Tài liệu tự học nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

B I 1: NGUYÊN HÀM

_ Dạng 1. Định nghĩa, tính chất và nguyên hàm cơ bản

-Phương pháp:

_ Sử dụng bảng nguyên hàm

Hàm sơ cấp Hàm số hợp ^{uu x}

 

Thường gặp

.



dx x C ^.



^{du u C.} . Vi phân ^d



^{ax b}



^1dx

 a

.

1

d 1

x x x C

 



  







^{  1}



.

1

d 1

u u u C

 



  







^{  1}



.

 

^{d 1 1 ( ) 1}

a x b x 1 ax b C

a

 



     





.

 

dx ln 0

x C x

x   



.

   

du ln 0

u C u x

u   



^.

 

d 1

ln 0

x ax b C a

ax b a   





.



cos dx xsinxC ^.



^{cos du usinuC} . 1

cos(ax b x)d sin(ax b) C

  a  



.



sin dx x cosx C ^.



^{sin du u cosuC} . 1

sin(ax b x)d cos(ax b) C

  a  



. 1₂

d tan

cos x x C

x  



Với

x 2 k

. 1₂

d tan

cos u u C

u  



Với

 

2 u x   k

.    

2

d 1

cos tan

x ax b C

ax b  a  





.

2

1 d cot

sin x x C

x   



^.

Với xk

. 1₂

d cot

sin u u C

u   



Với ^{u x}

 

^k

.    

2

d 1

sin cot

x ax b C

ax b a

   





.



e x^xd e^xC ^.



^{e uud eu C} . 1

ax bd ax b

e x e C

a

   



. d ln

x

x a

a x C

 a





^{0 a 1}



. d ln

u

u a

a u C

 a





^{0 a 1}



. 1

d .ln

px q px q

a x a C

p a

   





^{0 a 1}



_ Dùng máy tính cầm tay

Cho



f x dx F( )  (x)C^{. Tìm f x( ) hoặc F( )x}

. Nhấn shift ( ( )) ( )

x X

d F X f X

dx ^ 

. Nhấn phím Calc nhập X = 2.5

. Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn

_Bài tập minh họa:

Câu 1. Tất cả nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 3

f x  x

 là A. 1

ln 2 3

2 x C. B. ^{1ln 2}



³



2 x C.

C. ln 2x 3 C. D. 1

ln 2 3 ln 2 x C. Lời giải

Chọn A

 

^{d 1 d 1 1 d 2}



³



^{1ln 2 3}

2 3 2 2 3 2

f x x x x x C

x x

     

 

  

^.

PP nhanh trắc nghiệm

 Dùng máy tính cầm tay:

1 1

( ln(| 2 3 |)) |

2 ^{x X} 2 3

d x

dx x

CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu cho X = 2 thì đều cho kết quả là 0. Vậy khi có trị tuyệt đối thì cho X một giá trị cho biểu thức trong trị tuyệt đối âm.

Câu 2. Nếu



^{f x x}

 

^{d 4x3x2C} thì hàm số ^{f x}

 

^bằng

A.

 

^{4 3}

3

f x x  x Cx. B. ^{f x}

 

^{12x22x C .}

C. ^{f x}

 

^{12x22x. D.}

 

^{4 3}

3 f x x x . Lời giải

Chọn C

Ta có: ^{f x}

 

^

 

^{f x x}

 

^d



^



^4x3x2C



^{12x22x}

PP nhanh trắc nghiệm

 Dùng máy tính cầm tay tương tự câu 1

Câu 3. Cho hàm số ^{f x}

 

^{có '}

 

¹

2 1

f x

 x

 với mọi 1

x 2 và ^f

 

^{1 1}. Khi đó giá trị của ^f

 

^{5 bằng}

A. ln 2 . B. ln 3. C. ln 2 1 . D. ln 3 1 . Lời giải

Chọn D

Ta có:



^{f '}

 

^{x dx f x}

 

^{C nên}

 

^{1 d 1ln 2 1}

2 1 2

f x x x C

 x   





Mặt khác theo đề ra ta có:

 

^{1 1}

f  1

ln 2.1 1 1 1

2 C C

      nên

 

^{1ln 2 1 1}

f x  2 x 

Do vậy

 

^{5 1ln 2.5 1 1 1}ln 9 1 ln 3 1

2 2

f        .

