30 câu Số phức Vận dụng cao có lời giải chi tiết ôn thi THPTQG năm 2021.

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 1

TINH HOA DẠNG TOÁN SỐ PHỨC 2020 – PHẦN 1

Câu 1: Cho

z

₁,

z

₂ là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z− − =5 3i 5, đồng thời z₁−z₂ =8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

w z = +

₁

z

₂ trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình

A.

(

^x−10

) (

^{2+ y−6}

)

^{2 =36. B.}

(

^x−10

) (

^{2+ y−6}

)

^{2 =16 .}

C.

2 2

5 3

2 2 9

x y

 −  + −  =

   

    . D.

2 2

5 3 9

2 2 4

x y

 −  + −  =

   

    .

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và ₂ 2 w z

= z

+ là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức M = + −z 1 i là

A. 2. B. 2 2 . C. 2 . D. 8 .

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z+ − + − + =1 i z 3 i 6. Tìm giá trị lớn nhất của P= − +z 4 4i . A. 53 . B. 7, 8 . C. 2 265. D. 8,8.

Câu 4. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2z i

P z

= + , với z là số phức khác 0và

thỏa mãn z 2. Tính tỷ số ^M m . A. M 3

m = . B. ⁴

3 M

m = . C. M 2

m = . D. ⁵

3 M

m = .

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn z+ + − =z z z 4. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P= − −z 2 2i . Đặt A=M+m. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ^A_{ }^{4;3 3}

)

^{. B. A}

(

^{34 ;6}

)

^{. C. A}

(

^{2 7 ; 33}

)

^{. D. A}

(

^{6; 42}

)

^.

Câu 6. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z+ + − =z z z z² và z =m.

A.



^{2; 2 2 .}



^{B. }_^{2; 2 2}_^{. C.}

 

^{2 . D.}

(

^{2; 2 2 .}

)

Câu 7. Cho số phức z có 1

z =2 và số phức w thỏa mãn 1 1 1 z+w = z w

+ . Tính mô đun của số phức w.

A. 3. B. 2 . C. 1

2 . D. 1

3. Câu 8. Biết số phức z ^{a b}i

c c

= − − (với a, b, c là những số tự nhiên khác 0 và a b,

c c là các phân số tối giản) thỏa mãn ^{(1 3 ) 2}

1 iz i z

i z

− + =

+ . Khi đó giá trị của a là:

A. 26 . B. 9 . C. 90 . D. 45 .

Câu 9. Cho số phức z thoả mãn z− − + − −1 i z 3 2i = 5. Giá trị lớn nhất của z+2i bằng

A. 10 . B. 5. C. 10 . D. 2 10 .

Câu 10. Cho hai số phức z, w thay đổi thỏa mãn z =3, z− =w 1. Biết tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là hình phẳng H. Tính diện tích S của hình H.

A. S=20. B. S=12. C. S=4. D. S=16.

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 2 Câu 11. Có bao nhiêu số số thực a, biết rằng phương trình z⁴+az²+ =1 0 có bốn nghiệm z₁, z₂,

z3, z₄ thỏa mãn

(

^z12+4

)(

^z22+4

)(

^z32+4

)(

^z42+4

)

^=441?

A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.

Câu 12. Cho số phức zthỏa mãn z 2. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i

T z

= + thì tổng M+m là:

A.2. B.4. C.1. D.3.

Câu 13. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ^{z−12 + −z z i+}

( )

^{z+z i2019 =1?}

A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.

Câu 14. Giả sửz z₁, ₂là hai trong các số phức thỏa mãn

(

^{z−6 8}

) ( )

^+zi là số thực. Biết rằng z₁−z₂ =4, giá trị nhỏ nhất của z₁+3z₂ bằng

A. 5− 21. B. 20 4 21− . C. 20 4 22− . D. 5− 22.

Câu 15. Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn z₁− − −z₂ 9 12i =3 và z₁− −3 20i = −7 z₂ . Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P= z₁+2z₂+ −12 15i . Khi đó giá trị M²−m² bằng

A. 220. B. 223.

C. 224. D. 225.

Câu 16. Gọi S là tập hợp các số thực m để phương trình z²+3z+m²−2m=0 có một nghiệm phức z₀ với z₀ =2. Tổng tất cả các phần tử trong S là

A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.

Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, gọi

( )

^H là phần hình phẳng chứa điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

16 z và ¹⁶

z đều có phần thực và phần ảo thuộc đoạn

 

0; 1 . Biết diện tích của

( )

^{H là} S= −a b

(

^{a b, }

)

^{. Tính P}= +^{a b}.

A. P=224. B. P=160. C. P=320. D. P=256.

Câu 18. Gọi A B C, , lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z z z, ², ³

(

z

)

. Có bao nhiêu số phức z để ABC vuông.

