Phát triển các câu VD - VDC đề tham khảo thi TN THPT 2022 môn Toán - TOANMATH.com

(1)

(2)

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD NĂM 2022

Câu 39. (ĐTK BGD 2022) Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn



⁴^x^^5.2^x^²^⁶⁴



^{2 log(4 )}^ ^x ^⁰^?

A. 22. B. 25. C. 23. D. 24.

Lời giải Chọn D

Điều kiện: 2 log(4 ) 0

0 25

4 0

x x

x

 

   

 

 Ta có:



²



2

2 log(4 ) 0(1)

4 5.2 64 2 log(4 ) 0

4 5.2 64 0(2)

x x



 

     

  



+ (1)log(4 )x 24x10² x25(tm)

+(2) 2² 20.2 64 0 ² ¹⁶ ⁴

2 4 2

x

x x

x

x x

   

       

. Kết hợp với điều kiện, ta có các giá trị Nguyên thỏa mãn trong trường hợp này là x

  

^{1; 2}  4;5;6;...; 25



.

Vậy có 24 số nguyênxthỏa mãn đề bài.

Bình luận thêm: Bất phương trình ở dạng tích, có cả mũ và logarit. Học sinh cần nhận biết và giải đủ các điều kiện. Phù hợp mức trên dưới 8 điểm cho học sinh khá.

Đề xuất cách xử lý bằng máy tính Casio:

Vào Chức năng Mode 8, nhập ^{f x}

 

là vế trái của bất phương trình.

Giá trị bắt đầu = 1; Giá trị kết thúc = 45; Bước = 1.

Quan sát cột ^{f x}

 

để đếm số nghiệm nguyên.

Đề xuất các giải bất phương trình bằng cách giải phương trình

Điều kiện: 2 log(4 ) 0

0 25

4 0

x x

x

 

   

 



(*0

Xét phương trình:



²



2

2 log(4 ) 0(1) 25

4 5.2 64 2 log(4 ) 0 2

4 5.2 64 0(2)

4

x x

x



 

 

 

          

(**) Từ (*) và (**) ta lập bảng xét dấu cho VT của bất phương trình.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn



⁴^x^^7.2^x^¹²



^{1 log}^ ^x^⁰^?

A.7. B. 8. C. 10. D. 9.

Câu 2. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình ^{8 .2}^x ¹^^x² ^

 

² ²^x^?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.



4^x5.2^x1



3 log 2 x0?

A. 7. B. 8. C. 9. D. 10.

(3)



⁹^x^^9.3^x^²^⁷²⁹



^{2 log 2}^

 

^x ^⁰^?

A. 52. B. 25. C. 50. D. 49.



⁴^x^^5.2^x^²^⁶⁴



^{2 log}^ ³^x^⁰^?

A. 5. B. 8. C. 10. D. 9.

Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình



4^x 65.2^x64



2 log 3



x3



0có tất cả bao nhiêu số nguyên?

A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số.

Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình ² 1 ¹

(3 9)(3 ) 3 1 0

27

x x x

    chứa bao nhiêu số nguyên ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 8. Bất phương trình



^x³^⁹^x



^ln



^x^⁵



^⁰ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 4. B. 7. C. 6. D. Vô số.

Câu 9. Cho bất phương trình



^log^x^^{1 4 log}



^ ^x



^⁰. Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn bất phương trình trên.

A. 10000. B. 10001. C. 9998. D. 9999 .

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình



³^x²^^x ^⁹



²^x² ^^m



^ ⁰^{có đúng}

5 nghiệm nguyên phân biệt?

A. 65021. B. 65024 C. 65022. D. 65023.



⁴^x^^65.2^x ^⁶⁴



^^{2 log}^ ³



^x^³



^^⁰có tất cả bao nhiêu số nguyên?

A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số

(3 9)(3 ) 3 1 0

27

x x x

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.



^x³^⁹^x



^ln



^x^⁵



A. 4. B. 7. C. 6. D. Vô số.



^log^x^^{1 4 log}



^ ^x



A. 10000. B. 10001. C. 9998. D. 9999 .

Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình



³^x^²^ ³

 

³^x^²^m



^⁰ khác rỗng và chứa không quá 9 số nguyên?

