Các bài toán Bất đẳng thức - Cực trị trong đề thi vào chuyên Toán năm 2020 - 2021

(1)

C Á C B À I T O Á N

B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C - C Ự C T R Ị T R O N G Đ Ề T H I C H U Y Ê N T O Á N

N Ă M 2 0 2 0 - 2 0 2 1

thuvientoan.net

(2)

https://thuvientoan.net/

Bài 1.

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy z 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

3 .

P xyyz zx x y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quãng Nam năm 2020 – 2021 Bài 2.

Cho ba số thực x y z, , dương thỏa mãn xyyzzx2xyz1. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 .

1 1 1

x y y z z x x y z  xyz

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Dương năm 2020 – 2021 Bài 3.

Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện a  b c 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 1 4 4 4

8 .

a    b c a b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021 Bài 4.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a²b²  b²c²  c²a²  2021.

Chứng minh rằng:

2 2 2

1 2012 2 2 .

a b c

b cc aa b

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Ninh Bình năm 2020 – 2021 Bài 5.

Cho x y, là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

²

 

²

2 2 .

x y x y

A x y xy

 

 



Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Định năm 2020 – 2021 Bài 6.

Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện (ab)³4ab12. Chứng minh rằng:

1 1

2020 2021.

1 1 ab

a b 

 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hưng Yên năm 2020 – 2021

PHẦN 1. ĐỀ BÀI

(3)

Bài 7.

Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x z² ²y z² ² 1 3 .z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

     

2

2 2 2

1 8 4

.

1 3 1 2

P z

x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hà Tĩnh năm 2020 – 2021 Bài 8.

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x  y z 3. Chứng minh rằng:

     

2 2 2 2 2 2

3 2 .

x y y z z x x y y z z x

xy x y yz y z zx z x xy yz zx

 

             

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Đà Nẵng năm 2020 – 2021 Bài 9.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a b b c c a .

P c ab a bc b ca

  

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021 Bài 10.

a) Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn 11 m 0.

 n  Chứng minh rằng: ³



^{11 3}



11 m .

n mn



 

b) Với a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a  b c abc4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

. Pab bc ca 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2020 – 2021 Bài 11.

a) Tìm tất cả các số thực a b c, thỏa mãn đồng thời các điều kiện a²b²c² 38,a b 8 và b c 7.

b) Cho ba số thực không âm điều kiện a b c, , thỏa mãn ^a²^^b²^^c² ^²



^{a bc ca}^ ^



^.

Chứng minh rằng: a b c  3 2³ abc.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin TP Hà Nội năm 2020 – 2021

(4)

Bài 12.

a) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abbcca3. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

8 1 1

3.

3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a 2bc 6

 

      

b) Xét các số thực x y z, , thay đổi thỏa mãn x²xyy² 5 và y²yzz² 21.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pxyyzzx.

Trích đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 – 2021 Bài 13.

Với các số thực x y, thay đổi thỏa mãn 1  x y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



² ²

  

2 4 7.

P x y  x y xy 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Dương năm 2020 – 2021 Bài 14.

Với a b c, , 0 và không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

3 a 3 b 3 c 2.

b c c a  a b 

  

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 Bài 15.

Xét a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a 1 b 1 c 1 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

. P a abb  b bcc  c caa

Trích đề thi vào lớp 10 môn Toán chung tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021 Bài 16.

Tìm tất cả các số thực x y z, , với 0x y z, , 1 thỏa mãn:

3

1 1 1

x y z

y zx z xy x yz  x y z

        .

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2020 – 2021

(5)

Bài 17.

Với a b c, , 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



¹



²



¹



²



¹



²

a b c .

P b c c a a b

  

  

  

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 Bài 18.

Cho các số thực x y z, , 1 thỏa mãn 1 1 1

x  y z 2. Chứng minh rằng:

1 1 1.

x  y z x  y  z

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Thuận năm 2020 – 2021 Bài 19.

a) Với a b, là những số thực dương thỏa mãn: 22a3b5 và 8a12b2a²3b²5ab10.