PP nhanh trắc nghiệm

 Tư duy :

     

       

5

1

5 5

1 1

5 1

5 1 1

f x dx f f

f f f x dx f x dx

  

 

    



 

.

 Quy trình bấm máy : Sử dụng chức năng tính tích phân:

- Tính

5

1

1 2 1dx

x



và lưu vào A

- Tìm phương án có giá trị bằng 1 + A A.

D.

- Là giá trị rất nhỏ gần đến 0 nên thỏa mãn.

Chọn D

_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)

1. Nhận biết: (10 câu)

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3 1}

  x. A. ^{f x dx}

 

^{3x2 1}₂ ^C

 x 



^{. B.}



^{f x dx}

 

^{ x}₄^{4 lnx C .}

C. ^{f x dx}

 

^{3x2 1}₂ ^C

 x 



^{. D.}



^{f x dx}

 

^{ x}₄^{4 ln x C.}

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. 1

cos 2 d sin 2 x x 2 x C



^{. B.}



^{x xed }_e^xe_^1₁^C

C. 1

dx ln x C

x  



^{. D.}



^{x xed } _x^xe_^1₁^C

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{3x2sinx là:}

A. x³cosx C . B. 6xcosx C . C. x³cosx C . D. 6xcosx C . Câu 4. Tất cả nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 3

f x  x

 là.

A. 1

ln 2 3

2 x C. B. ^{1ln 2}



³



2 x C.

C. ln 2x 3 C. D. 1

ln 2 3 ln 2 x C. Câu 5. Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai?

A. 1₂

cos dx tanx C

x  



^{. B.}



^{e dxx exC .}

C. 1

lnxdx c

 x



^{. D.}



^{sinxdx cosx C .}

Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{e2xx2 là}

A.

 

^{2 3}

2 3

e x x

F x   C. B. ^{F x}

 

^{e2xx3C.}

C. ^{F x}

 

^{2e2x2x C . D.}

 

^{2 3}

3

x x

F x e  C.

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x33x2} là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. ^{F x}

 

^{3x23xC. B.}

 

^{4 3 2 2}

3

F x  x  x  x C .

C.

 

^{4 3 2 2}

4 2

x x

F x    x C . D.

 

^{4 2 2}

4 2

x x

F x    x C . Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f x( )e (3 e )^x  ^x là

A. 1

( ) 3e e

x

F x   x C. B. F x( )3e^x x C. C. F x( )3e^xe ln e^{x x}C. D. F x( )3e^x x C. Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{excosx là}

A. e^xsinx C . B. 1 ¹

e sin

1

x x C

x

  

 .

C. xe^x1sinx C . D. e^xsinx C . Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f x x 3^x là:

A.

2 3

2 ln 3 x x

F x C. B. 3

1 ln 3

x

F x C.

C.

2

2 3 x x

F x C. D.

2

3 .ln 3 2

x x

F x C.

2. Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11. Tìm nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

 

^{sinxcosx thoả mãn 2}

F_{  }2

   . A. ^{F x}

 

^{cosxsinx3. B. F x}

 

^{ cosxsinx3.}

C. ^{F x}

 

^{ cosxsinx1. D. F x}

 

^{ cosxsinx1.}

Câu 12. Tìm nguyên hàm cos 2_{2 2} sin cos d

x x

x x



A. ^{F x}

 

^{ cosxsinx C . B. F x}

 

^{cosxsinx C .}

C. ^{F x}

 

^{cotxtanx C . D. F x}

 

^{ cotxtanx C .}

Câu 13. Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số f x( )4e^2x 2x thỏa mãn ^F

 

^{0 1. Tìm F x}

 

^.

A. ^{F x}

 

^{4e2xx23. B. F x}

 

^{2e2xx21.}

C. ^{F x}

 

^{2e2x x2 1. D. F x}

 

^{2e2x x2 1.}

Câu 14. Cho hàm số ^{yF x}

 

là một nguyên hàm của hàm số yx². Biểu thức ^F

 

^{25 bằng}

A. 125 . B. 625. C. 5 . D. 25 .

Câu 15. Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

₂

 1

 f x x

x và ^F

 

^{0 1. Tính F}

 

^{1 .}

A. ^F

 

^{1 ln 2 1 . B.}

 

^{1 1ln 2 1}

 2 

F . C. ^F

 

^{1 0. D. F}

 

^{1 ln 22.}

Câu 16. Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2x2x thoả mãn F}

 

^{0 0. Ta có F x}

 

bằng

A. ² 2 1 ln 2

x

x   . B. ² 1 2

ln 2

x

x   . C. ^1



^{2x1 ln 2}



^{. D. x22x1.}

Câu 17. Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 1

f x  x

 . Biết ^F

 

^{1 2}. Giá trị của ^F

 

^{2 là}

A.

