Chuyên đề hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số logarit – Trần Quốc Nghĩa - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

(2)

GV. TR GV. TR GV. TR

GV. TRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm & biên tm & biên tm & biên tậậậập)m & biên t p)p)p) 1111

HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LƠGARIT

Vấn đề 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ - SỐ MŨ THỰC

1. Lũythừavớisốmũnguyên

Cho n là m

ộ

t s

ố

nguyên d

ươ

ng. V

ớ

i a là s

ố

th

ự

c tùy ý, l

ũ

y th

ừ

a b

ậ

c n c

ủ

a a là tích c

ủ

a n thừa số a.

①

①①

①

=

…

. . .

n

n thừa số

a a a a

v

ớ

i a : c

ơ

s

ố

; n : s

ố

m

ũ Quy ước: Vớ

i

a≠0

thì:

②② ②②

a

⁰

= 1;

③③ ③③ ^a ⁿ ¹_n

a

− =

. Chú ý: 0 và 0

⁰ ⁻ⁿ

khơng cĩ ngh

ĩ

a.

2. Cănbậcn a. Khái niệm:

• Cho s

ố

th

ự

c

b

và s

ố

nguyên d

ươ

ng

n≥2

. S

ố a đượ

c g

ọ

i là c

ă

n b

ậ

c

n

c

ủ

a s

ố _b

n

ế

u a

n

= b

• V

ớ

i

n

l

ẻ

,

b∈ℝ

thì ph

ươ

ng trình cĩ duy nh

ấ

t m

ộ

t c

ă

n b

ậ

c

n

c

ủ

a

b

, kí hi

ệ

u:

ⁿ

b .

• Với n chẵn:

_b_<₀

: Khơng tồn tại căn bậc

n

của

b

.

_b₌₀

: Cĩ m

ộ

t c

ă

n b

ậ

c

n

c

ủ

a

b

là s

ố ₀

.

_b_>₀

: Cĩ hai c

ă

n trái d

ấ

u là

ⁿ

b và –

ⁿ

b .

b. Tính chất của căn bậc n:

④

④④

④ ⁿ

a b .

ⁿ

=

ⁿ

ab

⑤⑤⑤⑤

( )

ⁿ

a

^m

=

ⁿ

a

^m ^⑥^⑥^⑥^⑥ ^{n m}

a =

^{m n}^.

a

^⑦^⑦^⑦^⑦ ⁿn ⁿ

a a

b = b

⑧

⑧⑧

⑧ ⁿ ⁿ a khi n lẻ a a khi n chẵn

=



 ⑨⑨⑨⑨ ⁿâ^p^.ⁿ â^q ⁼ⁿ â^{p q}⁺ ⑩⑩⑩⑩ ⁿ_nâ^p_q ⁿ â^{p q} a

= −

3. Lũythừavớisốhữutỉ

Cho s

ố

th

ự

c

a

d

ươ

ng và s

ố

h

ữ

u t

ỉ r ^m

= n

trong

đ

ĩ

m∈ℤ

,

n

∈

ℕ^*

. L

ũ

y th

ừ

a c

ủ

a

v

ớ

i s

ố

m

ũ r

là

a^r

xác

đị

nh b

ở

i:

m n

r n m

a = a = a

⑪⑪⑪⑪ 4. Lũythừavớisốvơtỉ

Cho

a

là m

ộ

t s

ố

d

ươ

ng, α là m

ộ

t s

ố

vơ t

ỉ

. Ta th

ừ

a nh

ậ

n r

ằ

ng luơn cĩ m

ộ

t dãy s

ố

h

ữ

u t

ỉ

( )

rn

cĩ gới hạn là α và dãy số tương ứng ( ) α

^rⁿ

cĩ giới hạn khơng phụ thuộc vào việc chọn dãy s

ố

( )

rn

.

Ta g

ọ

i gi

ớ

i h

ạ

n c

ủ

a dãy s

ố

( ) α

^rⁿ

là l

^ũ

y th

^ừ

a c

^ủ

a

^a

v

^ớ

i s

^ố

m

^ũ

α . Kí hi

^ệ

u là a .

^α

α

lim

=

→+∞ ^rⁿ

a

x

a với α lim

=

→+∞ _n

x

r

Chủđề 2

(3)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 12222 –––– MMMŨ MŨ Ũ Ũ ---- LOGARITLOGARITLOGARIT LOGARIT 2222

5. Tínhchấtcủalũythừavớisốmũthực

⑫⑫

a a

^α

.

^β

= a

^{α β}⁺ ⑬⑬⑬⑬

a a a

α α β

β

=

− ⑭⑭⑭⑭

( ) a

^{α β}

= a

^{α β}^. ⑮⑮⑮⑮

( . ) a b

^α

= a b

^α

.

