43 câu Vận dụng cao Mũ - Logarit bám sát cấu trúc ĐMH môn Toán năm 2021 có lời giải chi tiết

Trang 1

PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA NĂM 2021 CỦA BGD CHUYÊN ĐỀ: MŨ- LOGARIT

ĐỀ BÀI

Câu 1. [2D2-5.5-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

 

2ln 2 ln 4

e

m x m x

  

 

 

có nghiệm thuộc vào đoạn 1 e;1

 

 

 

?

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Câu 2. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m trong khoảng



^{20; 21}



để phương trình ^{2.3log2x21}



^{7m48 .3}



^{log2x m28m0} có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x x_{1 2} 2?

A. 41 . B. 42 . C. 11. D. 12 .

Câu 3. [2D2-5.5-3] Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m sao cho phương trình

   

2 5 2 5

2 2

2 4

2 .3 ^{x x} 2 1 .3^{x x} 2 6 0

m ^{ }  m ^{ }  m  có nghiệm. Tổng các phần tử của S bằng

A. 12. B. 18. C. 20. D. 14.

Câu 4. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



là nghiệm của phương trình

 

.3125^x 1 5^y

x  y và thỏa mãn y60.

A. 10. B. 13. C. 11. D. 12 .

Câu 5. [2D2-5.5-4] Cho 0 x 2021 và log3



x1



 x 3y 1 27^y. Có bao nhiêu cặp số



^{x y;}



nguyên thỏa mãn điều kiện trên?

A. 2021. B. 2020. C. 4 . D. 3.

Câu 6. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu cặp số



^{x y;}



thuộc đoạn



1; 2020 thỏa mãn



ylà số nguyên và ln e^y

x x y ?

A. 2021. B. 2020. C. 6. D. 7.

Câu 7. [2D2-5.5-4] Tổng các nghiệm phương trình

2

2

3 2 9

log 3 3 1 2 log 2

2 2

x x

x x

x x

     

  có giá trị

bằng

A. 1. B. 2. C. 3. D. 1 .

Câu 8. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu số nguyên m sao cho phương trình ^{2 2 4 3} 2

3^{x mx m} 2 m

x m

   

   có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn



^{6; 0}



^?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 9. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 2021^2x22.2021^x2021m0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa _{1 2} 1

x x  2?

A. 97. B. 67. C. 79. D. 76.

Trang 2

Câu 10. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm với m 10 để phương trình

  

²



2 2

log xm log x 2mx có hai nghiệm?

A. 10. B. 11. C. 18. D. 9.

Câu 11. [2D2-5.5-3] Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^{2020; 2021}



để bất phương trình 9^x12 .3m ^xm0 nghiệm đúng  x .

A. 4041. B. 2020. C. 4042. D. 2021.

Câu 12. [2D2-5.5-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên m để bất phương trình

2 2 2 2

14 2 3

3

2 11

2 2

2

m x x

x

x x m

  



  

  nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x.

A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

Câu 13. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x ; y}



^{với ; x y} nhận giá trị trong đoạn



0 ; 2021



sao cho y  x 2 0 và 4.2^x2^y 3(xy) 6 0.

A. 2019. B. 2020. C. 2021. D. 2022.

Câu 14. [2D2-5.5-4] Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức

 

4 3 2 2 2

ln 1 25 10 2 1

5 1

x y y x y y x

y

    

 . Biết y2020, hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



thỏa mãn bất đẳng thức

 

^{1 .}

A. 2041210. B. 10206060. C. 2041220. D. 10206050.

Câu 15. [2D2-6.5-3] Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y,}



^{, với x10} thoả mãn bất phương trình

log2 3

4.2 4 3.2

x y

x y



  .

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

Câu 16. [2D2-6.5-3] Biết rằng bất phương trình



²



²



²

10 4

2 2 4 2 6 7 1 4

3 3 3 3 3

3

x

x x x x x x x



      

    

 

có tập nghiệm là ^{S }



^{a b;}



. Tính tổng a b .

