Bài giảng nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TOANMATH.com Trang 1 BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản.

+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm.

 Kĩ năng

+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm + Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm.

+ Vận dụng nguyên hàm vào các bài toán thực tế.

TOANMATH.com Trang 2 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa nguyên hàm Ví dụ: ^{F x}

 

^x3 là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{3x2 vì}

 

^{x3 '3x2}

Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số ^{F x}

 

được gọi là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{trên K nếu}

   

' 

F x f x với mọi x K .

Định lí Nhận xét: Nếu F x

 

và G x

 

cùng là nguyên hàm của hàm số f x

 

trên K thì:

 ^{F x'}

 

^{G x'}

 

^{, x K.}

 ^{F x}

 

^{G x}

 

^C, với C là hằng số nào đó.

Giả sử hàm số F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

F x trên K. Khi đó:

 Với mỗi hằng số C, hàm số ^{F x}

 

^C cũng là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K.}

 Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của ^{f x}

 

^trên

K thì tồn tại một hằng số C sao cho

 

^

 

^

G x F x C với mọi x K . Do đó

 

^{ , }

F x C C là họ tất cả các nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K. Ký hiệu}

 

^

 

^



^{f x dx F x C.}

Tính chất Ví dụ 1:

 

 

2sin 3cos 2 sin 3 cos

2 cos 3sin 2 cos 3sin

  

       



^{x x dx}



^xdx



^xdx

x x C x x C

Ví dụ 2:

1 1ln 3 1

3 1 3  



_x ^{dx x C}

Nếu ^{f x g x}

   

^, là hai hàm số liên tục trên K thì:

a)



^{f x dx'}

 

^{ f x}

 

^C

b)



kf x dx k f x dx

 

^

  

, với k là hai số thực khác 0.

c)



^_^{mf x}

 

^ng x dx m f x dx n g x dx

 

^_ ^

  

^

  

với m,n là hai số thực khác 0.

d) Với a b,  và a0 ta có:



^



^{ 1}



^



^



^{f ax b dx} _a^{F ax b C, ở đó F x}

 

^{là một}

nguyên hàm của f x

 

.

Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ^{f x}

 

liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

TOANMATH.com Trang 3 BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp



^{u = u x}

  

Nguyên hàm của hàm số hợp



u = ax + b;a 0^



dx x C 

 

^{du u C }



^{d ax b}



^



^{ax b C }

 

1

1 1 x dx x C

  



    



 ^u_^u_^1₁^C



^{ 1}

      

1 1 1

1

ax b dx ax b C

a

 

 

 

    



 1dx ln x C

x  

 

¹_u^{dulnu C}



_{ax b}¹_ ^dx1_a^{lnax b C }

2

1 1

dx C

x   x

 

_u^{12du  1}_u ^C



ax b¹



^2dx ¹a ax b^{. 1} ^C

 



2

xdx3x x C

 

^udu2₃^{u u C}



^{ax bdx 1 2}_a^.₃



^{ax b}



^{ax b C }

1 dx 2 x C

x  

 

¹_u^{du2 u C}



_{ax b}¹_ ^dx1_a^{.2 ax b C }

x x

e dx e C

 

^{e du eu  uC}



^{eax b dx2}_a^{eax b C}



^{0, 1}



ln

x

x a

a dx C a a

 a  

 

^{a duu } _ln^au_a^{C a}



^0,a1

 

^{amx n dx}_m^1.a_ln^{mx n}_a^{ C a}



^0,a1



sinxdx cosx C

 

^{sinudu cosu C}



^sin



^{ax b dx}



^{ 1}_a^cos



^{ax b}



^C

cosxdxsinx C

 

^{cosudusinu C}



^cos



^{ax b dx}



^{ 1}_a^sin



^{ax b}



^C

tanxdx ln cosx C

 

^{tanudu ln cosu C}



^tan



^{ax b dx}



^{ 1aln cos}



^{ax b}



^C

cotxdxln sinx C

 

^{cotuduln sinu C}



^cot



^{ax b dx}



^1_a^{ln sin}



^{ax b}



^C

2

1 cot

sin dx x C

x   

 

_sin¹²_u^{du cotu C}



_sin²



_{ax b}¹ _



^{dx 1}_a^cot



^{ax b}



^C

2

1 tan

cos dx x C

x  

 

_cos¹²_u^{dutanu C}



_cos²



_{ax b}¹ _



^dx1_a^tan



^{ax b}



^C

1 ln tan

sin 2

dx x C

x  

 

_sin¹_u^{duln tan}₂^{u C}



_sin



_{ax b}^dx_



^{ 1}_a^{ln tanax b}₂^{ C}

TOANMATH.com Trang 4 1 ln tan

cos 2 4

dx x C

x

  

    

 

_cos¹_u^{duln tan}_2^u₄^_ ^C

 

1 cos

1ln tan

2 4

ax b dx

ax b C

a





  

    



HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC NGUYÊN HÀM:



^{f x dx F x}

 

^

 

^C

1. Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số ^{F x}

 

được gọi là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

trên K nếu ^{F x'}

 

^{ f x}

 

^{với mọi x K .}

2. Định lí

Giả sử hàm số F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên K. Khi đó:

 Với mỗi hằng số C, hàm số F x

 

C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên K.