A. 1. B.Vô số. C. 2 . D. 4 .

Câu 19. Cho ba số phức z z₁, ₂,z₃ đôi một khác nhau thỏa mãn z₁ z₂ z₃ a.

Đặt S z₁ z z_{2 2} z₃ z₂ z z_{3 3} z₁ z₃ z z_{1 1} z₂ . Giá trị nhỏ nhất của S là

A. a². B. 4a². C. 9a². D. ^{9 2}

4a .

Câu 20. Cho số phức z= +1 i. Biết rằng tồn tại các số phứcz₁ = +a 5 ,i z₂ =b (trong đó ,a b ,b1) thỏa mãn bằng 3 z−z₁ = 3 z−z₂ = z₁−z₂ . Tính b a− .

A. b− =a 5 3. B. b− =a 2 3. C. b− =a 4 3. D. b− =a 3 3.

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 3 Câu 21. Cho số phức ^{z= +a bi a b}

(

^{, }

)

và thỏa mãn z− −4 3i = 5. Tính P= +a b khi

1 3 1

z+ − + − +i z i đạt giá trị lớn nhất.

A. P=10. B. P=4. C. P=6. D. P=8.

Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn z =2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= − +z 4 2 z− +3 2i . A. P=4 2. B. P= 2. C. P=2 5. D. P= 3.

Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn 4z+3i = 4z− +4 5i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3

P= + + −z i z i .

A. minP=2 2. B. minP=2 5. C. minP=5 2. D. minP= 5. Câu 24. Cho số phức z= +a bi

(

^{a b, }

)

thoả mãn: z− + + =4 z 4 10 và z−6 lớn nhất. Tính

S= +a b.

A. S= −3. B. S= −5. C. S=5. D. S=11.

Câu 25. Xét số phức z= +a bi a b, ( ,  ,b0 ) thỏa mãn z =1. Tính P=2a+4b² khi z³− +z 2 đạt giá trị lớn nhất.

A. P=4. B. P= −2 2. C. P=2. D. P= +2 2. Câu 26. Cho hai số phức z₁ và z₂ thoả mãn z₁ =3, z₂ =4, z₁−z₂ = 41. Xét số phức

¹

( )

1

, , z z a bi a b

= z = +  . Khi đó b bằng:

A. 3

8 . B. 3 3

8 . C. 2

4 . D. 5

4 . Câu 27. Cho số phức z= +x yi,

(

^{x y, }

)

^{thỏa mãn z3 =18+26i. Tính T =}

(

^z−2

) (

^{2+ −4 z}

)

²

A. 4 . B. 2. C. 0 . D. 1. Câu 28. Cho số phức z _{thỏa mãn} ^{z. 3 4 +}_

(

^{i z}

)

^{− +  −4 3i}_ ^{5 2 0=} . Giá trị của z là

A. z =2. B. z= 2. C. z =2 2. D. z =1. Câu 29. Cho các số phức z₁, z₂, z thỏa mãn z₁− − =4 5i z₂− =1 1 và z+4i = − +z 8 4i . Tính z₁−z₂ khi biểu thức P= −z z₁ + −z z₂ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 2 5. B. 41 . C. 8. D. 6.

Câu 30. Cho ba số phức z₁, z₂, z₃ thỏa mãn z₁ = z₂ = z₃ =1 và z₁+ z₂+ =z₃ 0. Tính giá trị biểu thức

2 2 2

1 2 3

= + + K z z z .

A. K =2. B. K = −1. C. K=0. D. K =1.

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 4 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Cho z₁, z₂ là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z− −5 3i =5, đồng thời z₁−z₂ =8. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w= +z₁ z₂ trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình

A.

(

^x−10

) (

^{2+ y−6}

)

^{2 =36. B.}

(

^x−10

) (

^{2+ y−6}

)

^{2 =16 .}

C.

2 2

5 3

2 2 9

x y

 −  + −  =

   

    . D.

2 2

5 3 9

2 2 4

x y

 −  + −  =

   

    .

Lời giải Chọn A

( )

, ,

z= +x yi x y ^{z− −5 3i = 5}

(

^x−5

) (

^{2+ y−3}

)

^{2 =25}

( )

^{C .}

Gọi A, B là các điểm biểu diễn của z₁, z₂. Khi đó A, B thuộc đường tròn

( )

^{C tâm I}

( )

^5;3

bán kính R=5 và AB= z₁−z₂ =8.

Gọi H là trung điểm của AB IH = 3 tập hợp H là đường tròn

( )

C1 tâm ^I

( )

^{5;3 bán}

kính R₁=3 .

M là tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w= +z₁ z₂ OM =OA OB+ =2OH .

 Tập hợp M là đường tròn ảnh của

( )

C1 qua phép vị tự tâm ^O

( )

^{0; 0 tỉ số k}=² .

