Bất đẳng Thức Và Cực Trị Hàm Nhiều Biến – Lê Văn Đoàn

Chuyên đề

Bài 1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG



 Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)

 , a b0, thì: a b 2 a b. . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: a b .

 , , a b c0, thì: a b c  3.³a b c. . . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: a b c  . Nhiều trường hợp đánh giá dạng:

2

2 . 2

a b a b

ab  a b   

    

  và

3

. . 3

a b c a b c    

  

 

 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)

  , , , a b x y, thì: ( .a x b y . )²(a²b²)(x²y²) . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: a b xy

  , , , , , a b c x y z, thì: ( .a x b y c z .  . )²(a²b²c²)(x²y²z²) . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: a b c

xyz

Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a x b y.  .  (a²b²)(x²y²).

Hệ quả. Nếu , , a b c là các số thực và , , x y z là các số dương thì:

2 2 2

( )

a b a b

x y x y

  

 và

2 2 2 2

( )

a b c a b c

x y z x y z

    

  : bất đẳng thức cộng mẫu số.

 Bất đẳng thức véctơ

Xét các véctơ: u( ; ), a b v( ; )x y

 

. Ta luôn có: u  v u v

   

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) .

a b x y a x b y

        Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi u

 và v



cùng hướng.

 Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp

 x³y³(x y )³3 (xy x y ).  x²y²z² (x y z  )²2(xy yz zx  ).

 x³y³z³(x y z  )³3(x y y z z x )(  )(  ).

 x³y³z³3xyz(x y z x  ) ²y²z²(xy yz zx  ) .

 (a b b c c a )(  )(  )ab²bc²ca²(a b b c c a²  ²  ² ).

 (a b b c c a )(  )(  ) ( a b c ab bc ca  )(   )abc.



3 3 3

2 2 2 2 2 2 2( ) 6

( ) ( ) ( ) 2( ) a b c abc

a b b c c a a b c ab bc ca

a b c

  

            

 

 (a b )³(b c )³(c a )³3(a b b c c a )(  )(  ).

 ^{2 2} 2 ² 2 ²

.( ) . ( ) ( )

4 2

a b ab    a b    a b

        và

2 2 2

( ) ( )

2

a b a b

ab   

 

 Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ

Các đánh giá cơ bản thường được sử dụng (không cần chứng minh lại) a.  ; ; x y z0 ^{suy ra} x²y²z²xy yz zx  .

b.  ; ; x y z0 ^{suy ra} (x y y z z x )(  )(  ) 8 xyz. c.  ; ; x y z ^{suy ra} 3(x²y²z²) ( x y z  ) .²

d.  ; ; x y z0 ^{suy ra} (x y z x  )( ²y²z²) 3( x y y z z x²  ²  ² ).

e.  ; ; x y z0 ^{suy ra} (x y z  )²3(xyyz zx ).

BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

11

f.  ; ; x y z0 ^{suy ra} x y^{2 2}y z^{2 2}z x^{2 2}xyz x y z(   ).

g.  ; ; x y z0 ^{suy ra} (xy yz zx  )²3xyz x y z(   ).

h.  ; ; x y z ^{suy ra} 3(x y^{2 2}y z^{2 2}z x^{2 2}) ( xy yz zx  ) .²

i. 9

; ; ( )( ) ( )( )( ).

8

suy ra

x y z x y z xy yz zx x y y z z x

          

Các bất đẳng thức phụ thường được sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng)

j. ^{3 3} 1 ³

; 0 ( ) .

4

suy ra

x y x y x y

     

k. 1 ₂ 1 ₂ 2

1 1 1 1

suy ra

xy x y xy

    

   và 1 ₂ 1 ₂ 2

1 1 1 1

suy ra

xy x y xy

     

  

Suy ra: 1 1 2

1 1 1 1

suy ra

xy x y xy

    

   và 1 1 2

1 1 1 1

suy ra

xy x y xy

     

  

l. 1 ₂ 1 ₂ 1

; 1

(1 ) (1 ) 1

suy ra

x y x y xy

     

  

m. 2 2

1 1 2

; 0;1

1 1 1

suy ra

x y x y xy

        

  

n.

