Vận dụng cao Số phức bám sát câu 47 đề minh họa THPTQG năm 2021

(1)

PHẦN II

SỐ PHỨC

(2)

XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN

1. Phần thực, phần ảo của số phức, số phức liên hợp

• Số phức có dạng ^z^{= +}^a ^{bi a b}

(

^, ^^{R i}^, ² ^{= −}¹

)

. Phần thực của zlà a, phần ảo của zlà bvà i được gọi là đơn vị ảo.

• Số phức liên hợp của zlà z= + = −a bi a bi.

 z z. =a² +b² Tổng và tích của z và zluôn là một số thực.

 z₁ z₂ z₁ z₂ .  z z₁. ₂ z z₁. ₂ .  z z

z z

1 1 2 2

.

• Lưu ý: i⁴ⁿ 1;i⁴ⁿ ¹ i i; ⁴ⁿ ² 1;i⁴ⁿ ³ i; với n N. 2. Hai số phức bằng nhau

• Cho hai số phức z₁ = +a₁ b i₁ , z₂ =a₂ +b i₂

(

a a b b1, 2, 2, 2R

)

. Khi đó: ₁ ₂ ¹ ²

1 2

a a z z

b b

 =

=   = 3. Biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức

• Biễu diễn hình học của số phức.

▪ Số phức ^z^{= +}^a ^{bi a b}

(

^, ^^R

)

được biểu diễn bởi điểm ^{M a b}

( )

^; trong mặt phẳng tọa độ.

▪ zvà zđược biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox.

• Mô đun của số phức.

▪ Mô đun của số phức z là z = OM = a² +b² .

▪ Ta có : z = z z. ; z = z .

LÝ THUYẾT

(3)

Lời giải

CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM LẤY RA TỪ TÀI LIỆU Câu 1: Cho số phức z= −1 2i. Tìm phần ảo của số phức z.

A. 2. B. −2. C. −1. D. 1.

Câu 2: Tìm các số thực x y, thỏa mãn

(

^{3 2}⁻ ⁱ

)(

^x⁻^yi

) ( ) (

⁻^{4 1}^{− =}ⁱ ²⁺ⁱ

)(

^x⁺^yi

)

A. x=3,y= −1. B. x= −3,y= −1. C. x= −1,y=3. D. x=3,y=1. Câu 3: Cho hai số phức ^z¹^{= +}² ⁱ, ^z² ^{= −}^{1 3}ⁱ. Tính mô-đun của số phức

2

1 2

w=z −z .

A. w =7. B. w =5. C. w = 19. D. w = 53. Câu 4: Cho số phức zthỏa mãn ²^z⁼^{i z}

( )

⁺³ ^{. Tính} ^z ^.

A. z =5. B. ^{3 5}

z = 2 . C. z = 5. D. z = 10. Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z+2z= +6 2 .i Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là

A.

(

^{2; 2}⁻

)

^. ^B.

(

^{− −}^{2; 2}

)

^. ^C.

( )

^{2; 2 .} ^D.

(

⁻^{2; 2}

)

^.

Câu 6: Tìm mô đun của số phức z, biết z− +

(

2 3i z

)

= − +17 9i.

A. z = 26. B. z = 17. C. z = 29. D. z = 5.

Câu 7: Tìm tất cả các số thực x y, để hai số phức z₁=9y²− −4 10xi z⁵, ₂ =8y²+20i¹¹ là hai số phức liên hợp của nhau.

A. 2

2 x y

 =

 = 

 . B. 2

2 x y

 = 

 = . C. 2 2 x y

 = −

 = 

 . D. 2

2 x y

 = −

 = . Câu 8: Biết số phức z thỏa mãn.

1 1

3 1

z z i z i

z i

 − =

 −

 −

 =

 +

. Số phức zbằng:

A. z = +1 i. B. z = −1 i. C. z= − −1 i. D. z= − +1 i Câu 9: Tính môđun của số phức z, biết:

(

^{1 2}⁻ ^{i z}

)

^{+ − = −}² ⁱ ^{12 .}ⁱ

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1. Giải các phương trình sau:

a) 3^x²^{− +}⁴^x ⁵ =9. b) 3^x²^{− +}³^x ⁸ =9²^x⁻¹. c)

+ = ²−

28 4

3 1

2 ^x 16^x . d) ²⁸⁻^x²^.5⁸⁻^x² ⁼^{0,001. 10}

( )

⁵ ¹⁻^x^.

e) 2^x+2^x⁺¹=3^x+3^x⁺¹. f) ^12.3^x⁺^3.15^x⁻⁵^x⁺¹⁼²⁰.

(4)

A. 5. B. 7 . C. ¹

2. D. 2 2.

Câu 10: Nếu z= +a bi

(

^{a b}^, ^

)

có số phức nghịch đảo ¹ 4 z⁻ a bi−

= thì

A. a²+ =b² 2. B. a²+ =b² 4. C. a²+b² =8. D. a²+ =b² 16. Câu 11: Cho số phức z= +a bi với a b,  thỏa mãn z− + =3 i z i. Giá trị của a+b bằng

A. −1. B. 7 . C. 5 . D. 12 .

Câu 12: Cho i là đơn vị ảo. Nghiệm của phương trình 2

3 1

2 z i i

i + − = +

− là A. ² ³ .

