80 Bài tập chuyên đề cực trị số phức ôn thi THPT Quốc gia năm 2022

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC

(TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM) A. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.

1. Môđun của số phức:Số phức z a bi  được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM

được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a + b^{2 2}

 Tính chất

 z  a²b²  zz  OM

 z   0, z , z   0 z 0

 . 'z z  z z. '  ^{, ' 0}

 

' ' z z

z  z z   z z'  z z'  z z'

 kz  k z k. , 

 Chú ý: z²  a²b²2abi  (a²b^{2 2}) 4a b^{2 2} a²b² z²  z² z z. . Lưu ý:

 z₁z₂  z₁  z₂ dấu bằng xảy ra z1kz k2



0



 z₁z₂  z₁  z₂ dấu bằng xảy ra z1kz k2



0



.

 z₁z₂  z₁  z₂ dấu bằng xảy ra z1kz k2



0



 z₁z₂  z₁  z₂ dấu bằng xảy ra z1kz k2



0



 ^{z1z22 z1z22 2}



^{z12 z22}



 z²  z z  z²  z  2.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M axby c 0 (1)

z a bi    z c di (2)

(1)Đường thẳng :axby c 0 (2) Đường trung trực đoạn AB với

   



A a b B c d^{, , ,}





^{x a}

 

^{2 y b}



^{2 R2 hoặc}

z a bi  R

Đường tròn tâm ^{I a b}

 

^; , bán kính R



^{x a}

 

^{2 y b}



^{2 R2 hoặc}

z a bi  R

Hình tròn tâm ^{I a b}

 

^; , bán kính R

  

²



²

2 2

r  x a  y b R hoặc r  z a bi R

Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm ^{I a b}

 

^; , bán kính lần lượt là r R,

 

2

2 0

y ax bx c x ay by c c

   

    

 Parabol



^{x a}₂

 

^{2 y c}₂



^{2 1 1}

 

b d

 

  hoặc

1 1 2 2 2

z a b i z a b i  a

 

^{1 Elip}

 

2 Elip nếu 2a AB A a b,



1, 1

 

,B a b2, 2



Đoạn AB nếu 2a AB

Trang 2

  

²



²

2 2 1

x a y c

b d

 

  ^Hypebol

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi   z , tìm z_Min. Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm ^{M x y}

 

^; biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với ^{A a b}

 

^;



2 2

0

1 1

2 2

2 2

zMin z a b

z a bi

   



  



TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi    z c di. Tìm z_min. Ta có

 Quỹ tích điểm ^{M x y}

 

^; biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A a b B c d

   

^{; , ;}



 

   

2 2 2 2

2 2

,

Min 2

a b c d

z d O AB

a c b d

  

 

  

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1:

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi    z c di. Khi đó ta biến đổi .

z a bi    z c di   z a bi   z c di

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi    z c di. Khi đó ta biến đổi a bi c di .

iz a bi iz c di z z z b ai z d ci

i i

   

              

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0



z z 0 R



. Tìm z_Max, z_Min. Ta có

 Quỹ tích điểm ^{M x y}

 

^; biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ^{I a b}

 

^{; bán kính R}



2 2

0

2 2

0 Max

Min

z OI R a b R z R

z OI R a b R z R

       



      



Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R

i i

       (Chia hai vế cho i) z b ai R

   

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi     R z a bi R(Lấy liên hợp 2 vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện



c di z a bi



R z ^{a bi R} ₂^R ₂

c di c di c d

        

  

Hay viết gọn _{0 1} ¹

0 0

z R

z z z R z

z z

     (Chia cả hai vế cho z₀ )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ^{z c   z c 2 ,a a c}



^



Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm ^{M x y}

 

^; biểu diễn số phức z là Elip:

2 2

2 2 2 1

x y

a a c 



 2 2

Max

Min

z a

z a c

 



 



TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z ₁  z z₂ 2a Thỏa mãn 2a z₁z₂ .

Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc Ta có

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z 1  z z2 2 ,a



z1z2 2a



và z z₁, ₂   c ci, ). Tìm Max, Min của P z z₀ .

Đặt ^{1 2}

2 2 2

2

z z c

b a c

  



 



Nếu ₀ ^{1 2} 0

2 z z

z    ^Max

Min

P a

P b

 

 

 (dạng chính tắc) Nếu

 

1 2

0

0 1 0 2

2 z z

z a

z z k z z

   



   



1 2

0

1 2

0

2 2

Max

Min

z z

P z a

z z

P z a

    

 

   



Nếu

 

1 2

0

0 1 0 2

2 z z

z a

z z k z z

   



   



1 2

0 2

Max

z z P  z   a

Nếu z₀z₁  z₀z_{2 1 2}

0 2

Min

z z P  z   b C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho số phức zthoả mãn z 2 3i 1. Tìm giá trị lớn nhất của z 1 i.