, 0 1 1 2 2

1 1 1

1

suy ra

x y

x y x y x y

      

          

        



Chứng minh các đánh giá cơ bản a. Chứng minh:  ; ; x y z0 ^{suy ra}x²y²z²xy yz zx  .

Áp dụng BĐT Cauchy:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 .

2 2

x y x y xy

y z y z yz x y z xy yz zx

z x z x zx



   



        



   



Dấu " " khi xyz.

b. Chứng minh:  ; ; x y z0 ^{suy ra} (x y y z z x )(  )(  ) 8 xyz.

Áp dụng BĐT Cauchy ^{2 2 2}

2

2 ( )( )( ) 8 .

2

nhân

x y xy

y z yz x y y z z x x y z xyz

z x zx

  



       



  



Dấu " " khi xyz.

c. Chứng minh:  ; ; x y z ^{suy ra} 3(x²y²z²) ( x y z  ) .² Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số, ta được:

2 2 2 2

2 2

2 2 2 ( ) 2 2 2 2

3( ) ( ) .

1 1 1 3

y x y z

x z

x y z   x y z x y z

            Dấu " " khi xyz.

d. Chứng minh:  ; ; x y z0 ^{suy ra} (x y z x  )( ²y²z²) 3( x y y z z x²  ²  ² ).

Ta có: (x y z  )(x²y²z²) ( x³xy²) ( y³yz²) ( z³zx²)x y y z z x²  ²  ² Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu (…) ta được:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(x y z x  )( y z ) 2 x y2y z z x x y y z z x    3(x y y z z x  ). Dấu " " khi xyz. e. Chứng minh:  ; ; x y z0 ^{suy ra} (x y z  )²3(xyyz zx ).

Ta có: (x y z  )² x²y²z²2(xy yz zx  ) 3( xy yz zx  ). Dấu " " khi xyz. f. Chứng minh:  ; ; x y z0 ^{suy ra}x y^{2 2}y z^{2 2} z x^{2 2}xyz x y z(   ).

Đặt: a xy b ; yz c; zx thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

2 2 2

a b c ab bc ca  : luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.)

Dấu đẳng thức khi xyz hoặc yz0 hoặc xy0 hoặc zx0.

g. Chứng minh:  ; ; x y z0 ^{suy ra} (xy yz zx  )²3xyz x y z(   ).

Đặt: a xy b ; yz c; zx thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

(a b c  )23(ab bc ca  ): luôn đúng theo BĐT e.

Dấu đẳng thức khi xyz hoặc yz0 hoặc xy0 hoặc zx0.

h. Chứng minh:  ; ; x y z ^{suy ra} 3(x y^{2 2}y z^{2 2} z x^{2 2}) ( xy yz zx  ) .² Ta có:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2

3( ) 3 ( ) .

1 1 1

Cauchy Schwarz

xy yz zx

x y y z z x xy yz zx

  

         

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi xyz.

i. Chứng minh: 9

; ; ( )( ) ( )( )( ).

8

suy ra

x y z x y z xy yz zx x y y z z x

          

Ta có: ( )( )( ) 2 . . 8 .

Cauchy

x y y z z x    xy yz zx xyz

Mặt khác: (x y z xy yz zx  )(   )xyz(x y y z z x )(  )(  ). Suy ra:

1 9

( )( ) 1 ( )( )( ) ( )( )( ).

8 8

x y z xy yz zx   x y y z z x x y y z z x

             

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi: xyz.

Chứng minh các bất đẳng thức phụ

j. Chứng minh: ^{3 3} 1 ³

; 0 ( ) .