A. 7 . B. 5 . C. 4 . D. 6.

Câu 17. [2D2-5.5-4] Cho ,x ylà các số thực dương thoả mãn ^{3 2} 81 81

3 2

xy x y xy

x y

  

  ^{. Khi}

3 2

Axy xy đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức S 13x8y bằng

A. 12 B. 13. C. 14 . D. 15.

Câu 18. [2D2-5.5-4] Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn

 

    

2 2

3 3 4 2

2^{x y} 2 ^{x y}  xy1 2x2y1 4 xy1 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức 16 11 19

2 1

x y

P x y

 

   ^bằng

A. 3. B. 1. C. 5. D. 4.

Câu 19. [2D2-6.5-3] Cho bất phương trình log10xlog²x 3 mlog100x với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m nguyên dương để bất phương trình có nghiệm thuộc



^1;



^.

A. 1. B. 3. C. vô số . D. 2 .

Trang 3

Câu 20. [2D2-5.5-3] Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

2

2

3 2

2 3

log 6 7

2

x x m

x x m

x x

 

   

  ^có

hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

A. 4 . B. Vô số. C. 2 . D. 3.

Câu 21. [2D2-5.5-3] Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2

1 2

2

log x m .log x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng



^{2;16 ?}



A. 3. B. 4 . C. 6. D. 5.

Câu 22. [2D2-5.5-4] Cho ,x y là các số thực thỏa mãn log4



x2y



log4



x2y



1. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



để giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^{f x y}



^,



^{ x y bằng 3.}

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 23. [2D2-5.5-3] Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



thỏa mãn đồng thời các điều kiện 0x2020, 1 y2020 và 4^x1log2



y3



16.2^ylog2



2x1



.

A. 2019. B. 2020. C. 1010. D. 1011.

Câu 24. [2D2-5.5-4] Cho 0x2021²⁰²² và log (2₂ x2) x 3y8^y. Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

A. 2022. B. 10. C. 2021. D. 7402.

Câu 25. [2D2-5.5-3] Cho x y, là các số thực sao cho x y. đạt giá trị nhỏ nhất và thỏa mãn



²



3 ^{2 2}

 

3 1 log 1 3 3

3 x y

x y x y

xy

   

    

 

. Tìm giá trị của biểu thức Px²⁰²⁰y²⁰²²

A. 2. B. 1. C. 1

2^{. D.} 4.

Câu 26. [2D2-5.5-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình



^{m1 25}



^log2x



^m2



^{xlog 52 2m 1 0} có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thỏa mãn .

A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1 .

Câu 27. [2D2-5.5-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^{2021; 2021}



để phương trình

 

 

36

6^x2mlog 18 x1 12m có nghiệm?

A. 211 . B. 2020 . C. 2023 . D. 212 .

Câu 28. [2D2-6.5-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc



^{20; 20}



để bất phương trình

2 3

3 3

log x a log x   a 1 0 có không quá 20 nghiệm nguyên?

A. 22. B. 23. C. 21. D. 24.

Câu 29. [2D2-6.5-4] Cho bất phương trình:

 

3 2

3 2

4 2

2 2 2 2

log 2 2 1

4 4

2

x x m

x m x x

x x

   

    

  . Có bao

nhiêu giá trị nguyên của ^m



^0;15



để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi số thực

 

^1;2

x ?

A. 6. B. 8. C. 7. D.5.

Câu 30. [2D2-6.5-4] Cho bất phương trình log7



x²2x2



 1 log7



x²6x 5 m



. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của mđể bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng



^{1;3 ?}



1. 2 4 x x 

Trang 4

A. 36. B. 35. C. 34. D. vô số.

Câu 31. [2D2-6.5-4] Có tất cả bao nhiêu cặp các số nguyên



^{x y;}



^{thỏa mãn}

 

 

2 2

2

2 2

2

log 2 1

log 1 1

x x y

x y

  

   ?