A. 13 3 . B. 13 5 . C. 13 1 . D. 13 6 . Lời giải

Chọn C

Ta có ^{1  z 2 3i2}



^{z 2 3 .i}

 

^{z 2 3i}

 

^{ z 2 3i z}



^{ 2 3i}



  

1 z 2 3i z 2 3i z 2 3i 1 z 1 i 3 2i 1(*)

                . +Đặt w  z 1 i, khi đó  w 3 2  i 1

.

Trang 4 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z 1 i là đường tròn

 

^{I;1 và} w là khoảng cách từ gốc tọa độ đến 1 điểm trên đường tròn. Do đó giá trị lớn nhất của w chính là đoạn OQ

2 2

wmax 1 3 2 1 13

      .

Nhận xét: Ở đây ta sử dụng kiến thức sau: z z.  z², z z₁. ₂  z z₁. ₂

Câu 2: (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z   6 z 6 20. Gọi M , n lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M n

A. M n 2. B. M  n 4. C. M n 7. D. M n 14. Lời giải

Gọi , . Theo giả thiết, ta có z   6 z 6 20.

6 6 20

x yi x yi

       ^



^x6



^{2y2 }



^x6



^{2 y2 20}

 

^ . Gọi ^{M x y}



^;



^, F1

 

6;0 và F2



6;0



.

Khi đó

 

 MF1MF220F F1 2 12 nên tập hợp các điểm E là đường elip có hai tiêu điểm F₁ và F₂. Và độ dài trục lớn bằng 20 .

Ta có c6; 2a20 a 10 và b²a² c² 64 b 8. Do đó, phương trình chính tắc của là

2 2

100 64 1 x  y  .

Suy ra max z OA OA ^' 10 khi z  10 và min z OB OB ^' 8 khi z 8i. Vậy M  n 2.

* Nhận xét: Ở trên ta đã sử dụng định nghĩa (E) để nhận dạng được phưng trình elip

Câu 3: (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z a bi



^{a b, }



thỏa mãn z 4 3i  5. Tính P a b khi z    1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất.

A. P 8 B. P10 C. P4 D. P 6

Lời giải Chọn B

Gọi ^{M a b}

 

^; là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo giả thiết ta có: ^{z 4 3i  5}



^a4

 

^{2 b3}



^{2 5} Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ^I

 

^{4;3 bán kính R 5}

Gọi:

 

 

1;3 1 3 1

1; 1

A Q z i z i MA MB

B

          

 



z x yi 



^{x y, }



 

^E

 

^E

Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D Ta có: Q²MA²MB²2MA MB.

 

2 2 2 2 2 2 2 2

Q MA MB MA MB MA MB

      

Vì MElà trung tuyến trong MAB

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 4 2

MA MB AB AB

ME  MA MB ME

      

2

2 2 2 2 4 2 2

2

Q  ME AB  ME AB

     

  . Mặt khác ME DE EI ID   2 5 5 3 5

 

²

2 4. 3 5 20 200

Q   

 

10 2 10 2

4 2( 4) 6

2 6; 4 10

2 2( 3) 4

max

D D

D D

MA MB

Q Q

M D

x x

EI ID M P a b

y y

 

      

  

 

           

 

Cách 2:Đặtz a bi  . Theo giả thiết ta có:



^a⁴

 

² ^b⁵



² ^5.

Đặt 4 5 sin

3 5 cos

a t

b t

  



   . Khi đó:

  

²



²

  

²



²

1 3 1 1 3 1 1

Q      z i z i a  b  a  b



^{5 sint 5}



^{2 5cos2t}



^{5 sint 3}

 

^{2 5 cost 4}



²

      

 

30 10 5 sint 30 2 5 3sint 4 cost

    

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

 

   

2 60 8 5 2sin cos 2 60 8 5. 5 200 10 2

Q  t t    

10 2 _max 10 2

Q Q

   

Dấu bằng xảy ra khi sin 2

5 6

1 4 10.

cos 5

t a

P a b t b

 

  

     

  

 



Câu 4: (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z    2 i z 4 7i 6 2. Gọi , m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i. Tính P m M  .

A. 5 2 2 73

P 2 B. P5 2 73 C. 5 2 73

P 2 D. P 13 73 Lời giải

Chọn A

Trang 6 Gọi A là điểm biểu diễn số phức z, E



2;1 ,

  

F 4;7 và N



1; 1 .