4

suy ra

x y x y x y

     

Ta có:

2 3

3 3 3 3 ( )

( ) 3 . ( ) ( ) 3. .( )

2 4

Cauchy x y x y

x y x y x y x y x y    x y 

            

  Dấu " " khi xy.

k. Chứng mnh: 1 ₂ 1 ₂ 2

1 1 1 1

suy ra

xy x y xy

    

   và 1 ₂ 1 ₂ 2

1 1 1 1

suy ra

xy x y xy

     

  

Chứng minh: 1 ₂ 1 ₂ 2

1 1 1 1

xy x y xy

    



  (1) Bất đẳng thức (1) tương đương với: 1 ₂ 1 1 ₂ 1

1 1 0

1 x xy 1 y xy

 

 

   

       

   

2 2

2 2 2 2

( ) ( )

0 0

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

xy x xy y x y x y x y

x xy y xy x xy y xy

   

     

       

2 2

2 2 2 2

(1 ) y(1 x ) ( ) (y )

( ) 0 ( ) 0

(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

x y x y xy x

y x y x

x y xy x y xy

     

       

     

2

2 2

( ) ( 1)

(1 )(1 )(1 ) 0 y x xy

x y xy

 

 

   : đúng xy1. Dấu " " khi xy hoặc xy1.

Chứng minh: 1 ₂ 1 ₂ 2

1 1 1 1

xy x y xy

    

   (2) Ta làm tương tự và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy hoặc xy1.

Suy ra: 1 1 2

1 1 1 1

xy x y xy

    

   và 1 1 2

1 1 1 1

xy x y xy

     

  

Mở rộng:  ; ; x y z1 thì 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 3 1 1 x 1 y 1 z  xyz

    (3)

Chứng minh: Ghép từng cặp xoay vòng, cộng lại. Dấu " = " khi và chỉ khi: xyz1.

l. Chứng minh: 1 ₂ 1 ₂ 1 ; 1

(1 ) (1 ) 1

suy ra

x y x y xy

     



 

Ta có:

2

2 2

1 1 1 1 1 2 1

1 1 1 (1 )(1 ) 1 0

(1 x) (1 y) xy x y x y xy

 

       

     

   

2 2

2 2 2 2

( ) 1 ( ) ( 1)( 1)

0 0

(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

y x xy x y y x x y

x y xy x y xy

x y x y

      

     

     

    : đúng x y, 1.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy1.

m. Chứng minh:

2 2

1 1 2

; 0;1

1 1 1

suy ra

x y x y xy

        

  

Ta có: ^{2 2} _{2 2}

2 2

1 1 1 1

1. 1. 1 1 .

1 1

1 1

Cauchy Schwarz

x y

x y



   

 

 

(1)

Mặt khác x y, (0;1), thì 1 ₂ 1 ₂ 2 1

1 x 1 y  xy

   (2) Thật vậy:

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

(2) 0 0

1 1

1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 )

xy x xy y

xy xy

x y x xy y xy

 

   

               

2

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( 1)

0 0 :

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

x y x y x y y x xy

x xy y xy x y xy

   

    

       đúng xy1.

Từ (1), (2), suy ra:

2 2

1 1 2

1 ,

1 x 1 y xy

 

  

; 0;1 . x y

    Dấu đẳng thức xảy ra khi: xy.

n. Chứng minh:

, 0 1 1 2 2

1 1 1

1

suy ra

x y

x y x y x y

      

              

Ta có: 1 1 1 4 ₂ 4 1 4 ₂ 1 1 4

( ) ( )

ĐT xy x y x y x y xy x y x y x y

B          

 

 

2 2

2

( ) ( )

( )

( )

x y x y

xy x y xy x y

 

 

  (x y) (12 x y) 0 :

     đúng với mọi x y 1 và dấu " " khi và chỉ khi: xy.

§ 2. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ



I. Bài toán hai biến có tính đối xứng

VD 1. (CĐ – 2008) Cho hai số , x y thỏa mãn điều kiện: x²y²2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P2(x³y³) 3 xy. ĐS:

min 7 khi 1

13 1 3 1 3

max khi ;

2 2 2

P x y

P x y

     

 

 

  





VD 2. Cho hai số thực dương , x y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y  1 3xy. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức: 3 3 1₂ 1₂

( 1) ( 1)

x y

Py x x y x y 

  ĐS: maxP1 khi xy1.

