Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số – Huỳnh Chí Hào - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

(Ôn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015) Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Bài 1: Giải hệ phương trình ³ ²

 

2 2

2 12 25 18 2 9 4 (1)

3 1 3 14 8 6 4 (2)

y y y x x

x x x y y

      

       



(Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa) Bài giải

♥ Điều kiện:

2

1 3

6 4 0

x

y y

 

   



(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u

 

 f v

 

)

♦ 2y³12y²25y18



2x9



x4  ²



^y^²

 

³^ ^y^²



^²



^x^⁴



³^ ^x^⁴⁽³⁾

[Tại sao ?]

♦ Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^²^t³^^t^trên^ ta có:

f'

 

t 6t²   1 0, t   ^{f t}

 

đồng biến trên 

Nên:

       

² 2

2 2

3 2 4 2 4

4 (4)

2 4

y y

f y f x y x

x y y

y x

  

   

 

              

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

3x 1 6 x 3x²14x 8 0 (5) ♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp.

 

⁵ ^



³^x^¹^⁴

 

^ ⁶^^x^¹



^³^x²^¹⁴^x^⁵^⁰ (Tách thành các biểu thức liên hợp)

³



⁵



⁵



5 3



1



0

3 1 4 6 1

x x

 

     

    (Nhân liên hợp)

   

0

3 1

5 3 1 0

3 1 4 6 1

x x



 

 

          

 



5

 x

♦ Với x5  y1 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất



x y;

  

 5;1 

(2)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y) Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).

Bài 2: Giải hệ phương trình

   

3 3 2 2

2

17 32 6 9 24 (1)

2 4 9 2 9 9 1 (2)

x y x y x y

y x x y x x y

      

         



(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải

♥ Điều kiện: 4

2 9 0

x y x

 

   

 (*)

 

 f v

 

)

♦ x³y³17x32y6x²9y²24  x³6x²17x18 y³9y²32y42 [Tại sao ?]





x2



³5



x 2

 

y2



³5



y2



(3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t

 

 t³ 5t trên  ta có:

f'

 

t 3t²   5 0, t   ^{f t}

 

đồng biến trên 

Nên:

 

3  f x



 2



f y



3



x2  y 3 yx1 (4)



^x^³



^x^{  }⁴



^x ⁹



^x^¹¹^^x²^⁹^x^¹⁰ (5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp.

  

⁵ ^ ^x^³

 

^x^⁴^³



^{ }



^x ⁹

 

^x^¹¹^⁴



^^x²^²^x^³⁵ (Tách thành các biểu thức liên hợp)



3 .



⁵



9 .



⁵



5



7



4 3 11 4

x x

x x x x

x x

 

      

    (Nhân liên hợp)



5



³ ⁹



7



0

4 3 11 4

x x

   

 

          

(3)

 

5 0

3 9

7 0 (6)

4 3 11 4

x

x x

x

x x

  



      

    



♦ Chứng minh (6) vô nghiệm

 

6 ³ ⁵ ⁹ ⁹ 0

2 2

4 3 11 4

x x x x

x x

   

    

    [Tại sao ?]

   

0 0 0

1 1 1 1 2

5 9 0

2 2

4 3 11 4 4 3

x x

x x x

  

   

   

              

: phương trình VN

♦ Với x5  y6 (thỏa điều kiện (*))



x y;

  

 5;6 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các hệ phương trình

1)

3 3 2

2 2

3 6 3 4

6 10 5 4

x y x x y

x y x y y x y

     

        

 2)

   

2

53 5 10 5 48 9 0

2 6 2 66 2 11

x x y y

x y x x x y

      

         



3)

   

2

2012 3 4 6 2009 3 2 0

2 7 8 3 14 18 6 13

x x y y

x y x y x x

      

      

 4)

 

3

4 3 2 3

1 0

1 1 1

x x y y

x x x x y

    

      



(4)

 

4 4

2 2

3 2 5 (1)

2 2 8 4 0 (2)

x x y y

x x y y y

      

      