Từ AE A F      z 2 i z 4 7i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF. Gọi H là hình chiếu của N lên EF, ta có 3 3

2 2;

H . Suy ra 5 2 2 73 2 . P NH NF   

Câu 5: (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1. Số phức z i có môđun nhỏ nhất là:

A. 5 2 . B. 5 1 . C. 5 1 . D. 5 2 . Lời giải

Cách 1:

Đặt w z i    z w i.

Gọi ^{M x y}

 

^; là điểm biểu diễn hình học của số phức w. Từ giả thiết z 2 2i 1 ta được:

2 2 1

w i   i     w 2 i 1^



^{x 2}

 

^y1



^{i 1}



^x2

 

^{2 y1}



^21.

Suy ra tập hợp những điểm ^{M x y}

 

^; biểu diễn cho số phức w là đường tròn

 

^{C có tâm}

 

^2;1

I bán kính R1.

Giả sử OI cắt đường tròn

 

^C tại hai điểm A B, với A nằm trong đoạn thẳng OI. Ta có w OM

Mà OM MI OI  OM MI OA AI   OM OA

5 8

6

4

2

2

H E

N

D

A

Nên w nhỏ nhất bằng OA OI IA   5 1 khi M A. Cách 2:

Từ z 2 2i 1^



^a2

 

^{2 b 2}



^{21 với z a bi a b }



^{, }



2 sin ; 2 cos

a  x b  x   a 2 sin , x b 2 cosx

Khi đó: ^{z i  2 sinx}



^{2 cos x i i}



^ 



^{2 sin} ^x

 

² ^{1 cosx}



²

 

6 4sinx 2cosx

  



^{2 2}



^{2 2}



6 4 2 sin x cos x

    ^{ 6 2 5 }



^{5 1}



^{2  5 1}

Nên z i nhỏ nhất bằng 5 1 khi 4 cos 2sin

4sin 2cos 2 5

x x

x x

 

   



sin 2 5

5 cos 5

5 x

x

  

 

 



Ta được 2 5 5

2 2

5 5

z    i

        Cách 3:

Sử dụng bất đẳng thức z₁  z₂  z₁z₂  z₁  z₂



^{2 2}

 

²



^{2 2 2 5 1}

z i  z  i     i z i   i 

Câu 6: (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M _và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của 2z i

P z

  với z là số phức khác 0 và thỏa mãn z 2. Tính tỉ số M m . A. M 3

m  . B. 4

3 M

m  . C. 5

3 M

m  . D. M 2

m  . Lời giải

Ta có 2 2 2 2 1 1 3 5

2 2

2 2

z i z i z i

P z i P P P

z z z z z z

  

              .

Vậy 5

3 M

m  .

Câu 7: Xét tất cả các số phức z thỏa mãn z  3i 4 1. Giá trị nhỏ nhất của z² 7 24i nằm trong khoảng nào?

A.



^0;1009



^{. B.}



^1009;2018



^{. C.}



^2018;4036



^{. D.}



^4036;



^.

Lời giải Chọn B

Ta có 1   z 3i 4 z   3i 4 z       5 1 z 5 1 4 z 6. Đặt z₀   4 3i z₀ 5,z₀²  7 24i.

Ta có ^{A z2 7 24i2  z2zo22}



^z2zo2

 

^z2zo2



^{ z4 zo4}



^{z z. oz zo.}



^{22 .z zo2}

Trang 8 Mà



^{z z o}

 

^{z z o}



^{ 1 z z. oz zo.  1 z2 zo2}

Suy ra ^{A z4 zo4 }



^{1 z2 zo2}



^{22 .z zo2 2z42z21201.}

Hàm số y2t⁴2t²1201 đồng biến trên

 

^{4;6 nên A2.442.421201 1681 .}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4

4 3 1

z

z i

 

   

 .

Do đó z² 7 24i nằm trong khoảng



^1009;2018



^.

Câu 8: (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z z   z z 4. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z 2 2i. Đặt A M m  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ^A



^34;6



^{. B. A}



^{6; 42}



^{. C. A}



^{2 7; 33}



^{. D. A}



^{4;3 3}



^.

Lời giải Chọn A

Giả sử: ^{z x yi x y  , ,}



^



^{N x y}

 

^; : điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Ta có:

• z z     z z 4 x y  2 N thuộc các cạnh của hình vuông BCDF (hình vẽ).

• ^{P  z 2 2i  P}



^x2

 

^{2 y2}



^{2  P d I N}



^;



^{với I}

 

^2;2

Từ hình ta có: ^E

 

^1;1

2 2

max 4 2 2 5

M P ID   và m P min IE



2 1

 

² 2 1



²  2 Vậy, ^{A M m   2 2 5}



^34;6



^.

