Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Trọng - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

BÀI 1: NGUYÊN HÀM ... 1

▲_DẠNG 1. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN ... 1

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 2

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 2

▲_DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN... 5

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 5

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 6

▲_DẠNG 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN ... 8

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 9

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 10

BÀI 2 - TÍCH PHÂN ... 13

▲_DẠNG 1. TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT ... 13

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 13

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 14

▲_DẠNG 2. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ ... 15

1. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 ... 15

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 16

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 17

2. ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 ... 18

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 19

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 20

▲_DẠNG 3. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ... 21

1. Dạng 1.

( )

sin cos d            



ax ax f x ax x e ... 21

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 21

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 22

2. Dạng 2: f x( ) ln(ax dx)  



... 23

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 23

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 25

3. Dạng 3: .^sin     



^eax _cosax^{ax dx}   ... 26

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 26

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 28

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC ... 29

▲_DẠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. ... 29

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 29

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 30

▲_DẠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH. ... 33

A. VÍ DỤ MINH HỌA: ... 33

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: ... 34

BÀI 1: NGUYÊN HÀM

▲_DẠNG 1. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

PHƯƠNG PHÁP:

_ Sử dụng bảng nguyên hàm

Hàm sơ cấp Hàm số hợp ^{u=u x}

( )

Thường gặp

.



d^x= +^{x C .}



^{du= +u C.} . Vi phân ^d

(

^{ax b+}

)

^{= 1dx}

a

.

1

d 1

 



= + +



^{x x x}+ ^C

(

^{  −1}

)

.

1

d 1

 



= + +



^{u u u}+ ^C

(

^{  −1}

)

.

( )

^{d 1 1 ( ) 1}

1

 

 ⁺

+ =  + +



^{a x b x} _a + ^{ax b C}

.



^d_x^{x =ln x +C}

(

^x0

)

^.



^d_u^{u =lnu +C u x}

( ( )

^0

)

^.



_{ax b}^d₊^{x = 1}_a^{ln ax b+ +C a}

(

^0

)

.



cos d^{x x}=sin^{x C}+ ^.



^{cos du u=sinu+C} . 1

cos( + )d = sin( + +)



^{ax b x} _a ^{ax b C}

.



sin d^{x x}= −cos^{x C}+ ^.



^{sin du u= −cosu+C} . 1

sin( + )d = − cos( + +)



^{ax b x} _a ^{ax b C}

. 1₂

d tan

cos = +



_x ^{x x C}

Với 2

 

 +

x k

. 1₂

d tan

cos = +



_u ^{u u C}

Với

( )

2

 

 +

u x k

. ( ) ( )

2

d 1

cos = tan + +



_{ax b}^x + _a ^{ax b C}

. 1₂

d cot

sin = − +



_x ^{x x C.}

Với xk

. 1₂

d cot

sin = − +



_u ^{u u C}

Với ^{u x}

( )

^k

. ( ) ( )

2

d 1

sin cot

= − + +



_{ax b}^x + _a ^{ax b C}

.



^{e xx}d =^ex+^{C .}



^{e uud =eu+C} . 1

+ d = + +



^{eax b x} _a^{eax b C}

. d

=ln +



^{a xx ax}_a ^C

(

^{0 a 1}

)

. d

=ln +



^{a uu au}_a ^C

(

^{0 a 1}

)

. 1

d .ln

+ = + +



^{apx q x} _{p a}^{apx q C}

(

^{0 a 1}

)

_ Casio: Cho



^{f x x F x}( )d = ( )+^{C. Tìm f x( ) hoặc F x}

( )

• Nhấn SHIFT ^d

(

^{( )}

)

^{( )}

d ₌ −

x x

F x f x

x

• Nhấn phím CALC nhập x=2.5

• Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0) thì đó là đáp án cần chọn.

A. VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Tất cả nguyên hàm của hàm số

( )

¹

2 3

= + f x x là A. 1

ln 2 3

2 x+ +C. B. ^{1ln 2}

(

³

)

2 x+ +C. C. ln 2x+ +3 C. D. 1

ln 2 3 ln 2 x+ +C. Lời giải

Chọn A

( )

^{d 1 d 1ln 2 3}

2 3 2

= = + +



^{f x x}



_x+ ^{x x C.}

Ví dụ 2. Nếu



^{f x x}

( )

^{d =4x3+x2+C} thì hàm số ^{f x}

( )

^bằng

A.