VD 3. (D – 2009) Cho x y, 0 thỏa mãn điều kiện: x y 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: P(4x²3 )(4y y²3 ) 25x  xy. ĐS:

191 2 3 2 3

min khi ;

16 4 4

25 1

max khi

2 2

P x y

P x y

 

  



 

   





VD 4. Cho các số thực , x y thỏa: 2x3 2y3x y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:

2 2

8 5 2( 1)( 1).

P x y x y  x y ĐS:

3 3

min 2 8 5 khi ;

2 2

7 1

max 34 khi ;

2 2

P x y

P x y

     



 

   



VD 5. Cho , x y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2x²2y²xy1. Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của: P7(x⁴y⁴) 4 x y^{2 2}. ĐS:

2 2

18 5 5

min khi ;

25 5 5

70 7 20

max khi ,

33 33 33

P x y

P xy x y

    



 

    





VD 6. Cho , x y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x²xy y ²1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4

2 2

1 1 x y

P x y

 

 

  ĐS: 11

minP15 và maxP6 2 6.

VD 7. (B – 2011) Cho , a b0 thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2(a²b²)ab(a b ab )( 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của:

3 3 2 2

3 3 2 2

4 a b 9 a b

P b a b a

   

      

   

ĐS: 23

minP  4 khi 2, 1 1, 2

a b

a b

  

 

 



VD 8. (HSG – Hà Tĩnh – 2014) Cho các số thực dương , x y thỏa: 1 1

2 3 x y

x y y x

   

     

 

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2 2

4 4

( ) x y 3

P x y

y x xy

 

     

 

ĐS: 2596

minP 81 khi 1 3 x y

 

 



hoặc 3 1 x y

  

 

 II. Bài toán hai biến có tính đẳng cấp

VD 9. Cho các số thực dương x và y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x²y² 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:

2

2 2

2

3 2

P xy y

x xy y

  

  ĐS: max 1 khi 0;

min 0,5 khi 0

P x y

P x y

    

 

     





VD 10. (B – 2008) Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn hệ thức: x²y²1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:

2

2

2( 6 )

1 2 2

x xy

P xy y

  

  ĐS: maxP3 khi ₂ 3 ₂

1

x y

x y

 

 

 



VD 11. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 4x²2xy y ²3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Px²2xy y ². ĐS: minP 2 và 1

maxP3

VD 12. (D – 2013) Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa điều kiện: xyy1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của:

2 2

2

6( )

3

x y x y

P x xy y x y

 

  

  

ĐS: 5 7

maxP 3 30 khi 1

; 2.

x2 y

VD 13. Cho x và y là các số thực dương thỏa: 2 (11y² x²1) 8 x⁴6y⁴1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

2 2 2 2

( )( 4 )

P x y

x y y x y

 

  

ĐS: 2 1

minP 5

 khi 1

; 1.

x2 y VD 14. Cho x và y là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

4 2 2

2 2

9 8 xy x x y

P x y

 

 



ĐS: 3 2

maxP 4 khi x6 2 và y1.

VD 15. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y 2. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P7(x2 ) 4y  x²2xy8y². ĐS: maxP8 khi 4 2

3; 3 x y 

III. Bài toán có hai biến mà cần đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau

VD 16. (D – 2012) Cho các số thực dương x và y thỏa: (x4)²(y4)²2xy32. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của: Px³y³3(xy1)(x y 2). ĐS: 17 5 5

minP 4

 khi 1 5

x y 4

  

VD 17. Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: , x y1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3 2 2

( 1)( 1)

x y x y

P x y

  

 

  ĐS: minP8 khi xy2.