 Hàm số F x

 

C C^,  được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f x

 

trên K. Kí hiệu

   

f x dx F x C



^.

3. Tính chất

Nếu hai hàm số ^{f x g x}

   

^, liên tục trên K và k 0 thì ta luôn có:

a)



^{f x dx'}

 

^{ f x}

 

^C

b)



kf x dx k f x dx

 

^

  

, với k là hai số thực khác 0.

c)



^_^{mf x}

 

^ng x dx m f x dx n g x dx

 

^_ ^

  

^

  

với m,n là hai số thực khác 0.

d) Với a b,  và a0 ta có:



^{f ax b dx}



^



^1_a^{F ax b}



^



^C.

4. Sự tồn tại nguyên hàm

Mọi hàm số ^{f x}

 

liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa

Bài toán 1: Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp và hàm số mũ Phương pháp giải

 Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x, trong đó mỗi biểu thức chứa x là những dạng cơ bản có trong

Ví dụ 1: Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{exx là:}

A. e^x x²C B. 1 ² 2 ex x C

TOANMATH.com Trang 5 bảng nguyên hàm.

C. 1 1 ²

1 2

ex x C

x  

 D. e^x 1 C Hướng dẫn giải



^{exx dx}



^{ e dxx  xdx e x1}₂^x2C

  

^.

Chọn B.

Ví dụ 2: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y x ?

A. 2

3x x B. 2 2019

3x x C. 1

2 x D. 2 2020

3x x Hướng dẫn giải

Ta có: 2

xdx 3x x C



, với C là hằng số.

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số y x .

Chọn C.

Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{3x23x là}

A. x³3 ln 3^x C B. ³ 3 ln 3

x

x  C C. x³3^x C D. ³ ln 3

3^x x  C Hướng dẫn giải

Ta có:

  

²



²

3

3 3 3 3

3 ln 3

x x

x

f x dx x dx x dx dx

x C

   

  

   

Chọn B.

 Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số

 

⁴ 2 ³

5 2

f x x x

  x  là:

A. ⁵ 1₂ 3 ³

x 4x x C

x   B. ⁵ 1₂ 3 ³

x 4x x C

 x   C. x⁵ 3₂ 3x x C³

x   D. ³ ₄

3 2

6 1

20x 3 C

x x x

  

Hướng dẫn giải

TOANMATH.com Trang 6

Ta có: ⁴ 2₂ ^{3 5} 1₂ 3 ³

5x x dx x 4x x C

x x

       

 

 



Chọn A.

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^4x2_x ^{x 6 là:}

A. 2x²2 x6 ln x C B. x²2 x6 ln x C C. 2x²2 x6 ln x C D. x² x3ln x C Hướng dẫn giải

Ta có: 4 ² 6 1 6 ²

4 2 2 6 ln

x x dx x dx x x x C

x x x

          

 

Chọn C.

Chú ý: Tính chất phân thức: a b c a b c

d d d d

     .

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số f x

 

^2xx ¹

e

  là:

A. 2 ln 2

x

x

x e C

e

   B.



^{ln 2 12}



x

x

x e C

e

  

 C.



^{ln 2 12}



x

x

x e C

e

  

 D.



^{ln 2 12}



x

x

x e C

e  

 Hướng dẫn giải

Ta có:

 

2 1 2 2

ln 2 1

x x x

x x

x dx dx e dx x e C

e e e

 

          

  

^.

Chọn C.

Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

  

^{x x2}



^{2019 là:}

A.



²



²⁰²¹



²



²⁰²⁰

2021 1010

x x

  C

   B.



²



²⁰²⁰



²



²⁰¹⁸

2021 1009

x x

  C

 

C.



²



²⁰²¹



²



²⁰²⁰

2021 1010

x x

  C

  D.



²



²⁰²¹



²



²⁰²⁰

2021 1010

x x

  C

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

     

       

2019 2019

2021 2020

2020 2019

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2021 1010

x x dx x x dx

x x

x dx x dx C

 

      

 

      

 

 

Chọn D.

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số

 

2

1

x 1 f x e

 là:

A. xln e^2x 1 C B. ^x1₂^ln



^{e2x 1}



^{C C. ln}



^{e2x 1}



^{C D. xln}



^{e2x  1}



^C

TOANMATH.com Trang 7 Hướng dẫn giải

Ta có:



²



^{2 2}

2 2 2

1 1

1 1 1 1

x x x

x x x

e e e

e e e

    

   .

