[PTMH TOAN 2021] DẠNG-04-CỰC-TRỊ-CỦA-HÀM-SỐ-GV.docx

(1)

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1. Hàm số ^{f x}

 

xác định trên tập D .

 Điểm ⁰

x D được gọi là điểm cực đại của hàm số ^{f x}

 

nếu tồn tại một khoảng

 

^{a b}^; ^^D_sao

cho x0

 

a b; và f x

 

 f

 

x0 , x

   

a; \b x0 .

 Điểm x⁰D được gọi là điểm cực tiểu của hàm số ^{f x}

 

nếu tồn tại một khoảng



^{a b}^;



^^D_sao

cho x0

 

a b; và f x

 

 f

 

x0 , x

   

a; \b x0 . 2. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1 (Điều kiện cần ). Nếu hàm số ^{f x}

 

đạt cực trị tại điểm ^x⁰ và hàm số ^f có đạo hàm tại điểm x0, thì f x'

 

0 0.

Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm , chẳng hạn với hàm y x

, đạt cực trị tại ^x^⁰ nhưng không có đạo hàm tại đó.

Định lí 2 (Điều kiện đủ ). Ta có +) Nếu f x'

 

  0, x



a x; 0



và f x'

 

  0, x



x b0;



thì hàm số ^{f x}

 

đạt cực tiểu tại điểm x⁰. +) Nếu f x'

 

  0, x



a x; 0



và f x'

 

  0, x



x b0;



 

đạt cực đại tại điểm x⁰. Tức là, nếu đạo hàm của hàm số ^y^ ^{f x}

 

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua ^x⁰

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M x y



0; _CT



.

Nếu đạo hàm của hàm số ^y^ ^{f x}

 

đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua ^x⁰ DẠNG TOÁN 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

(2)

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là M x y



0; _CÑ



. Chú ý: Không cần xét có hay không đạo hàm tại ^x⁰. VÍ DỤ 1. Xét hàm số

 

   

 

      

  

   

    

 

 

;0 1 0 ;0

0; 1 0 0;

x neáu x neáu x

y x y

x neáu x neáu x

Nên hàm số đạt cực tiểu tại ^x^⁰.

Định lí 3. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đạo hàm cấp một trên

 

^{a b}^; _chứax₀ mà f x'

 

0 0

và ^y^ ^{f x}

 

_{có đạo}

hàm cấp hai khác không tại ^x⁰. Khi đó,

 Nếu f x^''

 

0 0 thì hàm số ^y^ ^{f x}

 

đạt cực tiểu tại ^x⁰.

 Nếu f x^''

 

0 0 thì hàm số ^y^ ^{f x}

 

đạt cực đại tại ^x⁰. Từ đây, ta có phương pháp cực trị của hàm số.

 Tính đạo hàm y^', tìm những điểm tại đó y^'0 hoặc y^' không xác định.

 Xét dấu y^' dựa vào định lí 2 để kết luận điểm cực đại, điểm cực tiểu.

Hoặc xét dấu y x^''

 

0 ( ^x⁰ là nghiệm của y^') dựa vào định lí 3 để kết luận.

Chú ý: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất



 ax b cx d

Ta có

\ 

  

 

 d

D c .

 

'

2. ad bc y cx d

 



Dấu của đạo hàm không phụ thuộc vào ^x, hay độc lập với ^x nên hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Do đó hàm số luôn không có cực trị.

3. Bài toán cực trị với hàm đa thức bậc ba

Cho hàm số bậc ba ^{y ax}^ ³^^bx²^{ }^{cx d}



^a^⁰



có đồ thị là

 

^C _.

Ta có ^y^{ }³^ax²^²^{bx c a}^



^^{0 .}



Số lượng điểm cực trị .

Hàm số bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên

 Hàm số có cực trị  có cực đại có cực tiểu có cả cực đại và cực tiểu có hai cực trị  phương trình y^' 0 có hai nghiệm phân biệt   0.

 Hàm số không có cực trị phương trình y^' 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép   0.