(_O;2)

( )

1 2 1 6

V C =CR= R = .

(_O;2)

(

10; 6

)

V I = I I .

 phương trình

(

^x−10

) (

^{2+ y−6}

)

^{2 =36 .}

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và ₂ 2 w z

= z

+ là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức M = + −z 1 i là

A. 2. B. 2 2 . C. 2 . D. 8 .

Lời giải Chọn B

Cách 1

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 5

Do ₂

2 w z

= z

+ là số thực  =w w

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 . 2 . 2 . 2 0

2 2

z z

z z z z z z z z z z z z z z z

z z

 =  + = +  − = −  − − =

+ +

2 2

 z = (vì zkhông là số thực nên z− z 0) z = 2 Gọi z= + − z 1 i z = z− + =1 i 2

Gọi ^{M x y}

(

^;

)

là điểm biểu diễn của số phức. ^

(

^x−1

) (

^{2+ y+1}

)

^{2 =2}

 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ^{I =}

(

^{1; 1−}

)

, bán kính R= 2 Vậy Max z =Max z+ − =1 i OI+ =R 2 2.

Cách 2

Do ₂

2 w z

= z

+ là số thực w w

 =

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2

2 2 . 2 . 2 . 2 0

2 2

z z

z z z z z z z z z z z z z z z

z z

 =  + = +  − = −  − − =

+ +

2 2

 z = (vì zkhông là số thực nên z− z 0) z = 2 Ta có z − +  + − =1 i z 1 i 2+ 2=2 2M 2 2. Cách 3

Gọi ^{P x y}

(

^;

)

biểu diễn cho số phức ^{z= +x yi}

(

^{x y, }

)

Do ^{z= +x yi}

(

^{x y, }

)

không là số thực nên y0

Do ₂

2 w z

= z

+ là số thực. Gọi ₂ ^{1 . 2 2}

( )

2

z a z z a

z = a = + 

+

( ) ( )

²

2 2 2

2 2 2 2

. 2 2 2 2

2 0 2 0

2 0 2

a z z a x yi x yi ax ayi x y xyi

x y ax x y ax

xy ay a x

= +  + = + +  + = − + +

 − + − =  − + − =

 − =  =

2 2 2 2

2 0 2

x y x y

 − − + =  + =

 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R= 2. Gọi ^{N = −}

(

^1;1

)

^{. Ta có z+ − =1 i PN Max z+ − =1 i ON+ =R 2 2.}

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 6 Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z+ − + − + =1 i z 3 i 6. Tìm giá trị lớn nhất của P= − +z 4 4i .

A. 53 . B. ^{7, 8} . C. 2 265. D. 8,8. Lời giải

Chọn B

Đặt ⁰ 1.

4 2 z z

= i+

− − Khi đó:

0 0

0 0

1 3 6 2 2 6 10 10 12 5

4 2 4 2

z z

z i z i i i z z

i i

+ − + − + =  + − + − + =  − + + =

− − − − .

Nên với ^{M x y}

( )

^; biểu diễn cho số phúc z₀. ^M

( )

^E nhận 2 tiêu điểm ^A

(

^−10;0

)

^{, B}

(

^10;0

)

^đó

độ dài trục lớn : 2a 12 5=  =a 6 5, tiêu cự :AB=2c=20 =c 10, b=4 5. Phương trình của

( )

( ) ( )

2 2

2 2

: 1

6 5 4 5

x y

E + = .

0 0 20 10 0 20 10

4 4 1 4 4

4 2 4 2 2 5

z i

z z i

P z i i

i i

+ − + −

= − + = + − + = =

− − − −

Gọi ^C

(

^−20;10

)

là điểm biểu diễn số phức − +20 10i

2 5 P MC

 =

Vậy MC_max thì MCphải cắt trục lớn của

( )

^{E và cắt}

( )

^{E tại đểm M}

(

^{6 5;0}

)

max 34,88 max 7,8

MC P

   

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 7 Câu 4. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2z i

P z

= + , với z là số phức khác 0và

thỏa mãn z 2. Tính tỷ số ^M m . A. M 3

m = . B. ⁴

3 M

m = . C. M 2

m = . D. ⁵

3 M

m = . Lời giải

Chọn D Ta có:

2 2

2 1 5

2 2

z i z i

z i

P z z z z

+ +

= + =  = +  . Dấu bằng xảy ra khi z=2i. Suy ra ⁵

M =2. 2 2

2 1 3

2 2

z i z i

z i

P z z z z

+ −

= + =  = −  . Dấu bằng xảy ra khi z= −2i. Suy ra ³ m= 2.

Vậy ⁵

3 M

m = .