VD 18. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2₄ 2₄ 3 ₂

( )

Px y  x y 

 ĐS: 13

minP 8 khi x 5 1,  y 5 1. VD 19. Cho hai số thực dương , a b khác nhau và thỏa mãn điều kiện: a²2b12. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: 4₄ 4₄ 5 ₂

8( )

Pa b  a b 

 ĐS: 27

minP64 khi a2; b4.

VD 20. (B – 2006) Cho x y, . Tìm giá trị nhỏ nhất: P x²y²2x 1 x²y²2x 1 y2 . ĐS: minP2 3 khi 3

0, 3 x y  VD 21. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa: 3

; 5

x y và 6xyx y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3₂ 1 3 ₂ 1

(3 )(3 ).

9 1 9 1

x y

P x y y x

y x

 

    

  ĐS: 34

minP 9 khi 1 xy3

VD 22. Cho các số dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y xy  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3

2 2

1 1

4 x 4 y .

P x y

y x

     

       

 

 

ĐS: minP64 2 khi xy1.

VD 23. (D – 2014) Cho hai số thực dương thay đổi x và y thỏa: 1x y; 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2

2 2 1

4( 1)

3 5 3 5

x y y x

P x y y x x y

 

   

 

    ĐS: 7

minP8 khi x1, y2.

VD 24. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2x²2y²1 /xy5. Tìm giá trị

lớn nhất của: 3 ₂ 3 ₂ 4

1 1 1 2

P x  y  xy



  ĐS: 32

maxP15 khi 1 xy2 VD 25. Cho , a b0, thỏa: ^{4 4} 1

2 2 16

ab a b 2

    ab Tìm giá trị lớn nhất: 2 ₂ 2 ₂ 3 1 4

1 1 4

P a  b  ab

   ?

VD 26. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa điều kiện: x⁴y⁴4 6 / xy. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: 1 1 3 2_{2 2}

1 2 1 2 5

P xy

x y x y

    

    ĐS: minP1 khi xy1.

VD 27. Cho x y, 0 thỏa mãn: x y, (0;1) và (x³y³)(x y )xy x( 1)(y1) 0. Tìm giá trị lớn nhất

của: ²

2 2

1 1

( ) .

1 1

P xy x y

x y

    

 

ĐS: 6 1

maxP 109 khi 1 xy3

VD 28. Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa điều kiện: a²b²  a b 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2

2 2 2

1 1

2

( ) 1

a b a b

P a a b b a b

    

    

   

 

ĐS: 2 5

min 4

P  5 khi a b 1.

VD 29. Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa điều kiện: ^{4 4} 6 4 a b

  ab Hãy tìm giá trị nhỏ

nhất của: 1 1 _{2 2}

2 1 2 1 1

a b ab

P a b a b

 

   

    ĐS: 1

minP3 khi a b 1.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x²y²x y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: Px³y³x y y x²  ² . ĐS: min 0 khi 0

max 4 khi 1

P x y

P x y

   

 

  



BT 2. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x²y²1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: 1 1

( 1) 1 ( 1) 1

P x y

y x

   

        

 

 

ĐS: minP4 3 2 khi 1 xy 2

BT 3. Cho x y, 0 thỏa: (xy1)(9 xy2xy) 7( x²y²) 2 xy2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của: 1 1

P xy xy

xy xy

     ĐS:

min 4 khi 1

27 2

max khi 1

4 2

P x y

x y

P x y

   

   

   

   

 



BT 4. Cho các số thực x và y thỏa mãn điều kiện: x1, y1 và 4xy3(x y ). Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của: ^{3 3} 3₂ 3₂

P x y

x y

     ĐS:

65 3

min khi

12 2

1, 3 max 74 khi

3, 1 3

P x y

x y

P x y

   



    

  

   



BT 5. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy x ²y²3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: Px⁴y⁴4xy x y ^{3 3}. ĐS: min 5 khi 1

max 33 khi 3

P x y

P x y

   

 

    



BT 6. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: , x y1 và x y xy  8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: Px²y²x y^{2 2}. ĐS:

min 24 khi 2

51 7

max khi , 1

2 2

P x y

P x y

   

 

   



BT 7. Cho các số thực x và y thỏa: x y  y 1 2x4 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của: 1 ²

9 ( ) .