Chú ý: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: y ax ³bx² cx d cho y 3ax²2bx c được thương là

 

q x và phần dư là ^{r x}

 

^^{mx n}^ _{, ta được:}

   

.

 

y y q x r x

(3)

Bước 2: Chứng minh đường thẳng

 

^d _:^{y r x}^

 

^^{mx n}^ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Giả sử M x y



1; 1



,N x y



2; 2



trong đó ^{x x}¹^, ² là hai nghiệm của phương trình y^' 0 nên

   

' '

1  2 0

y x y x .

Khi đó vì M N thuộc ,

 

^C _nên

         

1 ( ).1 1 1 1 1 1

y  y x q x r x r x r x mx  n M d .

         

2 ( ).2 2 2 2 2 2

y  y x q x r x r x r x mx   n N d . Tức là

 

^d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

4. Bài toán cực trị với hàm bậc 4 trùng phương

Cho hàm bậc 4 trùng phương ^{y ax}^ ⁴^^bx²^^c



^a^⁰



_có^y^{ }⁴^ax³^²^bx^^{2 2}^{x ax}



² ^^b



_.

2

0

0 .

2

 

  

  

 x

y b

x a

Số lượng điểm cực trị .

Hàm số bậc bốn luôn có cực trị

 Hàm số có ba cực trị có cả cực đại và cực tiểu phương trình y^'0 có ba nghiệm phân biệt

 2b ⁰ a .

 Hàm số có một cực trị phương trình y^' 0 có một nghiệm duy nhất  2b ⁰ a .

Chú ý: Khi hàm số có ba điểm cực trị

 

0; , ; 1 , ; 2

2 2

   

  

   

   

b b

A c B y C y

a a

thì:

 y¹  y²

 ^{B C}^, đối xứng nhau qua trục ^Oy, điểm A nằm trên trục ^Oy. Do đó tam giác ABC cân tại A . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về cực trị của hàm số.

 Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức.

 Tìm cực trị khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số.

 Bài toán cực trị chứa tham số.

 Cực trị của hàm chứa dấu GTTĐ.

 Cực trị của hàm hợp.

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Cho hàm số ^{f x}

 

có bảng biến thiên như sau:

(4)

A. ^x^{ }³. B. ^x^¹. C. x2. D. x 2. Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm điểm cực trị khi biết bảng biến thiên của hàm số.

2. HƯỚNG GIẢI:

+) Nếu f x'

 

  0, x



a x; 0



và f x'

 

  0, x



x b0;



 

đạt cực tiểu tại điểm x⁰. +) Nếu f x'

 

  0, x



a x; 0



và f x'

 

  0, x



x b0;



 

đạt cực đại tại điểm x⁰. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Nhận thấy ^{f x}^

 

đổi dấu từ dấu dương sang dấu âm khi đi qua x 2 suy ra x 2 là điểm cực đại của hàm số.

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên  và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x0. B. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 3 . D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 và 1.

Lời giải Chọn A

Vì ^{f x}

 

xác định tại x0 và ^{f x}^

 

đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0. Câu 2. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là



^{1; 1}^



_. B. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là



^{1; 1}^



_.

C. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là



^^1;3



_. D. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là

 

^1;1 _.

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là



^{1; 1}^



và điểm cực đại là



^^1;3



_.

(5)

 

xác định trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

Khi đó số điểm cực trị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

_là

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Do hàm số xác định trên  và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại x¹; x²; x³ nên hàm số

 

y f x có ba điểm cực trị.

 

có bảng biến thiên như hình bên.

Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

_là

A.



^{1; 4}^



_B._x_₀ _C.



^{ }^{1; 4}



_D.



^{0; 3}^



Câu 5. Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng



^{a b}^;



_?

a

b y

O x

A. 3 . B. 0 . C. 1_. _{D. 4.}

 

có đạo hàm là ^{f x}^

 

^^{x x}



^¹

 

² ^x^¹



_{. Hàm số}^y^ ^{f x}

 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2_. _B._{0 .} _C.1_. _{D. 3.}

Ta có ^{f x}^

 

đổi dấu khi x qua các điểm 0 ; 1.