( )

^{4 3}

= +x3 +

f x x Cx. B. ^{f x}

( )

^{=12x2+2x C+ .}

C. ^{f x}

( )

^{=12x2+2x. D.}

( )

^{4 3}

= +x3

f x x .

Lời giải Chọn C

Ta có: ^{f x}

( )

⁼

( 

^{f x x}

( )

^d

)

^=

(

^4x3+x2+C

)

^=12x2+2x.

Ví dụ 3. Cho hàm số ^{F x}

( )

là nguyên hàm của hàm số

( )

¹

2 1

= −

f x x với mọi 1

 2

x và ^F

( )

^{1 =1. Khi đó}

giá trị của ^F

( )

^{5 bằng}

A. ln 2. B. ln 3 . C. ln 2 1+ . D. ln 3 1+ . Lời giải

Chọn D

Ta có

( )

^{1 d 1ln 2 1}

2 1 2

= = − +



−

F x x x C

x

Mặt khác theo đề ra ta có: ^F

( )

^{1 =1 1ln 2.1 1 1 1}

2 − + =  =C C Nên

( )

^{1ln 2 1 1}

= 2 − +

F x x

Do vậy

( )

^{5 1ln 2.5 1 1 1}ln 9 1 ln 3 1

2 2

= − + = + = +

F .

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^=x3+1

x

A.



^{f x}

( )

^dx=3x2+_x¹₂ ^{+C. B.}



^{f x}

( )

^{dx= x}₄^{4 +lnx C+ .}

C.

( )

² 2

d =3 − 1 +



^{f x x x} _x ^{C. D.}



^{f x}

( )

^{dx= x}₄^{4 +ln x +C.}

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. 1

cos 2 d = sin 2 +



^{x x x C. B.}



^{x xed = x}₊^{e+1 +C.}

C. 1

d =ln +



_x ^{x x C. D.}



^{x xed =} _x^x₊^e+1₁^+C.

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=3x2+sinx là}

A. x³+cosx C+ . B. 6x+cosx C+ . C. x³−cosx C+ . D. 6x−cosx C+ . Câu 4. Tất cả nguyên hàm của hàm số

( )

¹

2 3

= + f x x là A. 1

ln 2 3

2 x+ +C. B. ^{1ln 2}

(

³

)

2 x+ +C.

C. ln 2x+ +3 C. D. 1

ln 2 3 ln 2 x+ +C. Câu 5. Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai?

A. 1₂

d tan

cos = +



_x ^{x x C. B.}



^{e xxd =ex+C.}

C. 1

ln d = +



^{x x} _x ^{c. D.}



^{sin dx x= −cosx C+ .}

Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=e2x+x2 là}

A.

( )

^{2 3}

2 3

=e ^x +x +

F x C. B. ^{F x}

( )

^=e2x+x3+C.

C. ^{F x}

( )

^{=2e2x+2x C+ . D.}

( )

^{2 3}

= ^x+x3 +

F x e C.

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^=x3+3x+2 là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. ^{F x}

( )

^{=3x2+3x C+ . B.}

( )

^{4 3 2 2}

= x3 + + +

F x x x C.

C.

( )

^{4 3 2 2}

4 2

= x + x + +

F x x C. D.

( )

^{4 2 2}

4 2

= x + x + +

F x x C.

Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=e (3 e )^x + ^−x là

A. 1

( ) 3e

= ^x−e_x +

F x C. B. F x( )=3e^x− +x C. C. F x( )=3e^x+e ln e^{x x}+C. D. F x( )=3e^x+ +x C. Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=ex+cosx là}

A. e^x−sinx C+ . B. 1 ¹

e sin

1

+ + +

+

x x C

x .C. xe^x−1−sinx C+ . D. e^x+sinx C+ . Câu 10. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{= +x 3x là:}

A.

( )

^{2 3}

2 ln 3

= x + ^x +

F x C. B.

( )

^{1 3}

= +ln 3^x +

F x C.

C.

( )

^{2 3}

= x2 + +^x

F x C. D.

( )

^{2 3 .ln 3}

= x2 + ^x +

F x C.