A. 4 . B. 5. C. 6. D. 7.

Câu 32. [2D2-5.5-3] Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn 0 x 2020 và log (33 x3)x2y9^y?

A. 2019. B. 6. C. 2021. D. 4 .

Câu 33. [2D2-6.5-3] Gọi mlà giá trị lớn nhất để bất phương trình

2 2 2 2

log

log 4

x m

x





nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định của bất phương trình. Mệnh đề nào sau đây đúng:

A. ^{m }



^1;1



^{. B. m}



^1;3



^{. C. m}



^{3; 4}



^{. D. m}



^4;5



^.

Câu 34. [2D2-6.5-3] Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình

   

2

log2x x2 logx3 x1 0.

A. 36 . B. 33 . C. 25 . D. 45 .

Câu 35. [2D2-6.5-3] Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình

3 3 6 4 2

log mlogm x 3x 6x 4 có không quá 10 nghiệm nguyên.

A. 21. B. 22. C. 23 . D. 24.

Câu 36. [2D2-5.5-4] Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn ₂ 4

log x y 2 4 1

x y

x y

  

  

 

  

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

4 2 2 2

3

3 4 3

2 4

x x y x x

P x y y

 

 

 bằng bao nhiêu?

A. 3

4. B. 4

9. C. 7

4. D. 13

2 . Câu 37. [2D2-5.5-4] Xét các số thực x, y



^x0



^{thỏa mãn}

 

3 1 1

3

2018 2018 1 2018 1 3

2018

x y xy xy

x y

x y x

   

        .

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x2y. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^m



^0;1



^{. B. m}



^{1; 2}



^{. C. m}



^2;3



^{. D. m }



^{1; 0}



^.

Câu 38. [2D2-6.5-4] Cho x y; là hai số thực dương thỏa mãn xyvà 1 1 .

y x

x y

x y

e e

e e

   

  

   

   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

^{2 2}

2 6

x y x y

P x y x xy y

 

 

  

.

A. 19

minP  9 . B. 12

minP  5 . C. minP 2. D. 25 minP 12. Câu 39. [2D2-6.5-4] Cho các số thực x y, thỏa mãn ^{2x2y21}



^{x2y22x2 4}



^x. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức P3x4y1.

A. 6 . B. 9 . C. 8 . D. 7 .

Câu 40. [2D2-5.5-4] Cho các số thực x1,y0 thỏa mãn log2021



2021x4042



 x 2y2021^2y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px²  x 1 2021^2y .

Trang 5

A. 4 . B. 5 . C. 6. D. 3 .

Câu 41. [2D2-5.5-4] Xét các số thực dương , x y thỏa mãn

   

2 2

3

log 2 2 2 3 3 2

4 2 2

x y

x x y y xy

x y xy

     

   .

Tìm giá trị lớn nhất của 6 2 1

2 6

x y

P x y

 

   ^.

A. 2. B. 1. C. 3 . D. 4 .

Câu 42. [2D2-6.5-3] Cho hai số thực ,x ythỏa mãn:

2 2

2 2 2

2 2 2

2 1

x x

x y x x

x y x

 

 

   

 . Giá trị lớn nhất của xy làM khi xm. Tổng Mm

A. 1

4^{. B.}

1

2^{. C.}

1

2^{. D.}

3 4^.

Câu 43. [2D2-6.5-4] Cho a b, là các số nguyên dương nhỏ hơn 2022 . Biết rằng với mỗi giá trị của b luôn có ít nhất 1000 giá trị của a thỏa mãn



2^{a b 2}2^{b a}



.log_a1 b4^b1. Số giá trị b là

A. 1021. B. 1022 . C. 1020 . D. 1023 .

 HẾT 

Trang 6

PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA NĂM 2021 CỦA BGD CHUYÊN ĐỀ: MŨ- LOGARIT

BẢNG ĐÁP ÁN

1A 2C 3B 4D 5D 6D 7C 8D 9D 10D 11D 12B 13B 14D 15C 16D 17A 18C 19A 20D 21D 22A 23C 24D 25A 26C 27C 28A 29D 30A 31B 32D 33D 34C 35D 36C 37D 38D 39B 40C 41B 42D 43A

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. [2D2-5.5-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

 

2ln 2 ln 4

e

m x m x

  

 

 

có nghiệm thuộc vào đoạn 1 e;1

 

 

 

?