^α ⑯⑯⑯⑯

a a b

b b a

α α α

α

   −

= =

   

   

⑰

N

ế

u

a>1

thì a

^α

> a

^β

⇔ > α β

⑱⑱⑱⑱ Nế

u

0< <a 1

thì a

^α

> a

^β

⇔ < α β

6. Côngthứclãikép

a. Định nghĩa:

Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi của kì trước.

b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A

; lãi suất

r%

/kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm).

● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A ( 1 + r )

ⁿ

● Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là

^A

(

¹⁺^r

)

ⁿ^{− =}^{A A}^_

(

¹⁺^r

)

ⁿ⁻¹^_

Dạng1.Tínhtoán–Rútgọnbiểuthứclũythừa

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Áp d

ụ

ng các tính ch

ấ

t c

ủ

a l

ũ

y th

ừ

a

để

tính giá tr

ị

c

ủ

a bi

ể

u th

ứ

c, rút g

ọ

n m

ộ

t bi

ể

u th

ứ

c, ch

ứ

ng minh m

ộ

t bi

ể

u th

ứ

c không ph

ụ

thu

ộ

c tham s

ố

, …

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 1:

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = 4

³⁺ ²

.2

¹⁻ ²

.2

^{− −}⁴ ³

b)

( )

3 1 3 4

3 2 0

2 .2 5 .5

10 :10 0,25

− −

= + B − c)

¹ ^0,75

(

^{0, 25}

)

⁵²

(

^0,04

)

^1,5

(

^0,125

)

²³

16

− − − −

 

=  + + −

 

C

d)

^G⁼^^_

( )

⁵ ⁵^^_ ⁵ ⁺⁴^{1 2 3}⁻ ^.16¹⁺ ³

e)

³ 6 ⁸⁴⁷ ³ 6 ⁸⁴⁷

27 27

E = + + −

f)

3 3 7

0 12

5 0

12

3. 3 3

. 3 9 9

F = ⋅ π + e ⋅

g) ( ) ( )

11

4 0,25

1

2 3

0,5 625 2 19. 3

4

−  − −

= − −

 

+ −

 

D h) ( )

( )

3 3

2 2

0 2

3 2

2 : 4 3 . 1 9 5 .25 0,7 . 1

2 H

−

− −

−

+

  

=

 

+

  

 

...

(4)

GV. TRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm & biên tm & biên tm & biên tậậậập)m & biên t p)p)p) 3333 ...

...

Ví dụ 2:

Đơn giản các biểu thức sau:

a)

1 7 1 5

3 3 3 3

1 4 2 1

3 3 3 3

a a a a

A

a a a a

−

− −

= −

− +

b) ( )

( )

4 1 2

3 3 3

1 3 1

4 4 4

a a a

B

a a a

−

= +

+

c)

1 1

3 3

6 6

a b b a

C a b

= +

+

d)

⁴

4 4 4 4

a b a ab

D a b a b

− +

= −

− + e)

5 2 2 5

5 5 2 1

a a

E b b

+ − −

− −

 

=

 

⋅

 

f) F ( x y )

²

( ) 4 . .

¹

x y

π π π

= + −

π

g)

1 9 1 3

4 4 2 2 14

6

1 5 1 1 3 4 2

4 4 2 2

: .

a a b b a b

I b a

a a b b

−

 

− −

 

=



− +



h)

⁵ ⁷

2 5 5 7 2 7

3 3 3 3

a b

H

a a b b

= −

+ +

i) (

^{2 3}

)(

^{2 3} ³ ^{3 3}

)

4 3 3

− 1 + +

= −

a a a a

G a a

...

(5)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 12222 –––– MMMŨ MŨ Ũ Ũ ---- LOGARITLOGARITLOGARIT LOGARIT 444 4 ...

...

(6)

Dạng2.Sosánhcáclũythừahaycănsố

So sánh hai lũy thừa cùng cơ số a ta áp dụng kết quả sau:

V

ớ

i

a>1

thì

a^x¹ >a^x² ⇔x₁>x₂

Với

0< <a 1

thì

a^x¹ >a^x² ⇔x₁<x₂

So sánh hai lũy thừa có cùng só mũ x, ta áp dụng kết quả sau:

V

ớ

i a b , ≠ 1 và 0

0 0

x x

x b a

b a

x b a



> ⇔ <

< < ⇔



< ⇔ >



V

ớ

i hai bi

ể

u th

ứ

c ch

ứ

a c

ă

n, ta c

ầ

n

đư

a v

ề

các c

ă

n cùng b

ậ

c.

