Vận dụng cao Tích phân bám sát Đề minh họa THPTQG môn Toán năm 2021

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2021 Môn: Toán

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Câu 1: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết

 

4

1

5 f x dx



^,

 

5

4

20 f x dx



^{. Tính}

   

2 ln 2

2 2

1 0

4 3 ^{x x}

I 



f x dx



f e e dx^. A. 15

I 4 . B. I 15. C. 5

I 2. D. I 25.

Lời giải: Ta có

     

5 4 5

1 1 4

25 f x dx f x dx f x d x

  

 

2 1

1

4 3

I 



f x d x^{. Đặt}

 

5 1

1

4 3 4

4 u x du dxI 



f u du

 

ln 2

2 2

2 0

x x

I 



f e e d x^{. Đặt}

 

4

2 2

2 1

2 2

x x f v

ve dv e dxI 



dv

   

5 4

1 1

1 1 25 5 15

4 2 4 2 4

I f x dx f x dx

 







   ^{. Chọn A.}

Câu 2: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên



^{0; }



^thỏa

mãn ^2xf

 

^{x  f x}

 

^{3x2 x. Biết}

 

^{1 1}

f  2. Tính ^f

 

^{4 .}

A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16 .

Lời giải: Ta có

       

   

2

2 2 3 3 2

2 3

2 2 2 2 2

xf x f x x x f x

xf x f x x x f x x x

x x x x

          



^{f x}

 

^x



^{ 3}₂^x2



^{f x}

 

^x



^{dx 3}₂^{x dx2 f x}

 

^{x x}₂^{3 C}

  







  

 

^{1 1 0}

 

^{4 16}

f  2 C   f  . Chọn D.

Câu 3: (Chuyên Đại học Vinh) Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên



0; 1 thỏa mãn

  

1

0

d 0

xf x x



^và

[0; 1]

 

max f x 1. Tích phân

 

1

0

e^x d

I



f x x thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. 5

; .

4

 

  

  B. 3

; e 1 . 2

 

  

  C. 5 3

; .

4 2

 

 

  D.



^{e 1;  }



^.

Lời giải: Với mọi ^a

 

^{0;1, ta có}

 

1

0

0



xf x dx

 

1

0

d a xf x x



  

1

0

d axf x x





. Kí hiệu:

   

1

0

e^x d

I a 



ax x^. Khi đó, với mọi ^a



^0;1



^{ta có :}

 

1

e^xf x dx

    

1 1

e^xf x dx axf x dx







    

1

e^x ax f x dx







 

1

0

e^x ax. f x dx





 _{ }

 

1 0 0;1

e^x .max d

x

ax f x x









 

1

0

e^x ax xd I a





  ^

 

 

 

1 0 0;1

e^x d min

a

f x x I a





 Mặt khác , với mọi ^a

 

^{0;1 ta có}

   

1 1

0 0

e^x d e^x d

I a 



ax x



ax x

1 2

0

e 2

x a

 x 

  

  e 1

2

 a

 

 

0;1

min e 3

2

a I a

  

 

1

0

e d e 3 1, 22

2

xf x x





   ^{. Vậy I }_ ^{5 3}_{4 2}^{; }_^{. Chọn C.}

Câu 4: (Chuyên Ngữ Hà Nội) Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm ^f

 

^x liên tục trên  và thỏa mãn

  

^1;1



f x   với ^{ x}



^{0; 2}



^{. Biết f}

 

^{0  f}

 

^{2 1. Đặt}

 

2

0

d

I



f x x, phát biểu nào dưới đây đúng?

A. ^{I }



^{; 0}



^{. B. I}



^0;1



^{. C. I}



^1;



^{. D. I}



^0;1



^.

Lời giải: Ta có

     

2 1 2

0 0 1

d d d

I



f x x



f x x



f x x^.



               

1 1 1 1

1 0

0 0 0 0

d 1 1 d 1 1 d 1 1 d 1

f x x x f x  x f x x  x f x x  x x2

     

^{1 .}



             

2 2 2

2 1

1 1 1

d 1 1 d 1 1 d

f x x x f x  x f x x  x f x x

    

2

1

1 1 d 1

x x 2

 



 

 

^{2 .} Từ

 

^{1 và}

 

^{2 suy ra 1 1 1}

2 2

I    . Chọn C.