2 16

y x 

x _

x1 x₂ x₃ 

y  0  _  0 

(6)

A. Cực tiểu của hàm số bằng 12 . B. Cực tiểu của hàm số bằng 2 . C. Cực đại của hàm số bằng 12 . D. Cực đại của hàm số bằng 2 .

TXĐ: ^D^^{\ 0}

 

.

2

2 16 y x

   x

; ^y^{   }⁰ ^x ². Bảng biến thiên của hàm số

2 16

y x  x

Vậy cực tiểu của hàm số bằng 12 .

Câu 8. Gọi x¹ là điểm cực đại, x² là điểm cực tiểu của hàm số y x ³3x2. Tính x¹2x².

A. 2_. _B.1_. _C._{0 .} _D.1_.

3 2 3 y  x  . y 0

1 1 x x

 

    . Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, điểm cực đại là x¹ 1 và điểm cực đại là x² 1 nên x¹2x² 1. Câu 9. Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?

A. y x ⁴. B. y  x³ x. C.

2 3

2 y x

x

 

 . D. y x 2 . Lời giải

Chọn C Hàm số

2 3

2 y x

x

 



Tập xác định: ^D     



^{; 2}

 

^2;



.

Có

 

²

' 7 0

y 2 x D

 x    

 hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định  hàm số không có cực trị.

(7)

Các hàm số khác dễ dàng chứng minh được ycó nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm. Riêng hàm số cuối y không xác định tại 2 nhưng hàm số xác định trên  và y đổi dấu qua 2 do đó có hàm số có điểm cực trị x 2.

Câu 10. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đạo hàm ^{f x}^

  

^ ^x^¹

 

^x^^{2 ...}

 

^x^²⁰¹⁹



_,_{ }_x _ _{. Hàm số}^y^ ^{f x}

 

có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 1009 . B. 2019 . C. 2020 . D. 1010 .

Ta có:

       

1

1 2 ... 2019 0 2

...

2019 x

f x x x x x

x

 

 

      

 



 

⁰

f x 

có 2019 nghiệm bội lẻ và hệ số a dương nên có 1010 cực tiểu.

 Mức độ 2

 

có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 . B. ³. C. 4 . D. ⁵.

Lời giải Chọn B

Tập xác định D \

 

x1 .

Theo định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị và dựa vào bảng biến thiên ta có các điểm cực trị của hàm số là: x²; x⁴; x⁵.

 

liên tục trên  và có đạo hàm

      

²



⁵

3

1 2 3

4

x x x

f x x

  

 

 . Hỏi hàm

số ^y^ ^{f x}

 

A. 2 . B. 4 . C. ³. D. ⁵.

Lời giải Chọn C

Ta có

 

1

0 2

3 x

f x x

x

 

    

  . Bảng xét dấu của ^{f x}^

 

_{như sau:}

(8)

Do ^{f x}^

 

đổi dấu khi x qua ^{1, 3, 4} nên hàm số ^y^ ^{f x}

 

có 3 điểm cực trị.

 

xác định trên  và có đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}^

 

là đường cong ở hình bên. Hỏi hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 6. B. 3. C. 4. D. 5.

Dựa vào đồ thị ^y^ ^{f x}^

 

ta thấy phương trình ^{f x}^

 

^⁰ có 4 nghiệm nhưng giá trị ^{f x}^

 

_chỉ

đổi dấu 3 lần.

Vậy hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên  , đồ thị của đạo hàm ^{f x}^

 

như hình vẽ sau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. ^f đạt cực tiểu tại x0. B. ^f đạt cực tiểu tại x 2. C. ^f đạt cực đại tại x 2. D. Cực tiểu của ^f nhỏ hơn cực đại.

Từ đồ thị ta có

 

⁰ ²

0 f x x

x

  

     và

 

⁰ ²

0 f x x

x

  

     , ^{f x}^

 

^{    }⁰ ² ^x ⁰_.

(9)

Từ đó suy ra bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x 2.