Do đó 2 2 ²



2²

 

²



1 1 1 1 1ln 1

1 1 2 1 2

x x

x

x x x

e d e

dx dx dx x e C

e e e

  

         

    

   

Chọn B.

Ví dụ 6. Nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 2

f x  x x

   là:

A. ¹₆^_



^x2

 

^{3 x2}



^3_^{C B. 1}₆^_ ^{x 2 x2}_^C

C. ¹₆ ^{x 2 1}₆



^x2



^{x 2 C D. 1}₆



^x2



^{x 2} ₆^{1 x 2 C}

Hướng dẫn giải Ta có:

       

1 2 2

2 2 4

1 2 2 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

4 3 3 6 6

x x

dx dx

x x

x x x x C x x x x C

  

   

 

              

 

Chọn A.

Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp: a b a b

a b

  

 .

Lưu ý: ²

 

ax bdx 3 ax b ax b C

  a   



^.

Ví dụ 7. Nguyên hàm của hàm số

 

₂^{5 13}

5 6

f x x

x x

 

  là:

A. 2 ln x 3 3ln x 2 C B. 3lnx 3 2 ln x 2 C C. 2 ln x 3 3ln x 2 C D. 2 ln x 3 3ln x 2 C Hướng dẫn giải

Ta có:

  

2

5 13 5 13

5 6 2 3

x x

x x x x

  

   

Ta sẽ phân tích: ^{5x13A x}



^{ 2}

 

^{B x3}

  

¹

Thế x2 và x3 lần lượt vào (1) ta có B3 và A2.

Khi đó

   

  

2

2 2 3 3

5 13 2 3

5 6 2 3 3 2

2 ln 3 3ln 2

x x

x dx dx dx dx

x x x x x x

x x C

  

   

     

    

   

Chọn D.

TOANMATH.com Trang 8 Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

¹₅ ^x4

x x

 

 là:

A. ^{ln x 1}₂^ln



^{x4 1}



^{C B. ln x ln}



^{x4 1}



^C

C. ^{ln x 1}₂^ln



^{x4 1}



^{C D. ln x 1}₂^ln



^{x4 1}



^C

Hướng dẫn giải

Ta có:

 



⁴



⁴

 

4 3

4

5 4 4

1 2

1 1 2 1

ln ln 1

1 2

1

x x

x x

dx dx dx dx x x C

x x x x x x

 

       

  

   

Chọn C.

Ví dụ 9. Nguyên hàm của hàm số

 

³ ₃^{2 3 3}

3 2

x x

f x x x

 

   là:

A. 3

ln 2 2 ln 1

x x 1 C

   x 

 B. 3

ln 2 2 ln 1

x x 1 C

   x 



C. 3

2 ln 2 ln 1

x x 1 C

   x 

 D. 3

2 ln 2 ln 1

x x 1 C

   x 

 Hướng dẫn giải

Ta có:

   

2 2

2 3

3 3 3 3 3 3

3 2 1 2

x x x x

dx dx

x x x x

    

   

 

^.

Ta phân tích ^{3x23x 3 A x}



^1



^{2B x}



^1



^{x 2}



^{C x}



^2



^.

Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay A1,C3 và B2. (thay x   2 A 1;x   1 C 3 và x  0 B 2).

Khi đó

     

2

2 2

3 3 3 1 1 1 3

2 3 ln 2 2 ln 1

2 1 1

1 2 1

x x

dx dx dx dx x x C

x x x

x x x

          

  

  

   

^.

Chọn A.

Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho các nguyên hàm hữu tỉ

 

 

I P x dx





Q x ^{, với P x}

 

^{và Q x}

 

^là các đa thức, cụ thể như sau:

 Nếu ^deg



^{P x}

  

^deg



^{Q x}

  

thì ta thực hiện phép chia ^{P x}

 

^{cho Q x}

 

(ở đây, kí hiệu

   

deg P x là bậc của đa thức ^{P x}

 

^).

 Khi ^deg



^{P x}

  

^deg



^{Q x}

  

thì ta quan sát mẫu số ^{Q x}

 

ta tiến hành phân tích thành các nhân tử, sau đó, tách ^{P x}

 

theo các tổ hợp của các nhân tử đó. Đến đây, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức (hoặc giá trị riêng) để đưa về dạng tổng của các phân thức.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp

TOANMATH.com Trang 9 Trường hợp 1:



^{ax b cx d}



¹



ad bc ax b cx d^{1 a c}

 

   

      .

Trường hợp 2:

    

  

Ax Ba x Ad Bb

mx n A B

ax b cx d ax b cx d ax b cx d

  

   

      .