(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2) Bài giải

♥ Điều kiện: x2 (*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y

♦ x 3 ⁴x 2 y⁴ 5 y  ⁴ x 2



x   2



5 y y⁴5 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t

 

 t t⁴5 trên nữa khoảng



^0;



.

f liên tục trên



0;



và

 

³

 

4

' 1 2 0, 0;

5

f t t t

t

     

  ^{f t}

 

đồng biến trên



0;



Do ⁴x 2 0 và 4y



x y 2



² y 0 nên

 

³ ^ ^f



⁴ ^x^²



^ ^{f y}

 

^⁴ ^x^²^^y^^x^^y⁴^² (4)

⁴^y^



^y⁴^^y



²



⁷ ² ⁴ ⁴



⁰ ₇ ⁰ ₄

2 4 0 (5)

y y y y y

y y y

 

           ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Xét hàm số g y

 

y⁷2y⁴ y 4 trên nữa khoảng



^0;



.

Do g liên tục trên



^0;



và g'

 

y 7y⁶8y³   1 0, y



0;



 g y

 

đồng biến trên



^0;



Nên:

 

5 g y

 

g

 

1  y 1

♣ Với y0  x2 [thỏa (*)]

♣ Với y1  x3 [thỏa (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm



^{x y}^;



^là



^{2; 0}



^và

 

^3;1 ^

(5)

Bài 4: Giải hệ phương trình:

 

   

 

      

 



     



x x y y y x

y

y x y x

3 3 2

2 3

3 6 9 2 ln 1 0 1

1

log 3 log 1 2

.

♥ Điều kiện:

1 0

1 3

3 0

0 0 x

y x

x y

y

 

  

  

   

 

 

 



(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x^và^y

♦

 

1 



^x^¹



³^³



^x^¹



²^^ln



^x^¹

 

^ ^y^¹



³^³



^y^¹



²^^ln



^x^¹



(3) ♦ Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^^t³^³^t²^^ln^t trên khoảng



^0;



^f

 

^t ³^t² ⁶^t ¹ ⁰ ^t ⁰

    t    ^{f t}

 

đồng biến trên khoảng



^0;



Do x 1 0 và y 1 0 nên

 

³ ^ ^{f x}



^¹



^ ^{f y}



^¹



^^x^{ }¹ ^y^{ }¹ ^y^^x^² (4)



x2



log2



x3



log3



x2



 x 1 (5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 

5 2

 

3

 

2

 

3

   

1 1

log 3 log 2 log 3 log 2 0 6

2 2

x x

x x x x

x x

 

          

 

♣ Xét hàm số

 

2

 

3

 

log 3 log 2 1

2

g x x x x

x

     

 trên khoảng



^3;^



 

     

²

1 1 3

0 3

3 ln 2 2 ln 3 2

g x x

x x x

      

  

^{g x}

 

đồng biến trên khoảng



^3;^



^.

Nên

 

⁶ ^^{g x}

 

^^g

 

⁵ ^^x^{  }⁵ ^{ }⁴ ^y ³ [thỏa mãn (*)]



^{x y}^;

 

^ ^5;3



^

(6)

Bài 5: Giải hệ phương trình:.

     

       



     



x y y x y xy x

x y y x

2 2 2 2

3 3 8 6 1

13 3 14 1 5 2

♥ Điều kiện:

1 0 1 3 14 0 14

3 x x

y y

  

   

 

  

 



 

^*

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y ♦

 

¹ ^



^x^¹



³^³



^x^¹

 

^ ^y^¹



³^³



^y^¹



(3) ♦ Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^^t³^^{3 ,}^{t t}^^

^f^

 

^t ^³^t²^{ }³ ^0,^{ }^t ^^ ^{f t}

 

đồng biến trên . Do x 1 0 và y 1 0 nên

 

³ ^^{f x}



^¹



^ ^{f y}



^¹



^^x^{ }¹ ^y^{ }¹ ^x^{ }² ^y ⁽⁴⁾



²^x^¹¹

 

³^x^{ }⁸ ^x^¹



^⁵

 

⁵

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số Ta nhận thấy ¹¹

x 2 không là nghiệm của phương trình

 

⁵ ^nên

 

⁵ ³ ⁸ ¹ ⁵ ^0.