Câu 1: (Chuyên Ngữ Hà Nội) Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ 1 x  1 x trên}

tập  và thỏa mãn ^F

 

^{1 3}. Tính tổng ^F

 

^{0 F}

 

^{2 F}

 

^{3 .}

A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 .

Lời giải: Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:

Ta có:

       

2

1

d 2 1 2 3

f x xF F F 



^mà

 

2 2

1 1

d 2d 2

f x x x

 

^{nên F}

 

^{2 5.}



       

1

0

d 1 0 3 0

f x xF F  F



^mà

 

1 1

2 1 0

0 0

d 2 d 1

f x x x xx 

 

^{nên F}

 

^{0 2.}



       

0

1

d 0 1 2 1

f x x F F F



     



^mà

 

0 0

2 0 1

1 1

d 2 d 1

f x x x x x _

 

   

 

^{nên F}

 

^{1 3.}



       

1

3

d 1 3 3 3

f x x F F F





      



^mà

 

1 1

3 3

d 2d 4

f x x x

 

 

   

 

^{nên F}

 

^{3 7.}

Vậy ^F

 

^{0 F}

 

^{2 F}

 

^{3    2 5 7 14. Chọn C.}

x  1 1 

1x  0  |  1x  |  0 

 

f x 2 | 2x | 2

Câu 5: (Sở Quảng Nam) Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên đoạn 0;

3

 

 

  . Biết

 

^cos

 

^{sin 1}

f x x f x x , 0;

x  3

    và ^f

 

^{0 1}. Tính tích phân

 

3

0

I f x dx







^.

A. 3 1 I 2

 . B. 3 1

I 2

 . C. 1

I 2. D. 1

2 3

I 

  . Lời giải: Ta có:

       

2 2

sinx 1

cos sin 1

cos cos cos

f x f x

f x x f x x

x x x

      



^cosx0

  

^{. 1 1}₂

cos cos

f x x x

 

  

 

Nguyên hàm 2 vế ta được:

 

^{. 1 1}₂ ^tan

cos cos

f x dx x C

x



x  

 

^{0 1 1}

f  C 

 

^{sin cos 3 1}

f x x x I 2

     . Chọn A.

Câu 1: (Toán học và tuổi trẻ - Lần 1) Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên . Biết ⁶

 

1

ln

6

e f x

x dx



^và

 

2

2 0

cos sin 2 2

f x xdx





 ^{. Giá trị}

   

3

1

2 f x  dx



^bằng?

A. 10. B. 16. C. 9. D. 5.

Lời giải: Đặt ^{t ln}

 

^{x dt } ₂¹_x^{dx, ta có:}

 

 

6 3

1 0

ln

2

e f x

dx f t dt

x 

 

^

 

3

0

f t dt 3



Đặt tcos²xdt  sin 2xdx, khi đó ta có:

   

2 1

2

0 0

cos sin 2

f x xdx f t dt









^

 

1

0

2 f t dt



     

3 3 1

1 0 0

1 f t dt f t dt f t dt

  

^

     

3 3 3

1 1 1

2 2 1 4 5

f x  dx f x dx dx  

  

^{. Chọn D.}

Câu 2: (Toán học tuổi trẻ 2019 – Lần 1). Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn



^1;1



^và

 

²⁰¹⁹

 

^{2 ,x}



^1;1



f x  f x    x . Giá trị của

 

1

1

f x dx





^là

A. 1

2019 ln 2 B. 3

4040 ln 2 C. 0 D. 5

2018ln 2 Lời giải: Ta có: thay x bởi



^x



vào phương trình: ^{f x}

 

^2019f



^x



^2x nên ta có hệ :

   

 

²⁰¹⁹

 

²

 

^2019.2₂ ² ₂

2019 1 2019 1

2019 2

x x x

x

f x f x

f x

f x f x

 

   

   

     



     

1 1

1

2 2

1 1 1

2019.2 2 1

4040 ln 2 2019 1 ln 2 2019 1 ln 2

x x

f x dx



  

   

 



^{. Chọn B}

Câu 3: (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số ^{f x}

 

thỏa mãn



^f

 