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn z+ + − =z z z 4. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P= − −z 2 2i . Đặt A=M+m. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ^A_{ }^{4;3 3}

)

^{. B. A}

(

^{34 ;6}

)

^{. C. A}

(

^{2 7 ; 33}

)

^{. D. A}

(

^{6; 42}

)

^.

Lời giải Chọn B

Giả sử ^{z= +x yi x y}

(

^{, }

)

, có điểm biểu diễn ^{K x y}

( )

^{; .}

Ta có z+ + − =  + + −z z z 4 x yi x yi + + − +x yi x yi =4  +x y =2. Suy ra K thuộc hình vuông ABDC.

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 8 2 2

P= − −z i là khoảng cách từ ^I

( )

^{2;2 đến K.}

Từ hình vẽ, ta thấy minP=IH = 2, maxP=IC=ID=2 5. Vậy ^{A=M+ =m 2 5+ 2}

(

^34;6

)

^.

Câu 6. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để có đúng 4 số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z+ + − =z z z z² và z =m.

A.



^{2; 2 2 .}



^{B. }_^{2; 2 2}_^{. C.}

 

^{2 . D.}

(

^{2; 2 2 .}

)

Lời giải Chọn A

Gọi z = +x yi

(

^{x y,}

)

^.

Từ điều kiện đề bài ta có:

2

2 2 2

2x 2yi z

x y m

 + =



+ =

 

( )

( )

2

2 2 2

2 1 2 x y m

x y m

 + =



 + =



Phương trình

( )

¹ là phương trình của hình vuông có tâm là gốc tọa độ và độ dài cạnh là

2 2

2 m , Phương trình

( )

2 là phương trình của đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính là m. Số số phức cần tìm chính là số giao điểm của hình vuông và đường tròn.

Để có đúng 4 số phức thỏa mãn thì phải xảy ra hai trường hợp sau:

TH1: Hình vuông nội tiếp đường tròn như hình vẽ.

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 9 Yêu cầu bài toán

2

2 2

m m m

 =  = (dễ thấy m0) TH2: Hình tròn nội tiếp hình vuông.

Yêu cầu bài toán

2

2 2 m m

 =  =m 2 2. Vậy ^m



^{2;2 2}



^.

Câu 7. Cho số phức z có 1

z =2 và số phức w thỏa mãn 1 1 1 z+w = z w

+ . Tính mô đun của số phức w.

A. 3. B. 2 . C. 1

2 . D. 1

3. Lời giải

Chọn C

Ta có 1 1 1 z +w= z w

+ , điều kiện w0.

1 1 1

z +w= z w

+ 

(

^{z w+}

)

^{2 =z w.  z2+z w w. + 2 =0  z 2 z 1 0}

w w

  + + =

   (vì w0)

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 10



1 3

2 2

1 3

2 2

z i

w

z i

w

 = − +



 = − −





1 3

2 2 1

1 3

2 2 1

z i

w

z i

w

 = − + =



 = − − =



 1

w = z = 2.

Câu 8. Biết số phức z ^{a b}i c c

= − − (với a, b, c là những số tự nhiên khác 0 và a b,

c c là các phân số tối giản) thỏa mãn ^{(1 3 ) 2}

1 iz i z

i z

− + =

+ . Khi đó giá trị của a là:

A. 26 . B. 9 . C. 90 . D. 45 .

Lời giải Chọn D

Đặt , a 0, b 0

z x yi x y

c c

= + = −  = −  . Ta có

(1 3 ) 2

1 iz i z

i z

− + =

+

( )

^{(1 3 )}

( )

^{(1 )}

(

^{2 2}

)

i x yi i x yi i x y

 + − + − = + +

( )

2 2 2 2

3 3 i

xi y x yi x − y=x y x y i

 − − + − + + +

2 2

2 2

4 2

x y x y

x y x y

− − = +

 − + = + ²

5 0

9 26 x y

y y

− =

 − =

45 26.

9 26 x

y

 = −

 

 = −



Suy ra a=45,b=9, c=26 thỏa mãn.

Câu 9. Cho số phức z thoả mãn z− − + − −1 i z 3 2i = 5. Giá trị lớn nhất của z+2i bằng

A. 10 . B. 5. C. 10 . D. 2 10 .

Lời giải Chọn B

Gọi z= +x yi,

(

^{x y, }

)

^{có điểm M x y}

( )

^; biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có: z− − + − −1 i z 3 2i = 5

(

^{x 1}

) (

^{2 y 1}

)

²

(

^{x 3}

) (

^{2 y 2}

)

^{2 5}

( )

¹

 − + − + − + − = .

Đặt ^A

( )

^{1;1 , B}

( )

^{3; 2 thì từ}

( )

^{1 ta có: AM+BM = 5 2}

( )

^.