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .

Lời giải

FB tác giả: Nguyễn Công Hạnh

Có ^2ln



²



^{ln 4}

e

m x m x

  

 

   ^m2



^lnx1

 

^{ 2m}



^{lnx4 }



^{m2m2 ln}



^xm24

 

^{1 .}

• Với m²m 2 0m1



^m0



^,

 

^{1  0lnx 3} (Vô nghiệm) Loại m1.

• Với m1,

 

^{1  ln 2}

1 x m

m

 



 

^{2 .}

Hàm số ylnx đồng biến trên 1 e;1

 

 

 

; với 1 e;1 x  

   ^{lnx }



^{1; 0}



^.

Phương trình

 

2 có nghiệm thuộc đoạn 1 e;1

 

 

  khi

1 2 0

1 m m

   

 

2 1

1

2 0

1 m m m m

 

  

 

 

 

 





3 2 1

1 2

m m

m

 



 



  



 3

2m2 m2.

Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 2. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m trong khoảng



^{20; 21}



để phương trình ^{2.3log2x21}



^{7m48 .3}



^{log2xm28m0} có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x x_{1 2} 2?

A. 41 . B. 42 . C. 11. D. 12 .

Lời giải

FB tác giả: Ân Nikumbh Tập xác định ^D



^{0; }



^.

Trang 7

Ta cĩ ^{2.3log2x21}



^{7m48 .3}



^{log2x m28m06.32 log2x}



^{7m48 .3}



^{log2xm28m0}

 

^{1 .}

Đặt t3^log2x, t0. Ta được phương trình bậc hai ^6t2



^7m48



^{tm28m0}

 

^{2 cĩ}



^{7m 48}



^{2 24}



^{m2 8m}

 

^{5m 48}



^{2 0 , m}

         .

Suy ra phương trình trên cĩ nghiệm t₁2m16, ₂ 3 t m.

Phương trình

 

1 cĩ hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 

2 cĩ hai nghiệm phân biệt dương

2 16 0

0 8 3

m m m

 



  

 



. Vì m và ^{m }



^{20; 21}



^nên m



9;10;11;...; 20

  

^{ .}

Khi đĩ

 

2 cĩ hai nghiệm t₁, t₂ thỏa mãn

 

2 1 2

2 1 2 2 2 1 2 2

2 2 2 2

log

log log log log

1 2

8 8 8 8

. 3 .3 3 3

6 6 6 6

x x

x x x x

m m m m m m m m

t t   ^  

       .

Từ x x_{1 2}2 log2



x x1 2



1 3^{log2x x1 2} 3

2

8 2

3 8 18

6

m m

m m

     



^{; 4 34}

 

^{4 34 ;}



m

        .

Kết hợp với điều kiện

 

^{ , ta được} m



10;11;...; 20



.

Câu 3. [2D2-5.5-3] Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m sao cho phương trình

   

2 5 2 5

2 2

2 4

2 .3 ^{x x} 2 1 .3^{x x} 2 6 0

m ^{ }  m ^{ }  m  cĩ nghiệm. Tổng các phần tử của S bằng

A. 12. B. 18. C. 20. D. 14.

Lời giải

FB tác giả: Quang Nguyen

   

2 5 2 5

2 2

2 4

2 .3 ^{x x} 2 1 .3^{x x} 2 6 0

m ^{ }  m ^{ }  m 

 

1 . Đặt

2

2 5 1 1

4 2

3^{x x} 3 ^x 3

t

  

   

 

   .