Câu 11. Tìm nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số ^{f x}

( )

^{=sinx+cosx thoả mãn 2}

2

  =

   F

A. ^{F x}

( )

^{=cosx−sinx+3. B. F x}

( )

^{= −cosx+sinx+3.}

C. ^{F x}

( )

^{= −cosx+sinx−1. D. F x}

( )

^{= −cosx+sinx+1.}

Câu 12. Tìm nguyên hàm cos 2_{2 2} sin cos d



_x ^x _x ^x

A. ^{F x}

( )

^{= −cosx−sinx C+ . B. F x}

( )

^{=cosx+sinx C+ .}

C. ^{F x}

( )

^{=cotx−tanx C+ . D. F x}

( )

^{= −cotx−tanx C+ .}

Câu 13. Cho ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của hàm số f x( )=4e^2x+2x thỏa mãn ^F

( )

^{0 =1. Tìm F x}

( )

^.

A. ^{F x}

( )

^{=4e2x+x2−3. B. F x}

( )

^{=2e2x+x2−1.}

C. ^{F x}

( )

^{=2e2x+x2+1. D. F x}

( )

^{=2e2x−x2−1.}

Câu 14. Cho hàm số ^{y=F x}

( )

là một nguyên hàm của hàm số y=x². Biểu thức ^F

( )

^{25 bằng}

A. 125 . B. 625 . C. 5 . D. 25 .

Câu 15. Biết ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của hàm số

( )

₂

= 1 + f x x

x và ^F

( )

^{0 =1. Tính F}

( )

^{1 .}

A. ^F

( )

^{1 =ln 2 1+ . B.}

( )

^{1 1ln 2 1}

= 2 +

F . C. ^F

( )

^{1 =0. D. F}

( )

^{1 =ln 2 2+ .}

Câu 16. Biết ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=2x+2x thoả mãn F}

( )

^{0 =0. Ta có F x}

( )

^bằng

A. ² 2 1 ln 2 + ^x−

x . B. ² 1 2

ln 2 + − ^x

x . C. ¹⁺

(

^{2x−1 ln 2}

)

^{. D. x2+2x−1.}

Câu 17. Cho ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của hàm số

( )

¹

2 1

= −

f x x . Biết ^F

( )

^{1 =2}. Giá trị của ^F

( )

^{2 là}

A.

( )

^{2 1ln 3 2}

= 2 +

F . B. ^F

( )

^{2 =ln 3 2+ . C.}

( )

^{2 1ln 3 2}

= 2 −

F . D. ^F

( )

^{2 =2 ln 3 2− .}

Câu 18. Nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số

( )

^{2 1}₂

= +sin

f x x

xthỏa mãn 1

4

  = −

  

F là

A.

2

cot 2

16

− x+x − . B.

2

cot 2

16

− +

x x . C. −cotx+x²−1. D.

2

cot 2

16 + −

x x .

Câu 19. Tìm nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số ^{f x}

( )

^=sin

(

^−2x

)

^{thỏa mãn 1}

2

  =

  

F .

A. cos( 2 ) 1

( ) 2 2



− −

= x +

F x . B. cos( 2 ) 1

( ) 2 2

 −

= x +

F x .

C. cos( 2 )

( ) 1

2

 −

= x +

F x . D. cos( 2 ) 1

( ) 2 2

−

= x −

F x .

Câu 20. Tìm ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=ex−1 trên}

(

^{− +;}

)

^{, biết F}

( )

^{0 =2.}

A. ^{F x}

( )

^{=lnx− −x 1. B. F x}

( )

^{=ex− −x 1.}

C. F x

( )

^{= 1}x ^{− +}x ¹

e . D. ^{F x}

( )

^{=ex− +x 1.}

▲_DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN PHƯƠNG PHÁP:

_Tự luận

• Đặt ^t=

( )

^x , trong đó ^

( )

^x là hàm số mà ta chọn thích hợp.

• Tính vi phân hai vế: ^dt='

( )

^{x dx.}

• Biểu thị: ^{f x dx( ) =g}_^

( ) ( )

^{x }_^{' x dx=g t dt( ) .}

• Khi đó: ^I =



^{f x dx}( ) =



^{g t dt}( ) =^{G t}( )+^C

_ Casio: Cho



^{f x x F x}( )d = ( )+^{C. Tìm f x( ) hoặc F x}

( )

• Nhấn SHIFT ^d

(

^{( )}

)

^{( )}

d ₌ −

x x

F x f x

x

• Nhấn phím CALC nhập x=2.5

• Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0) thì đó là đáp án cần chọn.

A. VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sin ( )=1 3cos

+ f x x

x.

A. 1

( ) d ln 1 3cos

=3 + +



^{f x x x C. B.}



^{f x( ) dx=ln 1 3cos+ x +C.}

C.



^{f x}( ) d^x=3ln 1 3cos+ ^x +^{C. D.}



^{f x( ) dx= −}₃^{1ln 1 3cos+ x +C.}

Lời giải Chọn D

Đặt t= +1 3cosxdt = −3sinxdx

1 1 1 1

( ) d ln | | ln 1 3cos

3 3 3

= − = − + =− + +



^{f x x}



_t^{dt t C x C.}

Ví dụ 2. Tính nguyên hàm 1 d ln 1

=



+

I x

x x .

A. 2 ³

(ln 1)

= 3 + +

I x C. B. I = lnx+ +1 C.

C. 1 ²

(ln 1)

= 2 + +

I x C. D. I =2 lnx+ +1 C.

Lời giải Chọn D

Đặt ² 1

ln 1 ln 1 2

= +  = +  =

t x t x tdt dx

x

1 d 2 2 2 ln 1

ln 1

= = = + = + +



+



I x dt t C x C

x x .

Ví dụ 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=x.3 x2+1?}

A.

( )

^{3( 2 1)43}

= −8 + +

F x x C. B.

( )

^{8( 2 1)43}

=3 + +

F x x C.

C.

( )

^{3( 2 1)34}

=8 + +

F x x C. D.

( )

^{3( 2 1)43}

=8 + +

F x x C.

Lời giải Chọn D

Đặt t=³ x²+  =1 t³ x²+ 1 3t dt² =2xdx

4

3 2 3 3 34 3 2 3

. 1 ( 1)

2 8 8

+ = = + = + +



^{x x dx}



^{t dt t C x C.}

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 21. Tìm ln



_x^xd^x có kết quả là.

A. ln lnx +C. B.

2

lnx2 +

C. C. ²

(

^{ln 1}

)

2 − +

x x C. D. 1 ²

2ln x C+ . Câu 22. Nguyên hàm 1

1+ d



_x ^{x bằng.}

A. 2 x−2ln | x+ +1| C. B. 2 x+C.

C. 2ln | x+ +1| C. D. 2 x−2ln | x+ +1 | C. Câu 23. Cho hàm số ^{F x}

( )

⁼



^{x x2 +2dx. Biết F}

( )

^{2 =2}₃^{, tính F}

( )

^{7 .}

A. 7. B. 11. C. ²³

6 . D. 40

3 . Câu 24. Biết ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=e2x và}

( )

^{0 3}

=2

F . Giá trị 1

2

   F là A. 1

2e 2+ . B. 2e 1+ . C. 1

2e 1+ . D. 1 1

2e+2. Câu 25. Tính nguyên hàm ¹ d

2 3

 

 + 

 



_x ^x.

A. 2 ln 2x+ +3 C. B. 1

ln 2 3

2 x+ +C. C. ln 2x+ +3 C. D. ^{1ln 2}

(

³

)

2 x+ +C. Câu 26. Xét ^{I =}



^x3

(

^4x4−3

)

^5dx. Bằng cách đặt u=4x⁴−3, khẳng định nào sau đây đúng.

A. 1 ⁵

= 4



I u du. B. ^I =



^{u du5 . C. I =}₁₂¹



^{u du5 . D. I =}₁₆¹



^{u du5 .}

Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=x2 4+x3 là}

A. ²

(

^{4 3}

)

³

9 +x +C. B. 2 4+x³ +C. C. ¹

(

^{4 3}

)

³

9 +x +C. D. ²

(

^4+x3

)

^{3 +C.}

Câu 28. Nguyên hàm ( ) ( )

10 12

2 d 1

−



^x_x+ ^{x bằng.}

A.

1 2 11

33 1

 −  +

 + 

 

x C

x . B.

1 2 11

11 1

 −  +

 + 

 

x C

x .

C.

1 2 11

3 1

 −  +

 + 

 

x C

x . D.