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 3:

So sánh các số sau (không dùng máy tính b

ỏ

túi):

a) a = 3

⁶⁰⁰

và b = 5

⁴⁰⁰

b) x =

³

7 + 15 và

y= 10+³ 28

c) p = ( 3 1 − )

¹⁴

và q = ( 3 1 − )

²²

d)

3

2

5

 −

=

 

 

u và

2

 −

=

 

 

v e)

2

2 π

 

=

 

 

m và

3

5

π

⁻

 

= 

 

n

f)

3

2

5

 −

=

 

 

h và

2

5

2

 

=

 

 

k

...

(7)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 12222 –––– MMMŨ MŨ Ũ Ũ ---- LOGARITLOGARITLOGARIT LOGARIT 6666 Ví dụ 4:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

ⓐ

sin2

1 2

x

y  

= 

  ⓑ

y = 2

^x⁻¹

+ 2

³⁻^x ⓒ ^y⁼³^sin²^x⁺³^co^s²^x

...

Dạng3.Bàitoánlãikép

a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với

phần lãi của kì trước.

; lãi suất

r%

● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A ( 1 + r )

ⁿ

^A

(

¹⁺^r

)

ⁿ^{− =}^{A A}^_

(

¹⁺^r

)

ⁿ⁻¹^_

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 5:

Bà Mai gửi 50 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính số tiền lãi thu được sau 15 năm.

...

(8)

GV. TRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm & biên tm & biên tm & biên tậậậập)m & biên t p)p)p) 7777 Ví dụ 6:

Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý.

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền (cả vốn lẫn lãi) gần nhất với kết quả nào sau đây?

...

Ví dụ 7:

Bác An đem gửi tổng số ti ền 320 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Bác gửi 140 triệu đồng theo kỳ hạn ba tháng với lãi suất 2,1% một quý. Số tiền còn lại bác An gửi theo kỳ hạn một tháng với lãi suất 0,73% một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi kỳ hạn số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau 15 tháng kể từ ngày gửi bác An đi rút tiền. Tính gần đúng đến hàng đơn vị tổng số tiền lãi thu được của bác An.

...

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1

Bài 1.

Cho:

x²+³ x y⁴ ² + y²+³ y x^{4 2} =a

. Chứng minh

2 2 2

3 3 3

x +y =a

.

Bài 2.

ⓐ

( ) ( )

( )

4 2

2 1 2 1

2 2 1 3 1

. .

ab a b ab

A a b a b a b

− − −

− − − −

=

ⓑ

( ) ( )

( )

3 3

2 2 2 2

2 3 3

6 4 2 2 4 6 3

3

2 2 2 2 2

3 3

1 2

3 3

2

a b

b a

B a a a b a b b a b a b



− −

−



−



= + + + +

 

+ +



−



 

ⓒ

(

⁴ ^{3 2}

)

⁸ ¹¹

3 18 12 1611

a b a C

a b a

= − (

a>0

)

ⓓ

2 3 2 5 5 2

4 5 5

5 2

3 5

1

a b

D a b

a

a b

+

−

− −

−  

= +   −

−  

Đ

áp s

ố

: A a b =

^{8 5}

;

B=1

; C a =

³

+ a

⁹

; D a b =

^{3 2}

− 1

(9)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 12222 –––– MMMŨ MŨ Ũ Ũ ---- LOGARITLOGARITLOGARIT LOGARIT 88 88 Bài 3.

Tính giá trị của các biểu thức sau:

ⓐ

2 0,75 0

1

4 1 1 1

64 9

255 81 2

A

− −

−      

= +  − −  + 

      ⓑ

11 2

1 5 3

2

1 1

(0, 25) 2 ( 5)

32 9

B

− −

−     −

= +

 

−

 

+ −

   

ⓒ

( )

13 0 7

3 3

4 12

5 3 0

12 4

3. 3 5

16

9 . 5

C

e π

⁻

= ⋅ +

−

⋅

ⓓ

1

5 1

3 7 1 1 2

3 3

2 4 4 2

3 .5 : 2 :16 : 5 .2 .3 D

 −   

 

=

   

   

 

ⓔ

1

0,75

1

3 0 5

256 (9 )

E 125

−

−   −

= −

 

−

  ⓕ

F =

³

7 5 2 + +

³

7 5 2 −

Bài 4.

ⓐ

A =

³

7 5 2 + +

³

7 5 2 −

ⓑ

1 3

3 2 27 2 3 2 5

3 3

81 4 9 .3

B 9

  ⁻ ⁺

= +

 

−

 

Bài 5.