A. 3281. B. 3283. C. 3280. D. 3279.



³^x²^^x ^⁹



²^x² ^^m



A. 65021. B. 65024 C. 65022. D. 65023. Câu 17. (ĐTK2021) Có bao nhiêu số nguyên ^{a a}



^²



sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:



^a^log^x^²



^log^a ^^x^²

A. 8. B. 9. C. 1. D. Vô số.

Câu 18. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y}^;



^{thỏa mãn}²^{ }^x ²⁰²¹^và²^y^^log²



^x^²^y^¹



^²^x^^y^?

A. 2020 . B. 9. C. 2019 . D. 10 .



^{x y}^;



thỏa mãn 0 y2020và 3^x3x 6 9ylog₃ y³.

A. 2020 B. 9. C. 7. D. 8.

(4)

Câu 20. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y}^;



^với^x^ ²⁰²⁰^{thỏa mãn}

   

³

 

2 3xy 3 1 9 ^y log 2x1

A. 1010. B. 2020. C. 3. D. 4 .



^{a b}^;



thỏa mãn 1a100 và 2^a 3^b 2^a¹?

A. 163. B. 63. C. 37. D. 159.



^{a b}^;



^với¹^^a^{ }^b ¹⁰⁰ ^đểphương trình a^xlnbb^xlna có nghiệm nhỏ hơn 1?

A. 2. B. 4751. C. 4656 . D. 4750 .

Câu 23. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 4^{x y}^ 3^x²^^y²?

A. 3. B. 2 . C. 1. D. Vô số.



^{a b}^;



^{với 1}^^a^¹⁰⁰^{; 1}^{ }^b ¹⁰⁰ sao cho tồn tại đúng 2 số thực x thỏa mãn a ^x ¹ b ^x ¹

b a

 

   ?

A. 9704 . B. 9702 . C. 9698 . D. 9700 .



^{x y}^;



^thỏa ^mãn ¹^{ }^x ²⁰²⁰^, ^y^² ^và

 

2

log2 2^x

x  x xyx xyx 

A. 2021. B. 6 . C. 2020 . D. 11.



^{x y}^;



^{thỏa mãn}⁰^ ^y^ ²⁰²⁰^và 3

2 1

log 1 2 ?

x

y x

y

  

  

 

 

A. 2019. B. 11. C. 2020. D. 4.

Câu 27. (ĐTK2021) Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn



²^x^¹^ ²

 

²^x^^y



^⁰^?

A. 1024 . B. 2047 . C. 1022 . D. 1023 .

Câu 28. Có bao nhiêu cặp số nguyên thoả mãn 0 y2020 và 3^x3x 6 9ylog₃ y³?

A. 9. B. 7 . C. 8. D. 2019.

Câu 29. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thoả mãn 0 x 2020 và ³^x



^x^¹



^²⁷^y^y^.

A. 2020. B. 673. C. 672 . D. 2019.



^{x y}^;



_{thỏa mãn}₀_{ }_x ₂₀₂₀_vàlog2



2x2



 x 3y8^y

?

A. 2021. B. 2020 . C. 3. D. 4.

Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất P_max của biểu thức P 3x²y²2x y 1. Biết x,y thỏa mãn

2

2 2

log 2 4 4 0

1

x x

x y x y

y y

 

     

  .

A. P_max 12. B. P_max 13. C. P_max 14. D. P_max 10. Câu 32. Cho hai số thực x, y thỏa mãn



²



²

  

³ ² ²

 

²

3

log 8 16 log 5 1 2 log 5 4 log 2 8 .

3 x x

y y x x   y

 

        

Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức P x²y² m không vượt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?

A. 2047 . B. 16383 . C. 16384 . D. 32 .

Câu 33. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực ythỏa mãn ^log



^x^ ^y



^^log



^x² ^ ^y²



^?



^{x y}^;





^{x y}^;



(5)

A. 3. B. 2. C. 1. D. Vô số

Câu 34. Cho 0 x 2020 và log (2₂ x2)x3y 8^y. Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

A. 2019. B. 2018. C. 1. D. 4.

Câu 35. Xét các số thực dương x y, thỏa mãn ₃ 1

log 3 3 4

3

y xy x y

x xy

    

 . Tìm giá trị nhỏ nhất P_min

của P x y. A. _min ^{4 3} ⁴

P 3

 . B. _min ^{4 3} ⁴

P 3

 . C. _min ^{4 3} ⁴

P 9

 . D. _min ^{4 3} ⁴

P 9

 .

Câu 36. Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn ^log³



^x^²^y



^^log²



^x²^^y²



^?