2 11

x x

     x 



 

⁶

Xét hàm số

 

³ ⁸ ¹ ⁵ ^, ^{8 11}^; ¹¹^;

2 11 3 2 2

g x x x x

x

   

        

 

²

    

²

3 1 10 3 1 3 8 10

2 3 8 2 1 2 11 2 3 8 1 2 11 0

x x

g x x x x x x x

  

      

     

8 11 11

; & ;

3 2 2

x    

    

   

 ^{g x}

 

đồng biến trên các khoảng ^{8 11}; & ¹¹;

3 2 2

   

   

   

♣ Trên khoảng ^{8 11}; 3 2

 

 

 thì ^{g x}

 

đồng biến, ³ ^{8 11}^; ^,

 

³ ⁰

3 2 g

 

  

  nên

 

6  ^{g x}

 

^^g

 

³ ^^x^{  }³ ^{ }⁴ ^y ⁵ [thoả mãn (*)]

♣ Trên khoảng ¹¹; 2

 

 

 thì ^{g x}

 

đồng biến, ⁸ ¹¹^; ^,

 

⁸ ⁰

2 g

 

  

  nên

 

6  ^{g x}

 

^^g

 

⁸ ^^x^{  }⁸ ^{ }⁴ ^y ¹⁰ [thoả mãn (*)]



^{x y}^,

 

^ ^{3;5 ,}

 

^{x y}^,

 

^ ^8;10



^

(7)

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các hệ phương trình

1)



²

  

2 2

4 1 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x

     



    



2)

3 3 2

3

3 4 2

3 3 19 105

x y y y x

x y x y y xy

     

       



3)

 

³

 

4 2 2 4 6

2 2 1 2 1 2 3 2

x y

x x y y

    

      



(8)

3

2 2 2

2 2 1 3 1 (1)

9 4 2 6 7 (2)

y y x x x

y x y

     

    



(Thi thử của THPT Trần Phú – Thanh Hóa) Bài giải

♥ Điều kiện:

1

3 3

2 2

x y

 

  

 (*)

 

 f v

 

)

♦ 2y³ y 2x 1 x 3 1x  2y³ y 2 1 x 2x 1 x 1x

 ²^y³^{ }^y ^{2 1}



^^x



¹^{ }^x ¹^^x (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t

 

2t³t trên  ta có:

f'

 

t 6t²   1 0, t   f đồng biến trên 

Nên:

     

2

3 1 1 0

1

f y f x y x y

y x

 

          (4)

4x 5 2x²6x1 (5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II

 Phương trình (5) viết lại thành:



2x3



²2 4x 5 11 Điều kiện

Đặt 4x  5 2t 3 3 t 2

 

  

 

 , ta được hệ phương trình: [Tại sao ?]

 

2

2 3 4 5 (6)

2 3 4 5 (7)

x t

t x

   

   



 Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được:

  

4 x t 3 x  t 4t 4x 



xt



x  t 2



0 + Khi xt, thay vào (7) ta được:

4x²12x 9 4x 5 x²4x    1 0 x 2 3 So với điều kiện của x và t ta chọn x 2 3. [không thỏa mãn (*)]

+ Khi x     t 2 0 t 2 x, thay vào (7) ta được:

(9)



12x



²4x 5 x²2x    1 0 x 1 2 (loại) So với điều kiện của x và t ta chọn x 1 2. ♦ Với x 1 2 y ⁴2. [thỏa mãn (*)]



^{x y}^;



^là



¹^ ^2;^⁴²



^và



¹^ ^{2; 2}⁴



^

Bài 7: Giải hệ phương trình ³ ² ³

 

3

2 4 3 1 2 2 3 2 (1)

2 14 3 2 +1 (2)

x x x x y y

x x y

      

    