ⓐ ¹₁ ⁽ ⁾ ¹₁ ¹ ² ² ² ⁽ ⁾ ²

( ) 2

x y z z y x

A x y z

x y z yz

− −

−

− −

 

+ + + −

= ⋅ + ⋅ + +

− +   ⓑ ³

2

₃²

. 1

⁶ ₂

2

²

1

a a a a

B a

+ − − −

= −

Bài 6.

Chứng minh nếu

1≤ ≤x 2

thì x + 2 x + + 1 x − 2 x − = 1 2 .

Bài 7.

So sánh các số sau:

ⓐ

7

3

a 9

 −

=

 

 

và

4

0

2 13

b

 

=

 

  ⓑ

x =

³

126 + 26 và

y= 170−³82 Bài 8.

ⓐ

a = ( ) 5

⁻⁵⁶

và

1 1 4 1 3

5 5

−

 − 

= 

 

b ⓑ

5 2

3 π

 

=

 

 

x và

10 3

3 π

 

=

 

 

y

ⓒ

3

5

2

 

=

 

 

p và

3

6

 −

=

 

 

q

ⓓ

1 2

3 π

 

=

 

 

u và

3

2

π

 −

=

 

 

v

ⓔ

m = ( 5 2 − )

¹⁴

và n = ( 5 2 + )

⁻ ²³ ⓕ

h =

⁶

65 + 37 và k = 97 −

³

10

Bài 9.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

ⓐ ^y⁼⁵^{− + +}^x² ^x ¹ ⓑ

1 cos2x

y e

π

 −

= 

  ⓒ

6 6

cos sin

5 3

x x

y

  +

= 

 

Bài 10.

Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý

theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi

suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu?

(10)

Vấn đề 2. LÔGARIT

1.1.1.

1. Địnhnghĩa

Cho hai s

ố

d

ươ

ng

a

,

b

v

ớ

i

a≠1

. S

ố

α th

ỏ

a mãn

đẳ

ng th

ứ

c a

^α

= b

đượ

c g

ọ

i là lôgarit cơ số

a của b

và kí hi

ệ

u là

log b_a

.

①①

α

=^logab⇔a^α =b

(với

a

,

b>0

;

a≠1

)

_{Chú ý:}

Không có lôgarit c

ủ

a s

ố

âm và s

ố ₀

. C

ơ

s

ố

c

ủ

a lôgarit ph

ả

i d

ươ

ng và khác

1

.

Cho hai s

ố

d

ươ

ng

a≠1

và

b

, ta có các tính ch

ấ

t sau:

②

②②

②

log 1 0

_a

=

③③③③

log

_a

a = 1

④④ ④④

a

^log^a^b

= b e ;

^ln^b

= b ;10

^lg^b

= b

⑤⑤ ⑤⑤

log

^a

( ) a

^α

= α

2.2.2.

2. Tínhchất

a. So sánh hai lôgarit có cùng cơ số: Cho các số dương

b

và

c

:

Khi

a>1

thì log

_a

b > log

_a

c ⇔ > b c V

ớ

i

0< ≠a 1

và các s

ố _b

,

c

d

ươ

ng:

Khi

0< <a 1

thì log

_a

b > log

_a

c ⇔ < b c Khi

^a^>¹

thì log

a

b > ⇔ > 0 b 1 Khi

⁰^{< <}^a ¹

thì log

a

b > ⇔ < 0 b 1 log

a

b = log

a

c ⇔ = b c

b. Các quy t

ắ

c tính lôgarit: Cho ba s

ố

d

ươ

ng

a≠1

,

b

,

c

:

⑥

⑥⑥

⑥

log ( . ) log

_a

b c =

_a

b + log

_a

c

⑦⑦⑦⑦ ^loga ^loga ^loga

b b c

c = − ⑧⑧⑧⑧^logab^α =

α

^logab

Các h

ệ

qu

ả

:

⑨⑨

log (

_a

b b

1 2…

b

_n

) log =

_a

b

1

+ log

_a

b

2

+ +

…

log

_a

b

_n

(

0< ≠a 1

,

b₁

,

b₂

, …,

b_n

> 0 ,

n

∈

ℤ⁺

)

⑩

⑩ ^loga¹ ^logab

b = −

,

0< ≠a 1

,

b>0 ⑪⑪⑪⑪ ^loga ⁿb ¹^logab

=n

,

0< ≠a 1

,

b>0

,

n

∈

ℤ⁺

.

Chú ý: Nếu 0< ≠a 1

,

bc>0

thì:

⑫

⑫ log ( . ) log_a b c = _a b +log_a c ⑬⑬⑬⑬ ^loga ^loga ^loga

b b c

c = −

⑭⑭

⑭⑭ ^logab²^k =^{2 log}k a b

,

b≠0

,

k

∈

ℤ⁺

.