Chứng minh rằng: 3a²8b²10ab21.

b) Với a b c, , là những số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:

 

         

2 2 2

2 2 2 4.

2 2 2

a a bc b b ca c c ab

b ab c c bc a a ca b

  

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 Bài 20.

Với a b c, , là những số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:

1 1 1 2 4

3 1 1 3 a b c .

a b c abc bc ca ab

   

           

   

 

   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 Bài 21.

a) Cho hai số thực dương a b, . Chứng minh rằng: ² ²

 

²

2 2 .

2 2

a b

ab a b

   

 

b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn a b 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q b a ²⁰ ⁷.

a b

    Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP HCM năm 2020 – 2021

(6)

Bài 22.

Cho a b c, , là các số thực dương. Chứng minh rằng:

     

2 2 2

1.

5 5 5 3

a b c

a b c  b c a  c a b 

     

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Giang năm 2020 – 2021 Bài 23.

Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

₂ ¹ ₂ ₂ ¹ ₂

2 2

S a b

a ab b b ab a

 

 



        

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2020 – 2021 Bài 25.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1

2020.

x y y z z x

  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

y x z y x z

P xy yz zx

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Gia Lai năm 2020 – 2021 Bài 26.

Cho a b, là hai số thực dương thỏa mãn ab và ab1. Chứng minh rằng:

2 2

a b 2 2.

a b

 



Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Điện Biên năm 2020 – 2021 Bài 27.

Cho a b c, , là các số thực lớn hơn ¹.

3 Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 6

1 3 1 3 1 3 5.

a b c

b c c a a b

  

  

     

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đồng Nai năm 2020 – 2021

(7)

Bài 28.

Cho a b c, , là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   

³

2 2 2

3 ab bc ca a b c .

P a b c abc

   

 

 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Đắk Lắk năm 2020 – 2021 Bài 29.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a²b²c²1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



1 2



1 2



. A  a  bc

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Ninh năm 2020 – 2021 Bài 30.

Cho a b c, , là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

        

2a b c .

P

a b a c b c b a c a c b

  

     

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Yên Bái năm 2020 – 2021 Bài 31.

Cho a b c, , là các số thực dương. Chứng minh rằng:

     

 

2 2 2

3

8 27

a b c a b b c c a 16.

ab bc ca a b c

    

 

   

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 – 2021 Bài 32.

Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn ¹ , ¹, ¹

18 7 2020

x y z và ¹⁸ ⁷ ²⁰²⁰ 2.

18x 177x 62020z 2021

  

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ^A^



¹⁸^x^^{1 7}



^y^^{1 2020}



^z^^{1 .}



Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Thanh Hóa năm 2020 – 2021 Bài 33.

Cho a b c, , là các số thực dương a3b5c2020. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 15 5

3 3 5 5 .

ab bc ca

P a b b c c a

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Thái Nguyên năm 2020 – 2021

(8)

Bài 34.

Cho a b c, , là các số thực có tổng bằng 0 và  1 a b c, , 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

2 .

Pa  b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Tây Ninh năm 2020 – 2021 Bài 35.

Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn 3a²3b²8c² 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 – 2021 Bài 35.

Cho x y, là các số thực thỏa mãn x²5y²4xy3x4y27.

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: M  x 2 .y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 – 2021 Bài 36.

Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a b c  2020. Chứng minh rằng:

2 2 2

4 4 4 1 1 1

2020 2020 2020

a b c

a b  b c  c a  abc

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Quảng Nam năm 2020 – 2021 Bài 37.

Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a b c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



¹



³



¹



³



¹



³

T  a  b  c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quảng Bình năm 2020 – 2021 Bài 38.

a) Tìm tất cả các cặp số thực



^{x y}^,



^{thỏa mãn}^x²^^y²^⁸^x^^y^²^xy^{ }³ ⁰^{sao cho}^y đạt giá trị lớn nhất.

b) Cho x y, là hai số thực dương thỏa mãn xy4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   

3 3

4 2 4 2 .

x y

Q y  x

 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Yên năm 2020 – 2021

(9)

Bài 39.

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx3xyz. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

3.

3 3 3 2

x y z

y z xyz  z x xyz  x y xyz 

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021 Bài 40.