15−5i B. ² ³ .

15+5i C. ² ² .

15 5i

− − D. ² ³ .

15 5i

− +

Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z²−2018z=2019 z²?

A. Vô số. B. 2. C. 1. D. 0 .

Câu 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z²−2018z=2019 z²?

A. Vô số. B. 2. C. 1. D. 0 .

Câu 15: Cho hai số phức z= −3 4i và ^z^{ = +}

(

² ^m

)

⁺^mi

(

^m^

)

^{thỏa mãn} ^z^{ =} ^iz . Tổng tất cả các giá trị của m bằng

A. −1. B. ⁴⁶

2 . C. 0 . D. −2.

Câu 16: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: z =1 và z²+ =4 2 3.

A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4.

Câu 17: Cho số phức ^z^{= +}^{a bi a b}

(

^, ^

)

thỏa mãn z+2iz= +3 3i . Tính giá trị biểu thức:

( )

²⁰¹⁹

( )

²⁰¹⁹^.

P= a i+ + −b i

A. −2¹⁰¹⁰. B. −2¹⁰⁰⁹. C. −2¹⁰¹¹. D. −2¹⁰⁰⁸. Câu 18: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z+ + = −i 1 z 2i và z =1

A. 0. B. 2. C. 1. D. 4.

Câu 19: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn

(

³^x⁺²^yi

) (

^{+ − =}³ ⁱ

)

⁴^x⁻³ⁱ^vớii là đơn vị ảo.

A. x=3; y= −1. B. ²;

x= 3 y= −1. C. x=3; y= −3. D. x= −3; y= −1. Câu 20: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z²+2 z =0.

A. 1. B. 4. C. 2 . D. 3 .

Câu 21: Với mọi số thuần ảo z, số z²+ z² là

A. số thực dương. B. số thực âm. C. số 0. D. số thuần ảo khác 0.

Câu 22: Cho số phức z= −10 2i. Phần thực và phần ảo của số phức z là:

A. Phần thực bằng −10 và phần ảo bằng −2i. B. Phần thực bằng −10 và phần ảo bằng −2.

(5)

C. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2 . D. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2i. Câu 23: Cho số phức

(

^{2 3}

)(

⁴

)

3 2

i i

z i

− −

= + . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy. A.

( )

1; 4 . B.

(

⁻^{1; 4}

)

^. ^C.

(

^{− −}^{1; 4}

)

^. ^D.

(

^{1; 4}⁻

)

^.

Câu 24: Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn z −2z= − + +7 3i z. Tính mô-đun của số phức = − +1 z z² bằng

A.  = 37. B.  = 457. C.  = 425. D.  = 445. Câu 25: Cho số phức z= +a bi

(

^{a b}^,

)

^{thỏa mãn}² ^z ⁺ ³^iz^{= −}⁴ ^z^{. Tính}^S ⁼^ab^.

A. ³

S = 2 . B. ³

S = − 2 . C. ³

S = 4 . D. ³

S = − 4 . Câu 26: Cho số phức z= +a bi

(

^{a b}^, ^ ^,^a^⁰

)

^thỏa^{z z}^. ⁻¹² ^z ^{+ −}

(

^z ^z

)

^{= +}^{13 10}ⁱ^{. Tính}^S ^{= +}^{a b}^.

A. S =7. B. S =17. C. S = −17. D. S=5. Câu 27: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z² =2 z+ +z 4 và z− − = − +1 i z 3 3i?

A. 4. B. 3 . C. 1. D. 2.

Câu 28: Cho hai số phức z và w khác 0 thoả mãn z+3w =5w và z−2wi = −z 2w−2wi. Phần thực của số phức ^z

w bằng

A. 1. B. −3. C. −1. D. 3.

Câu 29: Cho số phức z thoả mãn 2 z+1² = −z i². Tính môđun của số phức z+ +2 i.

A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 .

Câu 30: Số phức z= +a bi, a b,  là nghiệm của phương trình

(

^{1 1}

) ( )

1

z iz

i z z

− +

=

−

. Tổng T =a²+b² bằng

A. 4 . B. 4 2 3− . C. 3 2 2+ . D. 3 .

Câu 31: Gọi là tập hợp tất cả các số nguyên sao cho tồn tại số phức phân biệt thỏa mãn đồng thời các phương trình và . Tổng tất cả các phần tử của là

A. . B. . C. . D. .

Câu 32: Gọi là tập hợp tất cả các số sao cho tồn tại đúng một số phức thỏa mãn đồng thời các

phương trình và . Tích tất cả các phần tử của là

A. . B. . C. . D. .

Câu 33: Gọi là tập hợp tất cả các số nguyên sao cho tồn tại số phức phân biệt thỏa mãn

đồng thời các phương trình và . Số các phần tử của là

A. . B. . C. . D. .

S m 2 z z₁, ₂

1

z− = −z i z+2m = +m 1 S

1 4 2 3

S m z

2 1

z+ + = +i z 2 z− +3 2i =m²−5m+9 S

6 5 2 3

S m 2 z z₁, ₂

(

^{3 4}⁺ ^{i z}

)

⁺²⁵ ⁼²⁰ ^z^{+ +}^m ²ⁱ ⁼⁵ ^S

8 7 6 5

(6)

Câu 34: Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ^z^{+ −}

(

^{2 3}ⁱ

)

⁼² là đường tròn có phương trình nào sau đây?