A. 3. B. 2. C. 1. D. vô số.

Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực a b, 1 thỏa mãn

9 12 16

log log log 5b a

a b

c

   .

A. 4 . B. 5. C. 2. D. 3.



^{x y}^;



^{thỏa mãn}⁰^ ^y^²⁰²⁰^và 3

2 1

log 1 2 ?

x

y x

y

  

  

 

 

A. 2019. B. 11. C. 2020. D. 4.

Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số



^{x y}^;



thỏa mãn

3 5 3 1

e ^x^ ^ye^x^ ^y^  1 2x2y, đồng thời thỏa mãn log 33²



x2y1

 

 m6 log



3x m ² 9 0?

A. 6. B. 5. C. 8. D. 7.

Câu 40. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn log3



xy



log4



x²y²



A. 3 . B. 2. C. 1. D. Vô số.

Câu 41. Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số



^{x y}^;



thỏa mãn

 

2 2

2

log_x__y _2 4x4y 6 m 1 và x²y²2x4y 1 0. A. ^S ^{  }



^{5; 1;1; 5}



^. ^B.^S ^{ }



^1;1



^.

C. ^S^{ }



^5;5



^. ^D.S   



⁷ 5; 1;1; 5; 7



.

Câu 42. Có bao nhiêu cặp số nguyên ;x y thỏa mãn 0 x 2020 và log4



512x768



2x 1 2y16^y

?

A. 2019 B. 0 C. 2020 D. 1



^{x y}^;



^thỏa ^mãn: ² ²

2 2

2016 2017

2017

y x x

y

 

  ;

3 2

3log (x2y 6) 2log (x  y 2) 1

A. 2 B. 1

C. 3 D. 0

Câu 44. Xét các số thực x, y



^x^⁰



^{thỏa mãn}

 

3 1 1

3

2018 2018 1 2018 1 3

2018

x y xy xy

x y

x y x

   

        .

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x 2y. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^m



^0;1



^. ^B.^m



^1;2



^.

C. ^m



^2;3



^. ^D.^{m }



^1;0



^.

(6)

Câu 45. Có bao nhiêu số nguyên

x

sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

2 2

2

2^x^^y

 3

^{x y}^ ?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực

x

thỏa mãn log3



x2y



log2



x² y²



?

A. 3. B. 2. C. 1 . D. vô số.



^{x y}^,



^{thỏa mãn}^log ₃ ₂ ₂



³

 

³



^.

2

x y x x y y xy

x y xy

     

  

A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.

Câu 48. Cho 0x2020 và log (2₂ x2) x 3y8^y.Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

A. 2019. B. 2018. C. 1. D. 4.



^{x y}^;



^{thỏa mãn}3 27 3

y x y

x

   và 0 y 101.

A. 102 . B. 101. C. 34. D. 33.

Câu 50. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn



³^x² ^⁹^x



^^log³



^x^²⁵



^³^^⁰

A. 27. B. Vô số. C. 26 . D. 25 .



³^x² ^⁹^x

 

^{log (}² ^x^^{30) 5}^



^^{0 ?}

A. 30 . B. Vô số. C. 31. D. 29 .



²^x²^⁴^x



^^log²



^x^¹⁴



^⁴^^⁰?

A. 14. B. 13 . C. Vô số. D. 15 .



²^x²^⁴^x



^^log³



^x^²⁵



^³^^^{0 ?}

A. 24. B. Vô số. C. 25. D. 26.

Câu 54. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ^_^log²



^x²^¹



^^log²



^x^³¹



^_



^{32 2}^ ^x^¹



^⁰^?

A. 27 . B. Vô số. C. 26 . D. 28 .

Câu 55. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ^_^log³



^x²^¹



^^log³



^x^²¹



^_



^{16 2}^ ^x^¹



^^0?

A. 17. B. 18. C. 16. D. Vô số.

Câu 56. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn log (₂ x²1) log ( ₂ x21) (16 2^x^¹)0 ?

A. Vô số. B. 17 . C. 16. D. 18.

Câu 57. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ^_^log³



^x²^¹



^^log³



^x^²¹



^_



^{16 2}^ ^x^¹



^^0?

A. 17. B. 18. C. 16. D. Vô số.

(7)

HƯỚNG DẪN GIẢI



⁴^x^^7.2^x^¹²



^{1 log}^ ^x^⁰^?

A.7. B. 8. C. 10. D. 9.