 

^{2 1ln 3 2.}

F 2  B. ^F

 

^{2 ln 3 2. C.}

 

^{2 1ln 3 2.}

F 2  D. ^F

 

^{2 2 ln 3 2.}

Câu 18. Nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số

 

^{2 1}₂

f x x sin

  xthỏa mãn 1

F_{   }4

   là A.

2

cot 2

x x 16

   . B.

2

cot 2

x_{ }x 16

. C. cotxx²1. D.

2

cot 2

x_x _16 .

Câu 19. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x sin  2x thỏa mãn 1 F 2

.

A. cos( 2 ) 1

( ) 2 2

F x  x

. B. cos( 2 ) 1

( ) 2 2

F x  x

.

C. cos( 2 )

( ) 1

2

F x  x

. D. cos( 2 ) 1

( ) 2 2

F x  x

.

Câu 20. Tìm ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ex1 trên}



^{ ;}



^{, biết F}

 

^{0 2.}

A. ^{F x}

 

^{lnx x 1. B. F x}

 

^{ex x 1.}

C. F x

 

¹x x ¹

e   . D. ^{F x}

 

^{ex x 1.}

Bảng đáp án

1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.A 7.C 8.D 9.D 10.A

11.D 12.D 13.B 14.B 15.D 16.A 17.A 18.A 19.B 20.D Hướng dẫn giải

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3 1}

  x. A. ^{f x dx}

 

^{3x2 1}₂ ^C

  x 



^{. B.}



^{f x dx}

 

^{ x}₄^{4 lnx C .}

C.

 

² 2

3 1

f x dx x C

 x 



^{. D.}



^{f x dx}

 

^{ x}₄^{4 ln x C.}

Lời giải

Ta có:

 

^{3 1 3 1 4 ln}

4

f x dx x dx x dx dx x x C

x x

 

        

 

   

^.

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. 1

cos 2 d sin 2 x x 2 x C



^{. B.}



^{x xed }_e^xe_^1₁^C.

C. 1

dx ln x C

x  



^{. D.}



^{x xed } _x^xe_^1₁^C.

Lời giải Chọn D

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{3x2sinx là:}

A. x³cosx C . B. 6xcosx C . C. x³cosx C . D. 6xcosx C . Lời giải

Chọn C

Ta có

 

^3x2sinx



^{dxx3cosx C .}

Câu 4. Tất cả nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 3

f x  x

 là A. 1

ln 2 3

2 x C. B. ^{1ln 2}



³



2 x C.

C. ln 2x 3 C. D. 1

ln 2 3 ln 2 x C. Lời giải

Chọn A

 

^{d 1 d 1ln 2 3}

2 3 2

f x x x x C

 x   

 

 ^.

Câu 5. Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai?

A. 1₂

cos dx tanx C

x  



^{. B.}



^{e dxx exC .}

C. 1

lnxdx c

 x



^{. D.}



^{sinxdx cosx C .}

Lời giải Chọn C

Theo bảng nguyên hàm ta chọn câu sai là 1

lnxdx c

 x



^.

Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{e2xx2 là}

A.

 

^{2 3}

2 3

e x x

F x   C. B. ^{F x}

 

^{e2xx3C.}

C. ^{F x}

 

^{2e2x2x C . D.}

 

^{2 3}

3

x x

F x e  C. Lời giải

Chọn A

Ta có

   

^d



^{2 2}



^{d 2 3}

2 3

x

x e x

F x 



f x x



e x x  C^.

Vậy

 

^{2 3}

2 3

e x x F x   C.

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x33x2} là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. ^{F x}

 

^{3x23xC. B.}

 

^{4 3 2 2}

3

F x  x  x  x C .

C.

 

^{4 3 2 2}

4 2

x x

F x    x C . D.