3.

3.3.

3. Đổicơsốcủalogarit

a. Cho ba s

ố

d

ươ

ng

a

,

b

,

c≠1

, ta có:

⑮

⑮⑮

⑮

log

log log

a b

a

c c

= b ⇔

⑯⑯⑯⑯

log .log

_a

b

_b

c = log

_a

c

⑰⑰⑰⑰

a

^log^c^b

= b

^log^c^a

b. H

ệ

qu

ả

: cho (

0<a b. ≠1

,

b>0

, α ,

m

,

n≠0

)

⑱

⑱⑱

⑱

1

log log .log 1

a

log

a b

b

b b a

= a ⇔ =

⑲⑲⑲⑲ ^logaα b ¹^logab

=

α

⑳⑳ ⑳⑳ ^logaⁿ ^m ^loga

b m b

= n

4.4.4.

4. Lôgaritthậpphân,lôgarittựnhiên

a.

Lôgarit thập phân: là lôgarit cơ

s

ố₁₀

:

log₁₀b

th

ườ

ng

đượ

c vi

ế

t là

logb

hay

lgb

. b.

Lôgarit tự nhiên:

Ng

ườ

i ta ch

ứ

ng minh

đượ

c dãy s

ố

( )

un

v

ớ

i

1 ¹

n

un

n

 

= + 

 

có gi

ớ

i h

ạ

n là m

ộ

t s

ố

vô t

ỉ

và g

ọ

i gi

ớ

i h

ạ

n

đ

ó là

e

:

lim 1 ¹

n

e n

n

→+∞

 

=  + 

 

M

ộ

t giá tr

ị

g

ầ

n

đ

úng c

ủ

a

e

là:

e

≈ 2,718281828459045 …

Lôgarit tự nhiên: là lôgarit cơ

s

ố e

:

log_eb

hay

lnb

. c. Chú ý công th

ứ

c

đổ

i c

ơ

s

ố

: lg ln

log

^a

lg ln

b b

b = a = a (

0< ≠a 1

,

b>0

)

(11)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 12222 –––– MMMŨ MŨ Ũ Ũ ---- LOGARITLOGARITLOGARIT LOGARIT 1010 1010

Dạng1.Tínhtoán–Rútgọnbiểuthứccóchứalôgarit

Áp dụng định nghĩa, các tính chất và các công thức đổi cơ số để rút gọn, tính toán các biểu th

ứ

c lôgarit…

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 8:

ⓐ 7 7 7 ³

1log 36 log 14 3log 21

A=2 − − ⓑ ⁵ ⁵

5

log 36 log 12 log 9

B −

=

ⓒ

C = 36

^{log 5}⁶

+ 10

^{1 lg 2}⁻

− e

^{ln 27} ⓓ

D = 81

^{log 5}³

+ 27

^{log 36}⁹

− 4

^{2 log 3}⁻ ²

ⓔ

E = 3lg ( 2 1 − + ) ( lg 5 2 7 + )

^ⓕ

F = ln ( 3 2 + )

²⁰¹⁷

+ ln 2 ( − 3 )

²⁰¹⁷

ⓖ

log 2sin

2

log cos

2

8 8

π π

   

=

 

+

 

   

G

ⓗ

H = log

₄

(

³

5 +

³

3 ) + log

₄

(

³

25 −

³

15 +

³

9 )

...

Ví dụ 9:

Tìm log

_a

x biết log

_a

b = 5 , log

_a

c = − 4 và

ⓐ

x a b =

^{5 5 3}

c

ⓑ

a

⁵⁴₆

b

³

x = c

...

(12)

Dạng2.Sosánhhailôgarit

Để so sánh hai lôgarit ta áp dụng các kết quả sau:

1)

N

ế

u

a>1

thì log

_a

M > log

_a

N ⇔ M > N > 0

2)

N

ế

u

0< <a 1

thì log

_a

M > log

_a

N ⇔ < 0 M < N

3)

Nếu

0< < <a b 1

hay

1< <a b

thì:

log

_a

x > log

_b

x ⇔ > x 1

log

_a

x < log

_b

x ⇔ < < 0 x 1

4)

log

_a

b > ⇔ 0

a

và

b

cùng l

ớ

n h

ơ

n

1

ho

ặ

c cùng nh

ỏ

h

ơ

n

1

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 10:

So sánh hai số sau:

ⓐ ^log ₃ ³

m= 5

và

log ₃⁷

n= 9 ⓑ 1

3

log 8

m = và n = log 2

₁₁₅

ⓒ

m = log 4

3

và n = log 3

₂ ⓓ

m = l g o

2

+ log 3 và n = log 5

ⓔ

m = log 29

7

và n = log 5

₃ ⓕ m=log 0,80,3

và

n=log 0, 3_0,2

...