Câu 9: (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2và w 2 z 1 i. Khi đó wcó giá trị lớn nhất bằng

x y

1 1

-2 2

-2 2

O

D C F

B I

E

A. 4 74. B. 2 130. C. 4 130. D. 16 74. Lời giải

Chọn C

Theo bất đẳng thức tam giác ta có

   

w  2z  1 i 2z 6 8i  7 9 i  2z 6 8i 7 9i  4 130. Vậy giá trị lớn nhất của w là

4  130

.

Câu 10: (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

M

và

M

. Số phức ^z



^{4 3 i}



và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N. Biết rằng

M

,

M

, N, N là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của

4 5 z i .

A. 5

34^{. B.}

2

5^{. C.}

1

2^{. D.}

4 13^. Lời giải

Chọn C

Gọi z x yi, trong đó ,x y. Khi đó z x yi  , ^{M x y}

 

^{; , M x y}



^;



^.

Ta đặt ^{w z}



^{4 3 i}

 

^{ x yi}



^{4 3 i}

 

^{ 4x3y}

 

^{ 3x4y i}



^N



^{4x3 ;3y x4y}



^{. Khi đó}



^{4 3}

 

^{4 3}

 

^{3 4}

 

^{4 3 ; 3 4}



wz  i  x y  x y iN x y  x y .

Ta có

M

và

M 

; N và N từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox. Do đó, để chúng tạo thành một hình chữ nhật thì

y

_M

 y

_N hoặc

y

_M

 y

_N. Suy ra y3x4y hoặc y 3x4y. Vậy tập hợp các điểm

M

là hai đường thẳng:

d x y

₁

:   0

và

d

₂

:3 x  5 y  0

.

Đặt ^{P   z 4i 5}



^x5

 

^{2 y4}



^{2 . Ta có}

P MA 

với ^A



^{5; 4}



^.

 

min min ; 1

P MA MA d A d hoặc MA d A d



; 2



. Mà



1



; 1

d A d  2,



2



; 5

d A d  34, vậy min



1



; 1

P d A d  2.

Câu 11: Biết số phức z thỏa mãn iz   3 z 2 i và z có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng:

A. 2

5^{. B.}

1

5^{. C.}

2

5. D. 1

5. Lời giải

Chọn D

Trang 10 Đặt z x yi  (x, y^).

Khi đó

3 2

iz   z i ^{ x2  }



^{y 3}



^{2 }



^x2

 

^{2 y1}



^{2  x 2y 1 0   x 2y 1}

 

^{1 .}

Lại có z  x²y²

 

^{2 .}

Thay

 

^{1 vào}

 

^{2 ta được:}

2 2

z  x y ^{  }



^{2y 1}



^{2y2  5y24y1 5 2 2 1 5}

5 5 5

y 

     

Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 5 0

y  2

y 5

   .

Thay 2

y 5 vào

 

^{1 suy ra 1}

x 5. Vậy phần thực của số phức z là 1

5.

Câu 12: (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét các số phức z thỏa mãn z 1 3i 2. Số phức z mà z1 nhỏ nhất là

A. z 1 5i. B. z 1 i. C. z 1 3i. D. z 1 i. Lời giải

Gọi z x yi  , ,x y. Khi đó ^{M x y}

 

^; là điểm biểu diễn của số phức z. Theo bài ra ta có ^{z 1 3i  2}



^x1

 

^{2 y3}



^24.

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm ^I

 

^{1; 3 bán kính R2.}

Khi đó z 1



x1



²y² I M với ^I

 

^{1; 0 .}

1

z nhỏ nhất khi I M ngắn nhất hay I, M, I thẳng hàng, M nằm giữa I và I.

Phương trình đường thẳng II là x1.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng II với đường tròn tâm I bán kính R2 là M1

 

1; 1 và

 

1 1; 5

M .

Thử lại ta thấy M1

 

1; 1 thỏa mãn. Vậy z 1 i.

Câu 13: (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn z z   z z 4. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z 2 2 .i Đặt A M m  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ^A



^34;6



^{. B. A}



^{6; 42}



^{. C. A}



^{2 7; 33}



^{. D. A}_{ }^{4;3 3}



^.