Lời giải Chọn C

Điều kiện xác định: 1 log 0 0

x x

 



 

0 x 10

   . Bpt tương đương

 

²

4 7.2 12 0 2 7.2 12 0

1 log 0 10

x x x x

x x

       



   

  

2 3 log 32

2 4 2

10 10

x x

   

 

   

   



.

Kết hợp với điều kiện xác định ta được: 1

2 10

x x

 

  



. Vậy có 7 giá trị nguyên của x thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình ^{8 .2}^x ¹^^x² ^

 

² ²^x^?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn A

Bất phương trình ^{8 .2}^x ¹^^x² ^

 

² ²^x ^^{2 .2}³^x ¹^^x² ^²^x ^²³^x^{ }¹ ^x²^²^x

2 2

3x 1 x x x 2x 1 0 1 2 x 1 2

             . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^S^{ }



¹ ^2;1^ ²



^.

Suy ra các giá trị nguyên dương thuộc S là

 

^{1;2 .}



4^x5.2^x1



3 log 2 x0?

A.7. B. 8. C. 9. D. 10.

Lời giải Chọn A

Điều kiện xác định: 3 log² 0 0

x x

 



 

0 x 8

 

²

2

4 5.2 1 0 2 .52 1 0

3 log 0 8

x x x x

x x

       



 

  

  

2 1 0

2 4 2

8 8

x x

   

 

   

   



. Kết hợp với điều kiện xác định ta được: 2 x 8.

Vậy có 7 giá trị nguyên của x thoả mãn yêu cầu bài toán.



⁹^x^^9.3^x^²^⁷²⁹



^{2 log 2}^

 

^x ^⁰^?

A. 52. B. 25. C. 50. D. 49.

Điều kiện xác định: ^{2 log 2}

 

⁰

0 x x

 



 



0 x 50

   .

(8)

Bpt tương đương

 

²

9 9.3 2 729 0 3 90.2 729 0

2 log 2 0 2 100

x x x x

x x

 

      



 

  

 

 

3 9 2

3 81 4

50 50

x x

   

 

   

   



.

Kết hợp với điều kiện xác định ta được: 0 2

4 50

x x

 



  





4^x5.2^x^²64



2 log 3x0?

A. 5. B.8. C. 10. D. 9.

Lời giải Chọn B

Điều kiện xác định: 2 log3

 

0 0

x x

  



 



0 x 9

 

²

2

3

4 5.2 64 0 2 20.2 64 0

2 log 0 9

x x x x

x x

 

      



 

  

  

2 4 2

2 16 4

9 9

x x

   

 

   

   



.

Kết hợp với điều kiện xác định ta được: 0 2

4 9

x x

 



  





⁴^x ^^65.2^x^⁶⁴



^^{2 log}^ ³



^x^³



A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số.

Ta có:



⁴^x^^65.2^x ^⁶⁴



^^{2 log}^ ³



^x^³



^^⁰

 

3

1 2 64 0 6

4 65.2 64 0

6 6

2 log 3 0 6

2 64 6

3 0

4 65.2 64 0

2 1 0

2 log 3 0

3 6

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x x

     

      

      

    

             .



^{2; 1; 0; 6}



x   x .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình có 4 giá trị nguyên.

(3 9)(3 ) 3 1 0

27

x x x

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Điều kiện 3^x^¹ 1 03^x^¹ 1 x 1.

(9)

Với x 1, bất phương trình tương đương với ² 1

(3 9)(3 ) 0

27

x x

   ^.

Đặt t3^x 0, ta có ² 1

( 9)( ) 0

t  t27  1

( 3)( 3)( ) 0 t t t 27

    

3

1 3

27 t

t

  

 

  



. Kết

hợp điều kiện t 3^x 0 ta được nghiệm 1

27  t 3 1

3 3 3 1

27

x x

       . Kết hợp điều kiện x 1 ta được  1 x1 suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.

Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm nguyên.



^x³^⁹^x



^ln



^x^⁵



A. 4. B. 7. C. 6. D. Vô số.

Điều kiện: x 5.

Cho

   

 

3 3

3

9 0 0

9 ln 5 0

ln 5 0 3

4 x

x x x

x x

x

  

    

    

   

 

   .

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy

 

⁰ ⁴ ³

0 3

f x x

x

   

     . Vì x  x



4; 3;0;1; 2;3



.

Vậy có 6 giá trị nguyên của x thỏa bài toán.