 

^{4 2 2}

4 2

x x

F x    x C . Lời giải

Chọn C

Ta có: ^{( )}

  

^{3 3 2}



^{4 3 2 2}

4 2

x x

F x 



f x dx



x  x dx   x C ^. Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f x( )e (3 e )^x  ^x là

A. 1

( ) 3e e

x

F x   x C. B. F x( )3e^x x C. C. F x( )3e^xe ln e^{x x}C. D. F x( )3e^x x C.

Lời giải Chọn D

 

e (3 e )d^x  ^x x 3e^x1 dx3e^x x C

 

^.

Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{excosx là}

A. e^xsinx C . B. 1 ¹

e sin

1

x x C

x

  

 .

C. xe^x1sinx C . D. e^xsinx C . Lời giải

Chọn D

Ta có:

 

^excosx



^{dxexsinx C .}

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f x x 3^x là:

A.

2 3

2 ln 3 x x

F x C. B. 3

1 ln 3

x

F x C.

C.

2

2 3 x x

F x C. D.

2

3 .ln 3 2

x x

F x C.

Lời giải Chọn A

Ta có:

2 3

3 2 ln 3

x

x x

f x dx x dx C.

Câu 11. Tìm nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

 

^{sinxcosx thoả mãn 2}

F_{  }2

   A. ^{F x}

 

^{cosxsinx3. B. F x}

 

^{ cosxsinx3.}

C. ^{F x}

 

^{ cosxsinx1. D. F x}

 

^{ cosxsinx1.}

Chọn D

Có



cos du usinuC^;



^{sin du u cosuC}

nên



^{f x dx}

 

^

 

^{sinxcosx dx}



^{ cosxsinx C}

cos sin .

π π π

F         C 1 C

2 2 2 Mà 2 1

F      2 C

 . Do đó ^{F x}

 

^{ cosxsinx1.}

Câu 12. Tìm nguyên hàm cos 2_{2 2} sin cos d

x x

x x



A. ^{F x}

 

^{ cosxsinx C . B. F x}

 

^{cosxsinx C}

C. ^{F x}

 

^{cotxtanx C . D. F x}

 

^{ cotxtanx C .}

Lời giải Chọn D

Ta có:

2 2

2 2 2 2 2 2

cos 2 cos sin 1 1

d d d cot tan

sin cos sin cos sin cos

x x x

x x x x x C

x x x x x x

  

        

  

Câu 13. Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số f x( )4e^2x 2x thỏa mãn ^F

 

^{0 1. Tìm F x}

 

^.

A. ^{F x}

 

^{4e2xx23. B. F x}

 

^{2e2xx21.}

C. ^{F x}

 

^{2e2x x2 1. D. F x}

 

^{2e2x x2 1.}

Lời giải Chọn B

Ta có: ^{F x}

 

^

 

^{4e2x 2x dx}



^{2e2xx2 C.}

 

^{0 2. 2.0 02 2}

F  e    C C. Mà ^F

 

^{0     1 2 C 1 C  1.}

Do đó: ^{F x}

 

^{2e2xx2 1.}

Câu 14. Cho hàm số yF x( )là một nguyên hàm của hàm số yx². Biểu thức F'(25) bằng:

A. 125. B. 625. C. 5. D. 25.

Lời giải Chọn B

Ta có:^{F x}

 

được gọi là nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên Knếu F x'( )} ^{f x( ),} ^{x K} Mà yF x( )là một nguyên hàm của hàm số yx²nên F x'( )x²

Vậy F'(25)25² 625.

Câu 15. Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

₂

 1

 f x x

x và ^F

 

^{0 1. Tính F}

 

^{1 .}

A. ^F

 

^{1 ln 2 1 . B.}

 

^{1 1ln 2 1}

 2 

F . C. ^F

 

^{1 0. D. F}

 

^{1 ln 22.}

Lời giải Chọn B

 

2



2²

 

²



1 1 1

ln 1

2 2

1 1

     

 



^{f x dx}



_x ^{x dx}



^{d x}_x ^{x c.}

Vì ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^nên

 

^1ln



^{2 1}



 2  

F x x c.

 

^{0 1 1ln1 1 1}

  2    

F c c .

Do đó

 

^1ln



^{2 1}



¹

 2  

F x x .