1 2 11

11 1

 − 

−  +  +

x C

x .

Câu 29. Nguyên hàm của hàm số f x( )=sin³x.cosx là A. 1 ³

4cos x C+ . B. 1 ³

4sin x C+ . C. 1 ⁴

4sin x C+ . D. 1 ⁴

sin cos

4 x+ x C+ . Câu 30. Nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số f x

( )

=sin 2 .cos 2² x ³ x thỏa 0

4

  =

  

F là

A.

( )

^{1sin 23 1 sin 25 4}

6 10 15

= + −

F x x x . B.

( )

^{1sin 23 1 sin 25 1}

6 10 15

= − +

F x x x .

C.

( )

^{1sin 23 1 sin 25 1}

6 10 15

= + −

F x x x . D.

( )

^{1sin 23 1 sin 25 1}

6 10 15

= − −

F x x x .

Câu 31. Nếu

( ) ( )

2

1 d

2 3

= +

+ +



^x

F x x

x x

thì A.

( )

^ln ₂ ¹

2 3

= + +

+ +

F x x C

x x

. B.

( )

^1ln

(

^{2 2 3}

)

=2 + + +

F x x x C.

C. ^{F x}

( )

^{= x2+2x+ +3 C. D.}

( )

^{1 2 2 3}

= 2 + + +

F x x x C.

Câu 32. Cho ^{F x}

( )

là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{= lnx}

x . Tính ^F

( )

^{e −F}

( )

¹

A. 1

= 2

I . B. I =1. C. 1

=e

I . D. I =e. Câu 33. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số

( )

²

= 1 f x +

x ?

A. ^{F x}

( )

^{= x+1. B. F x}

( )

^{=4 x+1. C. F x}

( )

^{=2 x+1. D.}

( )

¹

= 1 F x +

x . Câu 34. Nguyên hàm của hàm số

( )

²

= = 1 +

x x

y f x e

e là

A. I = +x ln x +C. B. ^{I =ex+ln}

(

^{ex+ +1}

)

^C.

C. I = −x ln x +C. D. ^{I =ex+ −1 ln}

(

^{ex+ +1}

)

^C.

Câu 35. Một nguyên hàm của hàm số y=x 1+x² là:

A. ¹₃

(

^1+x2

)

^{6. B. 1}₃

(

^1+x2

)

^{3. C. x}₂²

(

^1+x2

)

^{2. D. x}₂²

(

^1+x2

)

^3.

Câu 36. Tìm nguyên hàm d

= 1



+^xx

I e .

A. I = − −x ln 1+e^x +C. B. I = +x ln 1+e^x +C. C. I = −x ln 1−e^x +C. D. I = −x ln 1+e^x +C.

Câu 37. Cho



^2x

(

^{3x−2 d}

)

^{6 x=A}

(

^3x−2

)

^8+B

(

^3x−2

)

^{7+C với A, B và C} . Giá trị của biểu thức 12A+7B bằng

A. ²³

252. B. ²⁴¹

252. C. ⁵²

9 . D. 7

9. Câu 38. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

( )

^{3sin 2cos d}

3cos 2sin

= −



^x+ ^x

f x x

x x .

A.



^{f x}

( )

^dx=^{ln 3sinx}−^{2 cosx} +^{C. B.}



^{f x}

( )

^{dx= −ln 3cos}

(

^{x+2 sinx}

)

^+C.

C.



^{f x}

( )

^dx=^{ln 3cosx}+^{2 sinx} +^{C. D.}



^{f x}

( )

^{dx= −ln 3cos− x+2 sinx +C.}

Câu 39. Khi tính nguyên hàm 3 d 1

−



^x_x+ ^x, bằng cách đặt u= x+1 ta được nguyên hàm nào?

A.



²

(

^{u2−4 d}

)

^{u. B.}

 (

^{u2−3 d}

)

^{u. C.}



^{2u u}

(

^{2−4 d}

)

^{u. D.}

 (

^{u2−4 d}

)

^u.

Câu 40. Kết quả của phép tính d 2. ⁻ 1

− +



_e^{x x}_e ^{x bằng}

A. ¹ln ¹

3 2

− + +

x x

e C

e . B. ln ¹

2

− + +

x x

e C

e .