^x



^{2 f x f}

 

^

 

^{x x32x}

x

  và ^f

 

^{0  f}

 

^{0 1}. Tính giá trị của ^{T  f2}

 

^{2 .}

A. 43

30. B. 16

15. C. 43

15. D. 26

15 . Lời giải: Ta có



^f

 

^x



^{2 f x f}

 

^

 

^{x x32x}



^{f x f}

   

^{ x}



^{ x32x}

Nguyên hàm 2 vế ta được:

   

4 2

4

f x f x  x x C mà ^f

 

^{0  f}

 

^{0  1 C1}

       

4 4

2 1 2 1

4 4

x x

f x f x x f x f x dx x dx

    







 

     

4

2 1

4

f x d f x x x dx









 

 

2 5 3 1

2 20 3 2

f x x x

x C C

       ²

 

^{2 43}

f 15

  . Chọn C.

Câu 1: (Chuyên Hạ Long Quảng Ninh – Lần 1 2019). Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên  thoả mãn ^f

 

^{x 2 .x f x}

 

^{ex2, x và f}

 

^{0 0. Tính f}

 

^{1 .}

A. ^f

 

^{1 e2. B. f}

 

^{1 1}

 e. C. ^f

 

^{1 1}₂

e . D. ^f

 

^{1 1}

e. Lời giải: Ta có ^f

 

^{x 2 .x f x}

 

^{ex2 ex2.f}

 

^{x 2 .x ex2.f x}

 

^1

       

2 2 2

1 1 1

0 0 0

. 2 . . . 1 1 1

x x x

e f x x e f x dx dx e f x f

e

  





   



    ^{. Chọn D.}

Câu 6: (THPT Chuyên Quốc Học Huế) Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Tính thể tích V của trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A. ^{V344963 cm}

 

^{3 . B. V344964 cm}

 

^{3 .}

C. ^{V208347 cm}

 

^{3 . D. V208346 cm}

 

^{3 .}

Lời giải: Đặt mặt phẳng qua trục của trống vào hệ tọa độ Oxy sao cho trục của trống trùng với trục hoành, trung điểm của trục đó là gốc tọa độ O. Ta xét đường sinh nằm trong mặt phẳng nói trên là một nửa của elip có tâm là

 

0;6

I và độ dài trục lớn là 8 dm

 

, độ dài trục nhỏ là 6 dm

 

. Đường sinh đó thuộc elip có phương trình là ²



⁶



²

16 9 1 x y

  .

Phương trình của đường sinh đó là:

 

2

3 1 6

16 y f x    x  .

Khi đó, trống là khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành: ^{y f x}

 

^{,y0,x 4,x4.}

Do đó, thể tích của trống bằng

 

4 4 2 2

2

4 4

3 1 6

16

V  f x dx  x dx

 

 

       

 

 

 

. Suy ra:

4 2 2 4 2 4 2

4 4 4

9 1 1 9 5 36 1

16 16 16 16

x x x x

V  4 +4 dx  dx  dx

  

   





     



   





4 4

3 2

4 4

9 5 36 1

48 16

x x

x dx

 

 

    

  

 



Suy ra

 

4 2 2 2 2

2 2

4

2 2 2

1 1 sin .4 cos 4 cos 2 1 cos 2

16

x dx t t dt t dt t dt

  

  

   

     

     

²

2

2t sin 2t 2 .



 



  

Do đó ^{9 .112 36 .2} 344,9636147



³



344964



³



V   3     dm  cm . Chọn B.

Câu 7: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An 2019). Cho hàm số ^{f x}

 

thỏa mãn ^f

 

^{1 2 và}



x^21



² f ^'

 

x ^f x

 

^²



x^21



với mọi x. Giá trị của ^f

 

^{2 bằng:}

A. 2

5 B. 2

5 C. 5

2 D. 5

2

Lời giải: Ta có

         

   

2 2 2

2 2

2 2 2

1 ' 1 1

1

f x x

x f x f x x

f x x

 

     

  

 

.