(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải

♥ Điều kiện:

3 2 2 y x

 

 



(*)

 

 f v

 

)

♦ Do x0 không thỏa hệ nên ta có:

 

1  ² ⁴ ³₂ ¹₃ ^{2 2}



^y



³ ²^y

x x x

     

 1 ¹ ³ 1 ¹



3 2y



3 2y 3 2y

x x

   

         

   

 

    (3)

♦ Xét hàm đặc trưng f t

 

 t³ t trên  ta có:

f'

 

t 3t²   1 0, t   f đồng biến trên 

Nên:

 

³ ^ ^f^^^_¹^¹_x^^__^ ^f



³^²^y



^{  }¹ ¹_x ³^²^y (4)

x 2 ³15 x 1 (5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x7 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp.

 

5  x   2 3 2 ³15 x 0



 

²

3 3

0

1 1

7 0

2 3 4 2 15 15

x x x x



 

 

        

 x7

(10)

♦ Với x7  111

y 98 [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm



x y;



là 111 7; 98

 

 

 ^

Bài 8: Giải hệ phương trình

2

3

1 3 4

3 1 + (1) 1

9 2 7 2 2 2 3 (2)

x y y x

y x

y x y y

 

    

 

      



(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải

♥ Điều kiện:

1 2 9 x y

 

 

 (*)

 

 f v

 

)

♦ Ta có

 

1  ² 1 1

3 1 3 1

1

y y x x

y x

      

 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^t² ¹ ³^t

  t trên



^0;



ta có:

      

2 2

2 1 1

' t t 0, 0;

f t t

t

 

      f đồng biến trên



0;



Nên:

 

³ ^ ^{f y}

 

^ ^f



^x^{  }¹



^y ^x^{  }¹ ^x ^y²^¹ (4)

9y 1 ³7y²2y 5 2y3 (5)

♦ Phương trình (5) có hai nghiệm là y2 y3và nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân liên hợp. Định hướng biến đổi về dạng



y2



y3 .

  

h x 0 hay



^y²^⁵^y^^{6 .}



^{h x}

 

^⁰

 

5  9y2



y2



³7y²2y5



y1



0



   

     

2 2

2 3 2 3 2 2

1 5 6

5 6

9 2 2 1 1 7 2 5 7 2 5 0

y y y

y y

y y y y y y y y

  

 

 

          



 

     

2

2 3 2 3 2 2

0

1 1

5 6 0

9 2 2 1 1 7 2 5 7 2 5

y y y

y y y y y y y y



 

 

  

 

              

(11)

 ² 2

5 6 0

3 y y y

y

 

   

  ♦ Với y2  x3 [thỏa mãn (*)]

♦ Với y3  x8 [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm



x y;



là

 

3; 2 ;

 

8;3 

Bài 9: Giải hệ phương trình:.

    

 

     



  

  



x y y x y

x y

2 2 2 1 2 1

3 8 5 2

2

Bài giải

♥ Điều kiện:

8 3 0

12 0 x

y x y

 



 



   





 

^*

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y ♦

 

¹ ^



^y^{ }^x ¹



²^⁰^ ^y^{ }^x ¹ (3)

3 8 1 ⁵ 2 11

x x

    x



 

⁵

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 

⁵ ³ ⁸ ¹ ⁵ ^0.

2 11

x x

     x 



 

⁶

Xét hàm số

 

³ ⁸ ¹ ⁵ ^, ^{8 11}^; ¹¹^;

2 11 3 2 2

f x x x x

x

   

        

 

²

    

²

3 1 10 3 1 3 8 10

' 0

2 3 8 2 1 2 11 2 3 8 1 2 11

x x

f x

x x x x x x

  

     

     

8 11 11

; & ;

3 2 2

x    

    

   

 ^{f x}

 

đồng biến trên các khoảng ^{8 11}; & ¹¹;

3 2 2

   

   

   

♣ Trên khoảng ^{8 11}; 3 2

 

 

 thì ^{f x}

 