Cho x y z, , 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức:

1 2

2.

1 1

xy yz

yz  xy yz  xy 

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Phú Thọ năm 2020 – 2021 Bài 41.

Cho các số thực a b c, , thỏa mãn 0, ³, 5 a b 2 c và

2 2

2 12.

2 9

b c

a    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 3 8 2 5.

M  ab a ca c c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Long An năm 2020 – 2021 Bài 41.

Cho các số thực a b c d e, , , , . Chứng minh rằng:

 

2 2 2 2 2

. a b c d e a b c de

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Lâm Đồng năm 2020 – 2021 Bài 42.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  ab bc ca  6abc. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

a b c 3.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Lai Châu năm 2020 – 2021 Bài 43.

Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn abc1. Chứng minh rằng:

     

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 .

a b c

a b b c c a

c a a b b c

  

       

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Kiên Giang năm 2020 – 2021

(10)

Bài 44.

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx5. Chứng minh rằng:

 

2 2 2

3 2 6

3 .

5 5 6 5

x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Phòng năm 2020 – 2021

---HẾT---

(11)

**********************************

Bài 1.

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy z 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

3 .

P xyyz zx x y

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Quãng Nam năm 2020 - 2021 Lời giải

Ta có: ^P^³^xy^^yz²^^zx²^^{x y}² ^



^x^^y^^{z xy}



^^yz²^^zx²^^{x y}² ^^xy²^^yz² ^^zx²^^xyz^.

Không mất tính tổng quát giả sử 0x yz, khi đó ta có:



^x^^y



^y^^z



^y^^z



^⁰^^xy² ^^yz²^^zx² ^^{x y}² ^^{y z}² ^^{z x}² ^.

Khi đó ta có:



² ² ²



² ² ² ² ² ²

   

2P2 xy yz zx xyz xy yz zx x yy zz x2xyz xy yz zx .

Suy ra

   

2 .

x y y z z x

P   

 Áp dúng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

 

³

3 8

1 1

2 3 2 27 4.

x y z x y y z z x

P         

     

 

Suy ra P4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz1.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 4 đạt được khi xyz1.

Bài 2.

Cho ba số thực x y z, , dương thỏa mãn xyyzzx2xyz1. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 .

1 1 1

x y y z z x x y z  xyz

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hải Dương năm 2020 – 2021 Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

 

²

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 (1)

xy yz zx

x y y z z x x y y z z x

x y z xy y yz z zx x xy yz zx x y z

 

     

          

PHẦN 2. BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

(12)

Mặt khác

3

2 2 2 2 2 2

33 .

3 xy yz zx xyyzzx x y z x y z     Đặt txyyzzx với t0, từ giả thiết suy ra:

 

²

 

² ³

2 2 2 4 3

4 1 1 .

27 4

x y z   xyyzzx   t  t  t

Hay ³.

xyyzzx4 Mà ² ¹

 

¹ ³ ¹^.

4 4

xyz  xyyzzx    Suy ra ¹. xyz8 Do đó ^xy^yz^zx⁶^xyz



^xy^yz^zx



²⁶^{xyz xy}



^yz^zx



^(2).

Lại có



^xy^yz^zx



²³



^{xy yz} ^{yz zx}  ^{zx xy}



³^{xyz x}



 ^y ^z



^.

Suy ra ²



^xy^^yz^^zx



²^⁶^{xyz x}



^{ }^y ^z



^(3).

Từ (2) và (3) suy ra



^xy^^yz^^zx



²^²^{xyz x}



^{  }^y ^z ^xy^^yz^^zx



^(4).

Từ (1) và (4) suy ra

2 2 2

2 .

1 1 1

x y y z z x x  y z  xyz

   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ¹.

x  y z 2 Bài 3.

Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện a  b c 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 1 4 4 4

8 .

a    b c a b c

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021 Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

           

3 3 3 3 3 3

1 1

1 1 1

8a  a b  b c   c 8 a b c b c a c ab Ta có:

     

2 2 2 3 3

(a b c )(abbcca)



a b c abc a  b c



a bc . Do đó cần chứng minh:



² ² ²

  

¹^.

a b c abbcca 8 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 2 2 2 2 2 2

1(a b c) a b  c 2(abbcca)2 (a b c )2(abbcca)

Suy ra



² ² ²

  

¹^.

a b c abbcca 8 Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ¹, 0

a b 2 c và các hoán vị của chúng.

(13)

Bài 4.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a²b²  b²c²  c²a²  2021.

Chứng minh rằng:

2 2 2

1 2012 2 2 .

a b c

b cc aa b

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Ninh Bình năm 2020 – 2021 Lời giải

Đặt

2 2 2

a b c

Pb cc aa b

   và

2 2 2

b c a .

Qb cc aa b

  

Suy ra:

2 2 2 2 2 2

a b b c c a . P Q

b c c a a b

  

   

   Đặt x b c y,  c a z,  a b. Khi đó ta có:



^y ^{x z}

 

^z ^{y x}

 

^x ^{z y}



^yz ^zx ^xy

 

P Q x y z

x y z x y z

  

         

Áp dụng bất đẳng thức m²n²p²mnnppm, ta có:

yz zx xy yz zx zx xy xy yz .

x y z x  y  z  x  y  y  z  z  x    Từ đó suy ra P Q 0 hay PQ.

Khi đó ta có:

2 2 2 2 2 2

2 a b b c c a (1).

P P Q

b c c a a b

  

    

  

 

   

2

2 2 2 2 2 2

2021 .

2 2

a b b c c a

b c c a a b a b c a b c

    

      

      

Mặt khác 2021 ² ² ² ² ² ² 2

 

.

2 2 2

a b b c c a

a b b c c a    a b c

           

Suy ra:

 

2 2 2 2 2 2

2021 2021 2021

2 2 2 (2).

a b b c c a

a b c b c c a a b

  

    

    

Từ (1) và (2) suy ra: 1 2021

2 2

P hay

2 2 2

1 2021 2 2 .

a b c

b cc aa b

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2021 3 2 .

a  b c Ta có điều phải chứng minh.

(14)

Bài 5.

Cho x y, là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

²

 

²

2 2 .

x y x y

A x y xy

 

 



Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Định năm 2020 – 2021 Lời giải

Ta có:

 

²

 

² ² ² ² ² ² ²

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 .

2

x y x y x y xy x y xy xy x y

A x y xy x y xy x y xy

      

      

  

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 2

2 2.

2

xy x y

x y xy

  



Suy ra: A4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 đạt được khi xy. Bài 6.

Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện (ab)³4ab12. Chứng minh rằng:

1 1

2020 2021.

1 1 ab

a b 

 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hưng Yên năm 2020 – 2021 Lời giải

Với mọi x y, 0 và xy1, ta có: 1 1 2 1 x1 y1 xy.

  

Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

       

     

  

2

1 1 1 1

1 1 1 1 0

0 0

1 1 1 1

1

0 0

1 1 1 1

x xy y xy

xy x xy y y x y x x y

y xy x xy

x xy y xy

y xy

x y x x y

x y x y

   

   

   

       

   

  

 

           

Do xy1 nên bất đẳng thức cuối đúng. Đẳng thức xảy ra khi xy hoặc xy1.

Áp dúng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

 

³

 

³

12 ab 4ab 2 ab 4ab2ab abab 3 ab1.

(15)

Đặt t ab với 0 t 1. Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: 1 1 2 2 1 a1 b1 ab 1 t.

   

Ta cần chứng minh 2 ²

2020 2021.

1 t

t 



Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương:

   

3 2 2

2020t 2020t 2021t2019  0 t 1 2020t 4040t2019 0.

Bất đẳng thức cuối đúng do t1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t1 hay x y 1.

Bài 7.

Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x z² ²y z² ² 1 3 .z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

     

2

2 2 2

1 8 4

.

1 3 1 2

P z

x y z

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hà Tĩnh năm 2020 – 2021 Lời giải

Với a b, 0, ta có:

 

²

2 2

1 1 2 8 8

4 .

a b ab ab a b

 Do đó

 

²

2 2

1 1 8

a b  a b .

