75 Bài tập cực trị của số phức và bài toán hình học ôn thi THPTQG năm 2022

(1)

CỰC TRỊ SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC

Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z−₁−i|+|z+₁+3i| = ₆√

5. Giá trị lớn nhất của

|z−2−3i|là A 5√

5. B 2√

5. C 6√

5. D 4√

5.

Hướng dẫn giải

Ta có|z−1−i|+|z+1+3i| =6√

5 ⇔ MA+MB =6√

5với M(x;y) biểu diễn số phứcz =x+yi,A(1; 1)biểu diễn số phức1+i,B(−1;−3) biểu diễn số phức−₁−3i.

Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6√

5và A, Blà hai tiêu điểm.

A B

C I M⁰

M

• |z−2−3i| = MCvớiC(2; 3)biểu diễn số phức2+3i.

• # »

AB= (−2;−4) ⇒ AB=2√ 5.

• # »

AC = (1; 2)⇒ AC =√ 5.

• Vì # »

AB=−2# »

ACnên # »

AB, # »

ACngược hướng và AB=2AC.

GọiM⁰ là điểm nằm trên elip sao choA,B, M⁰thẳng hàng và M⁰khác phía Aso vớiB.

Ta cóBM⁰ = ⁶

√5−AB

2 =₂√

5.

Ta thấyMC ≤ M⁰Cvới mọi điểmMnằm trên elip.

Do đóMClớn nhất khi và chỉ khi M≡ M⁰. Khi đóMC = M⁰C =CA+AB+BM⁰ =√

5+₂√

5=₅√ 5.

Chọn đáp án A

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn |z+1|+|z−3−4i| = 10. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P =|z−1+2i|bằng

A Pmin=√

17. B Pmin=√

34. C Pmin =2√

10. D Pmin =

√34 2 . Hướng dẫn giải

Đặtz =x+yi, điểm biểu diễn củazlà M(x;y).

Khi đó|z+1|+|z−3−4i| =10⇔ MA+MB=10với A(−1; 0)vàB(3; 4).

Suy ra Mthuộc elip có độ dài trục lớn là10 ⇒2a=10⇒ a=5và hai tiêu điểm là A, B.

Mà # »

AB= (4; 4)⇒ AB=4√

2⇒2c =4√

2⇒c =2√ 2.

Ta có

P = |z−1+2i|

= q

(x−1)²+ (y−2)² = MH

(2)

VớiH(1; 2). Dễ thấyA, B, Hthẳng hàng nên Hthuộc đoạnAB.

Do đóPmin ⇔ MHngắn nhất khi và chỉ khiMthuộc trục nhỏ của elip.

Khi đó độ dàiMHbằng một nửa trục nhỏ hay MH =b =√

a²−c² =√ 17.

Chọn đáp án A

Câu 3. Cho các số phức z,w thỏa mãn |z−5+3i| = 3,|iw+4+2i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcT =|3iz+2w|.

A √

554+5. B √

578+13. C √

578+5. D √

554+13.

O I

A 9 4 B

Ta có|z−5+3i|=3⇔

3iz−15i−9 3i

=3 ⇔ |3iz−9−15i| =9.

|iw+4+2i|=2⇔

−i

2 (−2w−4+8i)

=2⇔ | −2w−4+8i| =4.

Gọi A và B là điểm biểu diễn của 3iz và−2w, khi đó A và B lần lượt thuộc các đường tròn tâm O(9; 15)bán kính bằng9và đường tròn I(4;−8)bán kính bằng4. Ta tính đượcOI =√

554.

Khi đóT=|3iz+2w| =|3iz−(−2w)|= AB.

DoIO=√

554>4+9nên hai đường tròn ngoài nhau, suy raABmax =AO+OI+IB =√

554+13.

Chọn đáp án D

Câu 4. Xét số phứczthỏa mãn|iz−2i−2| − |z+1−3i| =√

34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =|(1+i)z+2i|.

A Pmin= √⁹

17. B Pmin=₃√

2. C Pmin =₄√

2. D Pmin =√

26.

Giả sử số phứczcó dạngz=a+bi,zcó biểu diễn hình học là điểmM(a;b). Khi đó

|iz−_2i−₂| − |z+1−_3i|=√

34⇔^q(b+2)²+ (a−₂)²−^q(a+1)²+ (b−₃)² =√

34. (1) Gọi điểm A(_2;−₂), B(−_{1; 3}) khi đó ta có AB =√

34. Kết hợp với (1) ta suy ra MA−MB= AB.⇒ ĐiểmMtrùng với điểmBhoặcBlà trung điểm của MA. Ta xét hai trường hợp sau:

• TH1: Mtrùng B⇒M(−1; 3). Suy ra P =

q

(a−b)²+ (a+b+2)²=√

32=4√ 2.

• TH2:Blà trung điểm của MA⇒M(−_{4; 8}). Suy ra P=

q

(a−b)²+ (a+b+₂)² =√

180=₆√ 5.

(3)

Suy ra,minP =4√ 2.

Chọn đáp án C

Câu 5. Cho số phứczthỏa mãn

z−2i z+3−i

=1. Giá trị nhỏ nhất của|z+3−2i|bằng A 2√

10

5 . B 2√

10. C √

10. D

Gọiz =x+yivới x,y ∈ _R.

z−2i z+3−i

=₁⇔ |z−2i|=|z+₃−i| ⇔ |x+ (y−₂)i|=|(x+₃) + (y−₁)i| ⇔ 3x+y+₃=0.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phứczlà đường thẳngd: 3x+_y+₃=0.

Ta có|z+3−2i|=|z−(−3+2i)|, với M0(−3; 2).

|z+3−2i|đạt giá trị nhỏ nhất bằngd(M₀,d) = | −9+2+3|

√9+1 = √⁴ 10 = ²

√10 5 .

Chọn đáp án A

Câu 6. Cho các số phức z, w thỏa mãn |z| = √

5, w = (4−3i)z+1−2i. Giá trị nhỏ nhất của |w| là

A 3√

5. B 4√

5. C 5√

5. D 6√

5.

Theo giả thiết ta ców= (₄−3i)z+₁−2i ⇒z= ^w−1+2i 4−3i . Nên|z| =√

5 ⇔

w−1+2i 4−3i

=√

5 ⇔ |w−1+2i| =5√ 5.

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phứcwlà đường trònI(1;−2)và bán kínhR =5√ 5.

Ta cóOI =^p₁²+ (−₂)² =√ 5 <R.

Do đómin|w| =R−OI =5√ 5−√

5=4√ 5.

Chọn đáp án B

Câu 7. Cho số phứczthỏa mãn|z−3+4i|=2. Mô-đun lớn nhất củazbằng

A 7. B 8. C 5. D 3.

Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phứczthỏa|z−3+4i| =2là đường tròn có tâm I(3;−4)và bán kính bằngR=2. Suy ramax|z| =IO+R=7.

Chọn đáp án A

Câu 8. Cho số phức zthỏa mãn |z−2−3i|+|z−5+2i| = √

34. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức|z+₁+2i|. Khi đó tổng M+mbằng

A 30

√34 +√

34. B 30

√34 +5. C √

34+6. D 30

√34 +6.

(4)

Đặtz =x+yivới x,y∈ _R.

GọiI(x;y)là điểm biểu diễn của số phứcz.