P x y x y

x y

     

 ĐS:

min 2 2 2 khi 2, 1 33 2 5

max khi 4, 0

2

P x y

P x y

     

 

 

  



BT 8. (A – 2006) Cho , x y là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện: (x y xy ). x²y²xy. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1₃ 1₃

Px y  ĐS: maxP16 khi 1 xy2

BT 9. Cho các số không âm x và y thay đổi thỏa: x y xy  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của: ^{2 2} 3 3

1 1

y xy P x y x

y x x y

     

   ĐS:

min 3 khi 1

2

max 0 khi 0, 3

P x y

P x y

    

 



   

 BT 10. Cho các số thực dương , .x y Hãy tìm giá trị lớn nhất của:

4 4 2 2

4 2

5

( ) ( )

x y x y xy

P x y x y x y

 

   



 

ĐS: 7

maxP2 khi xy.

BT 11. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy0 và x y 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:

2 3

3 3

4 8 x y y

P x y

  

 ĐS:

min 0,5 khi 0, 0 max 1 khi 4

6

P x y

P x y

    

 

  



BT 12. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x²3y² 1 y x(3 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

2 2 2

2 2 8

2 2

x y x xy y

P x y xy y

  

  

 

BT 13. Cho x và y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x²xy y ²2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Px²2xy7 .y²

Đáp số: minP 16 khi 7 7 , 3

2 2

x  y  và 8

maxP3 khi 2 2

5 ;

21 21

x  y  

BT 14. Cho x và y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: x²3y²xy2 và y0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Px²xy2 .y²

BT 15. Cho x y, 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

(4 3) (4 3)

4

x x y y

P x y xy

  

 

  Đáp số: minP2 khi xy0,5.

BT 16. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: ^{4 4} 2 3xy 3 x y

   xy Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ₂ 16₂ ^{2 2}

2 .

P x y

x y

 

  ĐS: 20

maxP 3  khi xy 2.

BT 17. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y y x x y²  ²   3xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2

2 2 (1 2 ) 3

2 P x y xy

xy

 

    ĐS: 71

minP 4 khi xy2.

BT 18. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x2y xy 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

4 8 1

y P x

y x

  

  ĐS: 8

minP5 khi x4, y2.

BT 19. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y  x 1 2y2. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Px²y²2(x1)(y1) 8 4 x y .

Đáp số: minP18 khi x1, y 1 và maxP25 khi x2, y1.

BT 20. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 3y²y 3x² 3. Tìm giá trị lớn nhất của: P xy(x y )³12(x1)(y1). ĐS: maxP10 khi 3

xy2

BT 21. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: (x²y²1)²3x y^{2 2} 1 4x²5 .y² Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2

2 2

2 3

1

x y x y

P x y

 

 

  Đáp số: minP1 khi x0; y 1 và 4

maxP3 khi x0; y  2.

BT 22. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 1 1

3 x y 2.

y x x y x y

 

     

 

 

Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 2 4

2 2

1 1 y 3

P x xy

y x

y x

  

      

 

 

BT 23. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 5(x y xy )( 3) 6( x²y²) 20 xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 3 2

4 3 2

4 4 3 3 2 2

9 x y 16 x y 25 x y

P y x y x y x

     

         

     

Đáp số: 14156

minP 27 khi a1, b3 hoặc a3, b1.

BT 24. Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn điều kiện: (a²2 )b^{2 2}3a b^{2 2}2(a²b²)(a²2 ).b² Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

3 3 3

3 3 2 2

( ) 2 5 ( ) 2 5

8

( )

a b a b a b a b

a b b

P b a ab a b

         

    

   

 Đáp số: min 97

P 3 khi a b c  1.

BT 25. Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x²4y²4xy x 2y2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P4x8y6xy1. ĐS: maxP12 khi x1; y0,5.