^log^x^^{1 4 log}



^ ^x



A. 10000. B. 10001. C. 9998. D. 9999 . Lời giải

Chọn D



^log^x^^{1 4 log}



^ ^x



^^{0 1}

 

Điều kiện: x0.

Khi ấy

 

¹ ^{1 log} ⁴ ¹ ¹⁰⁰⁰⁰

   x 10x . Vì x nên x



1; 2; 3;...;9999



Vậy có tất cả 9999 số nguyên x thoả mãn bất phương trình trên.



³^x²^^x ^⁹



²^x² ^^m



A. 65021. B. 65024 C. 65022. D. 65023. Lời giải

Chọn B



³^x²^^x ^⁹



²^x² ^^m



^ ⁰

(10)

Th1: Xét ² ² 1

3 9 0 2

2

x x x

x x

x

   

       

là nghiệm của bất phương trình.

Th2: Xét ² ² 1

3 9 0 2

2

x x x

x x

x

   

        . Khi đó, (1)2^x² m x² log₂m (2)

Nếu m 1 thì vô nghiệm.

Nếu m 1 thì (2)  log₂m  x log₂m.

Do đó, có 5 nghiệm nguyên 

 

 ; 1

 

 2;

 

  log2m; log2m

  có 3 giá trị nguyên

 

log2m 3; 4 512m65536. Suy ra có 65024 giá trị m nguyên thỏa mãn.

Th3: Xét 3^x²^^x  9 0x² x2  1 x2. Vì



^^{1; 2}



chỉ có hai số nguyên nên không có giá trị m nào để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.

Vậy có tất cả 65024 giá trị m nguyên thỏa ycbt.



⁴^x^^65.2^x ^⁶⁴



^^{2 log}^ ³



^x^³



A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số

Ta có



4^x 65.2^x64



2 log 3



x3



0

 

3

1 2 64 0 6

4 65.2 64 0

6 6

2 log 3 0 6

2 64 6

3 0

4 65.2 64 0

2 1 0

2 log 3 0

3 6

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x x

     

      

      

    

             .



^{2; 1; 0; 6}



x   x .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình có 4 giá trị nguyên.

(3 9)(3 ) 3 1 0

27

x x x

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Điều kiện 3^x^¹ 1 03^x^¹ 1 x 1. Ta có x 1 là một nghiệm của bất phương trình.

Với x 1, bất phương trình tương đương với ² 1

(3 9)(3 ) 0

27

x x

   ^.

Đặt t3^x 0, ta có ² 1

( 9)( ) 0

t  t27  1

( 3)( 3)( ) 0 t t t 27

    

3

1 3

27 t

t

  

 

  



. Kết

hợp điều kiện t 3^x 0 ta được nghiệm 1

27  t 3 1

3 3 3 1

27

x x

       . Kết hợp điều kiện x 1 ta được  1 x1 suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm

(11)

Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm nguyên.



^x³^⁹^x



^ln



^x^⁵



A. 4. B. 7. C. 6. D. Vô số.

Điều kiện: x 5.

Cho

   

 

3 3

3

9 0 0

9 ln 5 0

ln 5 0 3

4 x

x x x

x x

x

  

    

    

 

 

 

   .

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy

 

⁰ ⁴ ³

0 3

f x x

x

   

     . Vì x  x



4; 3;0;1; 2;3



.

Vậy có 6 giá trị nguyên của x thỏa bài toán.



^log^x^^{1 4 log}



^ ^x



A. 10000. B. 10001. C. 9998. D. 9999 . Lời giải



^log^x^^{1 4 log}



^ ^x



^^{0 1}

 

Điều kiện: x0.

Khi ấy

 

¹ ^{1 log} ⁴ ¹ ¹⁰⁰⁰⁰

   x 10x . Vì x nên x



1; 2; 3;...;9999



Vậy có tất cả 9999 số nguyên x thoả mãn bất phương trình trên.

Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình



³^x^²^ ³

 

³^x^²^m



^⁰ khác rỗng và chứa không quá 9 số nguyên?

A. 3281. B. 3283. C. 3280. D. 3279.

Do m là số nguyên dương nên 2m >1 => log 2₃ m0.

1

2 2 2 3

3 3 0 3 3

2

x x

  x

      

3^x2m 0 xlog 23 m .