Lời giải Chọn A

Đặt z x iyvà gọi ^{M x y}

 

^; là điểm biểu diễn của z x iy ta có: z z    z z 4 x  y 2

Gọi ^A

 

^{2;2 và PMA}

* Theo hình vẽ, ^{minP d A}



^,



^{, với : x y 2}

và 2 2 2

min 2

P  2

 

2 2

maxP AE  2 4 2 5, với ^E



^{0; 2}



Vậy M m  2 2 5 5,88 

Câu 14: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z    1 i z 1 2i , số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

A. 3

10. B. 3

5. C. 3

5. D. 3

10. Lời giải

Gọi z x yi,



^{x y, }



được biểu diễn bởi điểm ^{M x y}



^;



^.

       

1 1 2 1 1 1 2

z    i z i  x  y i  x  y i



¹

 

^{2 1}



²



¹

 

^{2 2}



^{2 4 2 3 0 2 3}

x y x y x y y x 2

                .

Cách 1:

Trang 12

2 2

2 2 2 2 3 5 2 6 9 5 3 9 3 5,

2 4 5 20 10

z  x y  x    x   x  x  x    x.

Suy ra 3 5

min z  10 khi 3 3

5; 10

x  y  .

Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là 3

10. Cách 2:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng : 4 2 3 0

d x y  .

Ta có z OM. z nhỏ nhất OM nhỏ nhất  Mlà hình chiếu của O trên d. Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x2y0.

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

3

4 2 3 0 5

2 0 3

10 x y x

x y

y

  

   

 

   

   



3 3

5; 10

M 

   . Hay 3 3 z  5 10i.

Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là 3

10.

Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau:

   

1 1 2 1 1 2

z    i z i   z i    z i

 

^*

Gọi M biểu diễn số phức z, điểm ^A



^{1; 1}



biểu diễn số phức 1i, điểm ^B



^{ 1; 2}



^biểu

diễn số phức 1 2i  .

Khi đó

 

^{* MA MB} . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trung trực của đoạn thẳng ABcó phương trình d: 4x2y 3 0.

Câu 15: Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn ^{1 2}

1 2

1; 2

2 3 1

z i z i

z i z i

 

 

    . Giá trị nhỏ nhất của z₁z₂ là

A. 2 2 . B. 2. C. 1. D. 2 1 .

Lời giải Chọn A

Giả sử z₁ x₁ y i₁ với x y₁; ₁^{. Khi đó:}

     

1 1 1 1 1 1 1

1

1 2 3 1 2 3

2 3 z i

z i z i x y i x y i

z i

             

 

     

1

2 2 2

2

1 1 1 2 1 3 1 2 3 0

x y x y x y

           .

 Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z₁ là đường thẳng :x y  3 0. Giả sử z₂x₂y i₂ với x y₂; ₂^{. Ta có:}

     

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 1 1 2 1 1

1 z i

z i z i x y i x y i

z i

             

 

 

²

  

²



²

2 2 2

2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 4 2 2 2 3 0

x y x y x y x y

             .

 Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z₂ là đường tròn

 

^{C x: 2y24x2y 3 0 có tâm}



^{2; 1}



I  và bán kính ^{R 22 }

 

^{1 2 3 2.}

Khoảng cách từ I đến  là:

   

 

²

2

2 1 3

; 3 2

1 1

d I    R

   

   đường thẳng  và đường

tròn C không có điểm chung.

Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z₁z₂ là đoạn thẳng MN.  z₁z₂ nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất.

Dễ thấy MN_min 3 2 2 2 2 .

Câu 16: (Sở Bình Phước 2019) Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z 1 34 và

1 2

z mi   z m i, (trong đó m). Gọi z₁, z₂ là hai số phức thuộc S sao cho z₁z₂ lớn nhất, khi đó giá trị của z₁z₂ bằng

A. 2 B. 10 C. 2 D. 130

Lời giải Chọn A

Đặt z x yi  ,



^{x y, }



^{. Khi đó}

1 34

z  ^



^x1



^{2y2 34; z 1 mi   z m 2i 2}



^m1



^{x2 2}



^{m y}



^{ 3 0.}

Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn

  

^{C : x1}



^{2y2 34} và đường thẳng ^{d: 2}



^m1



^{x2 2}



^{m y}



^{ 3 0.}

Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z₁ và z₂. Suy ra

 

^{C  d}

 

^{A B, .}

Mặt khác z₁z₂  AB2R2 34 do đó max z1z2 2 34 AB2RI

 

1;0 d. Từ đó ta có 1

m 2 nên d x:3 5y 3 0 ¹

2

6 3 4 3

z i

z i

  

     ^.

Vậy z₁z₂ 2.

N

M I

N'

M'

Trang 14 Câu 17: Cho hai số phức ,z w thỏa mãn z3 2  2, w4 2i 2 2. Biết rằng z w đạt giá trị

nhỏ nhất khi z z ₀, w w ₀. Tính 3z₀w₀ .