C. ^ln

(

^{ex−2e−x+ +1}

)

^{C. D. 1ln 1}

3 2

− + +

x x

e C

e .

▲_DẠNG 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN PHƯƠNG PHÁP:

_ Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn

 

^{a b;} và có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

^{a b; .}

Khi đó:



^{u v}d =^uv−



^{v u}d .

( )

^*

Để tính nguyên hàm



^{f x}

( )

^dx bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1. Chọn u v, sao cho ^{f x}

( )

^{dx=u vd (chú ý dv=v x'}

( )

^dx).

Sau đó tính ^v=



d^{v và du=u'.dx.} Bước 2. Thay vào công thức

( )

^{* và tính}



^{v ud .}

Chú ý: Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân



^{v u}d dễ tính hơn



^{u v}d ^. Ta thường gặp các dạng sau:

⍟Dạng 1.

( )

^{sin d}

cos

 

=  

 



^x

I P x x

x , trong đó ^{P x}

( )

là đa thức.u

Với dạng này, ta đặt

( )

d sin d

cos

=



  

 = 

 



u P x

v x x

x .

⍟ Dạng 2. ^{I =}



^{P x e}

( )

^{ax b+ dx}, trong đó ^{P x}

( )

là đa thức.

Với dạng này, ta đặt

( )

d ⁺ d

 =

 =

 ^{ax b} u P x

v e x

.

⍟ Dạng 3. ^I =



^{P x}

( ) (

^{ln mx}+ⁿ

)

^dx, trong đó ^{P x}

( )

là đa thức.

Với dạng này, ta đặt

( ) ( )

ln

d d

= +



 =

u mx n

v P x x .

_ Casio: Cho



^{f x x F x}( )d = ( )+^{C. Tìm f x( ) hoặc F x}

( )

• Nhấn SHIFT ^d

(

^{( )}

)

^{( )}

d ₌ −

x x

F x f x

x

• Nhấn phím CALC nhập x=2.5

• Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0) thì đó là đáp án cần chọn.

Nguyên tắc chung để đặt u và dv: Tìm được v dễ dàng và



^{v du}. tính được.

Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ)

A. VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=xcos 2x là}

A. sin 2 cos 2

2 + 4 +

x x x

C. B. cos 2

sin 2

− 2 x+

x x C.

C. cos 2

sin 2

+ 2 x+

x x C. D. sin 2 cos 2

2 − 4 +

x x x

C. Lời giải

Chọn A Đặt

d d

d cos 2 d 1sin 2 2

 =

 = 

 =  =

 

u x

u x

v x x v x.

Khi đó 1 1 1 1

sin 2 sin 2 d sin 2 cos 2

2 2 2 4

= −



= + +

I x x x x x x x C.

Ví dụ 2. Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=xln 2x là}

A.

2 1

2 ln 2 2

 − +

 

 

x x C. B.

2 2ln 2

−x2 +

x x C. C. ²

(

^{ln 2 1}

)

2 − +

x x C. D.

2

ln 2 2

2 − +

x x x C. Lời giải

Chọn A

Đặt ₂

d 1 ln 2

d d

2

 =

= 

 →

 = 

  =



u x u x

v x x x

v

.

( ) ( )

^{d 2.ln 2 1. 2 d}

2 2

=



= ^x −



^x

F x f x x x x

x

2 2 2

ln 2 ln 2 1

2 4 2 2

 

= − + =  − +

x x x

x C x C.

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^=x.e2x.

A.

( )

^{1e2 1}

2 2

 

=  − +

F x x x C. B. ^{F x}

( )

^=2e2x

(

^{x− +2}

)

^C.

C.

( )

^{2e2 1}

2

 

=  − +

F x x x C. D.

( )

^1e2

(

²

)

= 2 ^x − +

F x x C.

Lời giải Chọn A

Ta có: ^{F x}

( )

⁼



^x.e2xdx.

Đặt

( )

2 2

2 2 2

d 1e 2

1 1 1 1

e e d e

2 2 2 2

 =

 = 

 

=

 = 

 

 = − =  − +

 



x x

x x x

du x u x

dv e dx v

F x x x x C

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 41. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=xsinx là}

A. – cosx x+sinx C+ . B. xsinx+cosx C+ . C. xcosx+sinx C+ . D. xcosx−sinx C+ . Câu 42. Kết quả của I =



xe x^xd ^là

A.