(13)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 12222 –––– MMMŨ MŨ Ũ Ũ ---- LOGARITLOGARITLOGARIT LOGARIT 1212 1212

Dạng3.Biểudiễnmộtlôgarittheocáclôgaritkhác

Để

bi

ể

u di

ễ

n

log b_a

theo

log d_c

ta

đư

a

log b_a

v

ề

lôgarit theo c

ơ

s

ố c

sau

đ

ó vi

ế

t

a

và

b

thành tích hay th

ươ

ng c

ủ

a dãy các l

ũ

y th

ừ

a theo c

ơ

s

ố

c và

d

.

Áp d

ụ

ng tính ch

ấ

t lôgarit c

ủ

a tích và c

ủ

a th

ươ

ng ta suy ra k

ế

t qu

ả

. B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 11: ⓐ

Cho α = log 3

₂

và β = log 5

₂

. Tính log

₂₂₅

2700 theo α và β

ⓑ

Cho

a=ln 2

. Tính

ln16

; ln 0,125;

¹ln^{1 1}ln¹

8 4 4− 8

theo

a

ⓒ

Cho a = log 15

₃

và b = log 10

₃

. Tính

log 50₃

theo

a

và

b

.

ⓓ

Cho a = log 3 và b = log 5 . Tính log 30 theo

₁₅ a

và

b

.

ⓔ

Cho a = log 3

₂

, b = log 5

₃

và c = log 2

₇

. Tính log 63 theo

₁₄₀ a

,

b

và

c

...

(14)

GV. TRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm & biên tm & biên tm & biên tậậậập)m & biên t p)p)p) 1313 1313

Dạng4.Chứngminhđẳngthứcchứalôgarit

Áp dụng các công thức biến đổi lôgarit, công thức đổi cơ số để biến đổi vế này thành vế kia ho

ặ

c hai v

ế

cùng b

ằ

ng m

ộ

t

đạ

i l

ượ

ng th

ứ

ba, …

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 12: ⓐ

Cho

a

,

b

,

c

là ba số dương và

c≠1

. Chứng minh: a

^log^c^b

= b

^log^c^a

ⓑ

Cho

a

,

b

,

c

là ba số dương khác

1

. Chứng minh: log

1 log log

a

a ab

c b

c = +

ⓒ

Cho

0<a

,

b≠1

. Chứng minh: ( )

2 3

1 1 1 1 1

log log log ... log 2 log

+ + + + = +

a a a an a

n n

b b b b b

...

Ví dụ 13:

Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh rằng:

ⓐ

Nếu a

²

+ b

²

= 7 ab thì

7

(

7 7

)

log 1 log log

3 2

a b+ a b

= +

ⓑ

Nếu a

²

+ c

²

= b

²

thì log

_{b c}₊

a + log

_{b c}₋

a = 2log

_{b c}₊

a .log

_{b c}₋

a

...

(15)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

Dạng5.Bàitoánlãikép

a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với

phần lãi của kì trước.

; lãi suất

r%

● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A ( 1 + r )

ⁿ

^A

(

¹⁺^r

)

ⁿ^{− =}^{A A}^_

(

¹⁺^r

)

ⁿ⁻¹^_

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 14: [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% /

năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau m ỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm ti ếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử trong suốt thời gian gửi lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.

...

Ví dụ 15: [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Đầu năm 2016, ông A

thành lập một công ty. Tổng số tiền ông

A

dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm

15%

so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông

A

dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?

...

(16)

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2

Bài 11.

ⓐ

a = log 10

2

và b = log 63

₄ ⓑ x=log 30,5

và y = log 2

₇

ⓒ

m = 3log 2 log 3

6

+

6

và n = 2log 5

₆ ⓓ

u = 5

^{log 1,05}⁶

và v = 7

^{log 0,995}⁶

ⓔ

x = log 36

7

và y = log 25

₈ ⓕ

u = log

_0,4³

2 và

v=log 0,34_0,2 Bài 12. ⓐ

Biết

log_ab= 5

. Tìm

log_a ⁵ ^{3 6}

b

a b Đ

S: − 6 12 2 5 / 5 ( + )

ⓑ

Biết log

_a

x m = ;log

_b

x n = ;log

_c

x = p abc ( ≠ 1) . Tìm log

_abc

x

Đ

S: mnp np pm mn + +

ⓒ

Biết log 15

₆

= m ; log 18

₁₂

= n . Tìm log 24 .