Suy ra

 

         

2 2 2

2 2 2

1 1

1 1 1 1 5

1 2 10 2 2

1

f x x

dx dx f

f f

f x x

 

      

  

 

 

^{. Chọn D.}

Câu 8: (Sở GD Bắc Ninh – 2019). Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  thỏa mãn các điều kiện:

 

^{0 2 2,}

 

^{0, }

f f x x và ^{f x f}

 

^{. '}

  

^{x  2x1}



^{1 f2}

 

^{x , x }. Khi đó giá trị

 

¹

f bằng:

A. 15 B. 23 C. 24 D. 26

Lời giải: Ta có

           

 

2

2

. ' 2 1 1 . ' 2 1

1

f x f x

f x f x x f x x

f x

     



.

Suy ra

   

       

1 1 1

2

2 0

0 0

. ' 2 1 1 2 1 24

1

f x f x

dx x dx f x f

f x

      







^{. Chọn C.}

Câu 9: (THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa) Cho hàm số ^{f x}

 

nhận giá trị dương, và có đạo hàm liên tục trên đoạn



0;1 . Biết



^f

 

^{1 1 và f x f}

  

^1x



^{ex2x,  x}

 

^{0;1 . Tính}

   

 

3 2

1

0

2x 3x f x

I dx

f x

 





^?

A. 1

I  60. B. 1

I 10. C. 1

I 10. D. 1 I  60. Lời giải: Ta có ^{f x f}

  

^1x



^{ex2x ln f x}

 

^{ln f}



^1x



^x2x

Ta có:

   

 

3 2

1

0

2x 3x f x

I dx

f x

 





Đặt

 

   

3 2

2 3 2

6 6

ln

u x x

du x x

f x

dv dx v f x C

f x

  

  

 

 

 

   

 



. Khi đó ta có:

       

1 1

3 2 2

0 0

2 3 ln 6 ln

I  x  x f x 



x x f x dx

   

1 2 0

6 x x ln f x dx







   

1 2 0

6 x x ln f 1 x dx

 



 

Từ: ^{ln f x}

 

^{ln f}



^1x



^{ x2x 1}



²

  

²

   

0

6 ln

I x x x x f x dx

  



  

     

1 1

2 2 2

0 0

6 x x dx 6 x x ln f x dx

 



 



 ^{ 1}



²

  

¹



²



²

0 0

12



x x ln f x dx6



x x dx

   

1 2 0

6 ln 1

I x x f x dx 10

  



   ^{. Chọn C.}

Câu 1. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ LẦN 3) Cho hàm số f x

 

xác định và liên tục trên  và thỏa mãn ^{f x}



^{2 x 1}



^{ f}



^{x2 x 1}



^{ 6x412x36x22,  x . Tính}

 

1

3

d f x x





^.

A. 32. B. 4. C. 36. D. 20.

Lời giải:Ta có: Đặt ^{x2   x 1 t}



^t1



^2



^x2x



^{2 x42x3x2}

 

²

4 3 2

6x 12x 6x 2 6 t 1 2

        

Ta có: ^{f t}

 

^{ f}



^{ t 2}



^{ 6}



^t1



^22

     

1 1

2

3 3

2 6 1 2

f t f t dt t dt

 

 





      



   

       

1 1 1 1

3 3 3 3

d d 40 d 20 d 20

f t t f t t f t t f x x

   









  



  



  ^{. Chọn D}

Câu 2. (Đề thi thử VTED) Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn

 

^0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện

 

1

2 2

0

( ) ( ) 2.

xf x x  f x dx5



Giá trị nhỏ nhất của tích phân

1 2

2 2

0

1 ( ) x 3f x dx

 

  

 



^bằng

A. 3

10. B. 16

45. C. 2

5. D. 7

20.

Lời giải: Để cho đơn giản coi a  f x( ), khi đó

 

1 2 1

2 2 2 2

0 0

1 ( ) ; ( ) ( ) .

A x 3 f x  dx B xf x x f x dx

     

 

 

Ta có

1 2 1

2 2 2 2

0 0

1 2

, ( )

3 5

A x a  dx B ax a x dx

      

 

 

và từ đánh giá cùng bậc có:

2 2 2 2 2 4 4

(a 3x ) 4ax a( x )8x (ax) 0 Do đó

1 1 1

2 2 2 2 2 4

0 0 0

8 8 8 16

9 ( 3 ) 4 ( ) 8 4 .