Ta đồng nhất thức ^{mx n} 



Ax Ba x Ad Bb



 

 

¹ . Cách 1. Phương pháp đồng nhất hệ số.

Đồng nhất đẳng thức, ta được Ac Ba m Ad Bb n

 

  

 . Suy ra A, B.

Cách 2. Phương pháp giá trị riêng.

Lần lượt thay b; d

x x

a c

    vào hai vế của (1), tìm được A, B.

Trường hợp 3:

 

²

 

²

mx n A B

ax b ax b ax b

  

   .

Trường hợp 4:

     

        

2 2

2 *

mx n A B C

cx d ax b ax b cx d ax b

mx n A cx d B ax b C ax b cx d

   

 

  

        

Lần lượt thay x b;x d;x 0

a c

     vào hai vế của (*) để tìm A, B, C.

Trường hợp 5:



^{x m ax}

 

^{12bx c}



^{ x m axA  2Bx Cbx c với  b24ac0.}

Trường hợp 6:

  

²



²

 

²

 

²

1 A B C D

x a x b

x a x b   x a   x b

 

     .

Ví dụ 10. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên \ 1 2

  

   thỏa mãn ^'

 

^{2 ;}

 

^{0 1}

2 1

f x f

 x 

 và ^f

 

^{1 2. Giá}

trị của biểu thức ^{P f}

   

^{ 1 f 3 là:}

A. 3ln 5 ln 2 B. 3ln 2 ln 5 C. 3 2 ln 5 D. 3 ln15 Hướng dẫn giải

     

 

1

2

ln 2 1 1

2 2

' ln 2 1

2 1 1

ln 1 2

2 x C khi x

f x f x dx dx x C

x x C khi x

   

          



 

Vì

 

 

1²

0 1 1

1 2 2

f C

f C

   

 

   

 .

TOANMATH.com Trang 10

Suy ra

   

 

ln 2 1 2 1

2 ln 1 2 1 1

2 x khi x f x

x khi x

   

 

   



.

Do đó P f

   

 ¹ f ³  3 ln 3 ln 5 3 ln15   Chọn D.

Chú ý:

Chú ý đến tính liên tục của hàm số ^{f x'}

 

và cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối.

Ở đây, ta sử dụng hai hằng số khác nhau ứng với 1

x2 và 1 x2.

Ví dụ 11. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên ^\

 

^1;1 , thỏa mãn ^'

 

₂^{2 ;}

   

^{3 3 2 ln 2}

f x 1 f f

 x   

 và

1 1

2 2 0

f  f    . Giá trị của biểu thức ^{P f}

     

^{ 2 f 0  f 4 là:}

A. 2 ln 2 ln 5 B. 6 ln 2 2 ln 3 ln 5  C. 2 ln 2 2 ln 3 ln 5  D. 6 ln 2 2 ln 5 Hướng dẫn giải

 

^'

 

₂^{2 1 1 ln 1}

1 1 1 1

f x f x dx dx dx x C

x x x x

  









 



       

Hay

 

1

2

3

ln 1 1

1

1 1

ln ln 1 1

1 1

ln 1 1

1

x C khi x x

x x

f x C C khi x

x x

x C khi x x

     

   



 

        

      

   



Theo bài ra, ta có:

   

1 3

2

3 3 2 ln 2

2 ln 2

1 1 0 0

2 2

f f

C C

f f C

   

 

 

      

     



Do đó

     

3 2 1

2 0 4 ln 3 ln3 2 ln 2 2 ln 3 ln 5

f   f  f  C C  5C    . Chọn C.

Bài toán 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác Phương pháp giải

Yêu cầu chung: Nắm vững công thức lượng giác và biến đổi lượng giác.

 Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số

 

cos3 .cos 2

f x  x x trên  ta thu được kết quả:

TOANMATH.com Trang 11 về dạng tổng, hiệu của các hàm số lượng

giác trong đó, mỗi hàm số là những dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

 Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm.

A.



^{f x dx}

 

^{sin 5}₁₀^xsin₂^{x C}

B.



^{f x dx}

 

^{sin 5}₅ ^{x sinx C}

C.

 

¹sin 3 .sin 2 f x dx6 x x C



D.

 

^{sin 5 sin}

10 2

x x

f x dx  C



Hướng dẫn giải

Ta viết:

 

¹



^{cos 5 cos}



f x 2 x x . Khi đó:

 

^{sin 5 sin}

10 2

x x

f x dx  C



Chọn A.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số

 

^{2 cosx3cos 5x dx}



^là:

A. 2sinx15sin 5x C B. 3

2sin sin 5

x 5 x C

  

C. 3

2sin sin 5

x5 x C D. 2sinx5sin 5x C

Hướng dẫn giải

Ta có:



^{2 cos 3cos 5}



^{2sin 3sin 5}

x x dx x5 x C



Chọn C.

