40 câu Số phức Vận dụng cao bám sát Đề thi minh họa môn Toán năm 2021 có lời giải chi tiết

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2021 Môn: Toán

SỐ PHỨC

Câu 1: (CHUYÊN KHTN LẦN 1- 2019) Cho các số phức z z z₁, ₂, ₃ thỏa mãn z₁  z₂  z₃ 1 và

3 3 3

1 2 3 1 2 3 0

z z z z z z  . Đặt zz₁z₂z₃, giá trị của z³3 z bằng

A. 2 B. 5 C. 4 D. 2

Lời giải: Ta có: z1³z2³z3³3z z z1 2 3



z1z2z3



³3



z1z2z3



z z1 2z z2 3z z3 1



 

³

   

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 1 2 3 2

4z z z z z z 3 z z z z z z z z z z z z z z z

         

3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 1 1

4z z z z 3 .z z z z

z z z

 

       

 

(Do _{1 2 3 1 2 3}

1 2 3

1 1 1

1

z z z z z z

z z z

         )



²



3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

4z z z z 3 .z z z z z z z z z 4 3z

       . Lấy module 2 vế ta có:

3 2

4 3 z   z

3 2

3 2

2

4 3 1 2

4 3 1

2 4

z

z z z P

z z z

z P

  

       

      

    



. Chọn A

Câu 2: (THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hoá 2019). Cho z z₁, ₂ là hai trong các số phức thỏa mãn

3 3 2

z  i  và z₁z₂ 4. Giá trị lớn nhất của z₁  z₂ bằng

A. 8 B. 4 3 C. 4 D. 2 2 3

Lời giải: Gọi ,A B là hai điểm biểu diễn của số phức z z₁, ₂.

Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức z z₁, ₂ là đường tròn tâm ^I



^{3; 3}



, bán kính R2 và 4 2

AB  R.

Khi đó biểu thức S z₁  z₂ OA OB đạt GTLN khi và chỉ khi tam giác OAB cân.

Vậy maxS2OA2 OI²IA² 2 9 3 4  8. Chọn A.

Câu 1. (Toán học và tuổi trẻ - lần 3 2019). Cho số phức z thỏa mãn: 4z3i  4z 4 5i. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z i  z3i .

A. minP2 2. B. minP2 5. C. minP5 2. D. minP 5. Lời giải: Ta có 4z3i  4z 4 5i 2x  y 2 0.

Xét điểm ^A



^{0; 1}



^{, B}



^0;3



^{thì P z i  z3i MA MB .}

Dễ thấy A B, cùng phía với đường thẳng 2x  y 2 0 nên MA MB nhỏ nhất bằng AB trong đó B đối xứng với B qua đường thẳng

2x  y 2 0

Ta tìm được ^B



^4;1



dó đó minPAB2 5. Chọn B. M' A

B

A'

M

Câu 2. (Đề thi thử VTED) Cho số phức z thoả mãn z23i  z1 4 2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức z 3 4i bằng

A. 5 2. B. 6 2. C. 4 2. D. 7 2.

Lời giải: Xét các điểm ^{M z}

 

^,A



^{2;3 ,}



^B



^{1;0 ,}



^C



^{3; 4}



^{ta có MAMB4 2,AB3 2,PMC.}

Có ^{AB}



^{ 3; 3 ,}



^{AC}

 

^{1;1  AB 3AC. Do đó MB MA 3}



^{MC MA}



^{MC 4}₃^{MA1}₃^{MB.}

Và ² 4 ² 1 ² 4 ² 4 ² 1 ²

3 3 9 3 3 8.

MC  MA  MB  AB  MA  MB 

Để cho đơn giản đặt

2 2 2

4 2 4 2

, ( ) 4 2 18 (4 2 2 ) 18 [ 2 7 2; ].

2 2

b a

b a

a b a MA b MB

a b AB a a

  

     

  

    

  

    

  



Do đó ^{P f a}

 

^{ 4}₃^a21₃



^{4 2a}



^{2 8.}

Khảo sát hàm số trên đoạn 2 7 2 2 ; 2

 

 

 

dễ có _max 7 2 9 2 _min 2 2

; .