5 5 5 5

A



a  x dx



ax a x dx



x dx B    Dấu bằng đạt tại a x f x( ) x, x [0;1].

Câu 3. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ LẦN 3) Trên parabol ^yx21

 

^P lấy hai điểm ^A



^{1; 2}



^,



^3;10



B . Gọi M là điểm di động trên cung AB của

 

^{P , M khác ,A B. Gọi} S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^{P và MA, gọi} S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^{P và MB.}

Gọi



x y0; 0



là tọa độ điểm M khi S₁S₂ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính x₀² y₀².

A. 29. B. 11. C. 109. D. 5.

Lời giải: Gọi D E F, , là hình chiếu của ,A M B, lên trục Ox, khi đó:

     

 

0 2 0

0 0

2 2

1

1 1

2 1 1

1 1

2

x x

AMDE

x x

S S x dx    x dx

 



  





     

 

0 0

3 2 3

0 0

2 2

2

10 1 3

1 1

MBFE 2

x x

x x

S S x dx    x dx

 



  





 

²

2

1 2 0 0 0

13 1 1

4 2

3 3 3

S S S x  x   x    .

Dấu “=” xảy ra x₀ 2;y₀ 5x₀² y₀² 29. Chọn A.

Câu 10: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  thỏa mãn ^f

 

^{2x 3f x}

 

^,

x

 . Biết rằng

 

1

0

1 f x dx



. Tính tích phân

 

2

1

I 



f x dx^.

A. I 3. B. I 5. C. I2. D. I 6. Lời giải: Ta có

 

1

0

1



f x dx. Đổi biến số, đặt 2

x t , khi đó ta có:

2

0

1 1

2 2

f t dt

  



 

2

0

1

2 2

fxdx

  

 



. Mặt khác ta có

       

2

0

1 1 1

2 1

3 2 3 6

f x f x f x f x f x dx

     

 



 

2

0

6 f x dx





 ^{. Vậy}

   

2 1

0 0

6 1 5

I 



f x dx



f x dx   ^{. Chọn B.}

Câu 11: (THPT ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG) Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



^{0;1 và}



^f

 

^{0  f}

 

^{1 0. Biết}

 

1 2 0

1 f x dx2



^,

   

1

0

' cos

f x x dx 2

 



^{. Tính}

 

1

0

f x dx



^.

A.  B. 3

2

 C. 2

 ^D.

1



Lời giải: Ta có:

         

1 1

1 0

0 0

' cos cos sin

2 2

f x x dx  x f x x dx 

       

 

   

1

0

sin 1

f x x dx 2





 ^{. Dễ thấy}

       

1 1 1

2 2

0 0 0

2 sin sin 0

f x dx f x x dx x dx

  

     

1

0

sin sin 2

f x x I x dx

   





Câu 12: (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI-HẢI DƯƠNG) Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên , ^f

 

^{0 0, f ' 0}

 

^{0 và thỏa mãn hệ thức}

 

^{. '}

 

^{18 2}



^{3 2}



^{. '}

  

^{6 1 .}

  

f x f x  x  x x f x  x f x  x . Biết

 

^{ }

1

2 0

1 ^{f x}

x e dxae be c



với , ,a b c. Giá trị của a b c  bằng.

A. 1 B. 2 C. 0 D. 1

2

Lời giải: Ta có: ^{PT }

 

^{3x2x f x}

   

^{' f x f}

 

^{. '}

 

^{x 18x2}



^{3x2 x f x}

  

^{f x f}

 

^{. '}

 

^{x dx 6x3}

  







2

  

²

 

3

3 6

2 f x

x x f x x C

     mà ^f

 

^{0  0 C0}

2 3 2

12 6 2 0

y x x y xy

     ^{ y y}



^2x



^6x2



^y2x



^0



^y2x

 

^y6x2



^0

2

y x

  (nhận) vì ^{y' 0}

 

^20

 

1

2 2

0

3 1

1 4 4

I x e dxx e e

 



    ^{a b c  1}₂ ^{Chọn D}

Câu 13: (Sở GD – ĐT Phú Thọ). Cho hàm số ^{f x}

 

. Đồ thị của hàm số ^{y f '}

 

^{x trên}



^{3; 2}



^như

hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol yax²bx c ).