2

= x2 ^x+ +^x

I e e C. B. I =e^x+xe^x+C. C.

2

= x2 ^x+

I e C. D. I =xe^x− +e^x C. Câu 43. Tính F x( )=



xsin 2xdx. Chọn kết quả đúng?

A. 1

( ) (2 cos 2 sin 2 )

= 4 + +

F x x x x C. B. 1

( ) (2 cos 2 sin 2 )

= −4 + +

F x x x x C.

C. 1

( ) (2 cos 2 sin 2 )

= −4 − +

F x x x x C. D. 1

( ) (2 cos 2 sin 2 )

=4 − +

F x x x x C.

Câu 44. Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( ) (

^{= x+1 e}

)

^{x là}

A. xe^x+C. B.

(

^{x+2 e}

)

^{x+C. C.}

(

^{x−1 e}

)

^{x+C. D. 2 ex x+C.}

Câu 45. Họ các nguyên hàm của ^{f x}

( )

^{=xlnx là:}

A.

2

1 2

2 ln +4 +

x x x C. B. ² 1 ² ln −2 +

x x x C. C.

2

1 2

2 ln −4 +

x x x C. D. 1

ln +2 +

x x x C

Câu 46. Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^=xln

(

^x+2

)

^.

A.

( )

^{d 2ln}

(

²

)

^{2 4}

2 2

= + − + +



^{f x x x x x x C. B.}



^{f x}

( )

^{dx= x2}₂^−4ln

(

^{x+ −2}

)

^x2+₂^4x+C.

C.

( )

^{d 2ln}

(

²

)

^{2 4}

2 4

= + − + +



^{f x x x x x x C. D.}



^{f x}

( )

^{dx= x2}₂^−4ln

(

^{x+ −2}

)

^x2−₄^4x+C.

Câu 47. Cho hàm số y=



xsin 2 dx x. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. ³

6 12

 

   =

y . B. ³

6 6

 

   =

y . C.

6 12

 

   =

y . D.

6 24

 

   =

y .

Câu 48. Gọi ^{F x}

( )

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{=xe−x. Tính F x}

( )

^{biết F}

( )

^{0 =1.}

A. ^{F x}

( ) (

^{= x+1 e}

)

^{−x+2. B. F x}

( )

^{= − +}

(

^{x 1 e}

)

^−x+1.

C. ^{F x}

( )

^{= − +}

(

^{x 1 e}

)

^{−x+2. D. F x}

( ) (

^{= x+1 e}

)

^−x+1.

Câu 49. Tìm họ nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số ^{f x}

( )

^=x.e2x.

A. ^{F x}

( )

^=2e2x

(

^{x− +2}

)

^{C. B.}

( )

^1e2

(

²

)

= 2 ^x − +

F x x C.

C.

( )

^{2e2 1}

2

 

=  − +

F x x x C. D.

( )

^{1e2 1}

2 2

 

=  − +

F x x x C.

Câu 50. Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( ) (

^{= 5x+1 e}

)

^{x và F}

( )

^{0 =3. TínhF}

( )

^{1 .}

A. ^F

( )

^{1 = +e 2. B. F}

( )

^{1 =11e 3− . C. F}

( )

^{1 = +e 3. D. F}

( )

^{1 = +e 7.}

Câu 51. Kết quả của



ln d^{x x là}

A. xlnx+ +x C. B. xlnx C+ . C. xlnx− +x C. D. xlnx−x. Câu 52. Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

^{= xlnx.}

A.

( )

^{d 2 32}

(

^{3ln 2}

)

=9 − +



^{f x x x x C. B.}



^{f x}

( )

^dx=1₉^x32

(

^{3lnx− +2}

)

^C.

C.

( )

^{d 2 32}

(

^{3ln 2}

)

=3 − +



^{f x x x x C. D.}



^{f x}

( )

^dx=₉^2x32

(

^{3lnx− +1}

)

^C.

Câu 53. Biết



xcos 2 dx x=axsin 2x+bcos 2x+C ^{với a, b} là các số hữu tỉ. Tính tích ab?

A. 1

= −4

ab . B. 1

=8

ab . C. 1

=4

ab . D. 1

= −8

ab .

Câu 54. Biết



^{xe2xdx=axe2x+be2x+C}

(

^{a b, }

)

^. Tính tích ab.