Lưu ý: sin cos

cos ax ; sin ax

axdx C axdx C

a a

    

 

^.

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số



sin 5 sin 2x xdx ^là:

A. 1

cos 5 cos 2

10 x x C B. 1 1

cos3 sin 7 6 x14 x C C. 1sin 3 1sin 7

3 x7 x C D. 1sin 3 1sin 7

2 x2 x C Hướng dẫn giải

Ta có: sin 5 sin 2 ¹



cos3 cos 7



¹cos3 ¹ sin 7

2 6 14

x xdx x x dx x x C

 

Chọn B.

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số



4 cos²xdx ^là:

TOANMATH.com Trang 12 A. 4x2sin 2x C B.

4 cos3

3

x C C. 2xsin 2x C D. 2xsin 2x C Hướng dẫn giải

Ta có:



^{4 cos2xdx2 1 cos 2}

 

^{ x dx}



^{2xsin 2x C .}

Chọn D.

Chú ý: Dùng công thức hạ bậc: ² 1 cos 2 ² 1 cos 2

cos ; sin

2 2

a a

a  a  .

Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số

 

^{1 2sin x dx}



^{2 là:}

A. 3x4 cosxsin 2x C B.



^{1 2sin}



³

3

x C

 

C. 3xsin 2x C D. 3x4 cosxsin 2x C Hướng dẫn giải

Ta có:

   

 

2 2 1 cos 2

1 2sin 1 4 sin 4sin 1 4 sin 4.

2 3 4 sin 2 cos 2 3 4 cos sin 2

x dx x x dx x x dx

x x dx x x x C

  

        

      

  



Chọn A.

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số

 

^sinxcosx



^{sinxdx là:}

A. 1 1sin 2 1cos 2

2x4 x4 x C B. 1 1sin 2 1cos 2

2x4 x4 x C

C. 1 1

sin 2 cos 2

2 2

x x x C D. 1 1 1

sin 2 cos 2 2x4 x4 x C Hướng dẫn giải

Ta có:



^{sin cos}



^sin



^{sin2 sin cos}



1 cos 2 sin 2 1 1 1

sin 2 cos 2

2 2 2 2 2

x x xdx x x x dx

x x

dx x x x C

  

    

        

 



Chọn B.

Ví dụ 6. Nguyên hàm của hàm số ₂ 1 ₂ sin cos dx

x x



^là:

A. tanxcotx C B. tanxcotx C C. tanxcotx C D. cotxtanx C Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2

2 2 2 2 2 2

1 sin cos 1 1

tan cot

sin cos sin .cos cos sin

x x

dx dx dx x x C

x x x x x x

  

       

  

^.

Chọn B.

Ví dụ 7. Nguyên hàm của hàm số ₄ 1 ₂

4 cos 4 cos 1dx x x



^là:

TOANMATH.com Trang 13 A. cot 2

2

x C B. tan 2x C C. cot 2x C D. tan 2 2

xC Hướng dẫn giải

Ta có:     

  



_{4 cos}⁴_x ¹_{4 cos}²_{x 1}^dx



_{(2 cos}²¹_{x 1)}^2dx



_{cos 2}¹² _x^{dx 1}_{2 cos 2}



¹² _x^{d x(2 ) tan 2}₂ ^{x C}

Chọn D.

Chú ý: Công thức nhân đôi: cos2x2 cos²x1. Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số



cos³xdx ^là:

A.

cos4

4

xC B. 3sin 1sin 3

x3 x C C. sin 1sin³

x3 x C D. 4 sin 4sin 3 x3 x C Hướng dẫn giải

Ta có: ^{cos3 1}



^{3cos cos3}



^{1 3sin 1sin 3 sin 1sin3}

4 4 3 3

xdx x x dx  x x C x x C

 

Chọn C.

Chú ý: Công thức nhân ba: ³

3

cos3 4 cos 3cos sin 3 3sin 4sin

a a a

a a a

 

 

Ví dụ 9. Nguyên hàm của hàm số



tan³xdx ^là:

A.

tan2

ln cos 2

x x C B.

tan2

ln sin 2

x  x C

C.

tan2

ln cos 2

x x C D.

4 2

tan 4 cos

x C x Hướng dẫn giải

Từ ^tan3xtanx



^{1 tan 2x}



^tanx

Suy ra tan3 tan



tan

 

cos



tan² ln cos

cos 2

d x x

xdx xd x x C

  x   

  

^.

Chọn A.

Chú ý:



^tan



^{' 1 tan2 1}₂

x x cos

   x.