Vậy

 

^{1 1ln 1}



^{2 1}



^{1 1ln 2 1}

2 2

    

F .

Câu 16. Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2x2x thoả mãn F}

 

^{0 0. Ta có F x}

 

bằng

A. ² 2 1 ln 2

x

x   . B. ² 1 2

ln 2

x

x   . C. ^1



^{2x1 ln 2}



^{. D. x22x1.}

Lời giải Chọn A

Ta có:



^{2 2 d}



^{2 2}

ln 2

x

x x xx  C



^{. Do đó.}

Theo giả thiết

 

^{0 0 02 20 0 1}

ln 2 ln 2

F        C C .

Vậy

 

^{2 2 1 2 2 1}

ln 2 ln 2 ln 2

x x

F x x x 

     .

Câu 17. Cho hàm số ^{f x}

 

^{có '}

 

¹

2 1

f x

 x

 với mọi 1

x2 và ^f

 

^{1 2}. Khi đó giá trị của ^f

 

²

bằng

A.

 

^{2 1ln 3 2}

F  2  . B. ^F

 

^{2 ln 3 2 . C. F}

 

^{2 2 ln 3 2 . D.}

 

^{2 1ln 3 2}

F  2  . Lời giải

Chọn D

Ta có:



^{f '}

 

^{x dx f x}

 

^{C nên f x}

 

^



_2x¹_1^dx1₂



^{d 2}



_2x^x_^₁¹



^1₂^{ln 2x 1 C}

Mặt khác theo đề ra ta có: ^f

 

^{1 2 1ln 2.1 1 2 2}

2 C C

      nên

 

^{1ln 2 1 2}

f x 2 x  Do vậy

 

^{2 1ln 2.2 1 2 1ln 3 2}

2 2

f      .

Câu 18. Nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số

 

2

2 1 f x x sin

  xthỏa mãn 1

F_{   }4

   là A.

2

cot 2

x x 16

   . B.

2

cot 2

x_{ }x 16

. C. cotxx²1. D.

2

cot 2

x_x _16 . Lời giải

Chọn A

Ta có 1₂ ²

( ) 2 cot

F x x sin dx x x C

x

 





     

2 2

1 cot 1

4 4 4 16

F               C C 

   

Vậy F(x) =

2

cot 2

x x 16

  

Câu 19. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x sin  2x thỏa mãn 1 F 2

.

A. cos( 2 ) 1

( ) 2 2

F x  x

. B. cos( 2 ) 1

( ) 2 2

F x  x

.

C. cos( 2 )

( ) 1

2

F x  x

. D. cos( 2 ) 1

( ) 2 2

F x  x

. Lời giải

Chọn B

+ cos 2

sin 2 d C

2

F x x x  x



+ 1 ¹ 1

2 2

F  C 1

C 2

Vậy cos( 2 ) 1

( ) 2 2

F x  x

Câu 20. Tìm ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ex1 trên}



^{ ;}



^{, biết F}

 

^{0 2.}

A. ^{F x}

 

^{lnx x 1. B. F x}

 

^{ex x 1. C.} F x

 

¹x x ¹

e   . D. ^{F x}

 

^{ex x 1.}

Lời giải Chọn D

Ta có: ^{F x}

 

^



^{f x}

 

^dx

 

^{ex1 d}



^{xex x C.}

Theo bài: ^F

 

^{0  2 e0}       ^{0 C 2 1 C 2 C 1}. Vậy ^{F x}

 

^{ex x 1.}

_ Dạng 2. Đổi biến

_Bài tập minh họa:

-Phương pháp:

_ . Chọn ^{t }

 

^x . Trong đó ^

 

^x là hàm số mà ta chọn thích hợp.

. Tính vi phân hai vế: ^dt^'

 

^{x dx}.

. Biểu thị: ^{f x dx( )} ^g

   

^x ^{' x dx}^{g t dt( )} . . Khi đó: I 



f x dx( ) 



g t dt( ) G t( )C _Casio: Cho



f x dx F( )  (x)C ^{. Tìm f x( ) hoặc F( )x}

. Nhấn shift ( ( )) ( )

x X

d F X f X

dx ^ 

. Nhấn phím Calc nhập X 2.5

. Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọn

_Bài tập minh họa:

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sin ( ) 1 3cos f x x

 x

 .