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab. Áp dụng bất đẳng thức trên liên tiếp, ta có:

     

2

2 2 2 2 2 2

1 4 1 1 8 8

1 1 2 1 1 1 1

1 1 1 2

2 2 2

z

x z x

x x

z z z

    

     

              

 

2 2 2 2

8 8 64 64

.

1 3 1 1

2 2 3 5

2 2 2

x y x y x y

z z z

  

      

              

     

  

     

Từ đó suy ra 64 ₂

.

1 5

2 P

x y z

    

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

   

2 2 2 2 2 2

2

3 1 4

3z 1 x z y z 6 4 x 1 y 1 2x 2 .y

z z z

 

             

(16)

Suy ra: 6 ³ ⁴ 2 2 3 ¹ .

x y 2 x y

z z z

        Do đó

 

²

64 1.

3 5

P 

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1, ¹.

x y z2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt được khi 1, ¹. x y z2 Bài 8.

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x  y z 3. Chứng minh rằng:

     

2 2 2 2 2 2

3 2 .

x y y z z x x y y z z x

xy x y yz y z zx z x xy yz zx

 

             

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Đà Nẵng năm 2020 – 2021 Lời giải

   

 

2 2 2 2 2

2 2

2 x y x y

x y x y

xy x y x y xy x y x y xy x y xy

   

          

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi công lai theo vế ta được:

 

2 2

2 2 x y

x y

xy x y x y xy

 

  

 

  

Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau là bài toán hoàn tất.

2 2 2

x y  y z  z x 3

  

Thật vậy, ta có:

 

2 4 4

2 .

x y 2 2 x y  x y

   

Do đó:

 

2 1 1 1 4 9 4 9

4 3.

2 2 2 2 6 2 3 6

x y x y y z z x x y z

   

      

             



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 9.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a b b c c a .

P c ab a bc b ca

  

  

  

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021

(17)

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

   

⁶

3 6

3 3 a b b c c a 3 ,

a b a b b c c a

P Q

c ab c ab a bc b ca c ab a bc b ca

  

   

   

      



Trong đó

   

^.

a b b c c a Q c ab a bc b ca

  

    Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

    

²

   

²

  

² ¹



²

4 4 4 .

b a c a c

c ab a bc a c b

c ab a bc

    

      

    

Viết hai bất đẳng thức tương tự ta có:

     

² ¹



²

4 a b c

a bc b ca  

   và

     

² ¹



²

4 . b c a

c ab b ca  

  

Suy ra:

       

¹



¹



¹



8 .

a b b c c a a b c

c ab a bc c ab      

   

Mà

    

^{1 1 1}



³



³



³ 6³

1 1 1 8.

27 27 27

a b c a b c

a b c        

      

Từ đó suy ra:



^c^^{ab a}



^^{bc c}



^^ab

 

^{ }^a ^{b b}



^^{c c}



^^a



^{ }^Q ^1.

Dẫn đến P3⁶ Q3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 đạt được khi a  b c 1.

Bài 10.

a) Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn 11 m 0.

 n  Chứng minh rằng: ³



^{11 3}



11 m .

n mn



 

b) Với a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a  b c abc4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2020 – 2021 Lời giải

a) Với mọi số nguyên a thì a² chia 11 dư 0, 1, 3, 4, 5, 9.

Ta có: 11 m 0 11 ² ² 0.

n m

  n   Nếu 11n²m²1 thì ^m² ^^{10 mod11 ,}

 

mâu thuẫn.

Suy ra: 11n²m²2.

(18)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 

     

 

2

2 2

2

3 11 3 9 11 3

11n m 1 11n m 6 11 3 2 .

m m

 

      

 Nếu m3 thì VP_{ }2 m²6



11 3

 

113



²m² 2 11 .n² Bất đẳng thức

 

^{2 đúng.}

 Nếu m1 thì

 

¹  ¹¹ⁿ^{3 11} ⁸ ¹¹ⁿ ⁸ ^{3 11.} Do ² ² 3

11 2

n m   n 11 nên

 

¹

đúng.