Ví dụ 10. Gọi ^{F x}

 

là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{sin 2 tanx x thỏa mãn 3}

3 4

F_{  }

   . Giá trị của

F 4

   là:

A. 3 1

2 12



  B. 3 1

2 12



  C. 3 1

2 12



  D. 3 1

2 12



  Hướng dẫn giải

TOANMATH.com Trang 14 Ta có:

 

^{sin 2 .tan} 2sin .cos .^sin 2 sin²

cos

F x x xdx x x x dx xdx









x 



^.

Suy ra

  

^{1 cos 2}



^{sin 2}

2

F x 



 x dx x  xC^.

Theo giả thiết, ta có: 3 1sin2 3 3

3 4 3 2 3 4 2 3

F_{  } _{ }  _{ }C _{ }C _

   .

Vậy

 

^{sin 2 3}

2 2 3

F x _{ }x x_{ } .

Do đó 1 3 3 1

sin 2

4 4 2 4 2 3 2 12

F                . Chọn D.

Ví dụ 11. Gọi F x

 

là nguyên hàm của hàm số f x

 

^{cos 24} x thỏa mãn F

 

⁰ ²⁰¹⁹. Giá trị của

F 8

   là:

A. 3 16153 64

  B. 3 129224

8

  C. 3 129224

64

  D. 3 129224

32



Hướng dẫn giải

Ta có:

 

 

2

4 1 cos 4 1 2

cos 2 1 2 cos 4 cos 4

2 4

1 1 cos8 1

1 2 cos 4 3 4 cos 4 cos8

4 2 8

x x x x

x x x x

  

    

  

      

Do đó ^{F x}

 

^1₈



^{3 4 cos 4 xcos8x dx}



^1₈^_^{3xsin 4x1}₈^sin8x_^C

 



Mà ^F

 

^{0 2019} nên ta có C2019. Vậy

 

^{1 3 sin 4 1sin 8 2019}

8 8

F x   x x x .

Do đó 3 129224

8 64

F       Chọn C.

Ví dụ 12. Gọi ^{F x}

 

là nguyên hàm của hàm số

 

^cos5

1 sin f x x

 x

 , với 2 ,

x 2 k  k và thỏa mãn

 

³

F  4. Giá trị của

F2 là:

A. 2

3 B. 0. C. 5

3 D. 1

3 Hướng dẫn giải

TOANMATH.com Trang 15

Ta thấy:

   

       

5

3 2 3

3 4

2 3

cos cos 1 sin 1 sin cos cos .sin 1 sin

sin cos

1 sin sin cos cos sin

3 4

x x x x x x x

x

x x

F x x d x xd x x C

    



 



 



   

Theo giả thiết, ta có

 

³

F  4 nên C1. Vậy

 

^{sin sin3 cos4}

3 4

x x

F x  x  C

Do đó 1

2 3

F  . Chọn D.

Chú ý:

Với n^*, ta có: ^{cos .sin cos}



^cos



^{cos 1}

1

n

n n x

x xdx xd x C

n

     

 

 ^và

 

^{sin 1}

sin .cos sin sin

1

n

n n x

x xdx xd x C

n

   

 

 ^.

Bài toán 3: Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm Phương pháp giải

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình

 

S S t , với ^{S t}

 

là quãng đường mà chất điểm đó đi được trong thời gian t, kể từ thời điểm ban đầu.

Gọi ^{v t}

 

^{và a t}

 

lần lượt là vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t, ta có: ^{v t}

 

^{S t'}

 

^{và a t}

 

^{v t'}

 

^.

Từ đó ta có: ^{S t}

 

^



^{v t dt}

 

^{và v t}

 

^



^{a t dt}

 

^.

Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động với phương trình 1 2

S2t , trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S là quãng đường tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t05

 

s là:

A. 5 (m/s). B. 25 (m/s).

C. 2,5 (m/s.) D. 10 (m/s).

Hướng dẫn giải

Ta có: v t

 

S t^'

 

t nên v t

 

0  t0 5



m s/



Chọn A.

Ví dụ 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ^{v t}

 

^{10 2 t m s}



^/



^,

trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.

A. 50 (m). B. 25 (m).

TOANMATH.com Trang 16 C. 55 (m). D. 10 (m).

Hướng dẫn giải

Chọn mốc thời gian và gốc tọa độ lúc ô tô bắt đầu đạp phanh. Ta có: t0;s0.

     

   

2

2

10 2 10 ,

0 0 0 10

s t v t dt t dt t t C

s C s t t t

     

     

 

Ô tô dừng hẳn khi ^{v t}

 

^{ 0 10 2   t 0 t 5.}

Trong 8 giây cuối, ô tô chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) trong 3 giây đầu và chuyển động chậm dần đều trong 5 giây cuối.