2 2 2 2

P f  P f 

     

   

Do đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng 5 2.

Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Giang – 2019). Cho số phức z có z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z²z z² z 1.

A. 13

4 B. 3 C. 3 D. 11

4 Lời giải: Ta có P z²z  z²  z 1 z 1 z² z 1.

Đặt z a bi và t z1. Khi đó

    

2 2

2 2

1 1 1 2 2

2

t z z z z z a a t

           .

Ta có ^{z2  z 1 a2b22abi a bi 1 a2}



^1b2



^{ a b}



^2a1



ⁱ



^{2a2 a}



^{2 b2}



^{2a 1}



^{2 a2}



^{2a 1}



²



^{1 a2}

 

^{2a 1}



^{2 2a 1 3 t2}

             .

 

2 2

1 1 3

z z z t t f t

         (với 0 t 2 2 a 2, do a²1).

Xét ^{f t}

 

^{ t t23 với t}



^{0; 2}



^.

TH1: ^{0; 3}

 

^{3 2 2 3 1 13}

2 4

t  f t   t t  t   t f   

và có

 

 

0 3

3 3

f f





 



nên

 

0; 3

max 13 f t 4

 

 

 . TH2: t 3; 2 f t

 

 t t² 3 t² t 3, f

 

t 2t 1 0, t  3; 2 do đó hàm số luôn đồng biến trên  3; 2

 

   

3;2

max f t f 2 3

 

 

   .

Vậy max  

 

0;2

max 13

P  f t  4 . Chọn A.

Câu 4: (Chuyên Đh Vinh - Nghệ An) Giả sử z z₁, ₂ là hai trong các số phức z thỏa mãn



^{z6 8}



^zi



là số thực. Biết rẳng z z 4, giá trị nhỏ nhất của z 3z bằng:

A. 20 4 22 B. 5 21 C. 20 4 21 D. 5 22 Lời giải: Đặt ^{z x yi x y,}



^{, }



^{. Gọi A B,} là các điểm

biểu diễn của số phức z z₁, ₂, suy ra AB z₁z₂ 4.

Ta có



^{z6 8}



^zi



^

 

^x6



^yi

  

^y8



^xi



^{. Do}



^{z6 8}



^zi



là số thực, suy ra:

  

^{2 2}

Re z6 8zi 0x y 6x8y0. Vậy A B, thuộc đường tròn

 

^{C tâm I}



^{3; 4}



, bán kính R5.

Xét điểm M thuộc đoạn AB thoả mãn

3 0 3 4

MA MB OA OB OM

     

. Gọi H là trung điểm AB, ta có HI R²HB² 21IM  22, suy ra điểm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính r 22.

Ta có

 

1 3 2 3 4 4 4 5 22 20 4 22

z  z  OA OB  OM  OIr    

. Vậy z₁3z_{2 min} 20 4 22 . Chọn A.

Câu 5: (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 2). Cho số phức z thoả mãn zz  zz 4. Gọi ,

M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2i . Đặt AMm. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. ^A



^{34; 6}



^{. B. A}



^{6; 42}



^{. C. A}



^{2 7; 33}



^{. D. A}



^{4;3 3}



^.

Lời giải: Gọi ^{za bi a b}



^{, }



^.

Ta có:

2 , 2

2

4 2 2 4 2 2

2 2 a b a b

z z z z a b a b a b

a b a b

  



  



             

  

   





.

Vậy tập hợp điển biểu diễn của số phức z là 4 cạnh hình vuông ABCD với ^A



^{2; 0 ,}



^B



^{0; 2 ,}



^C



^{2; 0 ,}



^D



^{0; 2 .}



Khi đó P z 2 2i MI với ^I



^{2; 2}



Suy ra MI_max khi M trùng với C hoặc D và MI_max 2 5.

MImin khi M trùng với trung điểm cạnh ABMI_min  2. Vậy ^{AMm2 5 2}



^{34; 6}



^.

Chọn A.

Câu 6: (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 2). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thoả mãn đồng thời các điều kiện zz  zz  z² và z m ?

A.



^{2; 2 2 .}



^{B. 2; 2 2} ^. C.