Ta có A(_{2; 3}),B(_5;−₂), C(−_1;−₂) lần lượt là điểm biểu diễn của số phứcz1 = 2+3i, z2 = 5−2i, z3 = −1−2i. Khi đó AB = √

34 và

|z+1+2i| =CI.

Theo đề bài thìAI+BI =√

34= ABnên I thuộc đoạn thẳngAB.

Phương trình của đường thẳngABlà5x+3y−19=0.

x y

O

A

B C

I

CI đạt giá trị nhỏ nhất khiCI ⊥ABhayCI =d(C,AB) = |5·(−1) +3·(−2)−19|

√5²+3² = √³⁰ 34. CI đạt giá trị lớn nhất nhất khi Itrùng với điểm đầu mút của đoạn thẳng AB.

Mặt khácCA =√

34vàCB =6.

Vậy giá trị lớn nhất củaCIlà6.

Do đóM =6, m= √³⁰ 34. Vì vậyM+m= √³⁰

34+6.

Chọn đáp án D

Câu 9. Cho các số phứcz₁vàz2thỏa mãn các điều kiện|z₁−i|=|z₁−1+i|và|z2−1| =|z2+2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP=|z₁−z₂|+|z₁−3|+|z₂−3|?

A P_min= ⁴

√3

2 . B P_min= ⁴

√2

3 . C P_min =4√

3. D P_min =4√ 2.

GọiM, Nlần lượt là điểm biểu diễn của các số phứcz1= a+bi,z2 =c+di(a,b,c,d ∈_R). Ta có

• |z1−i|=|z1−1+i| ⇔ a²+ (b−1)² = (a−1)²+ (b+1)²⇔2a−4b−1=0.

⇒ Mdi động trên đường thẳngd₁: 2x−4y−1=0.

• |_z₂−₁| =|_z₂+2i| ⇔(c−₁)²+d² =c²+ (d+2)² ⇔_2c+4d+3=0.

⇒ Ndi động trên đường thẳngd2: 2x+4y+3=0.

Ta cóP=|z₁−z₂|+|z₁−3|+|z₂−3|=^p(a−c)²+ (b−d)²+^p(a−3)²+b²+^p(c−3)²+d² = MN+MA+N Avới A(_{3; 0}).

(5)

A₂

A₁

A

H1

H₂

M N

d1

d₂

GọiA1đối xứng với Aqua đường thẳngd1; A2đối xứng với Aqua đường thẳngd2, ta có MN+MA+N A= MN+MA1+N A2 ≥ A1A2.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bốn điểmM, N, A₁, A₂thẳng hàng.

Gọi∆1 là đường thẳng đi qua điểm Avà vuông góc với d1, ta có phương trình đường thẳng ∆1 là 2x+y−6=0.

GọiH₁ =_∆₁∩d₁ ⇒tọa độ điểm H₁là nghiệm của hệ phương trình







2x−4y−1=0 2x+y−₆=₀

⇔





 x= ⁵

2 y =₁

⇒ H₁ 5

2; 1

⇒ A₁(2; 2).

Gọi∆2 là đường thẳng đi qua điểm Avà vuông góc với d₂, ta có phương trình đường thẳng ∆2 là 2x−_y−₆=0.

GọiH2=_∆₂∩d2⇒tọa độ điểmH2là nghiệm của hệ phương trình







2x+4y+3=0 2x−y−6=0

⇔







x = ²¹ 10 y=−⁹

5

⇒ H2

21 10;−⁹

5

⇒ A2

6 5;−¹⁸

5

. VậyP_min= A₁A2 =

s 6

5 −2 2

+

−¹⁸ 5 −2

2

=4√ 2.

Chọn đáp án D

Câu 10. Cho các số phứcw,zthỏa mãn |w+i| = ³

√5

5 và5w = (2+i)(z−4). Giá trị lớn nhất của biểu thứcP=|z−1−2i|+|z−5−2i|bằng

A 4√

13. B 4+₂√

13. C 2√

53. D 6√

7.

Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có:

|5w+5i| =3√

5⇔ |(2+i)(z−4) +5i| =3√ 5⇔

z−4+ ⁵ⁱ 2+i

= ³

√5

|2+i| ⇔ |z−3+2i|=3.

(6)

Gọi M(a;b) là điểm biểu diễn số phức z, suy ra M thuộc đường tròn (T) tâm I(3;−2) bán kính R =3.

GọiA(_{1; 2})_,B(_{5; 2})vàE(_{3; 2})là trung điểm củaAB. Ta cóP =MA+MB.

Khi đóP² = (MA+MB)² 62(MA²+MB²) =4ME²+AB². Nhận thấy E nằm ngoài đường tròn (T), gọi D là giao điểm của tia đối của tia IE và đường tròn(T)suy ra ME 6 ED, với mọi M thuộc(T).

Mặt khác ta có: # »

AB = (4; 0), # »

IE = (0; 4) ⇒ AB ⊥ IE ⇒ DE = R+IE=₃+₄=7.

⇒P²64ME²+AB²64DE²+AB² =4·49+16=212.

⇒P 62√

53, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M≡ D.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức làPmax =₂√ 53.

x y

I

A E B

D

O 1 3 5

−₂ 2

Chọn đáp án C

Câu 11. Có bao nhiêu số phứczthoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: |z−10+2i| = |z+2−14i| và|z−1−10i| =5?

A Vô số. B Một. C Không. D Hai.

GọiM(x;y)là điểm biểu diễn của số phứcz. Từ điều kiện ban đầu ta có hệ phương trình





 q

(x−10)²+ (y+2)² = q

(x+2)²+ (y−14)² q

(x−1)²+ (y−10)² =5

⇔







3x−4y+₁₂=₀

(x−1)²+ (y−10)² =25.

Để ý đường thẳng3x−_4y+₁₂ = ₀tiếp xúc với đường tròn (_x−₁)²+ (_y−₁₀)² = 25, nên hệ trên chỉ có một cặp nghiệm(x;y), suy ra chỉ có một số phức thỏa yêu cầu đề bài.

Chọn đáp án B

Câu 12. Cho số phứczthoả điều kiện|z+2| =|z+2i|.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=|z−1−2i|+|z−3−4i|+|z−5−6i|

được viết dưới dạng

a+b√ 17

/√

2vớia, blà các hữu tỉ. Giá trị củaa+blà

A 3. B 2. C 7. D 4.

(7)

O x y

−1 1 2 3 4 5 6

A

B

C

M

A⁰ M⁰

Cách 1

• ĐặtE(−2; 0), F(0;−2), A(1, 2), B(3, 4),C(5, 6), M(x,y)biểu diễn cho số phứcz.

• Từ giả thiết, ta cóMthuộc đường trung trực∆: y= xcủa đoạn EFvàP =AM+BM+CM.

• Ta chứng minh điểmMchính là hình chiếu vuông góc củaBlên đường thẳng∆.

– Với M⁰tuỳ ý thuộc∆, M⁰khác M. GọiA⁰là điểm đối xứng của Aqua∆. Nhận thấy rằng ba điểm A⁰, M,Cthẳng hàng.

– Ta có AM⁰+BM⁰+CM⁰ = A⁰M⁰+BM⁰+CM⁰.MàA⁰M⁰+CM⁰ >A⁰C= A⁰M+CM = AM+CM.Lại cóBM⁰ >BM. Do đó AM⁰+BM⁰+CM⁰ > AM+BM+CM.

Cách 2.