Quãng đường ô tô di chuyển là:

3.10 10.5 52 55 s    m. Chọn C.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Một vật chuyển động với gia tốc ^{a t}

 

^_t³₁



^{m s/ 2}



, trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

A. 10 m/s. B. 15,2 m/s. C. 13,2 m/s. D. 12 m/s.

Hướng dẫn giải

Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức:

   

^{3 3ln 1}

v t a t dt 1dt t C

  t   

 



Vì vận tốc ban đầu (lúc t0) của vật là v₀ 6 /m s nên:

 

^{0 3ln 0 1 6 6}

 

^{3ln 1 6}

v       C C v t  t  .

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là: v

 

¹⁰ 3ln 10 1 6 13,2  



m s/



. Chọn C.

Ví dụ 2. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc ^{a t}

 

^{ }₂₄^{1 t3}₁₆^{5 t m s2}



^{/ 2}



, trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?

A. 5,6 m/s. B. 6,51 m/s. C. 7,26 m/s. D. 6,8 m/s.

Hướng dẫn giải

Vận tốc ^{v t}

 

chính là nguyên hàm của gia tốc ^{a t}

 

nên ta có:

   

^{1 3 5 2 1 4 5 3}

24 16 96 48

v t 



a t dt



 t  t dt   t  t C

TOANMATH.com Trang 17 Tại thời điểm ban đầu



^t0



thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là:

 

^{4 3}

0

1 5

0 0 0 .0 .0 0 0

96 48

v  v        C C . Vậy công thức vận tốc là

 

^{1 4 5 3}

96 48

v t   t  t

Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là ^v

 

^{5 6,51 /m s.}

Chọn B.

Chú ý: Gia tốc của vật chuyển động là ^{a t}

 

^_t³₁



^{m s/ 2}



^{. Ta tính v t}

 

^



^{a t dt}

 

, kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu v₀ 6 /m s. Suy ra công thức tính vận tốc ^{v t}

 

tại thời điểm t và tính được ^v

 

^{10 .}

Ví dụ 3. Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu?

A. 0,45 m/s. B. 0,4 m/s. C. 0,6 m/s. D. 0,8 m/s.

Hướng dẫn giải

Xem như tại thời điểm t₀ 0 thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s. Ta có ^s

 

^{0 0 và}

 

^{0 20}

v  .

Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là ^{s tn}

 

^{ 9,8m s/ 2.}

Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là

 

9,8 9,8 1

v t  



dt  t C ^.

Do ^v

 

^{0 20 nên} 9,8t C 120C120v t

 

 9,8t20. Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là v

 

²  9,8.2 20 0, 4 



m s/



. Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x x}



^27



^{15 là:}

A. ¹₂



^x27



^{16C B. }₃₂¹



^x27



^{16C C.} ₁₆¹



^x27



^{16C D.} ₃₂¹



^x27



^16C

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ e6x 2x3 là:}

A. 1 ⁶ 4 ² 3 6

e x x  x C B. e^6x 4x²3x C

C. e^6xx²3x C D. 1 ^{6 2} 3

6

e x x x C

   

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số

 

²

4 3

f x  x

 là:

TOANMATH.com Trang 18

A. 2 1ln 4 3

4 3dx 4 x C

x   



 ^B.



_4x²_3^{dx 1}₂^{ln 2x }₂^{3 C}

C. 2

2 ln 4 3

4 3dx x C

x   



 ^D.



_4x²_3^{dx2 ln 2x 3}₂ ^C

Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ 2x1 là:}

A. ¹



^{2 1}



^{2 1}

3 x x C

    B. 1

2 1

2 x C C. ²



^{2 1 2}



¹

3 x x C D. ¹



^{2 1 2}



¹

3 x x C Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^ex



^{1 3 e2x}



^là:

A. e^x 3e^2xC B. e^xe^2xC C. e^x3e^x C D. e^x3e^xC Câu 6: Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 1

f x  x

 ; biết F

 

⁰ ². Giá trị của F

 

¹ là:

A.

 

^{1 1ln3 2}

F  2  B. ^F

 

^{1 ln 3 2 C. F}

 

^{1 2 ln 3 2 D.}

 

^{1 1ln3 2}

F 2  Câu 7: Hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên  và ^{f x'}

 

^{2e2x 1, x f,}

 

^{0 2. Hàm số f x}

 

^là:

A. 2e^x2x B. 2e^x 2 C. e^2x  x 2 D. e^2x x 1

Câu 8: Cho hàm số ^{f x}

 

^{2x e2 x322xe2x, ta có}



^{f x dx me}

 

^{ x32nxe2xpe2x C, với} m, n, p là các số hữu tỉ và C là hằng số thực. Giá trị của biểu thức m n p  bằng:

A. 1

3 B. 2. C. 13

6 D. 7

6 Câu 9: Gọi ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2x thỏa mãn}

 

^{0 1}

F ln 2. Giá trị biểu thức

 

⁰

 

^{1 ...}



²⁰¹⁸

 