 

^{2 . D.}



^{2; 2 2 .}



Lời giải: Đặt z x yi ta có hệ điều kiện:

 

 

 

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 1

2

0 2

x y x y x y m

x y m m

x y m

      

 

 

  

 

   

.

Ta có (1) là tập hợp các cạnh của hình vuông ABCD có tâm là gốc tọa độ độ dài cạnh bằng

2

2

m ; (2) là đường tròn

 

^C có tâm là gốc tọa độ Obán kính bằng Rm.

Để có đúng 4 số phức thỏa mãn thì

 

^C phải là đường tròn ngoại tiếp hoặc đường tròn nội tiếp hình

vuông

 

2

2

2 2 2 2

0

2 2 2

2 2

a m

R m m

ABCD m

a m m

R m

 

  

  

 

   

 

    

 

. Chọn A.

Câu 7: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định) Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn

1 2 1 4 7 6 2

z  i  z   i  và iz₂  1 2i 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 2

T  z z .

A. 2 1 . B. 2 1 . C. 2 21. D. 2 2 1 . Lời giải: Giả sử tập hợp điểm M x y



1; 1



biểu diễn số phức z₁,

điểm ^A



^2;1



^{, B}



^{4; 7}



, khi đó ta có:

1 2 1 4 7 6 2 6 2

z  i  z   i  MAMB

Mặt khác AB6 2MAB:y x3 ^{  x}



^{2; 4}



Từ iz₂ 1 2i 1, ta chia cả 2 vế cho i  z₂  i 2 1. Gọi N x y



2; 2



là tập hợp điểm biểu diễn số phức z₂N thuộc đường tròn tâm ^I



^2;1



, bán kính R1

 

1 2 1 2

T  z z  z  z MN, T đạt giá trị nhỏ nhất , ,

M N I

 thẳng hàng và MI  AB hay:



^,



^{2 2 1}

MN MINI d I AB NI   . Chọn D.

Câu 8: (Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh lần 2 – 2019) Cho các số phức z và w thỏa mãn



^{2 i z}



^{z 1 i}

  w  . Tìm giá trị lớn nhất của T  w 1 i. A. 4 2

3 . B. 2

3 . C. 2 2

3 . D. 2

Lời giải: Ta có:



^{2 i z}



^{z 1 i z}



^{2 z 1}

 

^{z 1}



^{i z}



^{2 z 1}

 

^{z 1}



ⁱ

w w w

             

2

2 2

1 1 2

5 2 2

2 2 5 2 1 1 9 3

2 2

z z z w

w

z z z

       

 

     

 

.

Suy ra 2 4 2

1 1 2

3 3

T  w  i w   i   . Dấu bằng xảy ra 1 1

2 z 2

 z    . Thử lại với ¹



¹



w3 i thỏa mãn.

Vậy T  w 1 i có giá trị lớn nhất là 4 2 3 .

Câu 9: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ-SỐ 04) Cho 3 số phức z z z₁; ₂; ₃ thỏa mãn

1 2 3

1 2 3

0 2 2

3 z z z

z z z

  



   



.

Tính A z₁z₂² z₂z₃³ z₃z₁² A. 2 2

3 B. 2 2 C. 8

3 D. 3

8 Lời giải: Ta có: z₁z₂z₃ 0 z₂z₃  z₁ z₂z₃  z₁ nên ₁² ₂² ₃² 8

A z  z  z 3. Chọn C Câu 10: (Chuyên Lê Quý Đôn – Lai Châu 2018). Kí hiệu S là tập hợp các số phức z đồng thời thoả

mãn điều kiện z 1 34 và z 1 mi  zm2i trong đó m là tham số thực. Gọi z z₁; ₂ là hai số phức thuộc tập S sao cho z₁z₂ là lớn nhất. Tính giá trị của z₁z₂ .

A. _{1 2} 1

z z 2. B. z₁z₂  2. C. z₁z₂ 2 2. D. z₁z₂ 2. Lời giải: Đặt z x yi, ta có ^{z 1 mi  zm2i }



^x1



^2



^ym



^2



^xm



^2



^y2



²



^{2 2m x}

 

^{2m 4}



^{y 3 0}

      ,

 

^{d .}

 

^{2 2}

 

1 34 1 34,

z   x y  C .