 Nếu m2 thì

 

1 2 11n3 115. Do ² ² 6

11 2

n m   n 11 nên

 

1 đúng.

Tóm lại trong mọi trường hợp ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m3,n1.

b) Ta chứng minh abbcca   a b c abc. Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 

²

     

1    a b c 1 abbcca  1 abc  1 1 a 1b 1 c 1.

Không mất tính tổng quát giả sử a b c.

Ta có: 4   a b c abc3c  c³ c 1. Ngoài ra 4   a b c abc3aa³ a 1.

Khi đó



¹^^a



¹^{ }^c



^0.

 Nếu b   1 1 b 0. Khi đó



1a



1b



1  c



0 1. Ta có điều phải chứng minh.

 Nếu b1, kết hợp với c0 và áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

          

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1.

2 2

a b a b c abc

a b c a b c a b          

              

Từ đó suy ra: abbcca   a b c abc4. Do đó P4.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 2, c0 và các hoán vị.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 đạt được khi a b 2,c0 và các hoán vị.

Bài 11.

a) Tìm tất cả các số thực a b c, thỏa mãn đồng thời các điều kiện a²b²c² 38,a b 8 và b c 7.

b) Cho ba số thực không âm điều kiện a b c, , thỏa mãn ^a²^^b²^^c² ^²



^{a bc ca}^ ^



^.

Chứng minh rằng: a b c  3 2³ abc.

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Tin TP Hà Nội năm 2020 – 2021 Lời giải

(19)

a) Từ giả thiết thứ nhất, ta có b² 3849.Do đó b7. Từ đây, kết hợp với các giả thiết thứ hai và thứ ba, ta có a 8 b và c  7 b 0.

Do đó: 38a²b²c²(8b²)b²(7b) .²

Hay 3(b5)²0. Vì 3(b5)² 0 nên dấu đẳng thức trong các đánh giá xảy ra, tức ta có b5,a3 và c2.

Vậy có duy nhất một bộ số ( , , )a b c thỏa mãn yêu cầu là (3, 5, 2).

b) Không mất tính tổng quát, giả sử a b c.

Từ giả thiết, ta có (a b c  )² 4ab. Từ đó, với chú ý a b c  0, ta có a b c  2 ab. Từ đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

( ) 2 2 2 2 3 3 2 .

a b c   a b c   c ab c ab ab c abc Đây chính là kết quả cần chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

4 b c a hoặc

4

cab hoặc . 4 ab c

Bài 12.

a) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abbcca3. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

8 1 1

3.

3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a 2bc 6

 

      

b) Xét các số thực x y z, , thay đổi thỏa mãn x²xyy² 5 và y²yzz² 21.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pxyyzzx.

Trích đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán trường Archimedes năm 2020 – 2021 Lời giải

a) Ta có: â²²^bc ⁶ â²⁴^bc²âb²âcâ² 



^b ^c



²²^ab²^ac



^a ^b ^c



²^.

Suy ra:

2

1 1

.

2 6 a b c

a bc

  

   

Mặt khác ²^b²^²^bc^⁵^c² ^^b²^⁴^c²^²^bc^



^b²^^c²



^^b²^⁴^c²^⁴^bc^{ }



^b ²^c



²^.

Suy ra: 2b²2bc5c²  b 2 .c

(20)



⁴^{ }³ ^{2 4}

 

^a²^³^b^²^c²



^



⁴^a^³^b^²^c



²^^{3 4}^a²^³^b²^²^c² ^⁴^a^³^b^^{2 .}^c

Từ đó ta có:

 

2 2 2 2 2

8 8 2

4 3 2 2 .

3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a b c b c a b c

 

     

    

Từ đó ta suy ra:

2 2 2 2 2 2

8 1 1 1

3.

3 4a 3b 2c 2b 2bc 5b a 2bc 6 a b c

  

        

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

  

2 2 2

2 2 2 2 3 2 3 2 3 3

2 4 4 2 2 2 2 2

x z z x z

x xy y y yz z y x z y y x y

           

           

                     

Suy ra: ¹⁰⁵



² ²



² ²



³

 

²^.

x xy y y yz z 4 xy yz zx

       

Hay Pxyyzzx2 35.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 35.