Mặt khác ^AB=

( )

^{2;1 AB= 5 3}

( )

^.

Nên từ

( )

^{2 và}

( )

^{3 suy ra M} thuộc đoạn thẳng AB.

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 11

Ta lại có: ^{z+2i = x2+}

(

^y+2

)

^{2 =MC, với C}

(

^{0; 2−}

)

^.

Nhận xét rằng CAB là góc tù (hoặc quan sát hình vẽ) ta có z+2i_max =CB=5.

Câu 10. Cho hai số phức z, w thay đổi thỏa mãn z =3, z− =w 1. Biết tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là hình phẳng H. Tính diện tích S của hình H.

A. S=20. B. S=12. C. S=4. D. S=16. Lời giải

Chọn B

Gọi M,N lần lượt là các điểm biểu diễn z và w trong mặt phẳng Oxy. Từ giả thiết z =3, z− =w 1 suy ra OM =3 và MN=1.

Ta có OM−MNONOM+MN  2 ON4. Do w =ON  N thuộc hình vành khăn

H là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn bán kính lần lượt là r =2, R=4.

2 2

SH R r

 = − =.4²−.2² =12 .

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 12

Câu 11. Có bao nhiêu số số thực a, biết rằng phương trình z⁴+az²+ =1 0 có bốn nghiệm z₁, z₂, z₃, z₄ thỏa mãn

(

^z12+4

)(

^z22+4

)(

^z32+4

)(

^z42+4

)

^=441?

A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải

Đặt ^{f z}

( )

^{=z4+az2+ =1}

(

^z−z₁

)(

^z−z₂

)(

^z−z₃

)(

^z−z₄

)

^.

Ta có

(

¹²

)(

²²

)(

³²

)(

⁴²

)

^{4 2}

( )

²

1

4 4 4 4 _i 2

i

M z z z z z i

=

 

= + + + + =



 − 

(

1 2

)(

2 2

)(

3 2

)(

4 2

) (

1 2

)(

2 2

)(

3 2

)(

4 2

)

M = z − i z − i z − i z − i    z + i z + i z + i z + i 

( ) ( )

^{2 . 2}

M = f i f − i .

Mà ^f

( ) ( )

^{2i = 2i 4+a}

( )

^{2i 2+ =1 17 4− a; f}

( ) ( )

^{−2i = −2i 4+ −a}

( )

^{2i 2+ =1 17 4− a.}

Suy ra

(

^{17 4}

)

^{2 441} 19¹ 2 . a

M a

a

 = −

= − = 

 =

Câu 12. Cho số phức zthỏa mãn z 2. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i

T z

= + thì tổng M+m là:

A.2. B.4. C.1. D.3.

Lời giải Chọn A

Cách 1:

Ta có 1 i

T = + z và ^{1 1} 2 z  .

Áp dụng tính chất z₁ − z₂  z₁+z₂  z₁ + z₂

Dấu = thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi

1 1

2 1

0 0

0, , z

z

k k z kz

 =

 

    =



Dấu = thứ hai xảy ra khi và chỉ khi

1 1

2 1

0 0

0, , z

z

k k z kz

 =

 

    =



Ta có 1 1

1 i 1 i 1 1

T T

z z z z

−   +  −   + .

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 13

Kết hợp với ^{1 1} 2

z  ta được 1 ¹ 1 ^{1 1 3}

2 T 2 2 T 2

−   +    .

ax

3

m 2

T = khi

0, .1 1

2 2

k k

i k k

z z

 

 =  =

 

 

 =

. Khi đó z=2i.

min

1 T = 2khi

0, .1 1

2 2

k k

i k k

z z

 

 =  = −

 

 

 =

. Khi đó z= −2i.

Vậy ^{3 1} 2

2 2 M + = + =m . Cách 2:

Biến đổi 1 1

z i 1 i

T i i

z z z z

= + = + = − = − .

Đặt w ¹

= z, khi đó

( ) ( )

1 1 2

2 w

T w i

 

 = −



(1) Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà hình tròn tâm ^O

( )

^{0; 0} , bán kính ¹

R= 2 (trừ tâm O)

(2): Đặt ^A

( )

^{0;1 , khi đó T =MA với M} là điểm biểu diễn cho số phức w.

Từ hình vẽ dễ thấy

min 1

1

T = AM = 2khi ^{1 1} 2

w 2i z i

=  = w= −

max 2

3

T =AM = 2khi ^{1 1} 2

w 2i z i

= −  = w=

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 14

Vậy ^{3 1} 2

2 2 M + = + =m .

Câu 13. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ^{z−12 + −z z i+}

( )

^{z+z i2019 =1?}

A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải Chọn D

Giả sử z= +a bi,

(

^{a b, }

)

 = −z a bi. Ta có: z− = − +1 a 1 bi, z− =z 2bi, z+ =z 2a.