₂₅ ĐS:

5

2 ( 1) 4 2

n

m n n

−

+ − +

Bài 13.

ⓐ 1 5 3

log 27

A = 9

ⓑ ⁶ ⁶

1 1

log 3 log 2

9 4

B= + ⓒ

C = log 2.log 3.log 4.log 5

3 4 5 2

ⓓ ⁶ ⁸

1 1

log 5 log 7

25 49

E = +

ⓔ

D a =

^log^a^b

− b

^log^b^a ⓕ

F = log 6

^π

( + 35 )

⁴

+ log 6

^π

( − 35 )

⁴

Bài 14.

ⓐ

( ln log )

²

ln

²

lg

²

a

lg

A a e a e

a

 

= + + −

 

  ⓑ B=log tan 65

( )

+log cot 6 .5

( )

ⓒ

3 2

2lg 3log 10

lg log 10

a

C a

= + − a −

ⓓ

( )

1 log

3

log log 1 .log

a

a b a

D b

b a a

b

= −

+ +

Bài 15. ⓐ

Biết log 3

₂

= m ; log 5

₂

= n . Tìm

log₂ 0,3; log₂ ⁵135

ⓑ

Biết log 5

₂₇

= a ;log 7

₈

= b ;log 3

₂

= c . Tìm log 35 .

₆

ⓒ

Biết log 12

₇

= a ;log 24

₁₂

= b . Tìm log 168.

₅₄

ⓓ

Biết log 18

₁₂

= a ;log 54

₂₄

= b . Chứng minh:

^ab⁺⁵

(

^{a b}^–

)

⁼¹

.

Bài 16.

Chứng minh các đẳng thức sau:

ⓒ

log ( ) log log

1 log

= + +

a a

ax

a

b x

bx x với 0 < a b x ax , , , ≠ 1 .

ⓔ

log .log .log

log .log log .log log .log

+ + =

^a

log

^b ^c

a b b c a c

abc

d d d

d d d d d d

d , với 0 < a b c d abc , , , , ≠ 1

Bài 17.

Cho x

²

+ 9 y

²

= 10 xy ( , x y > 0 ;

0< ≠a 1

). CM:

^log

(

³

)

^{2log 2} ¹

(

^log ^log

)

+ − =2 +

a x y a a x a y

Bài 18.

Cho

1 1

1 lg 1 lg

10

⁻

; 10

⁻

=

^x

=

^y

y z ( , , x y z > 0 ). Chứng minh:

1

101 lg⁻

= ^z

x

.

Bài 19.

Chứng minh:

ⓐ 1 5 3

log 5 log 1 2

+ 3 < −

ⓑ

log 6561 log 5 4

5

+

9

>

(17)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

TÀI LIỆỆỆỆU HU HU HỌU HỌỌC TỌC TC TC TẬẬẬẬP TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 1P TOÁN 12222 –––– MMMŨ MŨ Ũ Ũ ---- LOGARITLOGARITLOGARIT LOGARIT 1616 1616 Bài 20.

Tìm x biết:

ⓐ ^lg ¹^{lg 5} ^4lg ^{7 lg}

x=3 a− b+ c

.

ⓑ ^ln^x⁼₁₆⁷ ^{ln 3 2 2}

(

⁺

)

⁻^4ln

(

^{2 1}^{+ −}

)

²⁵₈ ^ln

(

^{2 1}⁻

) .

.

ⓓ 1 3 3 3 3

1 1

log log 125 log 4 log 2

3 2

x = − + .

Bài 21.

Anh Nam mong muốn rằng sau

6

năm sẽ có

2

tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng là

8%

/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.

Bài 22.

Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô Camry. Hỏi rằng ông A phải gửi ngân hàng mỗi tháng (số tiền như nhau) là bao nhiêu? Biết lãi suất hằng tháng là

0.5%

và tiền lãi sinh ra hằng tháng được nhập vào tiền vốn.

Bài 23. [ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017] Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%

/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết ti ền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông Việt sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Việt hoàn nợ.

Bài 24.

Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền 100 000000 đồng. Người đó dự định sau đúng

5

năm thì trả hết nợ; Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi, theo cách đó, số tiền a mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là 1, 2% và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ.

Bài 25.

Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% . Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S = A e .

^{N r}^.

(trong đó

A

: là dân số của năm lấy làm mốc tính,

S

là dân số sau

N

năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người?

Bài 26.

Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm

2°C

thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm

5°C

thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm

10%

. Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm

t C°

, tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm

^{f t}

( ) % thì

^{f t}

( )

⁼^{k a}^. ^t

(trong đó , a k là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ

C

thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm

20%

?