Phương trình

 

1 trở thành



^m2



^t22



^m1



^{t2m 6 0}



^{2 2 2}



^{2 2 2 6}

m t t t t

     

2 2

2 2 6

2 2 t t

m t t

 

 

 

 

^{2 (vì t22t 2 0,t).}

Phương trình

 

1 cĩ nghiệm 

 

2 cĩ nghiệm t3  đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số

 

2 2

2 2 6

2 2 t t f t t t

 

   tại điểm cĩ hồnh độ t3. Xét hàm số

 

2 2

2 2 6

2 2 t t f t t t

 

   ^{với t}



^{3; }



^cĩ:

   

2 2 2

6 4 16

0

2 2

t t

f t

t t

  

  

 

 

 

 



  

4 loại 3

2 loại t

t

. Ta cĩ bảng biến thiên:

Trang 8

Từ bảng biến thiên suy ra

 

1 có nghiệm 2m6^{S }



^{3; 4;5; 6}



^.

Tổng các phần tử của S bằng 3 4 5 6 18    .

Câu 4. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



là nghiệm của phương trình

 

.3125^x 1 5^y

x  y và thỏa mãn y60.

A. 10. B. 13. C. 11. D. 12 .

Lời giải

FB tác giả: Châu Vũ Ta có ^{x.3125x }



^{y1 5}



^{y x.55x }



^{y1 5}



^y



⁵

    

5 5 5 5

log x.5 ^x log  y 1 5^y 5x log x log y 1 y

        

   

5 5

5x log 5x y 1 log y 1

      .

Xét hàm số f t

 

 t log5t, t0.

Ta có

 

^{1 1 0, 0}

.ln 5

f t t

  t    . Khi đó ^f

 

^{5x  f y}



^1



^{5x y1.}

Như vậy tương ứng với mỗi giá trị x nguyên dương ta đều có y nguyên dương mà y60 suy

ra 61

5 61

x x 5 .

Mặt khác x nguyên dương nên x



1; 2;3;...;12



. Vậy có 12 cặp số



^{x y;}



nguyên dương thỏa mãn đề bài.

Câu 5. [2D2-5.5-4] Cho 0 x 2021 và log3



x1



 x 3y 1 27^y. Có bao nhiêu cặp số



^{x y;}



nguyên thỏa mãn điều kiện trên?

A. 2021. B. 2020. C. 4 . D. 3.

Lời giải

FB tác giả: Vũ Thảo Ta có:

 

 

3 3

log 1 3 1 27

log 1 1 27 3

y y

x x y

x x y

    

     

 

   

log3 1 3

3 ^x log3 x 1 3^y 3y *

     .

Xét hàm đặc trưng ^{f t}

 

^3tt.

Ta có f

 

t 3 .ln 3 1 0,^t    t  nên hàm số ^{f t}

 

^3tt đồng biến trên . Khi đó, từ phương trình

 

* ta có:

 



log3 1

  

3 log3



1



3 1 27^y 27^y 1

f x  f y  x  yx  x  .

Trang 9

Mà 0 x 2021 0 27^y 1 2021 0 ylog 2022₂₇ 2,31. Vì y nên ^y



^{0;1; 2}



^{ x}



^{0; 26; 728}



^.

Do đó có 3 cặp số nguyên



x y^;





 

0; 0 ; 26;1 ; 728; 2

     

thỏa mãn phương trình đã cho.

Câu 6. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu cặp số



^{x y;}



thuộc đoạn



1; 2020 thỏa mãn



ylà số nguyên và ln e^y

x x y ?

A. 2021. B.2020. C. 6. D. 7.

Lời giải

FB tác giả: Nguyễn Hằng Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t et f}

 

^{t  1 et 0 , t  f t}

 

đồng biến trên 

 

^{1 .}

Theo đề ra: xlnx ye^y  ^f



^lnx



^{ f y}

   

^{2 .}

Từ

 

^{1 ,}

 

^{2 suy ra lnx yxey.}

Để 1 x 2020 thì 1 e ^y 20200 yln 2020.