Vậy các điểm biểu diễn của số phức z z₁, ₂ là giao điểm của đường thẳng

 

^d và đường tròn

 

^{C .}

Khi đó z₁z₂ lớn nhất khi

 

^d là đường thẳng chứa đường kính của đường tròn

 

^{C .}

Suy ra



^{1; 0}



^{2 2 3 0 1}

I d   m  m 2 và z₁  4 3 ;i z₂  6 3i z₁z₂ 2. Chọn D.

Câu 11: (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh 2019). Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn

1 2 1, 2 7 2 7 2 .

z   i z   z   i Biết ^{1 2} 1 z z

i



 là một số thực. Tìm giá trị lớn nhất của

1 2

T  z z .

A. T_max 2. B. T_max2 2. C. T_max 3 2. D. _max 2 T  2 . Lời giải: Đặt z₂ x yi,



^{x y, }



^{. Ta có}

 

^{2 2}

 

²

 

²

2 7 2 7 2 7 7 2 1 2

z   z   i  x y  x  y  y z  x i. Do ^{1 2}

1 z z

i



 là một số thực nên đặt ^{1 2} 1 2



1

   

1



1 z z

a z z a i x a a i

i

         

 .

Khi đó z1   2 i 1



x a 2



²



a2



² 1



a2



²   1 3 a1. Vậy T  z1z2  a



1i



 2 a 3 2.

Dấu “=” xảy ra ¹

2

2 2 3

2 0 5

z i

k

x k z i

 

  

 

    

 

. Chọn C.

Câu 12: (Thanh Chương 1 – Nghệ An) Cho các số phức z z₁; ₂ thỏa mãn

 

1

1 1

2 1

z i

w z z i

  

  là số thực và 4z₂ 8 13i 4. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z₁z₂ bằng

A. 21

16. B. 37

4 . C. .0 D. 37 4

4

 . Lời giải: Giả sử z₁ x₁ y i₁ , khi đó ta có:

   



1 1



1



1 1 1

2

1 1 1 1

2 2 1

2 2

1 2 1 4 1

x y i i x i

z i x y i i

w z z i x i x

   

    

  

    



²



1 1 1 1 1 1

2 1

2 2 2 4 1

4 1

x x y i x x y

x

     

  

Vì w là số thực 2x₁² 4x₁ 1 y₁ 0M x y



1; 1



thuộc parabol: y2x²4x1

2 2

4 8 13 4 | z 2 13 | 1

z   i      4 i   Gọi N x y



2; 2



là điểm biểu diễn số phức z₂ , khi đó N thuộc đường tròn tâm 13

2; 4 I 

 

 

, bán kính R1

 

1 2

| z |

P  z MN  IMRP đạt giá trị nhỏ nhất MN đạt giá trị nhỏ nhất IM đạt giá trị nhỏ nhất

   

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1

13 13

2 2 2 4 1

4 4

MI x y  x  x x 

           

   

Xét hàm

   

2

2 2 9

2 2 4

f x x  x x 4

     

  ^{, ta được} min

 

37

f x  4 _min 37 4

MN 4

  . Chọn D.

Câu 13: (8 TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG) Cho số phức z thỏa mãn 3zz2 zz 12. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 4 3i. Giá trị M m. bằng

A. 28 B. 24 C. 26 D. 20

Lời giải: Ta có: đặt z x yi 3x 2 y 6 nên ta có điểm M biểu diễn số phức z sẽ là miền trong của hình thoi ABCD như hình vẽ. M m, lần lượt sẽ là độ dài lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn thẳng IM với ^I



^{4; 3}



Dựa vào hình vẽ M MB 52 và mIC 13 Nên M m. 26. Chọn C

Câu 14: (8 TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG) Gọi z z₁, ₂ là hai nghiệm phức của phương trình z²  z 1 0. Tính giá trị của P z₁²⁰¹⁹z₂²⁰¹⁹

A. P2 B. P3 C. P2 3 D. P4038

Lời giải: Ta có:

1 3 2 1

3 2 2

1 3

2 1 1 0

1 3 1 2

z i z

z z

i z z

  

   

     

     



 

1^{3 673}

 