A.

2 2

4 6 9 0

x +y − x− y+ = . B.

2 2

4 6 11 0

x +y − x+ y+ = . C. x²+y²−4x−6y+ =11 0. D. x²+y²+4x−6y+ =9 0.

Câu 35: Tìm số phức z biết rằng điểm biểu diễn của z nằm trên đường tròn có tâm O, bán kính bằng 5 và

nằm trên đường thẳng .

A. z= −3 4 .i B. z= +3 4 .i C. z= +4 3 .i D. z= −4 3 .i Câu 36: Cho số thực x y, thỏa mãn

(

²^x⁺^yi

) (

^{+ −}^{3 2}ⁱ

)(

^x⁺^y

)

⁼^1,^vớii là đơn vị ảo là

A. x=1,y= −2. B. x=2,y= −1. C. x= −1,y=2. D. x= −2,y=1

Câu 37: Cho số phức ^z^{= + +}^m ³

(

^m²^{− −}^m ⁶

)

ⁱ^với^m^ ^{. Gọi}

( )

^P là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )

^P và trục hoành bằng

A. ¹²⁵

6 . B. ¹⁷

6 . C. 1. D. ⁵⁵

6 .

Câu 38: Cho các số phức z thỏa mãn z+ =1 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

(

¹ ⁸

)

w= +i z+i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là

A. 9 . B. 36 . C. 6 . D. 3 .

Câu 39: Gọi z₁,z₂ là hai trong các số phức thỏa mãn z− +1 2i =5 và z₁−z₂ =8. Tìm mô đun của số phức w= + − +z₁ z₂ 2 4i.

A. w =6. B. w =10. C. w =16. D. w =13.

Câu 40: Cho số phức z thoả mãn z− 1 1 và z−z có phần ảo không âm. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một miền phẳng. Tính diện tích S của miền phẳng này

A. S= . B. S =2 . C. 1

S = 2 . D. S =1.

Câu 41: Cho số phức z= +m (m³−m i) ,với mlà tham số thực thay đổi. Tập hơp tất cả các điểm biểu diễn số phức zlà đường cong ( )C .Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành.

A. ¹

2. B. ¹

4. C. ³

4. D. ³

2.

Câu 42: Phần gạch trong hình vẽ dưới là hình biểu diễn của tập các số phức thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

: 2 5 0

d x− y+ =

(7)

A. 6 z 8. B. 2 + +z 4 4i 4. C. 2 − −z 4 4i 4. D. 4 − −z 4 4i 16. Câu 43: Xét số phức z thỏa mãn z 2

z i +

+ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một đường tròn, tâm I của đường tròn có tọa độ là

A. 1;³ I 2

 

 . B. 1; ¹

I− −2. C. ^I

( )

^2;1 ^. ^D. ¹^;1

I2 

 

 .

Câu 44: Gọi z z₁, ₂ là hai trong các số phức z thỏa mãn z− +3 5i =5 và z₁−z₂ =6. Tìm môđun của số phức = + − +z₁ z₂ 6 10i.

A.  =10. B.  =32. C.  =16. D.  =8.

Câu 45: Xét các số phức z thỏa mãn

(

^z⁺²ⁱ

) ( )

^z⁺² là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức ^w^{= +}

(

¹ ^{i z}

)

⁺^{2019 2019}⁻ ⁱ là một đường tròn, bán kính đường tròn là

A. 2 . B. 1. C. 2019 2 . D. 4 .

Câu 46: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi hình ( )H là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | 2 | 2

1 0

z i

x y + − 

 + + 

 . Tính diện tích ( )S của hình phẳng ( )H A. S=4. B. ¹

S =4. C. ¹

S =2. D. S=2 .

Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn: z+ − =2 i 3. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ

(

^Oxy

)

^biểu

diễn số phức = +1 z là

A. Đường tròn tâm ^I

(

⁻^{2 ;1}

)

^{bán kính}^R⁼^3.

B. Đường tròn tâm ^I

(

^{2; 1}⁻

)

C. Đường tròn tâm ^I

(

^{− −}^{1; 1}

)

D. Đường tròn tâm ^I

(

^{− −}^{1; 1}

)

Câu 48: Cho z z₁, ₂là hai số phức thỏa mãn điều kiện | z 5 3i | 5− − = đồng thời|z₁−z₂| 8= . Tập hợp các điểm biểu diễn số phứcw= +z₁ z₂ trong mặt phẳng tọa độ Oxylà đường tròn có phương trình

A. (x−10)²+(y−6)² =36. B. (x−10)²+ −(y 6)² =16.

(8)

C. 5 ² 3 ²

( ) ( ) 9

2 2

x− + y− = . D. 5 ² 3 ² 9

( ) ( )

2 2 4

x− + y− = .