BT 26. Cho hai số thực x và y thỏa mãn điều kiện: x y 2 x2 y 1 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của biểu thức: 2(1 )

( ) ( )

2 2

xy x y x y

P x y y x

x y

 

     



BT 27. Cho , x y là hai số thực dương thay đổi thỏa: 3x²8y³20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

4 4 1

( )

Px y  x y 

 ĐS: minP6 khi x2, y1.

BT 28. (B – 2009) Cho các số thực , x y thay đổi thỏa: (x y )³4xy2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P3(x⁴y⁴x y^{2 2}) 2( x²y²) 1. ĐS: min 9

P 16 khi 1

xy 2

BT 29. Cho x và y là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: 4(x²y²xy) 1 2(  x y ).

Tìm giá trị lớn nhất của: Pxy x y x²y². ĐS: 3

minP4 khi 1 xy2 BT 30. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 1 1

1 1 4.

x y

y x

   

   

   

 

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của: Pxy 1x² 1y². ĐS: minP9 2 10 khi xy3.

BT 31. Cho x và y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y 2 x2 3 y2014 2012. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: ^{2 2} 2015 2 1

( 1) ( 1)

1 xy x y

P x y

x y

  

     

 

Đáp số: 2015

min 4044122

P  2013 khi 2

2014 x y

  

 



và 2015

max 4096577

P  2026 khi 2

2023 x y

  

 



BT 32. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa: x²9y²1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

( 1) 3(2 1) (3 1)

3 1

x xy y

P x y

    

 

  HD:

3 1

( ) 4,

1 2;1 2

t x y f t t

t t

   

   

 

  

  



BT 33. Cho x và y thỏa mãn điều kiện: x⁴16y⁴(2xy1)²2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Px x( ²3) 2 (4 y y²3). HD: Bài toán đối xứng theo x, 2 .y

BT 34. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện:

3 3

2 2

3 2

3 x y

xy y x x y

     Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ₂ 16₂ ^{2 2}

2 .

P x y

x y

 

  ĐS: 20

minP 3 khi xy 2.

BT 35. Cho x y, 0 thỏa: x y xy  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 4 4

2 7 3 .

1 1

x y

P xy xy

y x

    

 

Đáp số: minP6 khi xy1.

BT 36. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn điều kiện: x²xy y ²(x y xy )( 1). Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2

2 2

2

4( 1)

( )

3( )

x y xy y

P x y

x y x

xy

   

      

   ĐS: minP55.

§ 3. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM BA BIẾN SỐ



I. Ba biến đối xứng 1. Đặt ẩn phụ trực tiếp

VD 30. Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x²y²z² 1. Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức: 1

2 2 2

P xy yz zx

x y z

    

  ĐS: 3

max 2

P  3 khi 3

xyz 3  VD 31. Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện: x y z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: ^{2 2 2} _{2 2 2}

3 xy yz zx

P x y z

x y z

 

    

   ĐS: 7

minP2 khi xyz1.

VD 32. Cho , , x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x²y²z²1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: ² ₂8

( 2 )

( ) 2

P xy yz zx

x y z xy yz

    

     ĐS: minP3 khi 2

, 0.

x   z 2 y VD 33. Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện: 1 16 ^{2 2 2}

4 .

xyz x y z

    Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:

3

2 2 2

4 3

1 4( )

xyz xyz

P x y z

  

   ĐS: 13

maxP28 khi 1

xyz4

VD 34. Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện: x²y²z²2xyz1. Hãy tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: ₂ 1_{2 2} ^{2 2 2 2 2 2}

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ).

P x y z y z x z x y

x y z

         

 

ĐS: maxP2 khi xyz. 2. Đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau

VD 35. Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện: 3

x y z  2 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

2 2

1 1 1

x y z

P y  z  x xyz ĐS: 15

minP 2 khi 1

xyz2

VD 36. Cho các số thực dương , , x y z thỏa điều kiện: x y z  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3 3

3 3

8 3

x y z

P xyz  

   ĐS: maxP9 khi xyz1.

