f x}^{( )} ³^x ⁴ i F(0) 2. K

A. ( ) ² 3 4 ³ ²

9 9

F x x B. ( ) ² 3 4 ³ ²

9 9

F x x

C. ( ) ² 3 4 ³ ¹⁰

3 3

F x x D. ( ) ² 3 4 ³ ¹⁰

3 3

F x x

Câu 42. Tìm nguyên hàm ³x² ⁴dx x A. ⁵ ³ ⁵ 4 ln

3 x x C B. ³³ ⁵ 4 ln

5 x x C

C. ³³ ⁵ 4 ln

5 x x C D. ³³ ⁵ 4 ln

5 x x C

Câu 43. H g h h f x( ) x² k với k 0?

A. ( ) ² ln ²

2 2

x k

f x x k x x k B. ( ) ¹ ² ln ²

2 2

f x x k x x x k

C. ( ) ln ²

2

f x k x x k D.

2

( ) 1 f x

x k

(15)

Câu 44. T g h

(I)f x( ) x² 1 (II) f x( ) x² 1 5

(III)

2

( ) 1 f x 1

x (IV)

2

( ) 1 - 2

f x 1

x

Hàm s nào có m t nguyên hàm là hàm s F x( ) lnx x² 1

A. Chỉ (I) B. Chỉ (III) C. Chỉ (II) D. Chỉ (III) và (IV) Câu 45. M g h h

2

3 1

( )

f x x

x h

A. ( ) ³ ³ ² ¹² ⁶ ⁵ ln

5 5

F x x x x x B.

3

1 3 1

( ) 3

F x x

x C.

3 2

( )

F x x x x D. ( ) ³ ³ ² ln ¹² ⁵ ⁶

5 5

F x x x x x

Câu 46. Nguyên hàm x x e^2017x dx = A.

2017

5 2

2 2017

e x

x x C B.

2017

2 3

5 2017

e x

x x C

C.

2017

3 2

5 2017

e x

x x C D.

2017

2 2

5 2017

e x

x x C

NHÓM 3: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Câu 47. T g h h ( ) cos 3

f x x 6 .

A. ( ) ¹sin 3

3 6

f x dx x C . B. ( ). sin 3

f x dx x 6 C .

C. 1

( ) sin 3

3 6

f x dx x C. D. 1

( ) sin 3

6 6

f x dx x C .

Câu 48. T g h h ) 1 a ²

( t n 2

f x x

. A. ( ) 2 tan

2

f x dx x C . B. ( ) tan

2 f x dx x C .

C. ( ) ¹tan

2 2

f x dx x C . D. ( ) 2 tan

2 f x dx x C .

Câu 49. T g h h

2

( ) 1

sin 3

f x

x

.

A. ( ) cot

f x dx x 3 C . B. ( ) ¹cot

3 3

f x dx x C .

(16)

C. ( ) cot

f x dx x 3 C. D. 1

( ) cot

3 3

f x dx x C .

Câu 50. Tính sinx cosx dx

A. cosx sinx C B. cosx sinx C

C. cosx sinx C D. cosx sinx C

Câu 51. M g h h 2₂ ( ) cos

f x x là:

A. 2 tanx C B. 2 cotx C C. 2 sinx C D. 2 cosx C Câu 52. M g h h 1₂

( ) 3 f x sin

x là:

A. 3x tanx C B. 3x tanx C C. 3x cotx C D. 3x cotx C Câu 53. Cho f x( ) sinx cosx. M g h F x( ) f x( ) hỏ 0

F 4 là:

A. cosx sinx 2 B. 2

cos sin x x 2

C. cosx sinx 2 D. 2

cos sin x x 2

Câu 54. h h f x( ) 2x sinx 2 cosx. M g h F x( ) f x( ) hỏ F(0) 1 là:

A. x² cosx 2 sinx 2 B. x² cosx 2 sinx 2

C. 2 cosx 2sinx D. x² cosx 2 sinx 2

Câu 55. M g h h f x( ) tan²x là:

A.

tan3

3

x B.