2^{3 673} 1 1 2

P z z

      . Chọn A

Câu 15: (YÊN KHÁNH A-NINH BÌNH) Cho hai số phức z và a bi thỏa mãn:

5 5 6

z  z  ; 5a4b200. Giá trị nhỏ nhất của z là:

A. 3

41 B. 5

41 C. 4

41 D. 3

41 Lời giải: Ta có:

dễ dàng tìm được

   

2 2

: 1

9 4

x y

M z  E  

 

^{: 5 4 20 0}

N  d x y  như hình vẽ

Để MN  zmin MN là khoảng cách từ tiếp tuyến của

 

^E song song với d tới đường thẳng d Gọi



x y0; 0



là tiếp điểm nên tiếp tuyến có dạng

0 0 1

9 4

x x y y

  mà song song với d nên

0 0

45 16

x y

 

min

45 16 3

17; 17 41 3

45 16 37 41

17 17; 41

d

z d



 

  

 

 

   

 

  

 

 



. Chọn A

Câu 16: (Sở Hà Tĩnh) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z²4  z²2iz. Tính giá trị nhỏ nhất của .

P z i

A. min P4. B. min P3. C. min P2. D. min P1. Lời giải: Đặt z xyi

    

 

2 2

2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 .

2 0 2 2 2

1 ,

2 2

z z iz z i z i z i z z i z i z i z

z i

z i z i z i

y z x i x R

z i z x y x y

            

  

        

              

2 1

z  iP z i

2 2 4 2 min 1

z x i P zi  z i  x    P . Chọn D.

Câu 17: Cho các số phức z₁ và z₂ thỏa mãn các điều kiện: z₁ i z₁ 1 i và z₂ 1 z₂2i. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z₁z₂  z₁3 z₁3?

A. _min 554

P  5 B. _min 370

P  3 C. _min 809

P  5 D. _min 409

P  3 Lời giải: Ta có z1 i z1  1 i x²



y1



² 



x1



²



y1



² 2x4y 1 0. Lại có: z2 1 z22i 



x1



²y²x²



y2



²2x4y 3 0.

Như vậy các điểm A z

 

1 ,B z

 

2 lần lượt nằm trên các đường thẳng d₁: 2x4y 1 0 và

2: 2 4 3 0

d x y  và gọi ^C



^{3; 0}



^.

Gọi D E, lần lượt là các điểm đối xứng của C qua hai đường thẳng đó. Ta dễ dàng có được:

1 2 1 1

3 3 809

P z z  z   z   ABACBC ABAEBDED 5

Câu 18: (Sở GD & ĐT Hưng Yên – 2019). Cho số phức z thoả mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức z 1 z² z 1. Tính M m. .

A. 13 3

4 . B. 39

4 . C. 3 3 . D. 13

4 . Lời giải: Đặt z a bi và t z1. Khi đó

  

2 2

2 2

1 1 1 2 2

2

t z z z z z a a t 

           .

Ta có ^{z2  z 1 a2b22abi a bi 1 a2}



^1b2



^{ a b}



^2a1



ⁱ



^{2a2 a}



^{2 b2}



^{2a 1}



^{2 a2}



^{2a 1}



²



^{1 a2}

 

^{2a 1}



^{2 2a 1 t2 3}

             .

 

2 2

1 1 3

z z z t t f t

         (với 0 t 2 2 a 2, do a²1).

Xét ^{f t}

 

^{ t t23 với t}



^{0; 2}



^.

Trường hợp 1: ^{0; 3}

 

^{2 3 1 13}

2 4

t  f t  t   t f    và có ^f

 

^{0 3,f}

 

^{2 1 nên}

 

 

0; 3

0; 3

max 13

4

min 1

f t f t

 

 

 

 

 











.

Trường hợp 1: ^t_ ^{3; 2}_^{ f t}

 

^{t2 t 3, 'f}

 

^{t 2t 1 0, t }_ ^{3; 2}_ do đó hàm số luôn đồng biến trên  3; 2

 

   

   

3;2

3;2

max 2 3

min 3 3

f t f f t f

 

 

 

 

  

 

 



.