• Gọiz= x+yi,(x, y ∈_R). Từ giả thiết|z+2|=|z+2i|, dẫn đếny=x. Khi đóz =x+xi.

• P =^p(x−1)²+ (x−2)²+^p(x−3)²+ (x−4)²+^p(x−5)²+ (x−6)².

• Sử dụng bất đẳng thức

pa²+b²+^pc²+d² >

q

(a+c)²+ (b+d)². Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a

c = ^b

d. Ta có q

(x−1)²+ (x−2)²+ q

(x−5)²+ (x−6)² = q

(x−1)²+ (x−2)²+ q

(5−x)²+ (6−x)²

>

q

(x−1+6−x)²+ (x−2+5−x)²

>√ 34.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x−1

6−_x = ^x−2

5−_x ⇔ x= ⁷ 2.

(8)

• Mặt khác q

(x−₃)²+ (x−₄)² =^p2x²−14x+₂₅=√ 2

s

x−⁷ 2

2

+¹ 4 > √¹

2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix = ⁷

2.

• Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất củaPlà 1+2√

√ 17

2 . Khi đóa+b=3.

Chọn đáp án A

Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z−1+2i| = √

5. Khi đó số phức w = z+1+i có môđun lớn nhất|w|_maxbằng

A |_w|_max =20. B |_w|_max =2√

5. C |_w|_max =√

5. D |_w|_max =5√ 2.

Hướng dẫn giải Ta có|z−1+2i| =√

5⇔ |w−2+i| =√

5>|w| − |2−i| =|w| −√

5⇒ |w| 62√

5, dấu”=”xảy ra khiw =4−2i. Vậy|_w|_max =2√

5.

Chọn đáp án B

Câu 14. Cho hai số phức z₁, z2 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện|z−1| = √

34và|z+1+mi| =

|z+m+2i|trong đóm∈ _{R, sao cho}|z₁−z₂|lớn nhất. Khi đó giá trị của|z₁+z₂|bằng A √

2. B √

130. C 2. D 10.

Đặtz= x+yi,x,y ∈_R.|z−₁| =√

34suy ra biểu diễn củazthuộc đường tron tâmI(_{1; 0}), bán kính

√34, |z+1+mi| = |z+m+2i| ⇔ (2m−2)x+ (4−2m)y+3 = 0 (d) nên biểu diễn của zthuộc đường thẳngd, dễ thấydluôn đi điểmK

−³ 2;−³

2

cố định.

x y

I K M

N

Biểu diễn củaz1,z2là giao điểm của đường tròn tâm Ivà đường thẳngd, dễ thấy |z1−z2|lớn nhất khidđi qua I, khi đóz₁=−4−3i,z2=6+3ivà|z₁+z2| =2.

Chọn đáp án C

(9)

Câu 15. Cho số phứczthỏa mãn|2z−3−4i|=10. GọiMvàmlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của|z|. Khi đóM−mbằng

A 5. B 15. C 10. D 20.

Giả sử số phứcz= x+iyvới x,y∈ _Rvà điểmM(x;y)là điểm biểu diễn số phứcz.

Khi đó

|2z−3−4i| =10⇔ |2(x+yi)−3−4i|=10⇔ |(2x−3) + (2y−4)i| =10 suy ra

(2x−3)²+ (2y−4)²=100⇔

x−³ 2

2

+ (y−2)² =25.

Do đó tập hợp điểmMthuộc đường tròn(C)có tâm I 3

2; 2

và bán kínhR =5.

Mà|z| =OM, ở đóOlà gốc tọa độ. DoOI = s

3 2

2

+2²= ⁵

2 suy raOnằm trong đường tròn(C). Do đómax|z| =OI+I M= ⁵

2+5= ¹⁵

2 vàmin|z| = I M−OI =5−⁵ 2 = ⁵

2. Vậy M−m = ¹⁵

2 −⁵ 2 =5.

Chọn đáp án A

Câu 16. Xét số phức z thoả mãn |z+1−i|+|z−3+i| = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =|z+1+4i|.

A 3. B 2+√

2. C 5. D 5−√

2.

Ta nhận thấy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn

|z+₁−i|+|z−₃+i| = ₆chính là đường elíp(E) có độ dài trục lớn bằng2a=6, trục nhỏ bằng2b =4vớiA(−1; 1)vàB(3;−1)là hai đỉnh trên trục lớn.

Xét điểm I(−_{1; 4}) nằm ngoài elíp(E)và I nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Ta có P = |z+1+4i| = MI với mọi điểm M ∈ (E). Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất củaPbằngd(I,AB)−b =₅−₂ =3.

A B

I

M

O

Chọn đáp án A

Câu 17. Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M,M⁰; số phứcz(4+3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N,N⁰. Biết rằng M,M⁰,N,N⁰là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của|z+4i−5|.

A 1

√2. B 2

√5. C 5

√34. D 4

√13. Hướng dẫn giải

(10)

Đặt z = a+bi. Khi đó z(4+3i) = 4a−3b + (3a+4b)i và M(a;b);M⁰(a;−b),N(4a−3b; 3a+4b),N⁰(4a−3b;−3a−4b).

# »

MN = (3a−3b; 3a+3b).

Theo tính chất đối xứng thì MNN⁰M⁰ là hình thang cân. Do đó đểMNN⁰M⁰là hình chữ nhật thì # »

MNcùng phương với trụcOx hay3a+3b=₀⇔b =−a.

Ta có

|z+4i−5| = q

(a−5)²+ (b+4)²

= q

(a−5)²+ (−a+4)²=^p2a²−18a+41

= s

2

a−⁹ 2

2

+¹ 2

≥ √¹ 2.

O x

y

M

M⁰ N

N⁰

4a−3b a b

−b 3a+4b

−3a−4b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia= ⁹

2 hayz= ⁹ 2 −⁹

2i.

Vậy giá trị nhỏ nhất của|z+4i−5|bằng 1

√2 khi và chỉ khiz = ⁹ 2 −⁹

2i.

Chọn đáp án A

Câu 18. Cho số phức zvàwthỏa mãnz+w = 3+4ivà|z−w| = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcT=|z|+|w|.

A maxT =√

176. B maxT =14. C maxT =4. D maxT =√

106.

Đặtz =a+bi(a,b ∈_R);w=c+di(c,d∈ _R).

Ta có

|z+w| =|3+4i| =5

⇔ |(a+bi) + (c+di)|=5

⇔ |(a+c) + (b+d)i| =5

⇔ (a+c)²+ (b+d)²=_25.

và

|z−w| =9

⇔ |(a+bi)−(c+di)|=9

⇔ |(a−c) + (b−d)i| =9

⇔ (a−c)²+ (b−d)²=_81.

(11)

Ta có hệ phương trình







(a+c)²+ (b+d)²=25 (a−c)²+ (b−d)²=81

⇔







a²+2ac+c²+b²+2bd+d² =25 a²−2ac+c²+b²−2bd+d² =81

⇒ _a²+b²+c²+d²=53.

Theo bất đẳng thức B.C.S ta có

||z|+|w||=1·^pa²+b²+1·^pc²+d² ≤

q

(1²+1²) (a²+b²+c²+d²) = √ 106.

Vớiz=−²¹ 10+⁴⁷

10i,w = ⁵¹ 10 − ⁷

10iluôn thỏa mãn giả thiết và|z|+|w| =√ 106.

Vậymax(|z|+|w|) = √ 106.