A. 1

( ) d ln 1 3cos f x x3  x C



^{. B.}



^{f x( ) dxln 1 3cos x C.}

C.



f x( ) dx3ln 1 3cos x C^{. D.}



^{f x( ) dx }₃^{1ln 1 3cos x C.}

Lời giải Chọn D

 Đặt t  1 3cosxdt  3sinxdx

1 1 1 1

( ) d ln | | ln 1 3cos

3 3 3

f x x dt t C x C

t

       

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Dùng máy tính cầm tay

Câu 2. Tính nguyên hàm 1 d ln 1

I x

x x





 ^.

A. 2 ³

(ln 1)

I  3 x C. B. I  lnx 1 C.

C. 1 ²

(ln 1)

I  2 x C. D. I 2 lnx 1 C. Lời giải

Chọn D

 Đặt ² 1

ln 1 ln 1 2

t x t x tdt dx

       x

1 d 2 2 2 ln 1

ln 1

I x dt t C x C

x x

      







PP nhanh trắc nghiệm

 Dùng máy tính cầm tay

Câu 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x.3 x21?}

A.

 

^{3( 2 1)43}

F x  8 x  C. B.

 

^{8( 2 1)43}

F x 3 x  C. C.

 

^{3( 2 1)34}

F x 8 x  C. D.

 

^{3( 2 1)43}

F x 8 x  C. Lời giải

Chọn D

 Đặt t  ³x²  1 t³ x² 1 3t dt² 2xdx

4

3 2 3 3 3 4 3 2 3

. 1 ( 1)

2 8 8

x x  dx t dt t  C x  C

 

PP nhanh trắc nghiệm

 Dùng máy tính cầm tay.

_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)

1. Nhận biết: (10 câu) Câu 1. Tìm ln



_x^xd^x có kết quả là.

A. ln lnx C. B.

2

lnx2 

C. C. ²



^{ln 1}



2  

x x C. D. 1 ²

2ln x C . Câu 2. Nguyên hàm 1

d

1 x

 x



^bằng.

A. 2 x2ln | x 1| C. B. 2 xC.

C. 2ln | x 1| C. D. 2 x2ln | x 1 | C. Câu 3. Cho hàm số ^{F x}

 

^



^{x x2 2dx. Biết F}

 

^{2 2}₃^{, tính F}

 

^{7 .}

A. 7. B. 11. C. 23

6 . D. 40

3 . Câu 4. Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{e2x và}

 

^{0 3}

F  2. Giá trị ¹ F 2

  là:

A. 1 e 2

2  . B. 2e 1 . C. 1

2e 1 . D. 1 1

2e2. Câu 5. Tính nguyên hàm ¹ d

2 3 x

x

 

  

 



^.

A. 2 ln 2x 3 C. B. 1

ln 2 3

2 x C. C. ln 2x 3 C. D. ^{1ln 2}



³



2 x C. Câu 6. Xét ^{I }



^x3



^4x43



^5dx. Bằng cách đặt u4x⁴3, khẳng định nào sau đây đúng?

A. 1 ⁵

I  4



u du^{. B. I }



^{u du5 . C. I }₁₂¹



^{u du5 . D. I }₁₆¹



^{u du5 .}

Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x2 4x3 là:}

A. ²



^{4 3}



³

9 x C. B. 2 4x³ C. C. ¹



^{4 3}



³

9 x C. D. ²



^4x3



^{3 C.}

Câu 8. Nguyên hàm  

 

10 12

2 d

1

x x

x





 ^bằng:

A.

1 2 11

33 1

x C

x

   

  

  . B.

1 2 11

11 1

x C

x

   

  

  .

C.

1 2 11

3 1

x C

x

   

  

  . D.

1 2 11

11 1

x C

x

  

     . Câu 9. Nguyên hàm của hàm số f x( ) sin . cos³x x là:

A. 1 ³

4cos x C B. 1 ³

4sin x C

C. 1 ⁴

4sin x C D. 1 ⁴

sin cos

4 x x C

Câu 10. Nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số f x

 

sin 2 .cos 2² x ³ x thỏa 0 F_{  }4

   là:

A.

 

^{1sin 23 1 sin 25 4}

6 10 15

F x  x x . B.

 

^{1sin 23 1 sin 25 1}

6 10 15

F x  x x .

C.