A. 2 2. B. 4 2. C. 1. D. 6 2.

Lời giải

Ta có: + z3 2  2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm ^I



^{3 2 ;0}



, bán kính r 2.

+ w4 2i 2 2, suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm



^{0; 4 2}



J , bán kính R2 2. Ta có minz w minMN.

+ IJ 5 2;IM  r 2;NJ  R 2 2.

Mặt khác IM MN NJ IJ   MN IJ IM NJ   hay MN5 2 2 2 2 2 2  . Suy ra minMN2 2 khi , , ,I M N J thẳng hàng và M N, nằm giữa ,I J (Hình vẽ).

Cách 1:

Khi đó ta có: 3z₀w₀  3OM ON 

và IN 3 2 ¹ ; ³

5 5

IM IJ IN IJ

   

. Mặt khác ON OI IN    ₃

OI 5IJ

  

; ^{3OM3}



^{OI IM }



^{ 3}^OI1₅^IJ^{ 3OI3}₅^IJ

   

. Suy ra 3z₀w₀  3OM ON  3 3

3 2

5 5

OI IJ OI IJ OI

     

    

6 2. Cách 2:

Ta có IN3IM3IM IN   0 .

Do đó ^{3z0w0  3OM ON   3}



^{OI IM }

 

^{ OI IN }



^{ 2OI 2.OI2.3 2 6 2.}

Cách 3:

+) ₀

12 2

1 5 12 2 4 2

5 4 2 5 5

5

M

M

IM x

IM IJ IM IJ z i

IJ y

 

      

 



   

.

+) ₀ 6 2

3 5 6 2 12 2

5 12 2 5 5

5

N

N

IN x

IN IJ IN IJ w i

IJ y

 

      

 



   

.

Suy ra 3z₀w₀  6 2 6 2.

Câu 18: Cho hai số phức z và w thỏa mãn z2w 8 6i và z w 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức z w bằng

A. 4 6. B. 2 26. C. 66. D. 3 6.

Lời giải Chọn C

Giả sử M N, lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w. Suy ra OM ON   OF 2OI, 4

z w MN   và OF2OI 10.

Đặt ; .

2

z ON a w OM b Dựng hình bình hành OMFE

Ta có

2 2 2

2 2

2 2 2

25 264

2 4 2

16 3

2 4

a b ME

a b

b ME a

   

   

 

  





^{z  w}



^{2 }₂^ab^2



^a22b2



^^{1 1}_{4 2}^{ }^66

   

Suy ra a b  66, dấu “=” xảy ra khi 2 66 3 . a b  Vậy



^{a b}



_max ^{ 66.}

Câu 19: Cho số phức z thoả mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 1 z² z 1. Tính M m.

A. 13 3

4 ^{. B.}

39

4 . C. 3 3. D. 13

4 . Lời giải

Chọn A

Thay z²1 vào P ta có

a

b I E F

N

O M

Trang 16

1 2 1

P  z z  z   z 1 z² z z²   z 1 z² z z z.   z 1 z z z 1

1 1

z z z

     .

Mặt khác ^{z12 }



^z1

  

^{z   1 2 z z.}

Đặt t z z  do z 1 nên điều kiện ^{t }



^{2; 2}



^.

Suy ra P t  2 t 1.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t  2 t 1 với t }



^{2; 2}



^.

 

^{1 1}

2 2

f t  t 

 ^với t1. Suy ra ^{f t}

 

^{0 với t1.}

 

^{1 1}

2 2

f t  t 

 với t1. Suy ra ^{f x}

 

^{0 7}

x 4

  . Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra 13

M  4 tại 7

t 4 và m 3 tại t2.

Vậy 13 3

. 4

M m .

Câu 20: (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hai số phức z và  a bi thỏa mãn

5 5 6

z  z  ; 5a4b20 0 . Giá trị nhỏ nhất của z là A. 3

41^{. B.}

5

41^{. C.}

4

41^{. D.}

3 41. Lời giải

Chọn A

Đặt ^F1



^{ 5 ; 0}



^{, F2}



^{5 ;0}



^{, vì 5 3} nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuộc elip

có 3 ^{2 2 2}

5 4

a b a c

c

     

 

 ^{suy ra}

 

^{: 2 2 1}

9 4 x y E   .

Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức  thuộc đường thẳng : 5 x4y20 0 . Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm ^M

 

^{E và N  sao cho MN} nhỏ nhất.

Đường thẳng d song song với  có dạng : 5d x4y c 0,



^{c 20}



^.

d tiếp xúc với

 

^E khi và chỉ khi ^{2 5 .92}

 

^{4 .4 2892 17}

17 c c

c

 

        ^.