Chọn đáp án D

Câu 19. Cho số phứcz = x+yivới x,y ∈ _Rthỏa mãn|z−1−i| ≥ 1và|z−3−3i| ≤ √

5. Gọi m, Mlần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thứcP =x+2y.Tính tỉ số M

m. A 9

4. B 7

2. C 5

4. D 14

5 . Hướng dẫn giải

Gọi M(_x;_y) là điểm biểu diễn số phức z, I(_{1; 1}) là điểm biểu diễn số phức1+ivàJ(3; 3)là điểm biểu diễn số phức3+3i.

Theo giả thiết |_z−₁−_i| ≥ ₁ ⇔ _{I M} ≥ ₁ ⇔ _M không nằm trong (có thể thuộc) đường tròn (C) có tâm là I(1; 1), bán kínhR =1.

Mặt khác |_z−₃−_3i ≤ √

5 ⇔ _{J M} ≤ √

5 ⇔ _M nằm trong hình tròn(C⁰)có tâm là J(3; 3), bán kính R⁰ =√

5.

Xét đường thẳngd: x+2y= P

⇒d: x+2y−P=0.

VìM ∈ dvàMnằm trong hình tròn(C⁰)nên Pnhỏ nhất hoặc lớn nhất khidtiếp xúc với(C⁰)đồng thời Mphải không nằm trong hình tròn(C).

x y

−1 O

−1 1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

x+2y=0 x+2y−4=0 x+2y−14=0

I

J

Đường thẳngdtiếp xúc với(C⁰)khi và chỉ khi d(J;d) = R⁰ ⇔ |9−P|

√5 =√

5 ⇔ |9−P| =5⇔



 P =4 P =14.

VớiP =4⇒ d: x+2y−4=0.VìMlà tiếp điểm nênJ M ⊥d⇒ J M: 2x−y−3 =0.

Tọa độ điểm Mlà nghiệm của hệ







x+2y−4=0 2x−y−3=0

⇔





 x=2 y=1

⇒ M(2; 1)⇒ I M =1 =R

(12)

⇒ Mkhông nằm trong đường tròn(C).

VớiP =14⇒ d: x+2y−14=0.VìMlà tiếp điểm nên J M ⊥d⇒ J M: 2x−y−3 =0.

Tọa độ điểm Mlà nghiệm của hệ







x+2y−14=0 2x−y−3=0

⇔





 x=4 y=5

⇒ M(4; 5)⇒ I M =5 >R

⇒ Mkhông nằm trong đường tròn(C). Vậym=4vàM=14⇒ ^M

m = ¹⁴ 4 = ⁷

2.

Chọn đáp án B

Câu 20. Cho số phứczthỏa mãn điều kiện|z²−2z+5|=|(z−1+2i)(z+3i−1)|. Giá trị nhỏ nhất của|z−2+2i|bằng

A √

5. B 1. C 3

2. D 5

2. Hướng dẫn giải

|z²−2z+5| =|(z−1+2i)(z+3i−1)|

⇔ |(z−1−2i)(z−1+2i)| =|(z−1+2i)(z+3i−1)|

⇔ |z−(1+2i)| · |z−(1−2i)| =|z−(1−2i)| · |z+ (−1+3i)|

⇔





|z−(1−2i)|=0

|z−(₁+2i)|=|z+ (−₁+3i)|_.

•Nếu|_z−(1−_2i)| =0⇒_z=1−_2i ⇒ |_z−₂+2i| =| −₁| =1.

•Nếu|z−(1+2i)| =|z+ (−1+3i)| ⇒y =−¹

2. Giá trị nhỏ nhất của|z−2+2i|bằng 3 2. Nhận xét:Không cần xét trường hợp sau, vì trong các đáp án1là giá trị nhỏ nhất.

Chọn đáp án B

Câu 21. Cho số phứczthỏa mãn|z+z¯|+|z−z¯|=|z²|. Giá trị lớn nhất của biểu thứcP=|z−5−2i| bằng bao nhiêu?

A √

2+₅√

3. B √

2+₃√

5. C √

5+₂√

3. D √

5+₃√ 2.

Giả sửz= x+yi(trong đó x,y∈ R) có điểm biểu diễn làM(x;y). Ta có

|z+z¯|+|z−z¯|=|z²| ⇔ |2x|+|2yi| =x²+y²

⇔₂|x|+₂|y|= x²+y²

⇔







x²+y²−2x−2y=0là đường tròn tâm I1(1; 1)bán kínhr =√ 2 x²+y²+2x+2y=0là đường tròn tâm I2(−1;−1)bán kínhr=√

2 x²+y²−2x+2y=₀là đường tròn tâm I₃(_1;−₁)bán kínhr =√

2 x²+y²+2x−2y=0là đường tròn tâm I₄(−1; 1)bán kínhr =√

2.

MàP=|z−5−2i| = MAvới A(5; 2)vàMchạy trên4đường tròn như hình vẽ bên dưới.

(13)

x y

I₁ I₄

I₃ I₂

A

O

M

Dựa vào hình minh họa, rõ ràngPmax= I2A+r=√

36+9+√

2=3√ 5+√

2.

Chọn đáp án B

Câu 22. Xét các số phức z = a+bi (a,b ∈ R) thỏa mãn |z−4−3i| = 5. Tính P = a+b khi Q =|z+2−2i|²+2|z−4+i|²+3|z+2i|²đạt giá trị lớn nhất.

A P =11. B P =14. C P=13. D P=12.

GọiM(a;b)vàI(4; 3) ⇒ Mnằm trên đường tròn tâmI, bán kính5.

XétA(−2; 2), B(4;−1),C(0;−2) ⇒Q = MA²+2MB²+3MC². GọiH(x;y)là điểm thỏa mãn

# »

H A+2# »

HB+3# »

HC= ^#»0 ⇔







(x+2) +2(x−4) +3x =0 (y−2) +2(y+1) +3(y+2) =0

⇔





 x=1 y =−₁

⇒H(_1;−₁).

M

H I

Ta cóQ = MH^{# »}+H A^{# »}2

+2# »

MH+HB^{# »}2

+3# »

MH+HC^{# »}2

= 6MH²+H A²+2HB²+3HC²+ 2# »

MH# »

H A+2# »

HB+3# » HC

=6MH²+H A²+2HB²+3HC².

Do A, B, C, H cố định nên H A²+2HB²+3HC² là hằng số, do vậy Q lớn nhất khi MH lớn nhất

⇔ M, I, Htheo thứ tự thẳng hàng⇔ _HM^{# »}= ^HM I M

# » I M.

Ta cóH I =√

3²+4² =5 ⇒HM= H I+MI =5+5=10⇒ HM^{# »}=2# »

I M

⇒







a−1=2(a−4) b+1=2(b−₃)

⇒





 a=7 b =7

⇒_P =14.

Chọn đáp án B

Câu 23. Cho số phứcz = x+yi(x,y ∈ R) thỏa mãn|z−1+3i| =|z+3−i|vàP =||z−1−2i| −

|z+₁−i||đạt giá trị lớn nhất. Tính tổngS=x³+y³.

A S=0. B S=16. C S=54. D S=27.

(14)

GọiM(x;y)là điểm biểu diễn số phứcz=x+yi, x,y∈ _R. Ta có

|z−1+3i| =|z+3−i| ⇔ x−y=0.

GọiA(1; 2), B(−1; 1), khi đóP =||z−1−2i| − |z+1−i||=|MA−MB|.