Vậy ^{ }

 

 

 

0;2

0;2

max 134 . 13

min 1 4

M f t

M m

m f t

  

  



 



. Chọn D.

Câu 19: (THPT Chuyên Sơn La) Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z₁, z₂ khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z₁²z₂² z z_{1 2}. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ). Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

A. Vuông cân tại O. B. Cân tại O.. C. Đều. D. Vuông tại O..

Lời giải: Ta có: z₁²z₂²z z_{1 2}

1 2

1 1 2

2 2 1

2

1 3

2 2

1

1 3

2 2

z i

z z z

z z z

z i

  

  

      



1 2

1 2 2

z z OA OB

AB OB

z z z

   

  

   



Tam giác OAB đều. Chọn C.

Câu 20: (Sở GD & ĐT Bà Rịa Vũng Tàu – 2019). Gọi S là tập hợp số phức z thoả mãn điều kiện

3 3 10

z  z  . Xét hai số z z₁, ₂ thuộc tập hợp S sao cho ¹

2

z

z là số thuần ảo. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z_{1 2} là

A. 225

17 . B. 20 . C. 800

41 . D. 15 .

Lời giải: Gọi ^{M x y}



^;



biểu diễn cho số phức z và F1



3; 0 ;



F2



3; 0



, từ điều kiện z3 z310 ta có MF₁MF₂ 10 suy ra ^{M x y}



^;



thuộc elip

 

2 2

: 1

25 16

x y

E   .

Xét hai số z₁a bi z ; ₂  c di thuộc S có điểm biểu diễn A a b B c d



^;



^;



^;



thuộc

 

^{E .}

Ta có ₁

   

2 2

2

ac bd bc ad i z a bi

z c di c d

  

  

  là số thuần ảo ac bd 0.

Khi đó ta có 1₂ 1₂ 1₂ 1₂

. 0

OA OB ac bd OA OB

OA OB a b

        

 

2 2

2 1 1 1 1 41 800

. 25 16 400 OA OB. 41

OA OB OA OB

        .

Mà ta có _{1 2 1 2} 800

. 41

z z  z z OA OB . Dấu bằng xảy ra khi z₁  z₂ .

Khi đó a b, là nghiệm của hệ

2 2 2

2 2

2

800 400

41 41

1 400 25 16 41

a b a

a b

b

    

 

 

 

    

 



. Chọn C.

Câu 21: (SỞ GĐ-ĐT QUẢNG NAM)Cho số phức ^{z x yi x y}



^{, }



^{thỏa mãn z  2 i z 2 5i}

và biểu thức

  

2 2

2 2 2 2

3 1

2 2 2 2 4 5

x y y

H

x y x y x y x y

  



       

đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 2xy bằng

A. 6 B.  6 5 C.  3 5 D.  6 5

Lời giải: Ta có:

     

 

₂¹



¹

 

₂ ¹



₂



²



₂ ^cos



^,



^cos

1 1 1 2

x x y y

H MA MB AMB

x y x y

    

   

     

 

với ^A



^1;1



và ^B



^{1; 2}



. Phương trình đường trung trực của AB là 3

: 2 0

x y 2

   

Ta lại có: z  2 i z 2 5i d x: y 3 0

Để _min sin _max

2 AMB

AMB R

H AMB AB R



     đạt giá trị nhỏ nhất. Mà R_AMB IM IM_min  đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB với I là tâm sẽ tiếp xúc với đường thẳng :d xy 3 0.

Gọi 3

; 2

I a 2 a

  

  nên _{ }

 

2 2

2 ,

3 2 3

1 2

1 2

2 2

I d

a a

IA d a a

 

  

 

   

      

 

3 4 5 6 3 4 5

6 a

a

  

 



  

 



Với 3 4 5

2, 48

a  6 R

   và ^{3 4 5 3, 6}

 

a  6 R L

  

Vậy 3 4 5 15 8 5

6 ; 6

I   

 

 

 

nên 3 4 5 15 8 5

: 0

6 6

IM x    y  

   

   

   

   

M là giao điểm của IM và d nên ^M



^{5 3;  5}



^{. Vậy 2xy  6 5. Chọn B}

Câu 22: (Sở GDĐT Khánh Hòa) Cho số phức z không phải là số thực và

2 2

2 4

2 4

z z

z z

 

  là số thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn zz zz  z² ?