Câu 5. Biết rằng đồ thị hàm số y x ³3x² có dạng như hình vẽ:

x y

-2 -3

4

O 1

Hỏi đồ thị hàm số

3 3 2

y x  x

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

có:

3 3 2

y x  x

3 2 3 2

3 khi 3 0 3

x x x x x

      

 

      



3 2

3 khi 3

x x x

   

 

   

 .

Nên ta lấy phần đối xứng của đồ thị hàm số y x ³3x² khi x 3.

x y

-3 -2

4

O 1

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

 

có đồ thị hình bên. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

(10)

A. 3. B. 2. C. 5. D. 1.

Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục ^Oy

Lấy đối xứng phần đồ thị nằm trên phải trục ^Oy qua ^Oy ta được đồ thị hàm ^y^ ^{f x}

 

_{. Vậy}

hàm số ^y^ ^{f x}

 

có 3 cực trị.

Câu 7. Đồ thị của hàm số y  x³ 3x²9x1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?

A. ^M



^{1; 12}^



_. _B.^N



^1;12



_. _C.^P

 

^1;0 _. _D.^Q



^{0; 1}^



_.

Tập xác định 

3 2 6 9

y   x  x

2 1

0 3 6 9 0

3

y x x x

x

  

         

Do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là ^A



^{ }^{1; 4}



_và^B



^3;28



_.

Suy ra đường thẳng AB có phương trình 8x y  4 0_.

Thay ^N



^1;12



vào phương trình AB ta có 8.1 12 4 0.   Vậy ^N thuộc AB. Câu 8. Số điểm cực trị của hàm số y x  2x²1 là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Tập xác định D .

2

2 2

2 2 1 2

1 2 1 2 1

x x x

y x x

     

  .

(11)

0 2 2 1 2

y   x    x ² ² 0

2 1 4

x

x x

 

   

 

0 2 2 2 2 x

x nhan

x loai

 



  

 

 

 .

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho có 1 cực trị.

Câu 9. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ^y^¹₃^x³^^mx²^



^m²^⁴



^x^³

đạt cực đại tạix3. A. m1. B. m 7. C. m5. D. m 1.

Ta có ^y^{ }^x²^²^mx^



^m²^⁴



_;y 2x2m. Hàm số ^y^¹₃^x³^^mx²^



^m²^⁴



^x^³

đạt cực đại tại x3 khi và chỉ khi:

 

3 0

y y

 

  



 

2 2 1

9 6 4 0 6 5 0

6 2 0 3 5

3

m L

m m m m

m TM

m m

m

 

         

       .

Vậy m5 là giá trị cần tìm.

Câu 10. Cho hàm số y x ⁴2mx²m. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có ³ cực trị A. ^m^⁰. B. ^m^⁰. C. ^m^⁰. D. ^m^⁰.

Tập xác định ^D^ .

 

3 2

' 4 4 4

y  x  mx x x m .



²



2

 

' 0 4 0 x 0

y x x m

x m

 

       

Hàm số có ³ cực trị ^^y^{' 0}^ có ³ nghiệm phân biệt

 phương trình

 

^ _có₂ nghiệm phân biệt ^x^⁰ ^{ }^m ⁰.

 Mức độ 3

(12)

 

liên tục trên ¡ có đạo hàm ^{f x}^

 

liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu như hình vẽ bên

Hỏi hàm số ^y^ ^{f x}



²^² ^x



có tất cả bao nhiêu điểm cực trị

A. 4_. _{B. 7 .} _{C. 9 .} _D.11_.

Tập xác định của hàm số: D .

* ^{y h x}^

 

^ ^{f x}



²^² ^x



  

² ²



^. ^x ^{. 2}



^{2 .}



y h x f x x x

     x 

 

²

2 2

1 1 1

1 2

2

0 2 0 1 2

2 1 1 2

2 2 1 3

1 3

x x x

x x

x

h x x x x

x x x

x

 

  

  

  

     

 

        

 

    

 

 

   

 

  

 .