1.A 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 7.C 8.B 9.A 10.B

11.B 12.A 13.B 14.B 15.D 16.D 17.A 18.B 19.A 20.D

21.C 22.C 23.C 24.B 25.D 26.B 27.B 28.A 29.D 30.C

31.D 32.A 33.B 34.D 35.B 36.C 37.A 38.C 39.A 40.C

41.A.D 42 43.B 44.D 45.A 46.D 47.D 48.A

Câu 1: Chọn A

Ta có z= −  = +1 2i z 1 2i. Vậy z có phần ảo b=2. Câu 2: Chọn A

Có:

(

^{3 2}⁻ ⁱ

)(

^x⁻^yi

) ( ) (

⁻^{4 1}^{− =}ⁱ ²⁺ⁱ

)(

^x⁺^yi

)

^³^x⁻²^y^{− + − −}⁴

(

²^x ³^y⁺⁴

)

ⁱ⁼²^x^{− +}^y

(

^x⁺²^{y i}

)

3 2 4 2 4 3

2 3 4 2 3 5 4 1

x y x y x y x

x y x y x y y

− − = − − = =

  

− − + = + − − = −  = − . Vậy khẳng định đúng là A Câu 3: Chọn D

Ta có: w=z1²− =z2

(

2+i

) (

²− −1 3i

)

= +2 7i.

2 2

2 7 53

 w = + = . Câu 4: Chọn C

Đặt ^z^{= +}^a ^{bi a b}

(

^; ^

)

^{, suy ra}^z^{= −}^{a bi}. Thay vào đẳng thức ²^z⁼^{i z}

( )

⁺³ ^{ta có:}

( ) ( ) ( )

² ¹

2 3 2 2 3

2 3 2

a b a

a bi i a bi a bi b a i

b a b

= =

 

+ = − +  + = + +  = +  = . Vậy z= +1 2i, suy ra z = 1²+2² = 5.

Câu 5: Chọn A

Gọi số phức z= +x yi với x y,  . Theo bài ra ta có

( ) (

²

)

^{6 2} ³ ^{6 2} ² ^.

2

 = + + − = +  − = +   = −

x yi x yi i x yi i x

y Vậy điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là

(

^{2; 2 .}⁻

)

Câu 6: Chọn C

Gọi ^z^{= +}^{a bi}^,

(

^{a b}^, ^

)

^{. Suy ra}^z^{= −}^a ^bi^.

Ta có ^z^{− +}

(

^{2 3}^{i z}

)

^{= − +}^{17 9}ⁱ ^

(

^{a bi}⁺

) (

^{− +}^{2 3}^{i a bi}

)(

⁻

)

^{= − +}^{17 9}ⁱ

2 2 3 3 17 9

a bi a bi ai b i

 + − + − − = − + 3 17

3 3 9

a b

− − = −

 − + =

2 5 a b

 =

  = Suy ra z= +2 5i. Do đó z = 29.

(9)

Câu 7: Chọn C

Ta có: z₁=z₂ 9y²− −4 10xi⁵ =8y²−20i¹¹9y²− −4 10xi=8y²+20i

2 2

9 4 8 2 10 20 2

y y x

x y

= −

 − = 

− =  =  . Vậy: 2 2 x y

 = −

 = 

 . Câu 8: Chọn B

Giả sử z= +a bi, ,a b , i² = −1.

Ta có:

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

1 1 2 2 0

8 1 1 1

1

3 1 3 3 1 8 0

 − + = + −

 = − + =

 

 =  +  − =  = =

 − =



− =

− −

 −

 − − + + +

 =

 +  



a b a

z

z z i

z i

z i

b a b

a b

a b b b

z i z i

z i

a Do đó z= +  = −1 i z 1 i

Câu 9: Chọn A

Ta có:

( ) ( )( )

( )

²

2

2 11 1 2

1 2 2 12 2 11 4 3

1 2 1 2

i i

i z i i z i i

i

− − +

− + − = −  = − − = = −

− + −

( )

²

32 4 5

 z = + − = . Câu 10: Chọn B

Ta có: ¹ 4 z⁻ a bi−

= 1

4 a bi z

 = − 1

4 a bi a bi

 = −

+ ^

(

^{a bi}⁺

)(

^{a bi}⁻

)

⁼⁴ a²+b²=4. Câu 11: Chọn B

Ta có: z− + =3 i z i + − + =a bi 3 i a²+b i². ^{ − + +}^a ³

(

^b ¹

)

ⁱ⁼

(

^a²⁺^b²

)

ⁱ

2 2

3 0 3

1 4

a a

b a b b

 − =  =

 + = +  = . Vậy a+ = + =b 3 4 7.

Câu 12: Chọn A

Ta có: 2

(

²

)(

²

)

3 1 3 1

2 5

i i

z i i z i

i

+ − − + − = +  + − =

−

3 4 2 9 2 3

3 1 3 .

5 5 15 5

− − −

 = i− +  = i  = −

z i z z i

Câu 13: Chọn B

Đặt z= +a bi

(

^{a b}^, ^

)

^.

Ta có 2 ² ² ² 2018 2019

(

² ²

)

(1)

2018 2019

2 2018 0 (2)

a b a a b

z z z

ab b

 − − = +

− =  

− =

 .

Từ (2) ta được 0 1009 b

a

 =

 = .

Thay b=0 vào (1) ta được ² 0

2018 2018

1

a a a

a

 =

− =   = − .

Do đó trường hợp này ta có 2 số phức thỏa yêu cầu là z= = −0;z 1.

(10)

Thay a=1009 vào (1) ta được −2018.1009.1010=2020b² vô nghiệm do b . Vậy có 2 số phức z thỏa mãn.