Bài toán trở thành: TìmMthuộc đường thẳngd: x−y =0sao cho|MA−MB|lớn nhất.

XétP(x,y) = x−y, ta cóP(A)·P(B) = 2>0nên A,Bnằm cùng phía đối vớid.

GọiIlà giao điểm của ABvới d, ta tìm đượcI(3; 3).

Ta có|MA−MB| ≤ AB. Đẳng thức xảy ra khi M ≡ I. Do đó Pđạt giá trị lớn nhất khi tọa độ Mlà (3; 3). Vậyx =y=3vàS =3³+3³ =54.

Chọn đáp án C

Câu 24. Cho số phức z = a+bi (a,b ∈ _{R) thỏa} |z+₄|+|z−₄| = ₁₀ và |z−₆| lớn nhất. Tính S= a+b.

A S=−3. B S=5. C S=−5. D S=11.

GọiM(a,b)là điểm biểu diến của số phứcz.

ĐặtF₁(−4; 0), F₂(4; 0), I(6; 0). Theo bài ra ta có

|z+₄|+|z−₄| =₁₀⇔ MF₁+MF₂ =10.

Suy ra điểmMthuộc elip có độ dài trục lớn bằng10.

|z−6| =I M ≤ I A⁰ =11.

Suy ra|z−₆|lớn nhất khiM(−_{5; 0}).

O x

y

A⁰ F1 I

M

F2

Chọn đáp án C

Câu 25. Gọi z₁, z2 là hai trong tất cả các số phức thỏa mãn điều kiện |(i−1)z−3i+3| = 2 và

|z₁−z₂| = 2. Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = |z₁|+|z₂|. Giá trị của S=m³+n³bằng

A 72. B 90. C 54. D 126.

Ta có:|(i−1)z−3i+3|=2⇔ |(i−1)(z−3)| =2⇔ |z−3| =√ 2.

GọiMlà điểm biểu diễn củaz.

Ta cóMnằm trên đường tròn(C)tâmI(_{3; 0}), R=√ 2.

GọiA, Blần lượt là điểm biểu diễn choz1, z2. Ta có|z1−z2| =2 ⇔ AB=2.

GọiH là trung điểm ABta có tam giác I ABvuông tại I (theo định lí Pitago đảo)

⇒ I H = ^AB 2 = ²

2 =1.

x y

O B

I H A

⇒ Hchạy trên đường tròn tâm Ibán kínhR =1.

P =|z₁|+|z2| =OA+OB≤^p(1²+1²)(OA²+OB²)

(15)

Mặt khác theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có OA²+OB² =2OH²+ ^AB

2

2 =2OH²+²

2

2 =2OH²+2.

⇒_maxP=OI+R=₃+₁=4;minP=|OI−R| =₃−₁ =₂ ⇒m=4;n =₂⇒S =₆₄+₈=72.

Chọn đáp án A

Câu 26. Choz =x+yivớix,y ∈_Rlà số phức thỏa điều kiện|z+2−3i| ≤ |z+i−2| ≤5. GọiM,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP=x²+y²+8x+6y. TínhM+m.

A 156

5 −20√

10. B 60−20√

10. C 156

5 +20√

10. D 60+20√ 10.

O x

y

I1

A I

B (C1)

(C) (C)

−4 −2 2

−6

−₃

−1 2

S1

• |z+2−3i| ≤ |z+i−2| ⇔ 2x+y+2≤0.

• |z+i−2| ≤ 5⇔(x−2)²+ (y+1)² ≤25là hình tròn(C1)tâm I1(2;−1)và bán kínhR1 =5.

• M(z)thỏa điều kiện đề bài⇔ M∈ (S₁): là phần gạch chéo kể cả biên với A(2;−6),B(−2; 2).

• P =x²+y²+8x+6y⇔x²+y²+8x+6y−P=_0. (₁) Xét điều kiện để(1)là phương trình đường tròn với tâmI(−4;−3)và bán kínhR =√

25+P.

•







M(z)∈ (S₁) M ∈(C)

⇔ I I₁−R₁ ≤R≤ I A ⇔2√

10−5 ≤√

25+P≤√ 45

⇒40−20√

10≤P≤20 Suy ra M+m =60−20√

10.

Chọn đáp án B

(16)

Câu 27. Choz1,z2là hai số phức thỏa mãn hệ thức

z−3−4i

=2và

z1−z2

=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP =z₁

2−z2

2.

A −10. B −5. C −₆−₂√

5. D −₄−₃√

5.

GọiM,Nlần lượt là điểm biểu diễn của số phứcz₁vàz2. Từ giả thiết ta có







M,N∈ _C(I; 2)với I(3; 4) MN =1.

Ta thấy

P = |z₁|²− |z₂|²

= OM^{# »}²−ON^{# »}²

= OM^{# »}−ON^{# »}

·OM^{# »}+ON^{# »}

= N M^{# »}·OM^{# »}+ON^{# »}

= 2·N M^{# »}·OJ,^{# »} (với Jlà trung điểm MN)

= 2·N M^{# »}·OI^{# »}+I J^#»

= 2·_{N M}^{# »}·_OI,^{# »} (vì MN ⊥ _{I J})

= 2·MN·OI·cos(N M,^{# »} # » OI)

≥ 2·MN·OI·(−1)

≥ −10.

x y

O

I J

M N

(_C)

Chọn đáp án A

Câu 28. Cho số phức zthỏa mãn |z−1+2i| = 5. Phép tịnh tiến vec-tơ #»v(1; 2) biến tập hợp biểu diễn số phứczthành tập hợp biểu diễn số phứcz⁰. TìmP =max|z−z⁰|.

A P =15. B P =20−√

5. C P=10+√

5. D P=12.

Xét hai đường tròn(I; 5)và(I⁰; 5)với I(1;−2),I⁰(2; 0).

Khi đómax|z−z⁰| =ABvớiABlà các giao điểm của đường thẳngI I⁰ với (I; 5)và(I⁰; 5) (Akhông nằm trong (I⁰; 5)và Bkhông nằm trong (I; 5)).

Khi đóAB=2R+I I⁰ =10+√ 5.

I I⁰

Chọn đáp án C

(17)

Câu 29. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn|z1−1+2i| = 1, |z2−3−i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất của|z₁−z2|.

A √

13+6. B √

13+3. C √

13+4. D √

13+2.

Giả sửz₁ =a₁+b₁ivàz2 =a2+b2i(với a₁,b₁, a2, b2∈ _R).

• |z₁−₁+2i|=₁⇔(a₁−₁)²+ (b₁+₂)² =1.

Tập hợp điểm M1 biểu diễn z1 là đường tròn tâm I₁(1;−2)và bán kínhR₁ =1.

• |z₂−3−i|=2⇔(a₂−3)²+ (b₂−1)² =4.

Tập hợp điểmM2biểu diễnz2là đường tròn tâmI2(3; 1) và bán kínhR2=2.

Mà|z₁−z₂| = M₁M₂ ≤ CF = R₁+I₁I₂+R₂ = 1+√ 13+ 2=3+√

13.

O x

y

I1

I₂

C

F

3 1

1

−₂

Chọn đáp án B

Câu 30. Xét các số phức z thỏa mãn z+√

5 +

z−√

5

= 2√

14. Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

z+√

5

.TínhP=m+M.