Ta thấy phương trình ^{h x}^

 

^⁰ có 8 nghiệm đơn

 

¹ _.

 

h x

không tồn tại tại ^x^⁰ mà ^x^⁰thuộc tập xác định đồng thời qua đó ^{h x}^

 

_{đổi dấu}

 

² _.

Từ

 

¹ _và

 

² suy ra hàm số đã cho có ⁹ điểm cực trị.

 

là một hàm đa thức có bảng xét dấu ^{f x}^

 

_{như sau}

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^ ^{f x}



²^ ^x



A. ⁵. B. ³. C. 1_. _{D. 7 .}

Ta có ^{g x}

 

^ ^{f x}



²^ ^x



^ ^{f x}



²^ ^x



. Số điểm cực trị của hàm số ^{f x}

 

bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số ^{f x}

 

cộng thêm 1.

(13)

Xét hàm số

  

²

     

²



²

2

1 1

2 2

2 1 0 1

1 5

1 2

x x

h x f x x h x x f x x x x

x x x

  

  

   

           

 

    

 

 .

Bảng xét dấu hàm số ^{h x}

 

^ ^{f x}



²^^x



Hàm số ^{h x}

 

^ ^{f x}



²^^x



có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số

  

²

 

²



g x  f x  x  f x  x

Câu 3. Cho hàm số ^{f x}^

  

^ ^x^²



²



^x²^⁴^x^³



_{với mọi}_x__R. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số ^y^ ^{f x}



²^¹⁰^{x m}^{ }⁹



có 5 điểm cực trị

A. 18 . B. 16 . C. 15 . D. 19 .

Ta có

 

2

0 1

3 x

f x x

x

 

    

  , x2 là nghiệm kép nên khi qua giá trị x2 thì ^{f x}^

 

không bị đổi dấu.

Đặt ^{g x}

 

^ ^{f x}



²^¹⁰^{x m}^{ }⁹



_{khi đó}^{g x}^'

 

^ ^{f u}^

  

^{. 2}^x^¹⁰



_với_{u x}_ ²_₁₀_{x m}_{ }₉_.

Nên

  

²



²

2 2

2 10 0

10 9 2 0

0

10 9 1

10 9 3

x

x x m

g x

x x m

 



    

   

   

    



 

2 2

5

10 9 2 0

10 8 0 1

10 6 0 2

x

x x m

 

     

 

   

    



Hàm số ^y^ ^{f x}



²^¹⁰^{x m}^{ }⁹



có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi ^{g x}^

 

đổi dấu 5 lần Hay phương trình

 

¹ và phương trình

 

² phải có hai nghiệm phân biệt khác 5

 

' 1 ' 2

0 0

5 0

h p

 

 

  

 

 , (Với ^{h x}

 

^^x²^¹⁰^{x m}^{ }⁸_và^{p x}

 

^^x²^¹⁰^{x m}^{ }⁶_).

(14)

17 0

19 0

17 0 17

19 0

m

m m

  

  

    

  

 .

Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.

 

xác định trên tập số thực  và có đạo hàm

       23

' sin 3 9

f x  x x x m  x m  x 

(m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số ^y^ ^{f x}

 

đạt cực tiểu tại ^x^⁰?

A. ⁶. B. 4 . C. 5 . D. 7 .

Điều kiện 9m²    0 3 m 3 TH 1: ⁰^{ }^m ³ ta có BTT

TH 2: ^{  }³ ^m ⁰ ta có BTT

TH 2: ^m^³ ta có BTT

Từ đó suy ra ^{   }³ ^m ³ có 6 giá trị nguyên của mthỏa mãn.

Câu 5. Biết rằng hàm số ^y^{= +}

(

^{x a}

)

³^{+ +}

(

^{x b}

)

³^- ^x³ có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ab³ 0 B. ab£ 0 C. ab>0 D. ab<0 Lời giải

Chọn C

Ta có ^y⁼^x³⁺³

(

^{a b x}⁺

)

²⁺³

(

^a²⁺^{b x a}²

)

^{+ +}³ ^b³_.