Biết ^f

 

^{3 0}, giá trị của ^f

 

^{1  f}

 

^{1 bằng:}

A. 23

6 B. 31

6 C. 35

3 D. 9

2 Lời giải: Parabol yax²bx c đi qua các điểm



^{3; 0 ;}

 

^{1; 0 ;}

 

^2;1



nên ta có hệ:

2

9 3 0 1

0 4 4 3

4 2 1 3

a b c a

a b c b y x x

a b c c

    

 

 

          

 

      

 

.

Đường thẳng qua hai điểm



^{1; 0 ,}

 

^{; 2}



^{là y2x2.}

Đường thẳng qua hai điểm



0; 2 , 2; 0 là

  

y  x 2. Vậy ta có

 

 

 

 

2 4 3, 1

2 2, 1 0

2, 0

x x x

f x x x

x x

    

     

  



.

Khi đó

         

1 1 1

2

3 3 3

1 3 4 3 4

f f f x dx f x dx x x dx 3

  

  

 

   











    ^;

       

0 0

1 1

4 7

0 1 2 2

3 3

f f f x dx x dx

 

  



  



  ^{, suy ra}

     

1

0

1 0 2 23

f  f 



 x dx 6 ^{. Vậy f}

 

^{1  f}

 

^{1  4}₃^23₆ ^31₆ ^{. Chọn A.}

Câu 14: (Nguyễn Khuyến–TPHCM) Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



0;1 thỏa mãn



 

1 2 0

1 x f x dx 21



^{, f}

 

^{1 0 và}

 

1 2

0

1 f x dx 7

 

 



. Tính giá trị của

 

1

0

f x dx



^bằng

A. 5

12. B. 1

5. C. 4

5. D. 7

10.

Lời giải: Ta có

         

1 1 3 3 1 1 3 1 3

2

0 0 0 0 0

1 .

21 3 3 3 3

x x x x

x f x dx= f x d  f x f x dx f x dx

    

      

 

   

 

1 3 0

1 x f x dx 7





 . Mặt khác ta có

1 6 0

1 x dx 7





   

1 1 1

2 3 6

0 0 0

2 0

f x dx x f x dx x dx

 

 

    

1 3 2

0

0 f x x dx

 





    ^{ f}

 

^{x  x3}

 

4

4

f x x C

   1

C 4

   . Vậy

 

1 1 4

0 0

1 1

4 4 5

f x dx x dx

     

 

 

^{. Chọn B.}

Câu 15: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định) Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên



^{2; 4}



và ^f

 

^{x 0,  x}



^{2; 4}



^{. Biết 4x f x3}

 

^_^f

 

^{x }_^{3x3,  x}



^{2; 4}



^,

 

^{2 7}

f  4. Giá trị

 

⁴

f bằng:

A. 40 5 1 2

 . B. 20 5 1

4

 . C. 20 5 1

2

 . D. 40 5 1

4

 .

Lời giải: Ta có

           

   

3 3

3 3 3

3

4 4 1 2; 4

4 1

f x

x f x f x x x f x f x x x

f x

  

          



   

 

4 4

2 2 3

4 1

4 4 1

d f x xdx

f x

  

 



           

2 4 2 2

3 3 3

2

3 3 3

6 4 1 6 4 4 1 4 2 1

8 f x 8 f 8 f

       

   

²³

3 15

4 4 1

8 f 2

  

   

3

2 40 5 1

4 4 1 20 4

f f 4 

     . Chọn D.

Câu 16: (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 2). Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây ?

A. 208 triệu đồng. B. 202 triệu đồng. C. 200 triệu đồng. D. 218 triệu đồng.

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Ta có phương trình hai đường tròn lần lượt là:

 

C1 :x²y² 20 ;²

  

C2 : x30



²y²15².

Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: y 20²x² và

 

²

152 30

y  x .

Phương trình hoành độ giao điểm: ¹⁵²



³⁰



^{2 202 2 215}

x x x 12

     

Diện tích phần giao nhau của 2 đường tròn là:

 

215 12 20

2 2 2 2

1

15 215

12

2 15 30 20 60, 255

S x dx x dx

 

 

      

 

 

 

^.