Bài 27.

Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng

một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm

như nhau. Sau bao nhiêu ngày, lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?

(18)

GV. TRẦẦẦẦN QUN QUN QUN QUỐỐỐỐC NGHC NGHC NGHĨAC NGHĨAĨAĨA (S(S(S(Sưu tưu tưu tưu tầầầầm & biên tm & biên tm & biên tậậậập)m & biên t p)p)p) 1717 1717

Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

1. Địnhnghĩa

①①

①① Hàm số mũ: Cho a là số thực dương, khác 1

. Hàm số

y = a^xđược gọi là hàm số mũ cơ số a .

②

② Hàm số lôgarit: Cho a là số

th

ự

c d

ươ

ng, khác

1

. Hàm số

y = log x_a được gọi là hàm số lôgarit cơ số a .

③

③ Hàm số lũy thừa: Hàm số y = x^αα^α^α

với α

∈ℝ

được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tậpxácđịnh

① Hàm số

m

ũ y = a^x

(

0< ≠a 1

) có t

ậ

p xác

đị

nh

D=ℝ

②

Hàm s

ố

lôgarit

y

====

log_a x

(

0< ≠a 1

) có tx

đ ^D⁼

(

^0;^+∞

)

③

Hàm s

ố

l

ũ

y th

ừ

a

y = x^α^αα^α

v

ớ

i α

∈ℝ

có t

ậ

p xác

đị

nh tùy thu

ộ

c α : V

ớ

i α nguyên d

ươ

ng:

D=ℝ

V

ớ

i α nguyên âm ho

ặ

c b

ằ

ng

0

:

^D⁼^ℝ^{\ 0}

{ }

V

ớ

i α không nguyên:

^D⁼

(

^0;^+∞

)

3. Mộtsốgiớihạncóliênquan

①①

①① ⁰

0

lim

^x ^x

x x

a a

→

=

②②②②

( )

0 0

lim log

_a

log

_a

x x

→

= ( x

₀

∈

ℝ

)

③③③③ ^{lim 1} ¹

x

x e

x

→+∞

 

+ =

 

 

④④

lim 1

_x_→₀

( + x )

¹^x

= e

⑤⑤⑤⑤

0

lim 1 1

x x

e x

→

− =

⑥⑥⑥⑥

( )

0

lim ln 1 1

x

x x

→

+ =

⑦⑦⑦⑦

0 0

x

lim

x

^α

x

^α

→

= ( 0 < ∈ x

₀ ℝ

, α

∈ℝ

)

⑧

Khi α

>0

:

lim

0

0, lim

x ₊

x

^α x

x

^α

→

=

→+∞

= +∞

⑨⑨⑨⑨

Khi α

<0

:

lim

0

, lim 0

x ₊

x

^α x

x

^α

→

= +∞

→+∞

=

4. Đạohàm

Hàm sơ cấp Hàm hợp (u====u x

(((( ))))

⁾

( ) e

^x

′ = e

^x

( ) e

^u

′ = u e ′ .

^u

( ) a

^x

′ = a

^x

.ln a ( ) a

^u

′ = u a ′ . .ln

^u

a (

^ln ^x

)

^{′ =}¹_x

(

^ln^u

)

^{′ =}^u_u^′

(

^log^a ^x

)

^{′ =} _{x a}_ln¹

(

^log^a ^u

)

^{′ =}_{u a}_ln^u^′

( ) x

^α

′ = α x

^α⁻¹

( ) u

^α

′ = α u

^α⁻¹

. u ′

( )

1

n

1

n n

x ′ = n x

⁻

( )

1

n

n n

u u

n u

⁻

′ = ′

5. Sựbiếnthiênvàđồthị a. Hàm số mũ y = a : ^x

1

a>>>> 0< << << << <a 1

①

T

ậ

p xác

đị

nh:

D=ℝ ①

T

ậ

p xác

đị

nh:

D=ℝ

(19)

TÀI LI TÀI LITÀI LI

②

Sự biến thiện: y ′ = a

^x

.ln a > 0 Gi

ớ

i h

ạ

n

đặ

c bi

ệ

t:

lim

^x

0; lim

^x

x

a

x

a

→−∞

=

→+∞

= +∞

Tiệm cận: Trục Ox là TCN.

③

B

ả

ng bi

ế

n thiên:

④Đồ

th

ị

:

②

Sự biến thiện: y ′ = a

^x

.ln a < 0 Gi

ớ

i h

ạ

n

đặ

c bi

ệ

t:

lim

^x

; lim

^x