( ) ( )

2 2 2

3 6 3

y¢= x + a b x+ + a +b .

(15)

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y¢ có hai nghiệm phân biệt Û D =¢ 18ab>0 0

Û ab> .

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ^{y m x}^ ^{2 4}^



^m²^²⁰¹⁹^{m x}



²^¹_{có đúng}

một cực trị.

A. 2019 . B. ²⁰²⁰. C. 2018 . D. 2021.

Trường hợp 1: m0 ^{  }^y ¹ nên hàm số không có cực trị.

 m 0 (loại).

Trường hợp 2: ^m^{ }⁰ ^m² ^⁰.

Hàm số ^{y m x}^ ^{2 4}^



^m²^²⁰¹⁹^{m x}



²^¹ có đúng một cực trị

 

2. 2 2019 0 2 2019 0 0 2019

 m m  m   m  m   m . Vì m0   0 m 2019.

Do m nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề

Câu 7. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm ^{f x}^

 

^^{x x}²



^¹

 

^x²^²^mx^⁵



. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của ^m để hàm số có đúng một điểm cực trị?

A. 0 . B. 5 . C. ⁶. D. 7 .

Hàm số ^{f x}

 

có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức ^{g x}

 

^^x²^²^mx^⁵_vô

nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là ^x^{ }¹, hoặc ^{g x}

 

_{có nghiệm}

kép x 1 Tức là

 

2

0 5 0

1 0 2 6 0 5 5

0 5 0 3

1 1

0 0

g

g g

m

g m m

m m

b m a

 

  

   

        

  

      

 

     

   

 

  

 . Do đó tập các giá trị

nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là S   



2, 1, 0, 1, 2, 3



.

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số ^{y x}^ ³^²^x²^



^m^³



^{x m}^ có hai điểm cực trị và điểm ^M



^{9; 5}^



nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

A. m 10. B. m10. C. m2. D. m3. Lời giải

Chọn D

(16)

Ta có y3x²4x m 3, để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình ^y^^⁰ có hai nghiệm phân biệt    0 ¹³

 

^*

m 3

 

Ta có

1 2 2 26 7 2

. 3 9 3 9 9 3

m m

y y  x      x  nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

cực trị là

2 26 7 2

3 9 9 3.

m m

y  x  Theo giả thiết, đường thẳng này đi qua ^M



^{9; 5}^



_nên

3

m (thỏa mãn điều kiện

 

^* _).

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y x ⁴2mx²1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

A. ^m^¹. B. ^m^{ }¹. C. ³

1 m  9

. D. ³

1 m 9

. Lời giải

Chọn B

Hàm sốy x ⁴2mx²1 có tập xác định:D

Ta có:

   

3 3 2

2

' 4 4 ; ' 0 4 4 0 4 0 x 0

y x mx y x mx x x m

x m

 

             

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình

 

^ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

0 0

    m m .

Vậy tọa độ 3 điểm lần lượt là:^A

 

^{0;1 ;}^B



^{ }^m^;1^^m²

 

^;^C ^^m^;1^^m²



Ta có ^^AB^{   }



^{m m}^; ²



^;^^AC^



^{ }^{m m}^; ²



Vì ^^ABCvuông cân tại A AB AC.   0 m² m m². ²   0 m m ⁴   0 m m⁴ 0 1

m  ( vì ^m^⁰)

Vậy với ^m^{ }¹ thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Câu 10. Cho hàm số y x ⁴2mx²2m²m⁴ có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD là hình thoi với D



0; 3



. Số mthuộc khoảng nào sau đây?

A.

9;2 m 5 

 . B.

1;1

m  2. C. ^m^

 

^2;3 _. _D.m ^{1 9}2 5^; 

 . Lời giải

Chọn D

Tập xác định: D .

Ta có

3

2

' 4 4 ' 0 x 0

y x mx y

x m

 

       . Hàm số đã cho có ba điểm cực trị  m0.

(17)

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: ^A



^{0; 2}^ ^m²^^m⁴



_;^B



^{m m}^; ⁴ ^³^m²



^;



^; ⁴ ³ ²



C  m m  m .