3

2

tan 1

3 .cos x

x C. tanx x D. 2 sin₃ cos

x x Câu 56. M g h h f x( ) cos⁴x sin⁴x là:

A. cos2x B. ¹sin 2

2 x C. 2 sin2x D. cos²x

Câu 57. H ới g h h f x( ) sin⁴x cos⁴x? A. ¹sin 4

x 4 x B. ¹ sin 4

4x x C. ³ ¹ sin 4

4x 16 x D. ³ ¹cos 4

4x 4 x

Câu 58. M g h h f x sin 2x 3x² là:

A. F x cos2x 6x B. ¹cos 2 6

F x 2 x x

C. ¹cos 2 ³

F x 2 x x D. ¹cos 2 ³

F x 2 x x

(17)

Câu 59. H g h h f x 2 sin 2x?

A. F x sin²x B. F x 2 cos2x

C. ¹cos 2

F x 2 x D. F x cos2x

Câu 60. H f x( ) sinx ó g h

A. F x( ) cosx C B. F x( ) sinx C

C. F x( ) cosx 1 D. F x( ) sinx C

Câu 61. Bi F x( ) 1 tan²x dx hi ó F x( ) là:

A. 1₂

( ) cos

F x C

x B. F x( ) tanx C

C. F x( ) tanx C D. F x( ) cotx C

Câu 62. G i F x( ) ậ h g h h f x( ) sin2x thì F x( )là:

A. 1

( ) cos 2

F x 2 x C B. F x( ) 2 sin2x C

C. 1

( ) cos 2

F x 2 x C D. F x( ) 2 sin2x C

Câu 63. G i F x₁( ) g h ^{f x}₁^{( )} ^sin²^x hỏ ã F₁(0) 0 và F x₂( )là nguyên h f x₂( ) cos²x hỏ ã F₂(0) 0. Khi ó h g h F x₁( ) F x₂( ) có ghiệ

A. ,

x 2 k k Z B. ,

x 2k k Z C. x k k, Z D. x k2 ,k Z Câu 64. Ng h h y cos .sin²x x là:

A. ¹cos³

3 x C B. cos³x C C. ¹sin³

3 x C D. Đ h .

Câu 65. M g h h y cos 5 .cosx x là:

A. F x cos 6x B. F x sin 6x

C. ^{1 1}sin 6 ¹sin 4

2 6 x 4 x D. ^{1 sin 6} ^{sin 4}

2 6 4

x x

Câu 66. M g h h y sin 5 .cos 3x x là:

A. 1 cos 6 cos 2

2 8 2

x x

B. 1 cos 8 cos 2

2 8 2

x x

C. ^{cos 8}^x ^cos2^x D. Đ h .

Câu 67. T h g h F x h f x cosx

A. F x sinx C B. F x sinx C

(18)

C. F x cosx C D. F x cosx C

Câu 68. K g h h f x cosx i g h iệ i hi

x 2 ?

A. F x sin x B. F x sin x

C. F x sinx 1 D. F x sinx 1

Câu 69. Tính ₂ ¹

cos 3 1 dx

x

A. F x tan 3 – 1x C B. F x cot 3 – 1x C

C. ¹tan 3 – 1

F x 3 x C D. ¹cot 3 – 1

F x 3 x C

Câu 70. T g h F h f x tan²x i 1

F 4 . K

A. ( ) tan

F x x x 4 B. ( ) tan

F x x x 4

C. ( ) tan

F x x x 4 D. ( ) tan

F x x x 4 Câu 71. Tính sin(3x 1)dx

A. ¹cos(3 1)

3 x C B. ¹cos(3 1)

3 x C C. cos(3x 1) C D. K t qu khác Câu 72. Tìm (cos 6x cos 4 )x dx là:

A. ¹sin 6 ¹sin 4

6 x 4 x C B. 6sin 6x 5sin 4x C

C. ¹sin 6 ¹sin 4

6 x 4 x C D. 6sin 6x sin 4x C

Câu 73. T g h

(I) f x( ) tan²x 2 (II) 2₂

( ) cos

f x x (III) f x( ) tan²x 1

Hàm s nào có m t nguyên hàm là hàm s g(x) = tanx

A. (I), (II), (III) B. Chỉ (II), (III) C. Chỉ (III) D. Chỉ (II) Câu 74. Ng h h f x 2 sin 3 cos2x x

A. ¹cos 5 cos

5 x x C B. ¹cos 5 cos

5 x x C

C. ^{5cos 5}^x ^cos^x ^C D. K t qu khác

(19)

Câu 75. L h h g ú g

A. cotxdx ln sinx C B. sinxdx cosx C

C. 1₂ 1

dx C

x x D. cosxdx sinx C

Câu 76. Tìm nguyên hàm (1 sin )x dx² A. ² 2 cos ¹sin 2

3x x 4 x C B. ² 2 cos ¹sin 2

3x x 4 x C

C. ² 2 cos 2 ¹sin 2

3x x 4 x C D. ³ 2 cos ¹sin 2

2x x 4 x C

Câu 77. Trong ệ h ệ h i ?

2 3

2 2

1 1

( ) sin sin 3 (sin 2 - sin 4 )

4 2

( ) tan 1tan

1 3 1

( ) ln( 2 3)

2 3 2

I x xdx x x C

II xdx x C

III x dx x x C

x x

A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (III) C. Chỉ (II) và (III) D. Chỉ (II) Câu 78. Tìm (sinx 1) cos³ xdx là:

A.

(cos 1)4

4

x C B.

sin4

4

x C C.

(sin 1)4

4

x C D. 4(sinx 1)³ C

Câu 79. Xé ệ h

(I)F x( ) x cosx là m t nguyên hàm c a

2

( ) sin - cos

2 2

x x

f x

(II)

4

( ) 6

4

F x x x là m t nguyên hàm c a ³ 3

( ) f x x

x (III) F x( ) tanx là m t nguyên hàm c a f x( ) - ln cosx Mệ h nào sai ?

A. (I) và (II) B. Chỉ (III) C. Chỉ (II) D. Chỉ (I) và (III) Câu 80. Tìm sin³

2 xdx.

A. ( ) ²cos³

3 2

F x x C B. ( ) ²cos³

3 2

F x x C

C. ( ) ³cos³

2 2

F x x C D. ( ) ³cos³

2 2

F x x C

Câu 81. Ng h h y sin .cos³x x là:

A. ( ) ¹sin⁴

F x 4 x C B. ( ) ¹sin⁴

F x 4 x C

(20)

C. ( ) ¹cos⁴

F x 4 x C D. ( ) ¹cos⁴

F x 4 x C

Câu 82. Nguyên hàmF x h f x tan²x hỏ ã F 0 3 là:

A. f x tanx x 3 B. f x tanx x 3

C. f x tanx x 3 D. f x tanx x 3

Câu 83. N cos²

f x x 4 và 0 ¹³

f 4 thì:

A. ¹ ¹cos 2 3

2 2

f x x x B. ¹cos 2 4

f x x 2 x

C. sin ⁷

f x x 2 D. ¹cos 2 3

f x 2 x

Câu 84. Ng h h y f x sinx cosx 1 là:

A. F x sinx cosx C B. F x sinx cosx x C

C. F x cosx sinx x C D. F x sinx cosx x C

Câu 85. K i g ?

A. sin .cosx xdx cos .sinx x C B. sin .cos ¹cos 2

x xdx 2 x C

C.

3

2 cos

cos .sin

3

x xdx x C D.

3

2 sin

sin .cos

3

x xdx x C

Câu 86. K i g ?

A. 1 1 1

cos 3 .cos sin 4 sin 2

2 4 2

x xdx x x C

B. 1 1 1

sin 3 .cos cos 4 cos 2

2 4 2

x xdx x x C

C. sin 3 .cos ¹cos 3 .sin

x xdx 3 x x C

D. sin .cos ^{cos 2}

4

x xdx x C

Câu 87. Ng h h y = ₂cos 2 ₂ sin .cos

x dx

x x là:

A. F x cos – sinx x C B. F x cosx sinx C C. F x cot – tanx x C D. F x cot – tanx x C Câu 88. Tìm nguyên hàm 2 sin 3 cos2 .x x dx ?