( )

¹⁰⁰⁹

2019 2

i = i i ^{= −}

( )

^{11009i= −i.}

Do đó ^{z−12 + −z z i+}

( )

^{z+z i2019 =1}

( (a−1)2 +b2)2 + ( )2b 2.i+2a( )− =i 1

(

^{a 1}

)

^{2 b2 2b i 2ai 1}

 − + + − =

(

¹

)

^{2 2 1}

2 2 0

a b

b a

 − + =

 

− =



2 2

2 0

a a b

a b

 − + =

 

 =

2b2 2b 0 a b

 − =

 

 =

0 1 b b a b

 =

 =

 =



0 0 1 1 1 1.

a b a b a b

  =

  =

  =

   =

 =

 = −

 Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 14. Giả sửz z₁, ₂là hai trong các số phức thỏa mãn

(

^{z−6 8}

) ( )

^+zi là số thực. Biết rằng z₁−z₂ =4, giá trị nhỏ nhất của z₁+3z₂ bằng

A. 5− 21. B. 20 4 21− . C. 20 4 22− . D. 5− 22. Lời giải

Chọn C

Giả sửz = +x yi, x y,  .Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z z₁, ₂. Suy ra

1 2 4

AB= z −z = .

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 15

* Ta có

(

^{z−6 8}

) ( )

^{+zi =}

(

^{x− +6}

)

^{yi } ^{. 8}

(

^−y

)

^−xi ⁼

(

^8x+6y−48

)

⁻

(

^{x2+y2−6x−8y i}

)

^.

Theo giả thiết

(

^{z−6 8}

) ( )

^+zi là số thực nên ta suy ra x²+y²−6x−8y=0. Tức là các điểm ,

A B thuộc đường tròn

( )

^{C tâm I}

( )

^{3; 4} , bán kính R=5.

* Xét điểm M thuộc đoạn ABthỏa MA+3MB= 0 OA+3OB=4OM. Gọi H là trung điểm AB.

Ta có 2

HA HB AB2

= = = và ³ 3

MA=4AB= HM =MA HA− =1.

Từ đó HI² =R²−HB² =21, IM = HI²+HM² = 22, suy ra điểm M thuộc đường tròn

( )

^{C tâm I}

( )

^{3; 4} , bán kính r= 22.

* Ta có z₁+3z₂ = OA+3OB = 4OM =4OM, do đó z₁+3z₂ nhỏ nhất khi OMnhỏ nhất.

Ta có OM_min =OM₀ = OI− = −r 5 22.

Vậy _{1 2 0}

3 min 4 20 4 22

z + z = OM = − .

Câu 15. Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn z₁− − −z₂ 9 12i =3 và z₁− −3 20i = −7 z₂ . Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P= z₁+2z₂+ −12 15i . Khi đó giá trị M²−m² bằng

A. 220. B. 223.

C. 224. D. 225.

Lời giải Chọn D

Đặt w= − −z₁ 9 12i ²

2

w 3

w 6 8 7.

z

i z

 − =

 

+ − + =



Gọi A B, lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức w và z₂. Khi đó ta có 3 7 AB

AM OB

 =

 + =

 với điểm ^M

(

^−6;8

)

^.

10

AB AM OB OM

 + + = = . Suy ra A B, thuộc đoạn OM.

Suy ra ^{OA=xOM = −}

(

^{6 ;8x x}

)

^{và OB= yOM = −}

(

^{6 ;8y y}

)

^{với x y,}

 

^{0;1 .}

Đặt

2

w 6 8

6 8

x xi

z y yi

= − +

 = − +

 với ^{x y,}

 

^{0;1 .}

Khi đó P= − +6x 8xi−12y+16yi+21 3− i .

Hay ^P=

(

^{− −6x 12y+21}

) (

^{2+ 8x+16y−3}

)

^{2 . Đặt t= +x 2 ,y t}

 

^{0;3 .}

Khi đó P= 100t²−300t+450.

Khảo sát hàm số ^f

( )

^{t =100t2−3 00 t+450} trên đoạn

 

0;3 ta được

 

( ) ( )

0;3 0

max f t = f 0 =45 ,

 

( )

0;3 3 5

min f t = f    2 =22 .

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 16

Từ đó suy ra M = 450 ,m=15. Vậy M²−m² =225.

Câu 16. Gọi S là tập hợp các số thực m để phương trình z²+3z+m²−2m=0 có một nghiệm phức z₀ với z₀ =2. Tổng tất cả các phần tử trong S là

A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.