 

^{1sin 23 1 sin 25 1}

6 10 15

F x  x x . D.

 

^{1sin 23 1 sin 25 1}

6 10 15

F x  x x .

2. Thông hiểu: (10 câu) Câu 11. Nếu

   

2

1 d

2 3

F x x x

x x

 

 



^thì.

A.

 

2

ln 1

2 3

F x x C

x x

  

  . B.

 

^1ln



^{2 2 3}



F x  2 x  x C. C. ^{F x}

 

^{ x22x 3 C. D.}

 

^{1 2 2 3}

F x  2 x  x C. Câu 12. Cho F x là nguyên hàm của hàm số lnx

f x x . Tính ^F

 

^{e F}

 

^{1 .}

A. 1

I 2. B. I 1. C. 1

I e. D. I e. Câu 13. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số

 

²

f x 1

 x

 ?

A. ^{F x}

 

 ^x¹. B. ^{F x}

 

^{4 x}¹. C. ^{F x}

 

^{2 x}¹. D.

 

¹

F x 1

 x

 . Câu 14. Nguyên hàm của hàm số

 

²

1

x x

y f x e

 e

 là:

A. I  x ln x C. B. ^{I exln}



^{ex 1}



^C.

C. I  x ln x C. D. ^{I ex 1 ln}



^{ex 1}



^C.

Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số yx 1x² là:

A. ¹₃



^1x2



^{6. B. 1}₃



^1x2



^{3. C. x}₂²



^1x2



^{2. D. x}₂²



^1x2



^3.

Câu 16. Tìm nguyên hàm d

1 ^x

I x

 e



 ^.

A. I   x ln 1e^x C. B. I  x ln 1e^x C. C. I  x ln 1e^x C. D. I  x ln 1e^x C.

Câu 17. Cho



^2x



^3x2



^6dxA



^3x2



^8B



^3x2



^{7 C với A, B và C} . Giá trị của biểu thức 12A7B bằng:

23 241 52 7

Câu 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

 

^{3sin 2cos d}

3cos 2sin

x x

f x x

x x

 



 ^.

A.



^{f x}

 

^{dxln 3sinx2 cosx C. B.}



^{f x}

 

^{dx ln 3cos}



^{x2 sinx}



^C.

C.



^{f x}

 

^{dxln 3cosx2 sinx C. D.}



^{f x}

 

^{dx ln 3cos x2 sinx C.}

Câu 19. Khi tính nguyên hàm 3 1d

x x

x





 , bằng cách đặt u x1 ta được nguyên hàm nào?

A.



²



^{u24 d}



^{u. B.}

 

^{u23 d}



^{u. C.}



^{2u u}



^{2 4 d}



^{u. D.}

 

^{u24 d}



^u.

Câu 20. Kết quả của phép tính d

2. 1

x x

x e  e^ 



^bằng:

A. 1 1

3ln 2

x x

e C

e

 

 . B. 1

ln 2

x x

e C

e

 

 . C. ^ln



^{ex2ex 1}



^{C. D. 1ln 1}

3 2

x x

e C

e

 

 . Bảng đáp án

1.D 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A 9.D 10.C

11.C 12.A 13.B 14.D 15.B 16.D 17.D 18.B 19.A 20.A Hướng dẫn giải

Câu 1. Tìm ln



_x^xd^x có kết quả là.

A. ln lnx C. B.

2

lnx2 

C. C. ²



^{ln 1}



2  

x x C. D. 1 ²

2ln x C . Lời giải

Chọn D Ta có

ln ln2

d ln d ln

  2 



_x^{x x}



^{x x x C.}

Câu 2. Nguyên hàm 1 d

1 x

 x



^bằng.

A. 2 x2ln | x 1| C. B. 2 xC.

C. 2ln | x 1| C. D. 2 x2ln | x 1 | C. Lời giải

Chọn D

Đặt x    t x t² dx2 dtt .

2 2

d 2 d 2 2 ln 1 2 2 ln | 1|

1 1

t t t t t C x x C

t t

 

           

   

 

^.

Câu 3. Cho hàm số ^{F x}

 

^



^{x x2 2dx. Biết F}

 

^{2 2}₃^{, tính F}

 

^{7 .}

A. 7. B. 11. C. 23

6 . D. 40

3 . Lời giải

Chọ