A. 1

=4

ab . B. 1

= −8

ab . C. 1

=8

ab . D. 1

= −4

ab .

Câu 55. Biết ²

( )

²

0

3 1 d

x

I =



x− e x= +a be ^{với a b,} là các số nguyên. Tính S= +a b.

A. S =8. B. S =10. C. S =12. D. S =16. Câu 56. Ta có



^{x e x2. dx =}

(

^{x2+mx+n e}

)

^{x+C khi đó m n. bằng.}

A. 0. B. −4. C. 5. D. 4.

Câu 57. Nguyên hàm của hàm 2018 ^{f x}

( )

^{=x.e2x là:}

A. ^{( ) 1e2}

(

²

)

= 2 ^x − +

F x x C. B. ( ) ¹e^{2 1}

2 2

 

=  − +

F x x x C.

C. ( ) 2e^{2 1} 2

 

=  − +

F x x x C. D. ^{F x( )=2e2x}

(

^{x− +2}

)

^C.

Câu 58. Cho ^{F x}

( )

⁼

(

^ax2+bx−c

)

^e2x là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

( )

⁼

(

^{2018x2−3x+1}

)

^{e2x trên}

khoảng

(

^{− +;}

)

^{. Tính T= +a 2b+4c.}

A. T =1011. B. T = −3035. C. T =1007. D. T = −5053. Câu 59. Biết

(

^{x 3 .}

)

^{e 2xdx 1 e 2x}

(

^{2x n}

)

^C

m

− −

+ = − + +



^{, với m n, } . Khi đó tổng S =m² +n² có giá trị bằng

A. 5. B. 65. C. 41. D. 10 .

Câu 60. Tìm nguyên hàm



sin ^{x x}d ^.

A.



sin ^{x x}d = −2 cos ^x+2 sin ^x+^{C. B.}



^{sin x xd = −cos x+C.}

C.



sin ^{x x}d =cos ^x+^{C. D.}



^{sin x xd =}₂¹_x ^{cos x+C.}

BÀI 2 - TÍCH PHÂN

▲_DẠNG 1. TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT PHƯƠNG PHÁP:

1. Định nghĩa

( )

^{d =}

( )

⁼

( )

⁻

( )



^{b ba}

a

f x x F x F b F a 2. Tính chất:

•



^a

( )

^{d =0}

a

f x x •



^b

( )

^{d = −}



^a

( )

^d

a b

f x x f x x.

•



^b_

( )

^

( )

^_^{d =}



^b

( )

^{d }



^b

( )

^d

a a a

f x g x x f x x g x x. •



^b

( )

^{d =}



^c

( )

^{d +}



^b

( )

^d

a a c

f x x f x x f x x

•



^b

( )

^{d = .}



^b

( )

^d

a a

kf x x k f x x.

A. VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Giá trị của

0 1 1

e ⁺d

−



^{x x bằng}

A. 1 e− . B. e 1− . C. −e. D. e.

Lời giải Chọn B

Ta có

0 1 1

e ⁺d

−



^{x x = e +10}−¹

x = e 1− .

Ví dụ 1. Cho biết ²

( )

0

d =3



^{f x x và 2}

( )

0

d = −2



^{g x x} . Tính tích phân ²

( ) ( )

0

2 2 d

=



 + −  I x f x g x x. A. I =11. B. I =18. C. I =5. D. I =3.

Lời giải Chọn A

Ta có ²

( ) ( )

0

2 2 d

=



 + − 

I x f x g x x ^{2 2}

( )

²

( )

0 0 0

2 d d 2 d

=



^{x x}+



^{f x x}−



^{g x x = + −4 3 2.}

( )

^{− =2 11.}

Ví dụ 3. Cho ¹

( )

0

d = −2



^{f x x và 5}

( ( ) )

1

2 d =6



^{f x x khi đó 5}

( )

0



^{f x} d^{x bằng}

A. 1. B. 2. C. 4. D. 3 .

Lời giải Chọn A

( ( ) ) ( )

5 5

1 1

2 d = 6 d =3



^{f x x}



^{f x x}

( ) ( ) ( )

5 1 5

0 0 1

d = d + d = − + =2 3 1



^{f x x}



^{f x x}



^{f x x .}

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 1. Trong cá