Lời giải

Chọn C

Cách 1

TH1: z₀ là số thực z z

z

 =

=   = −

0 0

0

2 2

2

( )

m m VN

m m m

 − + =

  − − =  = 

2 2

2 10 0

2 2 0 1 3

TH2: z₀ không phải là số thực ^{  = −9 4}

(

^m2−2m

)

^{ 0 m2−2m9 ( )1}

4

Vì phương trình ^z2+3^z+m2−2^m=0

( )

^* có các hệ số thực và ^z0 là nghiệm của

( )

^{* nên z}0

cũng là nghiệm của

( )

^{* .}

Theo Viet ta có z z₀. ₀ =m²−2m =4 z₀ ² =m² −2m (thỏa (1))

m m m

 ² −2 − =  = 4 0 1 5 Vậy tổng các phần tử của S bằng 4.

Cách 2

Gọi ^z₀ ^{= +a bi a b}

(

^{, }

)

^.

(1) z₀ = 2 a²+b² =4

z₀ là nghiệm của phương trình z² +3z+m²−2m=0 

(

^{a bi+}

)

^{2 +3}

(

^{a bi+}

)

^{+m2 −2m=0}

( ) (2)

(3)

a b a m m

a b a m m ab b i

ab b

 − + + − =

 − + + − + + =   + =

2 2 2

2 2 2 3 2 0

3 2 2 3 0

2 3 0

Ta có ( ) b a

 =



 = −

 0

3 3

2

Với b=0. Từ ( )1 a² =  = 4 a 2.

^b=0^{,a= }2

( )

2 ^{m2 −}2^m+10 0⁼ (vô nghiệm) ^b=0^{,a= − }2

( )

2 ^m2−2^{m− = }2 0 ^{m= }1 3

Với ^a= − 3

( )

^b2 = 7

( )

^m2− ^m− = ^m= 

1 2 2 4 0 1 5

2 4

Vậy tổng các phần tử của S bằng ₄.

Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, gọi

( )

^H là phần hình phẳng chứa điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

16 z và ¹⁶

z đều có phần thực và phần ảo thuộc đoạn

 

0; 1 . Biết diện tích của

( )

^{H là S= −a b}

(

^{a b, }

)

^{. Tính P= +a b.}

A. P=224. B. P=160. C. P=320. D. P=256. Lời giải

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 17

Chọn A

Gọi ^{M x y}

(

^;

)

là điểm biểu diễn số phức ^{z= +x yi x y}

(

^{, }

)

^.

Khi đó:

16 16 16

z x y

= + i, ^{16 16} ₂¹⁶ _{2 2}¹⁶ ₂ .

z x y

z = z z = x y + x y i

+ + .

Điều kiện:

2 2 2 2

0 , 1

16 16

16 16

0 , 1

x y

x y

x y x y

  



  

+ +



2 2

2 2

0 , 16 16 0 16 0 x y

x y x

x y y

 



 + − 

 + − 



( )

( )

2 2

2 2

0 , 16

8 64

8 64

x y

x y

x y

  

 − + 

 + − 



.

Suy ra

( )

^H là một phần của hình vuông giới hạn bởi các đường x=0,y=0,x=16,y=16 trừ các điểm nằm trong các hình tròn tâm ^I

( )

^{8;0 và tâm K}

( )

^0;8 cùng có bán kính bằng 8 ( xem hình)

Diện tích của

( )

^{H là 162 1} _{( )} ¹ _{( )}

4 ^I 4 ^{K OITK}

S= − S + S +S 

2 1 2 2

16 .8 8 192 32

2 

 

= − + = −

  .

Suy ra a=192, b=32 và P= + =a b 224.

Câu 18. Gọi A B C, , lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z z z, ², ³

(

z

)

. Có bao nhiêu số phức z để ABC vuông.

A. 1. B.Vô số. C. 2 . D. 4 .

Lời giải Chọn B

Ta có: AB= z² −z = z . z−1, AC = z³ −z = z . z−1 . z+1 ,

3 2 2

. 1

BC = z −z = z z−

Đặt a = z b, = −z 1 , c= +z 1 , a b c, , 0

Giả sử tam giác vuông tại A ta có AB² +AC² = BC² a b^{2 2} +a b c^{2 2 2} =a b^{4 2}  +1 c² =a²

2 2 2 2 2 2

1+ +z 1 = z  +2 x +2x+ y = x + y  = −x 1 (trong đó ^{z= +x yi x y}

(

^{, }

)

⁾

Thử lại ta có z= − +1 yi, z² = −1 y²−2yi, ^{z3 = − +}

(

^{1 3y2}

) (

^{+ 3y−y i3}

)

Khi đó ^AB=

(

^{2−y2; 3− y}

)

^{, AC=}

(

^{3y2; 2y−y3}

)

^{suy ra AB AB. =0.}

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 18

Vậy đến đây có thể kết luận có vô số số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường thẳng x= −1 thỏa mãn. (loại điểm A

(

−1; 0

)

do c0)

Câu 19. Cho ba số phức z z₁, ₂,z₃ đôi một khác nhau thỏa mãn z₁ z₂ z₃ a.