Bài 13.

Với các số thực x y, thay đổi thỏa mãn 1  x y 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



² ²

  

2 4 7.

P x y  x y xy 

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bình Dương năm 2020 – 2021 Lời giải

Ta có: ^P^²



^x²^^y²



^⁴



^x^{ }^y ^xy



^{ }⁷ ²



^x^^y



²^⁴



^x^{  }^y



⁷ ²



^x^{ }^y ¹



²^{ }⁵ ^5.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 

1 1

0; 4 .

1 5

y x y x

x y x

     

 

 

     

 

Chẳng hạn x2; y3 hoặc x3; y4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 đạt được khi y x 1 và x



0; 4 .



(21)

Bài 14.

Với a b c, , 0 và không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

3 a 3 b 3 c 2.

b c c a  a b 

  

Trích đề thi thử vào chuyên Toán trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2020 – 2021 Lời giải

Không mất tính tổng quát giả sử c0, khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: ³ a ³ b 2.

b a  Bất đẳng thức này đúng theo AM – GM. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi ab c, 0.

Xét a b c, , 0 ta chỉ cần chứng minh: ³ a ³ b ³ c 2.

b c c a a b 

  

Đặt

3 3 3

, a x b y c z

 

 

 

với x y z, , 0, bất đẳng thức trở thành:

3 3 3 3 3 3 3

3 3

x y z 2.

y z z x x y

  

  

Xét x y z, , 0. Ta có:

3 3 2 2

3

x x .

y z y z

  

Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tường đương với: ^yz^__²



^y²^^z²



^{ }



^y ^z



²^__^^0.

Bất đẳng thức cuối đúng do x y, 0 nên ta có điều phải chứng minh.

Từ đó ta cần chứng minh:

2x 2 2y 2 2z 2 2.

y z z x x y

  

  

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 .

2

x x x

x y z

y z x y z

 

 

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi

2 2 2

0.

x y z

y z x x y z

z x y

  

      

  



Do x y z, , 0 nên đẳng thức không xảy ra.

Do đó:

3 3 3 3 3 3 3

3 3

x y z 2.

y z z x x y

  

  

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi có một trong ba số bằng 0, hai số còn lại khác 0.

(22)

Bài 15.

Xét a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a 1 b 1 c 1 6.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a²abb²  b²bcc²  c²caa².

Trích đề thi vào lớp 10 môn Toán chung tỉnh Nam Định năm 2020 – 2021 Lời giải

 

²

   

36 a 1 b 1 c1 3 a     1 b 1 c 1 3 a  b c 3 . Suy ra a  b c 9.

Mặt khác ² ² ³

 

² ¹

 

² ³

 

² ² ² ³

 

^.

4 4 4 2

a abb  ab  ab  ab  a abb  ab Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được ^P^ ³



^a^{  }^b ^c



^{9 3.}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ a  b c 3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9 3 đạt được khi a  b c 3.

Bài 16.

Tìm tất cả các số thực x y z, , với 0x y z, , 1 thỏa mãn:

3

1 1 1

x y z

y zx z xy x yz  x y z

        .

Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2020 – 2021 Lời giải

Từ giả thiết, ta có 1yzxx²xyxzx x( yz). Suy ra:

1

1 ( )

x x

y zx x x y z  x y z

      .

Chứng minh tương tự, ta cũng có: 1 1

y

z xy  x y z

    và 1

1 . z

x yz x y z

   

Do đó 3

1 1 1

x y z

y zx z xy x yz  x y z

        .

Mặt khác, theo giả thiết thì dấu đẳng thức trong bất đẳng thức tren phải xảy ra. Nghĩa là, dấu đẳng thức trong từng đánh giá phụ cũng phải xảy ra, tức ta phải có xyz1. Thử lại, ta thấy thỏa mãn.

Vậy có duy nhất một bộ số ( , , )x y z thỏa mãn yêu cầu là (1,1,1).

(23)

Bài 17.

Với a b c, , 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



¹



²