Đặt z= +a bi

(

^{a b}^, ^

)

^.

Ta có ² ₂₀₁₈ ₂₀₁₉ ² ² ² ²⁰¹⁸ ²⁰¹⁹

(

² ²

)

⁽¹⁾

2 2018 0 (2)

a b a a b

z z z

ab b

 − − = +

− =  

− =

 .

Từ (2) ta được 0 1009 b

a

 =

 = .

Thay b=0 vào (1) ta được ² 0

2018 2018

1

a a a

a

 =

− =   = − .

Do đó trường hợp này ta có 2 số phức thỏa yêu cầu là z= = −0;z 1.

Thay a=1009 vào (1) ta được −2018.1009.1010=2020b² vô nghiệm do b . Vậy có 2 số phức z thỏa mãn.

Câu 15: Chọn D

Ta có: z = iz = i z. ^

(

²⁺^m

)

²⁺^m² ⁼⁵^²^m²⁺⁴^m⁻^{21 0}⁼

2 46

2

2 46

2 m

m

 = − +



 − −

 =



.

Tổng tất cả các giá trị của m là −2. Câu 16: Chọn D

Gọi số phức z= +a bi (a, b ). Ta có z²+ =4 a²− + +b² 4 2abi. Từ giả thiết, ta suy ra:

( )

2 2

2 2 2 2 2

1

4 4 12

a b

a b a b

 + =



− + + =



( )

2 2

2 2 2 2 2

1

8 8 4

a b

a b a b

 + =

 

+ + − = −



2

2 2

2

3 13

4 ; 4

3 3 13

1 16 4 ; 4

8 8 5 13 3 13

16 4 ; 4

3 13

4 ; 4

a b

a a b

a b

b a b

a b

 = =



 =  = = −

 + = 

  

  

− = − 

  =  = − =

 = − = −



.

Vậy có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.

Ta có: ^z⁺²^{i z}^{= +  + +}^{3 3}ⁱ ^a ^bi ²^{i a}

(

⁻^bi

)

^{= +  +}^{3 3}ⁱ ^a ²^b⁺

(

²^a⁺^{b i}

)

^{= +}^{3 3}ⁱ

2 3 1

2 3 1.

+ = =

 

 + =  =

a b a

a b b

(11)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1009 1009

2019 2019 2019 2019 2 2

1009 1009 1009 1009

1009 2 2 1009 1010

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 2 1 2 1

2 2 2 2 .

   

= + + − = + + − = +  +  + −  − 

= + + − − = + − −

= + − + = − = −

P a i b i i i i i i i

i i i i i i i i

i i i i Câu 18: Chọn B

Gọi ^z^{= +}^{a bi a b}

(

^, ^

)

 = −^z ^{a bi}. Ta có:

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 2

1

1 2 1 1 2 1 0

0 1

1 1

1 b a b

z i z i a b a b a z i

b z

b b

a b z

a

 = −



 + + = −  + + + = + +  = + =  = −

    

 =  + =  + + =  =  =

  

  =

Vậy có 2 số phức z= −i và z=1 thỏa mãn.

Ta có

(

³^x⁺²^yi

) (

^{+ − =}³ ⁱ

)

⁴^x⁻³ⁱ ^

(

³^x^{+ −}^{3 4}^x

) (

⁺ ²^y^{− +}^{1 3}

)

ⁱ⁼⁰ ^{ − +}

(

³ ^x

) (

²^y⁺²

)

ⁱ⁼⁰

3 0

2 2 0

x y

 − =

  + =

3 1 x y

 =

  = − . Câu 20: Chọn D

Gọi z= +a bi,

(

^{a b}^, ^

)

Khi đó z²+2 z =0a²−b²+2 a²+b² +2abi=0

2 2

2 2 2 2

2 2

0

0 0

2 0 0

2 0

0 2

2 0

2 0 0

2 a

a b

b b a

a b a b

b b ab

a a a

b

 =



 =  =

 

 − + =  =

 − + + =  

 =  =  =

 

 + =  =

  = − .

Vậy có 3 số phức z cần tìm.

Câu 21: Chọn C

Ta có ^z⁼^bi

(

^b^

)

^^z²⁺ ^z² ⁼

( )

^bi ²^{+ =}^b² ⁰^.

Số phức z=10 2+ i nên phần thực bằng 10 phần ảo bằng 2.

Ta có

(

^{2 3}

)(

⁴

)

3 2

i i

z i

− −

= +

(

^{8 3}

) (

^{2 12}

)

3 2 i i

− − +

= +

5 14 3 2

i i

= − +

( )( )

5 14 3 2

3 2 3 2

i i

− −

= + −

(

^{15 28}

) (

^{10 42}

)

9 4

− − + i

= +

13 52 13

− − i

= = − −1 4i.

(12)

Vậy điểm biểu diễn số phức ztrên mặt phẳng Oxy là ^M

(

^{− −}^{1; 4}

)

^.

Đặt ^z^{= +}^{a bi a}^,

(

^ ^,^b^

)

^.