A P =√

14+√

5. B P =2√

5. C P=2√

14+2√

5. D P=2√ 14.

• GọiN(x;y)là điểm biểu diễn của số phứcz, F₁

−√ 5; 0

,F₂√ 5; 0

. Khi đó

z+√

5

+z−√ 5

=2√

14⇔ MF₁+MF₂=2√ 14.

• Mthuộc đường elip có hai tiêu điểmF1,F2và độ dài trục lớn2a =2√

14⇒a=√ 14.

• Ta có z+√

5

= MF₁ =a+ ^c

a·x_Mvới−√

14≤x ≤√ 14.

• Từ đó suy ram =√ 14+

√5

√14·−√ 14

=√

14−√

5vàM =√ 14+

√5

√14·√

14=√

14+√ 5.

• VậyP =m+M=√

14−√ 5+√

14+√

5=2√ 14.

Chọn đáp án D

Câu 31. Cho số phứczthoả mãn|z−₃+4i| =2,w =2z+1−i. Khi đó|_w|có giá trị lớn nhất là A 16+√

74. B 2+√

130. C 4+√

74. D 4+√

130.

• Ta ców =2z+₁−i⇔w =₂(z−₃+4i+₃−4i) +1−i⇔w−₇+9i =₂(z−₃+4i).

(18)

• Ta suy ra|w−7+9i| =2|z−3+4i| ⇔ |w−7+9i| =4 ⇒w∈đường tròn







Tâm I(7;−9) R=4

.

• Vậy|w|_max =OI+R=√

7²+9²+4=4+√ 130.

Chọn đáp án D

Câu 32. Gọin là số các số phứczđồng thời thỏa mãn|iz+1+2i| = 3và biểu thứcT = 2|z+5+ 2i|+₃|z−3i|đạt giá trị lớn nhất. Gọi Mlà giá trị lớn nhất củaT. Giá trị của tíchMnlà

A 10√

21. B 6√

13. C 5√

21. D 2√

13.

Đặtz =_x+_yi,(_x,_y∈ _R). Khi đóN(_x;_y)là điểm biểu diễn số phứcz.

Từ giả thiết,|iz+1+2i| =3⇔ |z+2−i| =3⇔(x+2)²+ (y−1)² =9.

Ta cóT =2|z+5+2i|+3|z−3i| =2N A+3NBvới A(−5;−2)vàB(0; 3).

Nhận xét rằng A,B,I thẳng hàng và2I A = _3IB (I(−_{2; 1})là tâm đường tròn biểu diễn các số phức z).

Từ đó ta có2N A²+3NB² =5N I²+2I A²+3IB² =105.

MàT² = (√ 2·√

2N A+√ 3·√

3NB)² ≤₅(_{2N A}²+_3NB²) =₅₂₅hayT ≤₅√ 21.

Đẳng thức xảy ra khiNlà giao của đường trung trực đoạnABvới đường tròn tâmI, bán kínhR=3.

Vậyn=2vàMn=10√ 21.

Chọn đáp án A

Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn |z−2+i|+|z+1−i| = √

13. Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức|z+2−i|.

A m=1. B m= ²

√13

13 . C m=

√13

13 . D m= ¹

13. Hướng dẫn giải

Đặtz =x+yi (x,y ∈_R) ⇒ M(x;y)biểu biễn số phứcz.

XétA(2;−1), B(−1; 1), ta cóAB=√ 13.

Do|z−2+i|+|z+1−i| = √

13 ⇒ MA+MB = √

13, suy ra M nằm trên đoạn thẳngAB.

Lấy điểmC(−2; 1), ta có|z+2−i|= MC.

Vì # »

BC·BA^{# »} <0 ⇒ 4ABCtù tại B. Do đó|z+2−i|đạt giá trị nhỏ nhất khiMtrùng vớiBhayz =−i+i. Vậym =BC =1.

O x

y

−₂ −1

−1 2

A B

C 1

1 2

M

Chọn đáp án A

Câu 34. Xét các số phứcz=a+bi(a,b∈ _R)thỏa mãn|z−3+3i|=√

2và|z−1+3i|+|z−3+5i| đạt giá trị lớn nhất. TínhP =a+b.

A P =−2. B P =−8. C P=8. D P=2.

(19)

GọiA(3;−3),B(1;−3),C(3;−5)vàM(x;y)là điểm biểu diễn số phứcz= x+yi.

Theo giả thiết ta có|z−3+3i| =√

2⇔ MA =√

2vàMB+MCđạt giá trị nhỏ nhất.

Yêu cầu của bài toán tương đương với tìm điểm M thuộc đường tròn tâm Abán kính R = √ 2 để MA+MBnhỏ nhất.

Ta cóMB+MC ≥BC =2√

2,đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Mthuộc đoạnBC.

Phương trình đường thẳngBC: x+y+₂=0, phương trình đường tròn tâm Abán kính√ 2là (x−3)²+ (y+3)² =2.

Tọa độ Mthỏa mãn hệ







x+y+2=0

(x−3)²+ (y+3)² =2

⇔







y=−x−2

(x−3)²+ (−x+1)² =2

⇔





 x =2 y =−4

. Vậy M(_2;−₄) ⇒_P =−_2.

Chọn đáp án A

Câu 35. Cho số phứczthỏa mãn|z+z| ≤2và|z−z| ≤2. Gọi M,mlần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thứcT =|z−2i|. Tính tổngS =M+m.

A S=1+√

10. B S=√

2+√

10. C S=4. D S=1.

Gọiz =x+yi,x,y∈ _R, khi đó ta có

• |z+z| ≤ 2⇔ |2x| ≤ 2⇔ |x| ≤1.

• |z−z| ≤ 2⇔ |2yi| ≤ 2⇔ |y| ≤1.

Từ đó ta có, tập hợpzlà phần gạch sọc hình vẽ bên.

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, suy ra M thuộc miền gạch sọc.

Lấy I(0, 2), suy raT =|z−2i| = I M, từ đó suy raTmax = I A = IB =√

10vàTmin = I H=1.

x y

C D

A B

I H

−₁ ₁

−1 1 2

O

VậyS= M+m=1+√ 10.

Chọn đáp án A

Câu 36. Cho số phứczthỏa mãn|z+1|+|z−3−4i| =10. Tính giá trị nhỏ nhấtPmincủa biểu thức P =|z−1+2i|.

A P_min=√

17. B P_min=√

34. C P_min =₂√

10. D P_min =

Giả sử điểm M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z, lấy điểmA(−_{1; 0}),B(_{3; 4})vàI(_{1; 2}).

Ta có|z+1|+|z−3−4i| =10 ⇔ AM+BM=10.

Suy ra quỹ tích điểmMlà đường elip với trục lớn2a= 10và hai tiêu điểmA(−_{1; 0}), B(_{3; 4}).

I

M

A B

Nhận thấy,Ilà trung điểm của AB, suy raI là tâm đối xứng của elip.

Mặt khácP =|z−1+2i| = I M, suy raPmin=b, vớiblà bán trục nhỏ.

(20)

Lại có2c =AB ⇒c=2√

2, từ đó suy rab² =a²−c² =25−8 =17 ⇒b=√ 17.

Vậy ta cóPmin =√ 17.

Chọn đáp án A

Câu 37. Cho số phức zvà z⁰ thỏa mãn |z−3−2i| = 1, |z⁰+i| = |z⁰−1−i|. Giá trị nhỏ nhất của P =

z−⁵ 2 −i

+|z−z⁰|là A 9√

5−₁₀

5 . B 9√

5−₅

5 . C 9√

5

5 . D 9√

5+5

5 .