Lập bảng biến thiên, ta kết luận:tập nghiệm bất phương trình này là 3 ₃

;log 2

2 m

 

 

 

Suy ra, log 2₃ 8 2 3⁸ ⁶⁵⁶¹ 3280.5

m  m m 2  =>



³^x²^^x ^⁹



²^x² ^^m



A. 65021. B. 65024 C. 65022. D. 65023.

(12)



³^x²^^x ^⁹



²^x² ^^m



^ ⁰

Th1: Xét ² ² 1

3 9 0 2

2

x x x

x x

x

   

       

là nghiệm của bất phương trình.

Th2: Xét ² ² 1

3 9 0 2

2

x x x

x x

x

   

        . Khi đó, (1)2^x² m x² log₂m(2)

Nếu m 1 thì vô nghiệm.

Nếu m 1 thì (2)  log₂m  x log₂m.

Do đó, có 5 nghiệm nguyên ^

 

^{ }^{; 1}

 

^ ^2;^

 

^{ }^_ ^log²^m^{; log}²^m^_ có 3 giá trị nguyên

 

log2m 3; 4 512m65536. Suy ra có 65024 giá trị m nguyên thỏa mãn.

Th3: Xét 3^x²^^x  9 0 x² x2  1 x2. Vì



^^{1; 2}



chỉ có hai số nguyên nên không có giá trị m nào để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.

Vậy có tất cả 65024 giá trị m nguyên thỏa ycbt.

Câu 17. (ĐTK2021) Có bao nhiêu số nguyên ^{a a}



^²



sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:



^a^log^x^²



^log^a ^^x^²

A. 8. B. 9. C. 1. D. Vô số.

Lời giải:

Chọn A

Điều kiện: x2. Đặt mloga0

Khi đó phương trình trở thành:



^x^m^²



^m ^{ }^x ²^.

Đặt yx^m2, y2 thì ta có hệ phương trình

 

2 1 2 2

m m

y x x y

  



 



Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được

 

3

m m

y yx x

Xét hàm ^{f t}

 

^^t^m^^t^với^m^^0;^t^⁰^có ^f ^'

 

^t ^^{m t}^.^m^¹^{ }^{1 0, t}^{ }⁰

 

^m

f t t t

   đồng biến



^0;^



^.

Do đó

 

³ ^ ^y^^x

m 2 x x

  

 

.log log 2

m x x

  

 

log 2

log 1 m x

x

   

log 1 10.

a a

 

Do đó, mọi số a



2;3; 4;...;9



đều thỏa mãn.



^{x y}^;



^{thỏa mãn}²^{ }^x ²⁰²¹^và²^y^^log²



^x^²^y^¹



^²^x^^y^?

(13)

Đặt ^log²



^x^²^y^¹



^^t^{. Suy ra}^x^²^y^¹^²^t^,^x^²^t^²^y^¹^.

Phương trình đã cho trở thành: ²^y^{ }^t ^{2 2}



^t^²^y^¹



^^y^^2.2^y^^y^^2.2^t^^t^.

Xét hàm số ^{g x}

 

^^2.2^x^^x^có g x

 

2.2 ln 2 1 0,^x   x nên hàm số ^y^^{g x}

 

luôn đồng biến.

Khi đó 2.2^yy2.2^t  t yt hay ^y^^log²



^x^²^y^¹



^.

Suy ra x2^y^¹2^y  x2^y2^y^¹2^y^¹.

Mà 2 x 2021 nên 22^y^¹2021 1 y 1 log 2021₂ hay 2 y



log 20212



1. Lại có y là số nguyên nên ^y^



^2,3,...,11



tức 10 giá trị thỏa mãn.

Xét biểu thức x2^y^¹, mỗi giá trị nguyên của y cho tương ứng 1 giá trị nguyên của x nên có 10 cặp số nguyên



^{x y}^,



thỏa mãn yêu cầu đề bài.



^{x y}^;



thỏa mãn 0 y2020và 3^x3x 6 9ylog₃ y³.

A. 2020 B. 9. C. 7. D. 8.

Ta có:

   

^{2 log}³

 

3

3 3 3

3^x3x69ylog y 3^x3 x2 9y3 log y3^x3 x2 3^ ^y 3 log y * . Xét hàm số: ^{f t}

 

^³^t ^³



^t^²



^.

Ta có: ^f^

 

^t ^^{3 .ln 3 3}^t ^{ }^0,^{ }^t ^. Suy ra hàm số ^y^ ^{f t}

 

đồng biến trên . Khi đó:

 

*  f x

 

 f



2 log 3 y



 x2 log 3 y y3^x^².