Với c17

 

 

²

2

20 17 37

, 5 4 41

d d  

   

  .

Với c 17

 

 

²

2

20 17 3

, 5 4 41

d d  

   

  .

Vậy ^min

 

³

MN  41.

Câu 21: (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi z a bi 



^{a b, }



là số phức thỏa mãn điều kiện

1 2 2 3 10

z    i z i  và có mô đun nhỏ nhất. Tính S 7a b ?

A. 7. B. 0. C. 5. D. 12.

Lời giải Chọn A

Gọi ^{M a b}

 

^; là điểm biểu diễn số phức z a bi 

 

^1;2

A là điểm biểu diễn số phức



^{1 2i}





^2;3



B  là điểm biểu diễn số phức



^{ 2 3i}



^{, AB 10}

4

2

2

4

O M

H B

A

Trang 18

1 2 2 3 10

z  i z   i  trở thành MA MB AB  , ,

M A B

 thẳng hàng và M ở giữa A và B

Gọi H là điểm chiếu của O lên AB, phương trình

 

^{AB x: 3y 7 0,}

 

^{OH : 3x y 0}

Tọa độ điểm 7 21; 10 10

H 

 

 ^{, Có}

3 1; 10 10 AH   

 

 , 27; 9

10 10 BH   

 

 và BH 9AH

Nên H thuộc đoạn AB

z nhỏ nhất OM nhỏ nhât, màMthuộc đoạn AB 7 21;

10 10

M H 

   

 

Lúc đó 7 49 21 7

10 10 S a b    .

Câu 22: (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức thỏa mãn

. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức . Tính .

A. . B. . C. . D. .

Giải:

Chọn D

Gọi z x yi x y  , , ^{, ta có} 2 8 2 4 ⁴ 2

z z z z x y x

y

 

          , tập hợp

 

^;

K x y biểu diễn số phức z thuộc cạnh các cạnh của trong hình thoi ABCD như hình vẽ.

đạt giá trị lớn nhất khi KM lớn nhất, theo hình vẽ ta có KM lớn nhất khi K  D hay ^K



^4;0



^{suy ra M  49 9  58}

đạt giá trị nhỏ nhất khi KM nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có KM nhỏ nhất khi K F (F là hình chiếu của E trên AB.

Suy ra ^F

 

^{2;1 do AE AB nên F} là trung điểm của AB. Suy ra m 1 4  5. Vậy M m  58 5

Câu 23: (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

1 P z  z z  z .

z z z 2z z 8 ,

M m P   z 3 3i M m

10 34 2 10 10 58 5 58

3 3 P   z i

3 3 P   z i

A. 13

4 B. 3 C. 3 D. 11

4 Lời giải

Chọn A

2 2 1 1 2 1 1 2 1

P z  z z   z z z  z     z z z  z Do z 1 nên ta đặt zcosx i .sinx. Khi đó

     

2

2 2 2 2

2

1 1 cos .sin 1 cos 2 sin 2 cos sin 1

cos 1 sin cos 2 cos 1 sin 2 sin

2 2cos 3 4cos 2cos 2

2 2cos 4 cos 4cos 1

2 2cos 2cos 1

P z z z x i x x i x x i x

x x x x x x

x x x

x x x

x x

            

       

    

    

   

Đặt ^{tcos ,x t }



^1;1



^{. Xét hàm y 2 2 t 2 1t}

Với 1

t 2 thì 2 2 2 1, ' 1 2

y t t y 2 2

t

      



1 7

' 0 2 0

2 2 8

y t

t

      



 

^{1 3; 7 13}

8 4

y  y    ; 1 3 y2

Với 1

t 2 thì 2 2 2 1, ' 1 2

y t t y 2 2

t

      



1 1

' 0 2 0 2 2

2 2 2

y t

t

 

      

 (phương trình vô nghiệm)

 

^{1 3}

y   ; 1 2 3 y  Vậy  ^1;1

max 13 y 4

  . Do đó giá trị lớn nhất của P z² z z² z 1 là 13 4 .

Câu 24: (Chuyên Đại Học Vinh -2019) Giả sửz z₁, ₂là hai trong các số phức thỏa mãn



^{z6 8}

 

^zi



^là

số thực. Biết rằng z₁z₂ 4, giá trị nhỏ nhất của z₁3z₂ bằng

A. 5 21 B. 20 4 21 C. 20 4 22 D. 5 22 Lời giải

Chọn C

Trang 20 Giả sửz x yi, x y, ^.Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z z₁, ₂. Suy ra

1 2 4

AB z z  .