²⁰¹⁹



T F F  F F là:

A. 2²⁰¹⁹ 1 1009.

T ln 2 B. T2^2019.2020 C. 2²⁰¹⁹ 1

T ln 2 D. 2²⁰²⁰ 1 T ln 2

Câu 10: Cho biết 3

  

1 dx aln x 1 x 1 bln x C

x x     



 , với a, b là các số hữu tỉ và C là hằng số

thực. Giá trị của biểu thức P2a b là:

A. 0. B. 1 C. 1

2 D. 1.

Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số

 

 

2 2

2 3

1

x x

f x x

 

  là:

A. x4 ln x 1 C B. 4

x 1 C

 x 

 C. 1 ² 4

2x x 1 C

 x 

 D. 4

x 1 C

x 

 Câu 12: Cho biết ₂4 11

ln 2 ln 3

5 6

x dx a x b x C

x x

     

 



, với a, b là các số nguyên và C là hằng số

thực. Giá trị biểu thức P a ²ab b ² là:

TOANMATH.com Trang 19

A. 12. B. 13. C. 14. D. 15.

Câu 13: Gọi



^{2020xdx F x}

 

^C với C là hằng số. Khi đó hàm số ^{F x}

 

^bằng:

A. 2020 ln 2020^x B.

2020 1

1

x

x



 C.

.2020 1

ln 2020 x x^

D. 2020 ln 2020

x

. Câu 14: Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3 1}

 x là:

A. ^{f x dx}

 

^{3x2 1}₂ ^C

 x 



^B.



^{f x dx}

 

^{ x}₄^{4 lnx C}

C. ^{f x dx}

 

^{3x2 1}₂ ^C

 x 



^D.



^{f x dx}

 

^{ x}₄^{4 ln x C}

Câu 15: Nguyên hàm của hàm số y2^x là:

A.



2^xdxln 2.2^x C ^B.



^{2xdx2xC C.}



^2xdx _{ln 2}^{2x C D.}



^2xdx _x²_^x₁^C

Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 3

f x  x

 là:

A. 1

ln 2 3

2 x C B. ^{1ln 2}



³



2 x C C. ln 2x 3 C D. 1

ln 2 3 ln 2 x C Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số y x ²1 là:

A. x³ x C B. x³C C. 6x C D.

3

3

x  x C

Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

e^2x x² là:

A.

 

^{2 3}

2 3

e x x

F x   C B. ^{F x}

 

^{e2x x3C}

C. ^{F x}

 

^{2e2x 2x C D.}

 

^{2 3}

3

x x

F x e  C

Câu 19: Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x33x2} là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. ^{F x}

 

^{3x23x C B.}

 

^{4 3 2 2}

3

F x  x  x  x C

C.

 

^{4 3 2 2}

4 2

x x

F x    x C D.

 

^{4 2 2}

4 2

x x

F x    x C Câu 20: Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^ex



^3ex



^là:

A. F x

 

³e^{x 1}x C

 e  B. ^{F x}

 

^{3ex  x C}

C. ^{F x}

 

^{3exexlnexC D. F x}

 

^{3ex  x C}

Câu 21: Với C là hằng số, nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ex x là:}

A.

 

^{exx dx e}



^{ x x}₂^{2 C B.}

 

^{ex x dx e}



^{ x2x C}

TOANMATH.com Trang 20 C.

 

^{exx dx e}



^{ x x}₂^{2 C D.}

 

^{exx dx e}



^{ xx2C}

Câu 22: Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ x 3x là:}

A. ^{F x}

 

^{ x}₂^{2 }_{ln 3}^{3x C B. F x}

 

^{ 1} _{ln 3}^{3x C}

C.

 

^{2 3}

2 x x

F x   C D.

 

^{2 3 .ln 3}

2 x x

F x   C

Câu 23: Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^_4x²_3 ^là:

A. 2 1

ln 4 3

4 3dx 4 x C

x   



 ^B.



_4x²_3^{dx 1}₂^{ln 2x }₂^{3 C}

C. 2

2 ln 4 3

4 3dx x C

x   



 ^D.



_4x²_3^{dx2 ln 2x 3}₂ ^C

Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số

 

¹

5 4

f x  x

 là:

A. ^{1ln 5}



⁴



5 x C B. ln 5x 4 C C. 1

ln 5 4

ln 5 x C D. 1

ln 5 4 5 x C Câu 25: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y x ²⁰¹⁹?

A. ²⁰²⁰ 1 2020

x  B. ²⁰²⁰

2020

x C. y2019x²⁰¹⁸ D. ²⁰²⁰ 1 2020

x 

Câu 26: Hàm số nào trong các hàm số sau đây là nguyên hàm của hàm số y e ^2x? A.

2

2 e x

y

   B. ^{y 2e2xC C}



^



C. ^y<