Do 0 y2020 và x y, nguyên nên:

 

2

13^x^ 20202x2 log 2020 3  x 2;3; 4; 5; 6; 7;8 .

Ứng với mỗi giá trị x có một giá trị của y nên có 7 cặp số



^{x y}^;



nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 20. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y}^;



^với^x^ ²⁰²⁰^{thỏa mãn}

   

³

 

2 3xy 3 1 9 ^y log 2x1

A. 1010. B. 2020. C. 3. D. 4 .

Đặt log 23



x1



 t 2x3^t 1, ta được ^{3 3}



^t^¹



^²^y^^{3 1 3}



^ ²^y



^{ }^t ^3.3^t^{ }^t ^3.3²^y^²^y

(*).

Xét hàm số f u

 

^3.3^u u f u

 

3.3 ln 3 1 0,^u    u ^ ^{f u}

 

đồng biến trên . Do đó (*) t 2y, vậy nên 2x3²^y 1 9^y2x1.

Vì x20209^y4039 ylog 4039₉ . Vì y nguyên dương nên ^y^



^{1; 2;3}



. Ta thấy với mỗi giá trị nguyên của y thì tìm được 1 giá trị nguyên của x. Vậy có 3 cặp



^{x y}^;



thỏa mãn.



^{a b}^;



thỏa mãn 1a100 và 2^a 3^b 2^a¹?

A. 163. B. 63. C. 37. D. 159.

(14)

Ta có 2â 3^b 2â^¹log 23 â  b log 23 â^¹alog 23  b



a1 log 2



3 .

Với

 

3 3

log 2 1 log 2 a a

a

 

   

 



 

.

Do đó với mỗi a



1; 2;3;...;100



thì sẽ có 



a1 log 2



3 



alog 23



số nguyên b thỏa mãn.

Vậy theo qui tắc cộng có tất cả ¹⁰⁰

  

³



³

 

1

1 log 2 log 2 63

a

a a



  

 

 



cặp số nguyên thỏa mãn.

Chú ý: giữa hai số thực x y (không nguyên) sẽ có tất cả

   

^x ^ ^y số nguyên.



^{a b}^;



^với¹^^a^{ }^b ¹⁰⁰ ^đểphương trình a^xlnbb^xlna có nghiệm nhỏ hơn 1?

A. 2. B. 4751. C. 4656 . D. 4750 .

Ta có ln ln

ln ln log

ln ln

x

x x

a b

a a a

a b b a x

b b b

   

       

   .

Với ¹ ^a ^b ¹⁰⁰ ^a



^0;1



   b do đó ln ln ln ln

log 1

ln ln

a b

a a a a b

b b b a b

 

    

 

  .

Hàm số ^{g x}

 

^ln^x

 x có

 

2

 

1 lnx 0

g x g x

x

      , ^{ }^x



^{0; e}



^và^{g x}^

 

^⁰^,^{ }^x



^e;^



^.

 

²

 

⁴ ^{ln 2}

g  g  2 .

Vì vậy ln 3 ln 4 ln 2 ln 5 ln 98 ln 99 3  4  2  5 ... 98  99 .

Trường hợp 1: a  ² b



5; 6;...;99



trường hợp này có 95 cặp số thỏa mãn.

Trường hợp 2: ^a^{  }³ ^b



^4;5;...;99



Trường hợp 3: a  ⁴ b



5; 6;...;99



Trường hợp 4: với mỗi ^a^{ }^k



^{5; 6;...98}



^thì^b^



^k^^1;...;99



^có⁹⁹^^k cách chọn b, trường hợp này có tất cả

 

98

5

99k 4465



cặp số thỏa mãn.

Vậy có tất cả 95 96 95 4465   4751 cặp số thỏa mãn.

Câu 23. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 4^{x y}^ 3^x²^^y²?

A. 3. B. 2 . C. 1. D. Vô số.

Đặt 4^{x y}^ 3^x²^^y² t, t0 ₂ ₂ ⁴

3

log log

x y t

 

 

 



.

Vì

 

²



² ²



²⁴ ³ 2² ²

ln ln 2 ln 4

2 log 2 log 2 0 ln

ln 4 ln 3 ln 3

t t

xy  x y  t t    t .

Suy ra

 

2 2

2 2 2