1 2020

y y

 

  



 y



1; 2;3; 4;5; 6; 7



.

Với mỗi giá trị y



1; 2;3; 4;5; 6; 7



ta có một giá trị x tương ứng thuộc đoạn



^{1; 2020}



Vậy có 7 cặp số



^{x y;}



thỏa mãn.

Câu 7. [2D2-5.5-4] Tổng các nghiệm phương trình

2

2

3 2 9

log 3 3 1 2 log 2

2 2

x x

x x

x x

     

  có giá trị

bằng

A. 1. B. 2. C. 3. D. 1.

Lời giải

FB tác giả: Đỗ Quang Khải Phương trình:

2

2

3 2 9

log 3 3 1 2 log 2

2 2

x x

x x

x x

     

 

   

2

2 2

3 2 3

log 3 log 2 2 4 4 3

2 2 x x

x x x x

x x

         

 

   

2

2 2

3 2

log 3 2 4 4 3

2 4 4

x x

x x x x

x x

        

 



²

 

²

 

²

 

²



3 3

log x x 3 x x 3 log 2x 4x 4 2x 4x 4

            .

Xét hàm số f t

 

log3tt, t0 thì

 

^{1 1 0}

.ln 3 f t

 t   ,  t 0.

Do đó ^{f t}

 

đồng biến với mọi t0, nên phương trình ^{f x}



^{2 x 3}



^{ f}



^2x24x4



2 2 2

3 2 4 4 3 1 0

x x x x x x

          . Phương trình có 2 nghiệm 3 5

x  2

 .

Vậy tổng các nghiệm của phương trình có giá trị là 3.

Câu 8. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu số nguyên m sao cho phương trình ^{2 2 4 3} 2

3^{x mx m} 2 m

x m

   

   có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn



^{6; 0}



^?

Trang 10

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

FB tác giả: Ninh Thị Hiền Điều kiện: x m.

Với điều kiện trên ^{2 2 4 3} 2

3^{x mx m} 2 m

x m

   

  

  ^{2 2}^{2 1} 2

3^{x m m} 2 m

x m

    

  

 . Đặt t x m t , 0 ta được: ^{ }

2 2

2 1 2

3^{t m} 2 m

t

   

 

 

^{* .}

Nhận thấy: Hàm số ^{f t}

 

^{3t2m2212} đồng biến trên khoảng



^0;



^.

Hàm số ^{g t}

 

^{m 2}

t

  nghịch biến trên khoảng



^0;



^.

Và ^f



^m2



^{g m}



^2



^.

Vậy

 

* có nghiệm duy nhất t m2.

Khi đó 2

2 2 2

x m m x

x m

  

       .

Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn



^{6; 0}



6 2 2 0 1 4

2 2 2 2

m m

m m

     

 

 

   

 

. Do mnguyên nên ^m



^{1;3; 4}



^.

Câu 9. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 2021^2x22.2021^x2021m0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa _{1 2} 1

x x  2?

A. 97. B. 67. C. 79. D. 76.

Lời giải

FB tác giả: Song Toàn Đặt t2021^x 0.

Phương trình đã cho đã thành t²22.t2021m0

 

¹

Yêu cầu bài toán phương trình

 

1 có hai nghiệm dương

0 112 2021 0

0 2 0

0 2021 0

m S

P m

 

    

 

   

 

    

 

1900 1900 2021 2021

m m

m

 

   

 

 

^{* .}

Gọi t₁, t₂ là hai nghiệm phương trình

 

¹ t t1 2. 2021m

Mặt khác: ^{1 2}

1 2

1 2 1 2

1 2021 2021 . 2021 2021 2021

2

x x

x x   ^  t t   m

2021 2021 1976, 04 m

    .

Kết hợp điều kiện

 

^{* ta có 1900m2021 2021.}

Vậy có 76 số nguyên m thỏa mãn bài toán.

Trang 11

Câu 10. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm với m 10 để phương trình

  

²



2 2

log xm log x 2mx có hai nghiệm?