Đặt S z₁ z z_{2 2} z₃ z₂ z z_{3 3} z₁ z₃ z z_{1 1} z₂ . Giá trị nhỏ nhất của S là

A. a². B. 4a². C. 9a². D. ^{9 2}

4a . Lời giải

Chọn C

Gọi A B C, , lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z z₁, ,_{2 3}.

Có z₁ z₂ z₃ a nên tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R=a. Cách 1:

. . . 4 2 sin sin sin sin sin sin

S AB BC BC CA CAAB R C A A B B C ^=2R

(

^cos

(

^C−A

)

^{−cos C}

(

^+A

)

^{+cos A B( − )−cos A B}

(

⁺

)

^{+cos B C( − )−cos B C}

(

⁺

) )

2R²(3 cos+ B+cosC+cos )A .

Lại có: cos cos cos cos 2 cos cos

2 2

B C B C

A+ B+ C= A+ + −

2

1 1 2 3

2 sin cos cos 1

2 2 2 2 2 2

A B C− B C−

 

= −  −  + +  .

2 2 2

1 2 2 3 3 1

2 3 3 9 ; 9

S a  2 a S a A B C z z z z z z

   + = =  = =  − = − = − . Cách 2:

2 2 2

. . .

S AB BC BC CA CAAB AB BC CA .

Đặt AOB=2 , BOC=2 , COA=2, ta có 0  , , 180 ,⁰   + + =180⁰ . Áp dụng định lý cosin trong tam giác, ta có:

2 2 2 6 2 2 2 cos2 cos2 cos2

AB BC CA a a .

cos2 cos2 cos2 2 cos2 1 2 cos cos

( )

^{2 2}

( )

1 1 3

2 cos cos cos 1

2 2 2

    

   

=  − −  − − +  −

x y

O A

B

C

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 19

Dấu "=" xảy ra

( )

0

cos 1

1 60

cos 2

 

  



− =



  = = =

 =

Vậy giá trị lớn nhất của S là 6 ² 2 ².³ 9 ² a + a 2= a .

Câu 20. Cho số phức z= +1 i. Biết rằng tồn tại các số phứcz₁ = +a 5 ,i z₂ =b (trong đó ,a b ,b1) thỏa mãn bằng 3 z−z₁ = 3 z−z₂ = z₁−z₂ . Tính b a− .

A. b− =a 5 3. B. b− =a 2 3. C. b− =a 4 3. D. b− =a 3 3. Lời giải

Chọn D

Gọi ^M

( ) ( ) ( ) (

^{1;1 ,N a;5 ,P b; 0 b1}

)

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z, ₁, z₂. Theo đề bài ta có: 3 z−z₁ = 3 z−z₂ = z₁−z₂  3.MN = 3.MP=NP

3

MN MP

NP MN

 =

  =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) )

2 2 2 2

2 2 2 2

1 4 1 1

5 3 1 4

a b

b a a

 − + = − + −

 

− + − = − +



Đặt ^{x= −a 1,y= −b 1}

(

^y0

)

hệ phương trình trở thành:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

16 1 15 15 1

3 16 25 2 2. 23 7 30 8 0 2

x y x y x y

x x y x xy y x xy y

 + = +  − = −  − = −

   

  

+ = − +  + − = −  + + =

 



( )

^{2 72}

4

x y

x y

 = −



 = −



thay vào

( )

1 ta thấy chỉ có ²

x= −7y là thỏa mãn. Khi đó

2 49 7

3 3

y =  =y ^{2 2}

(

¹

) (

¹

)

^{3 3}

7 3

x y b a y x y x

 = − = −  − = + − + = − = .

Câu 21 . Cho số phức ^{z= +a bi a b}

(

^{, }

)

và thỏa mãn z− −4 3i = 5. Tính P= +a b khi

1 3 1

z+ − + − +i z i đạt giá trị lớn nhất.

A. P=10. B. P=4. C. P=6. D. P=8. Lời giải

Chọn A

Tinh hoa VDC Số phức năm 2020. Trang 20

+) Gọi ^{M a b}

( )

^; là điểm biểu diễn số phức ^{z= +a bi a b}

(

^{, }

)

^.

+) Có: ^{z− −4 3i = 5}

(

^a−4

) (

^{2+ −b 3}

)

^{2 =5M}

( ) (

^{C : x−4}

) (

^{2+ y−3}

)

^{2 =5.}

+) Gọi ^A

(

^−1;3

)

là điểm biểu diễn số phức z₁= +4 3i và ^B

(

^{1; 1−}

)

là điểm biểu diễn số phức

2 1

z = −i. Gọi ^I