Giả sử z = x+yi, z⁰ = x⁰+y⁰i với x,y,x⁰,y⁰ ∈ R. Từ giả thiết ta có (x−3)²+ (y−2)² = 1 và 2x⁰+4y⁰−1 = 0. Như vậy tập các điểm biều diễnzlà đường tròn (C)tâm I(3; 2), bán kínhR =1 và tập các điểm biểu diễnz⁰là đường thẳngd : 2x+4y−1 =0.

GọiA(x;y)vàB(x⁰;y⁰)lần lượt là điểm biểu diễn củazvàz⁰,C = 5

2; 1

là điểm biểu diễn của 5 2−i vàHlà hình chiếu củaClênd. Nhận thấy rằng IC⊥d. Ta có P= AB+AC ≥BI−AI+CI−I A ≥ H I−AI+CI−I A = ¹³

2√ 5 +

√5

2 −2 = ⁹

√5−10

5 .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H ≡ B và A là giao của đoạn thẳng IC với đường tròn (C).

O x

y

−2

−1

1 1

2 2

3 3

2x+4y−1=0 H

A

B C

I

Chọn đáp án A

Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn |z+2−i|+|z−4−7i| = 6√

2. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của|z−1+i|. Khi đóP= Ma²+m²bằng

A 171

2 . B 171

4 . C 167

4 . D 167

2 . Hướng dẫn giải

(21)

Giả sử z = x +yi với x,y ∈ _R. Gọi P,A,B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z,−2 +i, 4 +7i. Khi đó

P(x;y),A(−2; 1),B(4; 7)và











PA=|z+2−i| PB=|z−4−7i| AB=6√

2.

Từ đó suy ra|z+2−i|+|z−4−7i| = 6√

2 ⇔ PA+PB = ABhay tập hợp các điểm P biểu diễn cho số phứcz là đoạn thẳngAB.

Gọi K là điểm biểu diễn số phức 1−i ⇒ K(1;−1), khi đó KA=√

13,KB =√

73và|z−₁+i|=PK.

Ta cóM =max{KA,KB} =√ 73.

Dễ thấy tam giácKABlà tam giác có ba góc nhọn, do đó hình chiếu vuông góc H của điểm K trên đường thẳng AB nằm trong đoạnAB, do đóm=KH =d(K,AB).

O

x y

−₂ −1 1 2 3 4

−₁ 1 2 3 4 5 6 7

A H

B

K

Đường thẳngABcó phương trình x+2

4+2 = ^y−1

7−1 hayx−y+3=0.

Do đód(K,AB) = |1−(−1) +3|

√2 = √⁵

2 ⇒ m= √⁵ 2. Vậy M²+m² =73+²⁵

2 = ¹⁷¹ 2 .

Chọn đáp án A

Câu 39. Cho số phức z thỏa mãn |z−2+3i|+|z+2+i| = 2√

5. Tính giá trị lớn nhất của P =

|z−4+4i|. A Pmax= ¹⁶⁹

5 . B Pmax=50. C Pmax =34. D Pmax =3√

5.

Giả sửz= x+yi, M(x;y), A(2;−3), B(−2;−1), I(4;−4). Khi đó ta có

|z−2+3i|+|z+2+i| =2√ 5

⇔ q

(x−2)²+ (y+3)²+ q

(x+2)²+ (y+1)² =2√ 5

⇔_AM+BM=2√ 5.

(1)

Mặt khác, AM+BM ≥ AB = 2√

5, kết hợp với (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm

trong đoạnAB. (2)

Kiểm tra ta thấy # »

I A= (−2; 1)và # »

IB = (−6; 3)cùng phương, suy ra A, B, Ithẳng hàng.

Từ đó suy raP= I Mđạt giá trị lớn nhất khiMtrùng AhoặcB.

Ta cóI A =√

5vàIB =3√

5, suy raPmax=3√ 5.

Chọn đáp án D

Câu 40. Biết rằng hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1−3−4i| = 1và |z2−3−4i| = ¹

2. Số phức z có phần thực làavà phần ảo làbthỏa mãn3a−2b =12. Giá trị nhỏ nhất củaP=|z−z₁|+|z−2z2|+2

(22)

bằng

A P_min=

√9945

11 . B P_min=₅−₂√

3. C P_min =

√9945

13 . D P_min =₅+₂√ 3.

Đặtz3 =2z2thì|z3−6−8i| =1vàP=|z−z₁|+|z−z3|+2.

GọiM, A, Blần lượt là các điểm biểu diễn choz,z₁vàz₃. Khi đó:

ĐiểmAnằm trên đường tròn(C1)có tâmI1(3; 4), bán kínhR1 =1;

ĐiểmBnằm trên đường tròn(C3)có tâm I3(6; 8), bán kínhR3=1 Và điểm Mnằm trên đường thẳngd : 3x−2y−₁₂ =0.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất củaP = MA+MB+2.

(C₁)

(C₁⁰)

(C₃)

d I1

I3

I₁⁰

B A

H

A⁰

M

Ta kiểm tra thấy(C₁)và(C₃)nằm cùng phía và không cắt đường thẳngd: 3x−2y−₁₂=0.

Gọi đường tròn(C₁⁰)có tâmI₁⁰ và bán kínhR⁰₁ =1đối xứng với(C1)quad.

ĐiểmA⁰ đối xứng với Aquadthì A⁰thuộc(C₁⁰). Ta cóI₁I₁⁰: 2x+3y−₁₈=0. GọiH= I₁I₁⁰ ∩d⇒ H

72 13;30

13

suy raI₁⁰ 105

13 ; 8 13

.

Ta cóP= MA+MB+2= MA⁰+MB+2= (MA⁰+R₁⁰) + (MB+R₃)≥ I₁⁰M+I₃M≥ I₁⁰I₃. Từ đóPminkhi các điểmI₁⁰, I3, A⁰, BvàMthẳng hàng vàPmin= I₁⁰I3 =

√9945 13 .

Chọn đáp án C

Câu 41. Cho số phứcz thỏa mãn z+⁵

2−i

= z+³

2+2i

. Biết biểu thức Q = |z−2−4i|+|z− 4−6i|đạt giá trị nhỏ nhất tạiz=a+bi,(a,b∈ _R). TínhP= a−4b.

A P =−2. B P =−⁹¹¹

460. C P=−1. D P= ⁶⁹¹

272.

(23)

Đặtz =x+yi,(x,y ∈_R). Giả thiết có được s

x+⁵

2 2

+ (y−1)²= s

x+³

2 2

+ (y+2)²

⇔2x+1=6y.

Biểu thứcQ=^p(x−₂)²+ (y−₄)²+^p(x−₄)²+ (y−₆)². x y

A

B

A⁰ M O

GọiM(x;y)là điểm biểu diễn củaz, lúc đó Mthuộc đường thẳngd: 2x−6y+1=0.

Gọi A(2; 4), B(4; 6). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của MA+MB. Kiểm tra được A, Bnằm cùng phía vớidnên gọiA⁰ là điểm đối xứng với Aquad. Ta tìm được A⁰

39 10;−¹⁷

10

.