đồng biến, ³ ^{8 11}^; ^,

 

³ ⁰

3 2 f

 

  

  nên

 

6  ^{f x}

 

^ ^f

 

³ ^^x^{  }³ ^{ }⁴ ^y ⁴ [thoả mãn (*)]

♣ Trên khoảng ¹¹; 2

 

 

 thì ^{f x}

 

đồng biến, ⁸ ¹¹^; ^,

 

⁸ ⁰

2 f

 

  

  nên

 

6  ^{f x}

 

^ ^f

 

⁸ ^^x^{  }⁸ ^{ }⁴ ^y ⁹ [thoả mãn (*)]



^{x y}^,

 

^ ^{3;5 ,}

 

^{x y}^,

 

^ ^8;10



^

(12)

XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG TRÊN

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG



^ax^^b



ⁿ^ ^{p a x}ⁿ ^' ^{ }^b^' ^qx^^r

(x là ẩn số; p q r a b a b, , , , , ', ' là các hằng số; paa'0; n

 

2;3 Dạng thường gặp:



^ax^^b



²^ ^{p a x}^' ^{ }^b^' ^qx^^r

1. Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ:

+ Đặt ⁿa x'  b' ayb nếu pa'0 + Đặt ⁿ^{a x}^' ^{  }^b^'



^ay^^b



^nếu^pa^'^⁰

Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y :

 

( )

( ) ' '

h x Ay Bx C

h y A B x C

   

   

 (*)

(*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y.

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x1532x²32x20 (1)

Lời giải

 Điều kiện: 15

2 15 0

x   x 2

 Phương trình (1) viết lại thành: 2 4



x2



² 2x1528 Đặt 2x154y2 1

y 2

 

  

 

 , ta được hệ phương trình:

 

2

4 2 2 15 (2)

4 2 2 15 (3)

y x

x y

   

   



(13)



⁴^y^⁴^x^^{4 4}



^y^⁴^x



^²



^x^^y



^



xy



18



x y 1



0 + Khi x y, thay vào (3) ta được:

 

² ²

1

4 2 2 15 16 14 11 0 2

11 8 x

x x x x

x

 

        

  



So với điều kiện của x và y ta chọn 1 x2.

+ Khi 1 8



1



0 ⁹

x y y x 8

        , thay vào (3) ta được:



4 2



² 2 ⁹ 15 64 ² 72 35 0 ⁹ ²²¹

4 16

x x x x x  

          

So với điều kiện của x và y ta chọn 9 221 x  16

 .

 Tập nghiệm của (1) là 1 9 221

2; 16

S

 

   

 

  



Ví dụ 2: Giải phương trình 4x² 3x  1 5 13x (1)

Lời giải

 Điều kiện: 1

3 1 0

x    x 3

 Phương trình (1) viết lại thành:



²^x³



²  ³^x  ¹ ^x ⁴ Đặt 3x  1



2y3



3

y 2

 

  

 

 , ta được hệ phương trình:

 

2

2 3 2 1 (2)

2 3 3 1 (3)

x y x

y x

    

   



  

2 2x2y6 xy 2y2x 



xy



2x2y 5



0 + Khi x y, thay vào (3) ta được:

² ² 15 97

4 12 9 3 1 4 15 8 0

x x x x x x 8

         

So với điều kiện của x và y ta chọn 15 97 x 8 .

(14)

+ Khi 2x2y  5 0 2y 5 2x, thay vào (3) ta được:



2 2



² 3 1 4 ² 11 3 0 ¹¹ ⁷³

x x x x x 8

        

So với điều kiện của x và y ta chọn 11 73 x 8 .

 Tập nghiệm của (1) là 11 73 15 97

8 ; 8

S

 

   

 

  



3. Một số bài toán tự luyện

Giải các phương trình

1) x 6 x²4x 2) x²4x 3 x5 3) 2x 1 x²3x 1 0

4) 4x²14x 11 4 6x10 5) 9x²12x 2 3x8 7) 6) 9x²6x 5 3x5

---Hết---