VD 37. Cho , , x y z là các số thực dương thỏa: x²y²z²1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3

2 1 1

( )

2

x y z

P x y z

xyz xy yz zx

   

        

ĐS: minP4 khi 1 xyz 3

VD 38. Cho , , x y z là các số thực dương thỏa: xyz và x²y²z²5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P(x y y z x z xy yz zx )(  )(  )(   ). ĐS: maxP4 khi x2; y1; z0.

VD 39. Cho , , x y z không âm thỏa mãn điều kiện: x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3( ) 3( ) .

P x y y z z x  xy yz zx  x y z ĐS: minP1 khi ( ; ; ) (1; 0; 0).x y z  VD 40. (B – 2010) Cho , , a b c không âm thỏa mãn điều kiện: a b c  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3( ) 3( ) 2 .

P a b b c c a  ab bc ca   a b c ĐS: minP2 khi ( ; ; ) (1; 0; 0).a b c 

VD 41. Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện: x y z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ^{2 2 2} ₂xy yz zx_{2 2}

P x y z

x y y z z x

 

    

  ĐS: minP4 khi xyz1.

VD 42. Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện: x²y²z² 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

2 2 2

(x y z 1) 1 1 1 P x y y z z x x y z

  

    

  ĐS: 13

minP 3 khi xyz1.

VD 43. (HSG Bình Phước 2014) Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

1 2

( 1)( 1)( 1) 1

P x y z x y z

  

  

  

ĐS: 1

maxP4 khi xyz1.

VD 44. Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện: x1, y0, z0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

1 2

( 1)( 1)

2 2

P x y z x x y z

  

 

   

ĐS: 1

maxP4 khi yz1, x2.

VD 45. Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2 2 2

9 16

( 2 )( 2 ) 1

P x z y z xy x y z

  

    

ĐS: minP 5 khi xyz1.

VD 46. (B – 2013) Cho , , a b c là các số thực dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

2 2 2

4 9

( ) ( 2 )( 2 )

4

P a b c a b a c b c

  

  

  

ĐS: 5

maxP8 khi a b c  2.

VD 47. Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

8 2

( )( )( )

xyz x y z

P x y y z z x  yzx 

   ĐS: minP2 khi xyz.

VD 48. Cho các số thực không âm , , x y z thỏa điều kiện: x²y²z² 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

16 1

1

xy yz zx

P x y y z z x x y z

  

  

 

  

ĐS: 28

minP 3 khi xyz1.

VD 49. Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện: xyz1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: 72

( )( )( ).

P 1 x y y z z x

x y z

    

   ĐS: minP44 khi xyz1.

VD 50. Cho các số thực dương , , x y z thỏa điều kiện: xyz1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3

1

( 2) ( 2) ( 2) 2 3

x y z

Py z z x x y  x y z 

      ĐS: 12 6

minP 12

 khi xyz1.

VD 51. Cho các số thực dương , , x y z thỏa: x²y²z²xy yz zx  6. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của:

3 3 3

2 2 2

54 9 ln( ).

6 y

x z

P x y z

xy yz zx

y z x

      

   ĐS: minP9 9 ln 3 khi xyz1.

VD 52. Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x²y²z²2(y1). Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1

2 2 .

P 1 xy yz

x y z

  

   ĐS: 21

maxP 5 khi xz1; y2.

VD 53. Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2 2 2

3 3 3 2 2 2

13

3( )

x y y z z x xyz

P z  x  y  xy yz zx 

  ĐS: 40

minP 9 khi xyz.

VD 54. Cho , , a b c0 thỏa điều kiện: 3(a⁴b⁴c⁴) 7( a²b²c²) 12 0.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

2 2 2

a b c

Pb cc aa b

   ĐS: minP1 khi a b c  .

VD 55. Cho các số thực dương , , x y z thỏa điều kiện: 3(x y z  )x²y²z²2xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 20 20

2 .

P x y z

x z y

    

  ĐS: minP26 khi x1; y2; z3.