Ta có: z −2z= − + +7 3i z ^ ^a²⁺^b² ⁻²

(

^a⁻^bi

)

^{= − + + +}⁷ ³ⁱ ^a ^bi

( )

² ²

2 2 3 7 0

3 7 3 0

3 0

a b a

a b a b i

b

 + − + =

 + − + + − =  

 − =

2 9 3 7

3

a a

b

 + = −

  =

2 2

7 3

9 9 42 49

3 a

a a a

b

 

 + = − +

 =



( ) ( )

7 3 4 5 4 3 a

a N

a L

b

 

 =



  =

=



3 4 b a

 =

  = .

Vậy z= +  = − +4 3i  1 z z² = +4 21i  = 457. Câu 25: Chọn D

Cách 1

Ta có: 2 z + 3iz= −4 z ^² ^a²⁺^b² ⁺ ³^{i a}

(

⁺^bi

)

^{= −}⁴

(

^a⁺^bi

)

_.

(

² ^a² ^b² ^b ³

)

^a ³ⁱ

(

⁴ ^a

)

^bi

 + − + = − −

.

2 2

1

3 3

2 3 4 2

1 3

3 2 3 3 4

2

b a b a a

a b b a

a a

a b a a a a b

 =

 + − = −  = −  = −

   

 = −  + + = −  = −  = −

 .

Vậy ³

S = − 4 . Cách 2

( )

2 z + 3iz= − 4 z 3i+1 z= −4 2z . Lấy môđun 2 vế ta có:

(

³ⁱ⁺¹

)

^z ^{= −}^{4 2} ^z ^{ −}^{4 2} ^z ⁼² ^z ^^{ −}^^{4 2}_{4 2}₋ ^z_z ⁼_{= −}²₂^z_z ^ ^z ⁼¹



4 2 1 3

2 2

3 1

z z i

i

 = − = −

+ . Vậy ³

S = − 4 . Câu 26: Chọn B

Ta có z= +a bi

(

^{a b}^, ^ ^,^a^⁰

)

. Khi đó phương trình ban đầu trở thành

2 2 2 2

12 2 13 10

a +b − a +b + bi= + i ² ² 12 ² ² 13

2 10

a b a b

b

 + − + =

  =

(13)

2 2 13 12 5 5

a b a b b

  =

 + =

 =  = . Vậy S= + =a b 17.

Gọi z= +a bi a b, , R. Khi đó theo giả thiết ta có hệ.

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2

4 4 4

2 2 4

2 4

1 1 3 3

2

0, 2

5 8 16

24 2

4 ,

5 5

2 8 14

5, 5

a a a

a b a

a

a b a b

b

a b

a a a

a b

b a

a b

 + −  = +

 + = +   

   

 

− + − = − + + −

 

  =

 = = −

 − = 

 

 = −  = =

 = − = −

 Vậy có 3 số phức z thỏa mãn.

Đặt z ,

w= +a bi với a b, R. Theo giả thiết ta có:

3 5 3 5

2 2 2

z w z

w w

z wi z w wi z z

i i

w w w w

 + 

= + =

 

 

 

− − −

 =  − = − −

 

 

2 2 2 2

( 3) 25 ( 3) 25 1

3.

4 4 0

( 2) ( 2) ( 2)

a b a b a

a b

a b a b

 + + =  + + =  =

 + − = − + −  − =  =  Vậy phần thực của số phức ^z

w bằng 1.

Câu 29: Chọn D

Gọi z= +x yi x y( ,  ). Ta có: 2 z+1² = −z i²

2 2

2 x yi 1 x yi i

 + + = + − 2 ( x+1)²+y²=x²+(y−1)²

2 2

4 2 1 0

x x y y

 + + + + =  +(x 2)²+ +(y 1)² =4 Do đó z+ + =2 i (x+2)²+(y+1)² = 4 =2. Câu 30: Chọn C

Cách 1: Điều kiện: z 1,z0

(

^{1 1}

) ( )

1

z iz

i z z

− +

=

−

( ) ( )

2

1 1 1

z iz z

i z

− +

 =

−

(

¹

)

1 iz z i z

 + =

+ ^{ +}^z ^{z i}² ⁼

(

^z ⁺¹

)

ⁱ

(14)

(

² ²

) (

² ² ¹

)

a bi a b i a b i

 − + + = + +

2 2 2 2

0

1 a

b a b a b

 =

 − + + = + +

2 1(*)

b b b

 − = +

Với b 0^(*)b² =  = −  =1 b 1 z i.

Với b  −0^(*)b² 2b− =  = +1 0 b 1 2 ^{ = +}^z

(

¹ ²

)

ⁱ^.

Vậy ^T ⁼^a²⁺^b² ^{= + +}⁰²

(

¹ ²

)

² ^{= +}^{3 2 2}^.

Cách 2:

Điều kiện: z 1,z0

(

^{1 1}

) ( )

1

z iz

i z z

− +

=

−

( ) ( )

2

1 1 1

z iz z

i z

− +

 =

−

(

¹

)

1 iz z i z

 + =

+ ^{ +}^z ^{z i}² ⁼

(

^z ⁺¹

)

ⁱ

(

² ¹

)

z z z i

 = − + + . Lấy môđun hai vế ta được:

( )

²

2 2

1 z = − z + +z

2

1

1 2

1

 = − + +

  = +

− = − + +



z z z

z

z z z

2 2 2

3 2 2.

a b z

 + = = +

Câu 31: Chọn D Ta có

Trường hợp 1: .