Diện tích phần không giao nhau của 2 đường tròn là: S2



20²15²



2S11842, 986. Vậy số tiền làm mặt sân của sân khấu là: T 3.10 .⁵S₁10 .⁵S₂ 202 triệu đồng. Chọn B.

Câu 17: (Chuyên Quốc Học Huế) Cho hàm số ^{f x}

 

xác định và có đạo hàm ^f

 

^x liên tục trên đoạn

 

^{1;3 , f x}

 

^{0với mọi x}

 

^1;3 , đồng thời ^f

 

^x



^{1 f x}

  

^{2 }_^f2

 

^{x x1}



^_^{2 và}

 

^{1 1}

f   . Biết rằng

   

3

1

ln 3 ,

f x dxa b a b



^{ } , tính tổng S ab².

A. S 2. B. S 0. C. S 4. D. S  1. Lời giải: Ta có

              

   

2

2 2 2 2

4

1 1 f x 1 f x 1

f x f x f x x x

f x

 

       

          

²



4 3 2

1 2 1

2 1

d f x x x dx

f x f x f x

 

       

 

       

3 2

3 2

1 1 1

3 3

x x x C

f x

f x f x

       

Lại có ^f

 

^{1  1C0}

     

 

   

3

2

3 2

1 1 1

3 3

x x x

f x

f x f x

          

 

¹

Xét hàm số

 

^{1 3 2}

g t  3t t t nghịch biến trên  nên

 

   

1 1

1 x f x

f x x

     

 

3 3

1 1

1 ln 3 1

f x dx dx S

x

 

        

 

 

^{. Chọn D.}

Câu 18: (THPT Yên Phong 2- Bắc Ninh) Tính tích phân ¹



^{1 2}



0

max e e^x, ^{ x} dx



A. e1. B. ³₂



^{e 3e}



^{. C. e3e. D. 1}₂^^e1_e^

 

. Lời giải: Đặt ^{f x}

 

^{ex và g x}

 

^{e1 2x} , xét phương trình hoành độ giao điểm:

   

^{1 2 1}

3

x x

f x  g x e e^ x

Với 1

0;3

x  

   thì ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{; Với 1;1}

x 3 

   thì ^{f x}

 

^{g x}

 

^{ ta có:}

 

1 2 1 2

, 0;1 max , 3

, 1;1 3

x

x x

x

e x

e e

e x





  

  

  

   

  

  



Suy ra:

   

1 1

1 3 1

3 1

1 2 1 2 1 2 3

1

1 0 3

0 0

3

1 3

max ,

2 2

x x x x x x

e e^ dx e^ dx e dx  e^ e  e e

  

^{. Chọn B.}

Câu 19: (Thanh Chương 1 – Nghệ An) Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



^0;



thỏa mãn:

 

²

 

0 0

cos 2

f x dx x.f x dx

 

  

 

 

 

^{và f}_^₂^_^1. Khi đó tích phân

 

2

0

f x dx





^bằng

A. 0. B. 1

2

  . C.

2

 . D. 1.

Lời giải: Ta có:

       

₀

   

0 0 0 0

cos .x f x dx f x d sinx f x .sinx f x sinxdx f x sinxdx

   

  

    

   

 

0

sinx 2

f x dx

 





  . Mặt khác ²

0

sin x dx 2

 



 nên ta có:

   

²

0

sinx

f x dx=0



 



^{ f}

 

^{x  sinx  f x}

 

^{cosx C}

Từ

   

2 2

0 0

1 1 cosx 1 1

2 2

f C f x dx dx

 

 

 

       

 

 

 

^{. Chọn B.}

Câu 20: (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh 2019). Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm trên  thỏa mãn 2 1

f 

  

 

 và với mọi x ta có ^{f '}

   

^{x f x. sin 2x f '}

 

^{x .cosx f x}

 

^.sinx. Tính tích

phân

 

4

0

I 



f x dx



.

A. I1. B. I 2 1 . C. 2 2 1

I  . D. I 2. Lời giải: Ta có

 

^{f '}

   

^{x f x. sin 2x dx}



^

 

^f'

 

^{x .cosx}