A. 0. B. 2. C. 4. D. 8.

Lời giải:

2 2

2 4

2 4

z z

z z

 

  là số thực nên ta có:

2 2

2 2

2 4 2 4

2 4 2 4

z z z z

z z

z z

   

     ^



^z22z4



^z22z4

 

^{ z22z4}



^z22z4



2 2

4 .z z 4 .z z 16z 16z 0

     ^{ z2}



^zz



^4



^zz



^0



^{z2 4}

 z z 0

     z²4 vì zz 0

 

1 Đặt z a bi với b0,a

zz  zz  z2 2a 2b 4

 

²

Từ

 

1 và

 

2 ta có

2 2

4 2 a b

a b

  



 



. 0

2 a b a b

 

  



0 2 a b

 

 

 



0 2 0 2 a b a b

 



 



 

  



. Chọn B.

Câu 23: (SỞ GIÁO DỤC BẮC NINH) Cho số phức z thỏa mãn



^{1i z}



^{ 1 3i 3 2}. Giá trị lớn nhất của biểu thức P z  2 i 6 z 2 3i bằng

A. 5 6 B. ^{15 1}



^{ 6}



^{C. 6 5 D. 103 15}

Lời giải: Ta có:



^{1i z}



^{ 1 3i 3 2 z 1 2i 3}

Đặt w  z 1 2ia bi  w  a²b² 3

Thế vào ^{P w 3 3i 6 w  1 i}



^a3



^2



^b3



^{2 6}



^a1



^2



^b1



²

 

27 6 6 2 33 6 6 1 2 .60 6 5

P a b a b

          . Chọn C

Câu 24: (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai – 2019). Cho số phức zthỏa z 1. Tìm giá trị lớn nhất của P z² z  z² z

A. 14

5 . B. 4 . C. 2 2. D. 2 3 .

Lời giải: Gọi ^{z x yi x y.}



^{, }



^{ z  1 x2 y2 1}

Tập hợp ^{M x y}



^;



biểu diễn số phức z là đường trò tâm ,O R1

Ta có P z²z  z² z  z  z 1 z  1 z 1 z1 MAMB Trong đó ^A



^{1; 0 ,}



^B



^{1; 0}



^{và AB} là đường kính.

Vậy



^MAMB



_max ^M là giao của đường tròn và trục ^Oy



^MAMB



_max ^{2 2. Chọn C.}

Câu 25: (SỞ GDĐT CAO BẰNG) Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn ¹

1

2 3 1 z i

z i

 

  , ²

2

1 2 z i

z i

 

  . Giá trị nhỏ nhất của z₁z₂ là

A. 2 2. B. 2 1 . C. 1. D. 2.

Lời giải: Đặt z₁a₁b i₁ , khi đó ta có:

     

1

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 2 3 1 2 3 3 0

2 3 z i

z i z i a b i a b i a b

z i

                 

 

Gọi M là điểm biểu diễn của z₁, khi đó M thuộc đường thẳng :xy30 Tương tự đặt z₂ a₂ b i₂

     

^{2 2}

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 1 2 1 1 4 2 3 0

1 z i

a b i a b i a b a b

z i

               

 

Gọi N là điểm biểu diễn của số phức z₂, khi đó điểm N thuộc đường tròn tâm ^I



^2;1



, bán kính 2

R

Ta có z₁z₂ MN đạt giá trị nhỏ nhất ^{MN d I}



^{, }



^{R2 2. Chọn A.}

Câu 26: (Chuyên Lam Sơn Lần 3) Cho 3 số phức z z z, ,_{1 2} thỏa mãn z 1 2i  z 3 4i ,

1 5 2 2

z   i  , z₂ 1 6i 2. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  zz₁  zz₂ 4 A. 2 3770

13 B. 10361

13 C. 3770

13 D. 10361

26 Lời giải: T  zz₁  zz₂   2 2 zz₁  z₁ 5 2i  zz₂  z₂ 1 6i

Theo BDT môn đun z₁  z₂  z₁z₂  zz₁  z₁ 5 2i  z 5 2i Tương tự zz₂  z₂ 1 6i  z 1 6i  T  z 5 2i  z 1 6i

Đặt z x yi từ 2 5

1 2 3 4 :

3

z i z i d y x

      

Cách tự luận: T MA MB với Md: 2x3y 5 0 và



^{5; 2 ,}

 

^{1; 6}



A  B . Đưa về bài toán cơ bản lấy ;A Bcùng phía với d nên lấy đối xứng A' với A qua d.