Trường hợp 2:

Đặt

Ta có

Xét trong hệ tọa độ , là phương trình đường thẳng , là phương trình đường tròn tâm , bán kính

Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình, có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

Kết hợp với và

Vậy tổng các phần tử của tập bằng 3.

Ta có luôn đúng với mọi .

2 1 0

z+ m = + m

1 0 2 0 2 2

m+ =  +z m =  = −z m= 1 0

m+  z= +x yi

( )

² ²

( ) ( )

²

0 1 1

2 1 2 1 2

x y

z z i

z m m x m y m

 − =

 − = −

 

 

+ = + + + = +

 

 

Oxy d x: − =y 0

( )

^C ^I

(

⁻^{2 ; 0}^m

)

R= +m 1

d

( )

^C

(

^,

)

² ¹ ² ² ² ² ¹

2

d I d m m m m m

 =  +   + + m²−2m−   −1 0 1 2  +m 1 2 1 0

m+  ^m^{   =}^m ^S



^{0;1; 2}



S

2 5 9 0

m − m+  m

(15)

Đặt

Ta có

Xét trong hệ tọa độ , là phương trình đường thẳng , là phương trình đường tròn tâm , bán kính

Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi hệ phương trình, có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

Vậy tích các phần tử của tập bằng 6.

Câu 33: Chọn D Ta có

tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn là đường tròn tâm , bán kính

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn là đường tròn tâm , bán kính .

Yêu cầu bài toán xảy ra khi hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

mà số các phần từ của là 7.

Câu 34: Chọn D

Gọi ^z^{= +}^x ^yi

(

^{x y}^, ^

)

^.

Ta có ^z^{+ −}

(

^{2 3}ⁱ

)

^{= }²

(

^x^{+ +}²

) (

^y⁻³

)

ⁱ ^{= }²

(

^x⁺²

) (

²⁺ ^y⁻³

)

² ⁼²

(

^x ²

) (

² ^y ³

)

² ⁴ ^x² ^y² ⁴^x ⁶^y ⁹ ⁰

 + + − =  + + − + = . Câu 35: Chọn A

Giả sử z= +x yi x y, ,  . Khi đó ,x y là nghiệm của hệ pt: ₂ ² ₂ ⁵ ⁰ ³ 25 4

x y x

x y y

− + = =

 

 + =  =

 .

Suy ra: z= +3 4i. Câu 36: Chọn C

( ) ( )( ) ( ) ( )

5 3 1 0 1

2 3 2 1 5 3 1 2 0 .

2 0 2

x y x

x yi i x y x y x y i

x y y

+ − =

  = −

+ + − + =  + − − + = − + =  = z= +x yi

( )

( ) (

²

)

²

(

²

)

²

( )

2

2 0 1

2 1

3 2 1 5 9 2

2 3 2 5 9

2 x y

z i z

x y m m

z i m m

+ + =

 + + = + 

 

 

− + + = − +

− + = − +

 

 

Oxy d x: + + =y 2 0

( )

^C ^I

(

^{3; 2}⁻

)

¹

(

² ⁵ ⁹

)

R= 2 m − m+

d

( )

^C

( )

^, ³ ¹

(

² ⁵ ⁹

)

² ⁵ ⁶ ⁰ ²

2 2 3

d I d m m m m m

m

 =

 = = − +  − + =   = ^{ =}^S

 

^2;3

S

(

^{3 4}⁺ ^{i z}

)

⁺²⁵ ⁼¹⁰^{ + −}^z ^{3 4}ⁱ ⁼²

 z ^I

(

⁻^{3; 4}

)

^R⁼²

z z+ +m 2i =5 ^J

(

^{− −}^m^{; 2}

)

5 R=

( ) (

^I^{; 2 ,} ^J^;5

)

( )

²

( )

²

3 IJ 7 9 m 3 36 49 m 3 13

     − +   − 

13 m 3 13 3 13 m 3 13

 −  −   −   + m   =m S



0;1; 2;3; 4;5; 6



 S

(16)

Gọi ^{M x y}

( )

^;

(

^{x y}^; ^

)

là điểm biểu diễn số phức z. Từ bài ra ta có:

2

3 6 x m

y m m

 = +

 = − −



( ) (

²

)

²

3 3

7 6

3 3 6

m x m x

y x x

 = −  = −

 

= − +

= − − − −

 



Vậy

( )

^P là một Parabol có phương trình:y=x²−7x+6.

Hoành độ giao điểm của

( )

^P và trục hoành là nghiệm của phương trình: ² 1

7 6 0

6 x x x

x

 =

− + =   = Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )

^P và trục hoành bằng:

6 2 1

7 6 125

S=



x − x+ dx= 6 ^. Câu 38: Chọn C

Gọi ^w^{= +}^x ^yi

(

^{x y}^, ^

)

Theo đề bài ta có:

(

¹ ⁸

) (

¹ ⁸

) (

¹ ⁸

) (

¹

) (

¹ ⁸

)

w= +i z+  − = +i w i i z − = +w i i z+ − +i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 8 1 8 1 1 1 8 1 8 1

w i i i z x y i i z

 − + + = + +  + + − + = + +

(

^x ¹

)

²

(

^y ¹ ⁸

)

² ¹²

( )

^{8 .2}²

(

^x ¹

)

²

(

^y ¹ ⁸

)

² ³⁶

 + + − + = +  + + − + =

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức^w^{= +}

(

¹ ⁱ ⁸

)

^z⁺ⁱ là một đường tròn có bán kính r=6.

Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn số phức z₁,z₂. Gọi E là trung điểm của AB.

Do z− +1 2i =5 nên A B, thuộc đường tròn tâm ^I

(

^{1; 2}⁻

)

, bán kính R=5. Gọi C là điểm biểu diễn số phức w ta có OC=OA OB+ −2OI =2OE−2OI =2IE.

2 2

2 2 2 25 16 6

w = IE= IB −EB = − = . Câu 40: Chọn C

Đặt z= +x yi x y( ,  )theo giả thiết ta có z− =z (x+yi) (− −x yi)=2yi và

( )

² ²

1 1 1 1

2 0 0

x yi x y

y y

 + −   − + 

 

   

 



.

(17)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức zlà nửa hình tròn tâm (1;0)I , R=1. Vì vậy

2

2 2. S R 

= =

Đặt z= +x yi x y( ,  ).

Ta có: z= +m (m³−m i)  + = +x yi m (m³−m i) x m₃

y m m

 =

  = −

y x3 x

 = − .

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường cong ( )C có dạng: y=x³−x. Phương trình hoành độ giao điểm: x³− =x 0

0 1 1 x x x

 =

 =

 = −



.

Diện tích phẳng giới hạn bởi đường cong ( )C và trục hoành:

0 1

3 3

1 0

1 1 1

( ) ( )

4 4 2

S x x dx x x

−

=



− −



− = + = Câu 42: Chọn C

Dễ thấy điểm ^I

( )

^{4; 4} là tâm của hai đường tròn.

Đường tròn nhỏ có phương trình là:

(

^x⁻⁴

) (

²⁺ ^y⁻⁴

)

² ⁼⁴^.

Đường tròn to có phương trình là:

(

^x⁻⁴

) (

²⁺ ^y⁻⁴

)

² ⁼¹⁶^.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn đề bài là 2 − −z 4 4i 4. Câu 43: Chọn B

Đặt z= +x yi, với x, y .

Ta có

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 . 1

2 2 2

1 ( 1)

x yi x y i

x yi

z x yi

z i x yi i x y i x y

+ + − +

   

+ = + + = + + =    

+ + + + + + +

(18)

( ) ( ) ( )( )

² ²

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 2 2

( 1) ( 1) ( 1)

x x y y x y xy i x y x y x y

x y x y x y i

+ + + − + + −  + + + + +

= = −

+ + + + + + .

Số phức z 2 z i +

+ là số thuần ảo

2 2

2 0

( 1)

x y x y

x y

+ + +

 =

+ +

( )

² ²

2 2 1 5

2 0 1

2 4

x y x y x y 

 + + + =  + + +  = . Vậy tâm 1; ¹ I− −2. Câu 44: Chọn D

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z− +3 5i =5 là đường tròn

( )

^C ^tâm^I

(

^{3; 5}⁻

)

^bán

kính R=5.

Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z z₁, ₂ suy ra M N, nằm trên đường tròn

( )

^C ^.

Gọi H là trung điểm của MN suy ra IH⊥MN

Do z₁−z₂ = 6 MN = 6 MH =NH = 3 IH = IM²−MH² =4.

( ) ( )

1 2 6 10 1 3 5 2 3 5 2 2 8.

= +z z − + i= − −z i +z − − i   = IM +IN = IH = IH = Câu 45: Chọn A

Gọi số phức z= +a bi,

(

^{a b}^, ^

)

^.

Ta có:

(

^z⁺²ⁱ

) ( )

^z⁺² ⁼^^a⁺

(

^b⁺²

) (

ⁱ^{ }  ^a⁺²

)

⁻^bi^ =^{a a}

(

+²

) (

+^{b b}+²

)

  +

(

^a+²

)(

^b+²

)

−^{ab i} .

(

^z⁺²ⁱ

) ( )

^z⁺² là số thuần ảo nên ^{a a}

(

⁺²

) (

⁺^{b b}⁺²

)

^{= }⁰

(

^a⁺¹

) (

² ⁺ ^b⁺¹

)

² ⁼²^.

Gọi số phức ^w^{= +}^x ^yi^,

(

^{x y}^, ^

)

^.

Ta có ^x⁺^yi^{= +}

(

¹ ^{i z}

)

⁺²⁰¹⁹⁻²⁰¹⁹ⁱ ^{= +}

(

¹ ⁱ

)(

^a⁺^bi

)

⁺²⁰¹⁹⁻²⁰¹⁹ⁱ

( )

2019 2019

x yi a b a b i

 + = − + + + − 2019

2019 x a b

y a b

= − +

  = + −

2

2.2019 2 x y a

y x b

 = +

  = − +



.

(19)

Khi đó

(

^a⁺¹

) (

²⁺ ^b⁺¹

)

² ⁼² ¹ ² ^2.2019 ¹ ² ²

2 2

x+y y− +x

   

 +  + +  =

2 2

4038 4042 8160789 0

x y x y

 + − + + = .

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có bán kính

2 2

2019 2021 8160789 2

R= + − = . <