A. 10. B. 11. C. 18. D. 9.

Lời giải

FB tác giả: Nghiêm Đoàn Điều kiện xác định:

2

0

2 0

x m

x mx

 



  



. Với điều kiện xác định như trên:

  

²



^{2 2}

 

2 2

log xm log x 2mx xmx 2mxx x 2m1 m0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 

^{2 2}

2 3

2 1 4 4 8 1 0 2

2 3

2 m

m m m m

m

  

 

        

  

 



.

Như vậy: Phương trình có nghiệm

2 1 4 2 8 1

2

m m m

x    

 .

Kết hợp với điều kiện xác định:

2

2 2

2 2

2 1 4 8 1

2

2 1 4 8 1 2

4 1 4 8 1

4 1 0

4 8 1 16 8 1

1 4 0

m m m

x m

m m m m

m m m

m

m m m m

m m

   

  

      

    

  

      

 

 

 

 



Theo yêu cầu bài toán: m 10.

Vậy có tất cả 9 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 11. [2D2-5.5-3] Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^{2020; 2021}



để bất phương trình 9^x12 .3m ^xm0 nghiệm đúng  x .

A. 4041. B. 2020. C. 4042. D. 2021.

Lời giải

FB tác giả: Nguyễn Phương Ta có bất phương trình ^{9x12 .3m xm0}

 

^{1 .}

Đặt t3 ,^x t0.

Bất phương trình

 

1 trở thành: ^{1 2 2 0 2 18 9 0}

 

²

9t  mtm t  mt m . Đặt ^{f t}

 

^{t218mt9m.}

Đồ thị hàm số ^{y f t}

 

có đồ thị là một parabol với hệ số a0, đỉnh ^I



^{9 ; 81m  m29m}



^.

Trang 12

Bất phương trình

 

1 nghiệm đúng  x  Bất phương trình

 

2 nghiệm đúng  t 0 hay ^{f t}

 

^{0 , t 0.}

Trường hợp 1: m0. Ta có bảng biến thiên:

Ta có ^f

 

^{0  9m0 m0} thỏa mãn.

Trường hợp 2: m0. Ta có bảng biến thiên:

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có với m0  81m²9m0, do đó m0 không thỏa mãn.

Vậy với m0 thì bất phương trình 9^x1m.3^xm0 nghiệm đúng  x .

Do đó có 2021 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn



^{2020; 2021}



thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 12. [2D2-5.5-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên m để bất phương trình

2 2 2 2

14 2 3

3

2 11

2 2

2

m x x

x

x x m

  



  

  nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x.

A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

Lời giải

FB tác giả: Hà Quốc Vũ

2 2 2 2 2 2

14 2 3 17 6 2 2

3

2 11

2 2 2 2 2 11

2

m x x m x x x

x

x x m

x x m

      



  

       

2 2

17 2 6 2

2^{m  x} m x 17 2^{x  x} x x 6

        .

Xét hàm số ^{f x}

 

^{2xx có f}

 

^{x 2 ln 2 1x  0  x . Suy ra f x}

 

đồng biến trên . Ta có ^{f m}



^{2 x 17}



^{ f x}



^{2 x 6}



^{m2 x 17x2  x 6 m2x22x11.}

Đặt ^{g x}

 

^{x22x11. g x}

 

^{2x 2 0x 1 g}

 

^{1 10.}

Trang 13 Dựa vào BBT ta có ^min

 

¹⁰

x g x

 

 .

Yêu cầu bài toán m²10  10m 10 , mà mm 



3; 2; 1;0;1; 2;3 



. Vậy có 7 giá trị nguyên

Câu 13. [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x ; y}



^{với ; x y} nhận giá trị trong đoạn



0 ; 2021



sao cho y  x 2 0 và 4.2^x2^y 3(xy) 6 0.