Độ dài MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M ≡ d∩ A⁰B. Đường thẳng A⁰B có phương trình là

−77x+y+¹⁵¹

5 =0. Từ đó tìm đượcM

1813 460 ;681

460

haya= ¹⁸¹³

460 vàb = ⁶⁸¹ 460. Kết luận,a−4b=−⁹¹¹

460.

Chọn đáp án B

Câu 42. Cho hai số phứcz₁,z2thoả mãn|z₁| =12và|z2−3−4i| =5. Giá trị nhỏ nhất của|z₁−z2| là

A 0. B 2. C 7. D 17.

GọiM,Nlần lượt là điểm biểu diễn số phứcz₁,z₂. Ta thấy|z1|=12.

⇒ M∈ (_C₁)có tâmOvà bán kínhR₁ =12.

Ta thấy|z₂−₃−4i| =5.

⇒ N ∈ (_C₂)có tâmI(3; 4)và bán kínhR2 =5.

Ta thấy # »

OI = (3; 4) ⇒OI =5⇒O∈ (_C₂). Ta có|z₁−z₂|= MN ≥OM−ON.

VìOM=12nên

min(MN) = 12−max(ON) =12−10=2.

x y

O I M

N A B

Khi đó,







M≡ B N ≡ A

với A,Blà giao điểm của tiaOI với(_C₁)_,(_C₂).

Chọn đáp án B

Câu 43. Cho số phứczthỏa mãn(3−7i)|z|= ¹⁷⁶−82i

z +7+3i.Tìm giá trị nhỏ nhất của|(1+i)z+2−i|. A 5√

2−√

5. B 6√

2−√

5. C 3√

2−√

5. D √

5.

(24)

Điều kiệnz6=0.

Ta có

(3−7i)|z| = ¹⁷⁶−82i

z +7+3i

⇔ |z|= ¹⁹+17i

(3−7i)·z +⁷+3i

3−7i ⇔ |z| = ¹⁹+17i z −i

⇔ |z|+i = ¹⁹+17i

z ⇔(|z|+i)z=19+17i

⇒ |(|z|+i)z| =|19+17i| (Lấy mô-đun hai vế)

⇔ ||z|+i| · |z| =5√ 26⇔

q

|z|²+1.|z| =5√

26. (2)

Đặtt =|z|>0, khi đó

(2) ⇒^pt²+1·t=5√

26⇔(t²+1)·t² =650 ⇔t⁴+t²−650=0⇔





t²=25

t²=−26 (loại). Vớit² =25 ⇒t=5⇒ |z| =5.

ĐặtP=|(1+i)z+2−i| =

(1+i)

z+²−i 1+i

=√ 2

z−−2+i 1+i

=√ 2

z−

−¹ 2 +³

2i

. Gọi M(x;y), A

−¹ 2;3

2

lần lượt là điểm biểu diễn số phức zvà w=−¹

2+³ 2i.

Khi đó P = √

2MA và M thuộc đường tròn (C) có tâm O(_{0; 0})_, bán kínhR=5.

Ta cóOA=

√5

√2 <R =5 ⇒ Anằm trong đường tròn(C).

GọiE, F là giao điểm củaOA với đường tròn (C) với AF < AE.

Ta cóAF ≤MA ≤ AE.

VậyPnhỏ nhất khi và chỉ khi MAnhỏ nhất

⇔ MA =MO−OA =5−

√5

√2 = ⁵

√2−√

√ 5 2

⇒P =5√ 2−√

5.

A O

M

E F

Chọn đáp án A

Câu 44. Xét các số phứcz, wthỏa mãn|z−1−3i| ≤ |z+2i|và|w+1+3i| ≤ |w−2i|. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP =|z−w|.

A minP= ³

13. B minP= ³

√26

13 . C minP=

√26

4 . D minP=

√13+1

2 .

Gọiz =x+yi (x, y ∈R). Ta có

|z−1−3i| ≤ |z+2i|

⇔ (x−1)²+ (y−3)²≤ x²+ (y+2)²

⇔ x+5y≥_3.

(25)

Suy ra tập hợp số phứczlà miền nghiệm(E1)của bất phương trìnhx+5y ≥3(phần gạch sọc).

Gọiw =a+bi(a, b ∈ _R). Ta có

|w+1+3i| ≤ |w−2i|

⇔ (a+1)²+ (b+3)²≤ a²+ (b−2)²

⇔ a+5b ≤ −3.

Suy ra tập hợp số phứcwlà miền nghiệm(E₂)của bất phương trìnhx+5y ≤ −3(phần gạch sọc).

x y

d1

d2

M

O N3

−3

(E₁)

(E2)

GọiM,Nlần lượt là điểm biểu diễn của số phứcw,z. Suy ra M ∈(E₂)vàN ∈(E₁). Ta có

P =|z−w| =MN ⇒minP =d(d₁,d₂), trong đó

d1: x+5y−₃=0vàd2: x+5y+3=0.

ChọnN(3; 0)∈ d1, suy ra

d(d₁,d2) =d(N,d2) = |3+5·0+3|

√1+₂₅ = ³

√26 13 . VậyminP= ³

√26 13 .

Chọn đáp án B

Câu 45. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường thẳng có phương trình√

3x−y−2018=0. Tìm giá trị nhỏ nhất củaP=

z−2√ 3+2i

. A minP= ¹⁰⁰⁵

√2

2 . B minP= ¹⁰¹³

√3

3 . C minP=1013. D minP=1005.

Gọiz =x+yi,x,y∈ _R.

(26)

Ta có

P =

x+yi−₂√

3+2i

=

x+√

3x−2018

i−2√ 3+2i

= q

4x²−4036√

3x+2016²+12

= r

2x−1009√ 32

+1005²

≥ √

1005²=1005.

Vậy giá trị nhỏ nhất củaP =1005khiz= ¹⁰⁰⁹

√3

2 −¹⁰⁰⁹ 2 i.

Chọn đáp án D

Câu 46. Trên hệ tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z có mô-đun lớn nhất thỏa mãn

|z+4−3i| =5. Tọa độ điểm Mlà

A M(−_{6; 8}). B M(8;−₆). C M(8; 6). D M(−_{8; 6}). Hướng dẫn giải

Giả sửz= a+bivới a,b ∈ _Rta có

||z| − |4−3i|| ≤ |z+4−3i| ≤ |z|+|4−3i|

Mà|4−3i| =^p4²+ (−3)²=5và do giả thiết ta suy ra0 ≤ |z| ≤10. Do đómax|z| =10khi







|z| =₁₀

|z+4−3i| =5

⇔







a²+b²=₁₀₀

(a+4)²+ (b−3)² =25

⇔







a²+b²=100

a²+8a+₁₆+b²−6b+₉ =₂₅

⇔







a²+b² =100 4a−3b =−₅₀

⇔







a²+b²=100 b = ^4a+50

3

⇔









 a²+

4a+50 3

2

=₁₀₀ b= ^4a+50

3

⇔







9a²+ (4a+50)² =900 b = ^4a+₅₀

3

⇔







9a²+16a²+400a+2500=900 b= ^4a+₅₀

3

⇔







a²+16a+64=0 b = ^4a+50

3

⇔







a =−8 b =6.

Suy ra số phứcz=−8+6ithỏa mãn bài toán. Do đó tọa độ điểmM(−8; 6).

Chọn đáp án D

Câu 47. Cho số phứczthỏa mãn|z−₂−2i|=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP=|z−₁−i|+

|z−5−2i|. A 1+√

10. B 4. C √

17. D 5.