21 40 2 3770

' ; ' '

13 13 13

A   T MA MB A B

      

 

 

Chọn A

Mẹo giải bằng máy tính:

   

2 2

2 2 5 2 2 5

5 2 1 6

3 3

x x

T x    x   

          

   

Bấm TABLE và ¹⁰



¹⁰



: 10 ; :10 ; :

Start End Step  18

 T_min 9, 45

Gần nhất với đáp án A. Vậy chọn A

Câu 27: (Chuyên Hà Tĩnh – 2019). Cho các số phức z z₁, ₂thỏa mãn phương trình z 2 3i 5 và

1 2 6

z z  . Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z₁z₂ là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó

A. R8. B. R4. C. R2 2. D. R2. Lời giải: Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z₁, ₂

 

A B, C

  có tâm ^I



^2;3



^{và R5.}

Ta có IA  IB 5;AB  OB OA   z₁z₂ 6 Gọi H là trung điểm AB ta có

2

2 4

4 IH  IA AB  . Vậy H thuộc đường tròn I bán kính R₁4.

Ta có z₁z₂OM  OA OB 2OHOM2OH

. Vậy M là ảnh của H qua phép vị tự tâm O tỷ số k 2.

Vậy tập hợp M là đường tròn bán kính RkR₁8. Chọn A.

Câu 28: (SỞ NINH BÌNH) Cho số phức z thỏa mãn z 1 3. Tìm giá trị lớn nhất của

4 2

T  z  i z i

A. 2 26 B. 2 46 C. 2 13 D. 2 23

Lời giải:

Ta có z 1 3 



^x1



^{2y2 3.}

Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I



1;0



và bán kính R 3. Gọi A



4;1



, B



2; 1



. Khi đó ta thấy I là trung điểm của đoạn AB.

Xét MAB có có

2 2 2 2

2 2 2 2

2 4 2 2

MA MB AB AB

MI  MA MB MI

      .

 

²

 

²

2 2 2 2 2 2 2

2

T MA MB MA MB  MI AB 

        

 



2

2 2 2 2 52

2

T  R AB 

   

 

 T 2 13.

Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 2 13 khi

 

MA MB

M I

 

 



.Chọn C

Câu 1. (THPT Trần Phú – Quảng Ninh) Cho số phức z thỏa mãn



^z2



^{i 1}



^z2



^{i1 10.}

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z. Tính tổng S M m. A. S 9. B. S 8. C. S 2 21. D. S 2 21 1 . Lời giải: Ta có



^z2



^{i 1}



^z2



^{i 1 10}



^z2



^{ i}



^z2



^{ i 10 z i 2 z i 210}

Đặt wzi, khi đó ta có: w+2 w2 10

Gọi A là điểm biểu diễn số phức w A thuộc elip có phương trình:

2 2

25 21 1

x y

 

Khi đó ta có:

 

2 2

25 1 1

21

z w+i  y  y

     

 

Xét hàm số

   

2 2

25 1 1

21

f t  t  t

    

 

với t  21; 21^{m f}



^{ 21 ;}



^{M  f}



²¹



2 21

S M m

    . Chọn C.

Câu 2. (THPT Chuyên Lê Thánh Tông - Quảng Nam) Xét tập hợp S các số phức



^,



zxyi x y thoả mãn điều kiên:^{3zz }



^1i



^{2 2 i}



. Biểu thức ^{Q zz}



^2x



đạt giá trị lớn nhất M và đạt được tại z₀ x₀y i₀ (khi z thay đổi trong tập S ). Tính giá trị

2 0 0

. . T M x y

A. 9 3

T   2 . B. 9 3

T  4 . C. 9 3

T  2 . D. 9 3

T   4 . Lời giải: Ta có:^3zz<