A. 2019. B. 2020. C.2021. D. 2022.

Lời giải

FB tác giả: Nguyenspat Hoang Ta có:

2 2

4.2 2 3( ) 6 0 2 2 3 3 6 0

2 3( 2) 2 3

x y x y

x y

x y x y

x y





          

    

Xét hàm số ^{f t}

 

^{2t3t  f}

 

^{t 2 .ln 2 3t  0, t R f t( )} là hàm đồng biến trên  . Do đó ^{f x}



^2



^{ f y}

 

^{x 2 y 1}

 

^.

Theo giả thiết ta có ^{y  x 2 0 yx2 2}

 

^.

Từ

 

1 và 2 ta có

 

yx2.

Vì 0x2021 0 y 2 20212y2023.

Mà y và 0y2021 nên y



2;3;...; 2021



. Suy ra có 2020 giá trị nguyên của y và tương ứng là 2020 giá trị nguyên của x.

Vậy có 2020 cặp số nguyên



^{x ; y}



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 14. [2D2-5.5-4] Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức

 

4 3 2 2 2

ln 1 25 10 2 1

5 1

x y y x y y x

y

    

 . Biết y2020, hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



thỏa mãn bất đẳng thức

 

^{1 .}

A. 2041210. B. 10206060. C. 2041220. D. 10206050. Lời giải

FB tác giả: Minhngau Chau Ta có

4 3 2 2 2

ln 1 25 10 2

5 1

x y y x y y x

y

    

 ln 2



25 ⁴ 10 ^{3 2}

 

^{2 2} 2 . ²



5 xy y

y y y x y xy y y

y y

       



  

²

 

²



²

 

²

ln xy y ln 5y y 5y y xy y

       

   

²



²

 

²



²

 

ln xy y xy y ln 5y y 5y y *

       

Xét hàm ^{f t}

 

^{lntt2 với t}



^0;



Trang 14

 

^{1 2 0}



^0;



f t t t

  t      . Suy ra ^{f t}

 

là hàm đồng biến trên ^t



^0;



^.

 

^{*  f xy}



^y



^{ f}



^5y2y



^{xyy5y2yx5y.}

Vì y2020 nên ta có các trường hợp sau 1

y  x



1; 2;3; 4;5



 

2 1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10

y  x

...

 

2020 1; 2;...;10100

y  x

Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài là:



^{5 10100}



.2020 10206050 2

  .

Câu 15. [2D2-6.5-3] Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y,}



^{, với x10} thoả mãn bất phương trình

log2 3

4.2 4 3.2

x y

x y



  .

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

Lời giải

FB tác giả: Nguyễn Phong Vũ Điều kiện: x0

Theo bất đẳng thức Cô – si:

log2 3 3

4 4

3.2 2 2 2 4 .2 4.2

x y

y y y y y

x x x



       .

Mặt khác:

log2 3

4.2 4 3.2

x y

x y



  . Dấu " " xảy ra x2^y.

Do 0x10nên bất phương trình có các cặp số nguyên sau thoả mãn:



^{1; 0 ,}

 

^{2;1 ,}

 

^{4; 2 ,}





^{8; 3 .}



Câu 16. [2D2-6.5-3] Biết rằng bất phương trình



²



²



²

10 4

2 2 4 2 6 7 1 4

3 3 3 3 3

3

x

x x x x x x x



      

    

 

có tập nghiệm là ^{S }



^{a b;}



. Tính tổng a b .

A. 7 . B. 5 . C. 4. D. 6.

Lời giải

FB tác giả: Nguyễn Đức Mạnh



²



²



²

10 4

2 2 4 2 6 7 1 4

3 3 3 3 3

3

x

x x x x x x x



      

    

 



^{3x22x 32x4}



^{3x22 36x7}



^{32x5 3x24x}

    



^{3x22x 32x4}



^{3x22 36x7}



^34x2



^{3x22 36x7}



     



^{3x22 36x7}



^{3x22x 32x4 34x2}



^{0 (1)}

    

Nhận thấy: ^{3x22x 32x432x4}



^{3x24x41}



^32x4<