* Ta có



^{z6 8}

 

^zi



^



^{x 6}



^{yi } ^{. 8}



^y



^xi ^



^8x6y48



^



^{x2y26x8y i}



^.

Theo giả thiết



^{z6 8}

 

^zi



là số thực nên ta suy ra x²  y² 6x 8y0. Tức là các điểm ,

A B thuộc đường tròn

 

^{C tâm I}

 

^{3; 4} , bán kính R5.

* Xét điểm M thuộc đoạn ABthỏa MA  3MB 0 OA 3OB4OM

.Gọi Hlà trung điểm AB. Ta tính đượcHI²R²HB² 21;IM  HI²HM²  22, suy ra điểm M thuộc đường tròn

 

^{C tâm I}

 

^{3; 4} , bán kính r 22.

* Ta có z₁3z₂  OA 3OB  4OM 4OM

, do đó z₁3z₂ nhỏ nhất khi OMnhỏ nhất.

Ta có



OM



min OM0 OI r  5 22. Vậy z₁3z_2min 4OM₀ 20 4 22 .

Câu 25: Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 có hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn z₁z₂ 1. Giá trị nhỏ nhất của z₁² z₂² bằng

A. 10 B.  4 3 5 C. 5 D.  6 2 5 Lời giải

Chọn A

Đặt z1 x1 y i x y1,



1, 1



^và z2  x2 y i x y2,



2, 2



^.

Khi đó

   

   

2 2

1 1

2 2

2 2

3 4 4

3 4 4

x y

x y

    



   

 và



x1x2

 

² y1y2



² 1.

Ta có



x13

 

² y14

 

² x23

 

² y23



^{2 x12y12}



^x22y22



^6



^x1x2

 

^{8 y1y2}



^.

Suy ra ^{z12 z22 2 3}



^x1x2

 

^{4 y1y2}



^{2. 3}



^242



^_



^x1x2

 

^{2 y1y2}



^2_ ^10.

Do đó 10 z₁² z₂²10.

Câu 26: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z z₁, ₂ thoả mãn

1 2 1 4 7 6 2

z   i z   i  và iz₂ 1 2i 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z₁z₂ .

A. 2 1 . B. 2 1 . C. 2 2 1 . D. 2 2 1 .

Lời giải

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z₁ và ^A



^2;1



^{; B}

 

^4;7 lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức 2 i, 4 7i . Ta có AB6 2. Phương trình đường thẳng AB là d x y:   3 0. +) z₁  2 i z₁ 4 7i 6 2 MA MB 6 2 MA MB  AB. Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z₁ là đoạn thẳng AB.

+) iz₂ 1 2i  1 iz₂ 1 2i i      1 z₂ 2 i 1.

Gọi N là điểm biểu diễn số phức z₂ và ^I

 

^2;1 là điểm biểu diễn số phức 2i. Ta có IN 1 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z₂ là đường tròn

 

^C có phương trình:



^x2

 

^{2 y1}



^{2 1.}



^,



^{2 2 1}

d I AB   , suy ra AB không cắt đường tròn.

Gọi K là hình chiếu của ^I

 

^{2;1 lên AB. Dễ thấy K} nằm trên đoạn thẳng AB. Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn

 

^{C .}

Ta có z1z2 MN KH d I AB



,



 R 2 2 1 . Suy ra min z₁z₂ 2 2 1.

Câu 27: (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho z là số phức thỏa mãn z  z 2i . Giá trị nhỏ nhất của z 1 2i   z 1 3i là

A. 5 2 . B. 13. C. 29. D. 5.

Lời giải Đặt ^{z a bi a b }



^{, }



.

Trang 22 Ta có: ^{z  z 2i  a2b2  a2 }



^{b 2}



^{2 4b    4 0 b 1}

z a i

   .

Xét: z 1 2i   z 1 3i      a 1 i a 1 2i ^



^1a



^{2 12}



^1a



^222.

Áp dụng BĐT Mincôpxki:



^1a



^{2 12}



^1a



^{222 }



^{1  a 1 a}

 

^{2 1 2}



^{2  4 9  13.}

Suy ra: z 1 2i   z 1 3i đạt GTNN là 13 khi ^{2 1}

 

^{1 1}

a a a 3

     .

Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng.

Câu 28: (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho các số phức z₁  2 i, z₂ 2 i và số phức z thay đổi thỏa mãn z z ₁² z z₂²16. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z. Giá trị biểu thức M²m² bằng

A. 15 . B. 7 . C. 11. D. 8 .

Lời giải Giả sử ^{z x yi x y }



^{, }



.

Ta có: z z ₁² z z₂²16       x yi 2 i² x yi 2 i²16^{ x2}