A. ¹cos 5 cos

5 x x

F x C B. ¹cos 5 ¹cos

3 2

F x x x C

(21)

C. ¹cos 5 ¹cos

2 x 3 C

F x x D. ¹cos 5 cos

5 x x C

F x

Câu 89. Tìm nguyên hàm: sin 2xdx² A. ¹ ¹sin 4

2x 8 x C B. ¹sin 2³

3 x C C. ¹ ¹sin 4

2x 8 x C D. ¹ ¹sin 4

2x 4 x C

Câu 90. Tìm nguyên hàm ₂ 1 ₂ sin .cos dx

x x =

A. 2 tan2x C B. 2cot2x C C. 4cot2x C D. 2cot2x C Câu 91. K i g ?

A. cos 2² ¹sin 4

2 8

xdx x x C B. sin 2² ¹sin 4

2 8

xdx x x C

C. cos 4 ¹sin 4

xdx 4 x C D. sin 2² xdx cos 2² x C

Câu 92. K i g ?

A. cot²xdx cotx x C B. tan²xdx tanx x C

C.

3

2 tan

tan 3

xdx x C D. sin² ¹ ^{sin 2}

2 2

xdx x x C

Câu 93. T h f x i f x' sinx cosx và 0 f 4 .

A. f x cosx sinx 2 ` B. f x cosx sinx 2

C. 2

cos sin

f x x x 2 D. 2

cos sin

f x x x 2

NHÓM 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT Câu 94. T g h h f x( ) e^x e ^x.

A. f x dx e^x e ^x C . B. f x dx e^x e ^x C . C. f x dx e^x e ^x C . D. f x dx e^x e ^x C. Câu 95. T g h h f x( ) 2 .3^x ^2x.

A. ^x ² ^. ¹

9 ln 2 ln 9

x

f x d C. B. ^x ⁹ ^. ¹

2 ln 2 ln 9

x

f x d C .

C. x ² . ¹

3 ln 2 ln 9

x

f x d C . D. x ² . ¹

9 ln 2 ln 9

x

f x d C.

Câu 96. H g h h f x( ) e^x(3 e ^x) là

A. F x( ) 3e^x x C . B. F x( ) 3e^x e^xlne^x C .

(22)

C. 1 ( ) 3 ^x _x

F x e C

e . D. F x( ) 3e^x x C . Câu 97. H F x 7e^x tanx g h h ?

A. 7 ₂

cos

x

x e

f x e

x . B. 1₂

7 cos

f x ex

x .

C. f x 7e^x tan²x 1. D. 7 ¹₂

cos f x ex

x . Câu 98. T g h h f x( ) e^{4x 2} .

A. x ¹ ^{2x 1}

f x d 2e C. B. f x dx e^{2x 1} C.

C. x ¹ ^{4x 2}

f x d 2e C. D. x ¹ ^{2x 1}

f x d 2 e C. Câu 99. Tính e ^x 4dx

A. e ^x 4x C B. 1

x 4x C

e C. e ^x C D. e ^x 4x C

Câu 100. Tính e³^x ¹ ¹₂ dx x A. ¹ ³ ¹ ¹

3

e x C

x B. 3e³^x ¹ ¹ C

x C. 3e³^x ¹ ¹ C

x D. ¹ ³ ¹ ¹ 3

e x C

x Câu 101. M g h h f x 9^x 3x² là

A. F x 9^x x³ B. F x 9 ln 9^x x³

C. 9 ³

9

x

F x x D. 9 ³

ln 9

x

F x x

Câu 102. M g h F x h ¹ ₂

x

x e

f x e

x hỏ F 1 e là

A. F x e^x ¹ 1

x B. F x e^x ¹ 1

x C. F x e^x ¹ 1

x D. F x e^x ¹ 1

x Câu 103. H f x( ) e¹ ^x ó g h

A. F x( ) e¹ ^x C B. F x( ) e¹ ^x

C. ( ) ¹ ²

2

F x e x C

x D. F x( ) e¹ ^x C

Câu 104. G i F x( ) ậ h g h h f x( ) 3^x ¹ thì F x( )là:

A. F x( ) 3^x ¹ C B. F x( ) 3 ln 3.3^x C

(23)

C. F x( ) 3 ln 3.3^x ¹ C D.

3 1

( ) ln 3

x

F x C

Câu 105. G i F x( ) ậ h g h h f x( ) e^x 2 thì F x( )là:

A. F x( ) e^x 2 C B. F x( ) e^x 2x C

C. F x( ) e^x ¹ 2x C D. 1 ¹

( ) 2

1

F x ex x C

x Câu 106. Ng h h f x( ) e²^x e^xlà:

A. ¹ ² 2

x x

e e C B. 2e²^x e^x C C. e e^x( ^x x) C D. K t qu khác

Câu 107. Ng h h 1₂ ( ) 2

cos f x ex

x là:

A. 2e^x tanx C B. 2 ₂ cos

x

e x

e x x C. e^x tanx C D. K t qu khác Câu 108. Tính (3 cosx 3 )^x dx

A. 3

3 sin

ln 3

x

x C B. 3

3 sin

ln 3

x

x C C. 3

3 sin

ln 3

x

x C

D. 3

3 sin

ln 3

x

x C

Câu 109. H F x e^x tanx C g h h f x( )nào?

A. 1₂

( ) sin

f x ex

x B. 1₂

( ) sin

f x ex

x C. 1₂

( ) cos

f x ex

x D. K t qu khác

Câu 110. N f x dx( ) e^x sin 2x C thì f x( ) g

A. e^x cos2x B. e^x cos2x C. e^x 2 cos2x D. ¹cos 2 2

ex x

Câu 111. T g h h f x 2^x 4^x. A.

2 2

( ) 2

ln 2 ln 2

x x

F x C B. 2 ¹

( ) 1 2

ln 2

x

F x x C

C. ^{( )} ² ¹ ⁴ ln 2 ln 2

x x

F x C D. 2

( ) 1 2

2 ln 2

x

F x x C.

Câu 112. Tìm e³^x ¹ ¹₂ dx

x .

A. ( ) ¹ ³ ¹ ¹ 3

F x e x C

x B. F x( ) 3e³^x ¹ ¹ C

x C. F x( ) 3e³^x ¹ ¹ C

x D. ( ) ¹ ³ ¹ ¹

3

F x e x C

x

(24)

Câu 113. Tìm e^x 3 ₅²_x x e .

A. 1₄

( ) 3 2

F x ex C

x B. 1₄

( ) 3

2

F x ex C

x

C. 1₄

( ) 3 2

F x ex C

x D. 1₄

( ) 3

2

F x ex C

x

Câu 114. Ng h h y f x e²^x ³ 2x 1 là:

A. F x e²^x ³ x² x C B.

2 3

2 2 e x

F x x C

C.

2 3 2

2 e x

F x x x C D. F x 2e²^x ³ x² x C

Câu 115. Ng h h y f x 2³^x 4²^x ¹ là A

3 2 1

2 4

2.ln 8 4.ln16

x x

F x C B.

3 2 1

2 4

ln 2 ln 4

x x

F x C

C.

3 2 1

2 4

ln 8 ln16

x x

F x C D.

3 2 1

3.2 2.4 ln 2 ln 4

x x

F x C

Câu 116. K i g ?

A. e^x 2^x dx e^x 2^x C B. 2

2 ln 2

x

x x x

e dx e C

C.

3

2 1

1 3

x

x x e

e e dx C D. 1 1

x xdx x C

e e

Câu 117. Tìm nguyên hàm 2 e³^x ²dx

A.

3 6

3 4

3 6

x x

e e

x C B.

3 6

4 4

3 6

x x

e e

x C

C.

3 6

4 5

4 3 6

x x

e e

x C D.

3 6

4 4

3 6

x x

e e

x C