Gọi I trung điểm của BC ^^I



^0;^m⁴^³^m²



Vì ^{A D Oy}^, ^ , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tứ giác ABCD là hình thoi  I là trung điểm của AD



⁴ ²



² ⁴ ⁴ ²

2

0 2

2 3 2 3 4 3 0

1 1

1

3 3

3

m

m m m m m m

m m

m

m m

m



         

  

   

       .

 Mức độ 4

 

, hàm số ^y^ ^{f x}^

 

có đồ thị như hình bên. Hàm số 5sin 1 (5sin 1)2

( ) 2 3

2 4

x x

g x  f     

  có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng (0; 2 ) _.

A. 9 . B. 7 . C. 6 . D. 8 .

Lời giải Chọn B

Ta có: ^{( ) 5cos} ^5sin ¹ ⁵^cos



^5sin ¹



2 2

g x  xf x  x x .

(18)

 

5sin 1 5

( ) 0 5cos cos 5sin 1 0

2 2

g x   xf x  x x 

cos 0

5sin 1 5sin 1

2 2

x

x x

f

 

       

cos 0

5sin2 1 3 5sincos 01 6 sin 1

5sin 1 1

1 5sin 1 2 sin

2 5

5sin2 1 13 5sin 1 23 sin 13 5sin 1 2

5sin 1 3

1 sin

2 5

x

x x x

x x

x x x

x x

x

 



 

 

     

      

     

   

         

 

  

       

  

    

    

 

3

2 2

cos 0 3

sin 1 2

1 1 1

sin sin 2 sin

5 5 5

1 1 1

sin 3 sin 3 sin 3

3 3 3

sin 5 sin 5 sin 5

x x

x

x x arc x arc

x x arc x arc

 



 



    

 

  

    

 

     

           

      

        

     

      

        

      , ( Vì 0 x 2).

Suy phương trình ^{g x}^

 

^⁰ có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm 3 x 2

là nghiệm kép.

Vậy hàm số ^{y g x}^

 

có 7 cực trị.

Câu 2. Cho hàm số bậc bốn ^{f x}^{( )} có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}^{( )}^^{x f x}²



⁽ ^¹⁾



⁴

A. 11_. _B.9. C. ⁷. D. 5 .

 

⁴ ²

 

³

  

³



'( ) 2 ( 1) 4 ( 1) . '( 1) 2 ( 1) . ( 1) 2 . '( 1)

g x  x f x  x f x f x  x f x f x  x f x '( ) 0

g x  ta được

(19)

+ TH1: x0

+ TH2:

2 ( 2; 1) ( 1) 0

( 1;0) 0 x a f x x b

x c x d

  

    

  

   

  



+ TH3: ^{f x}⁽ ^{ }^{1) 2 . '(}^{x f x}^{ }^{1) 0}.

Từ bảng biến thiên ta có hàm số thỏa mãn là f x( ) 5x⁴10x²2

 

( 1) 2 . '( 1) 0 ( 1) 2( 1). '( 1) 2 '( 1) 0

f x x f x h x f x x f x f x

             

Với t x 1 ta có: h t( ) 5t⁴10t² 2 2 ( 20t  t³20 ) 2( 20t   t³20 ) 0t 

 45t⁴40t³50t²40t 2 0

Lập bảng biến thiên ta suy ra có 4 nghiệm t4 nghiệm x Vậy có 9 cực trị.

Câu 3. Cho hàm số bậc ba ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị của hàm đạo hàm ^{f x}^'

 

như hình vẽ và ^{f b}

 

^¹_{.Số giá}

trị nguyên của m  5;5 để hàm số ^{g x}

 

^ ^{f x}²

 

^⁴^{f x}

 

^^m có đúng 5 điểm cực trị là

A. 9 . B. 7 . C. 8 . D. 10 .

Cách 1:

Ta có bảng biến thiên của ^{f x}

 

_:

Xét hàm số ^{h x}

 

^ ^{f x}²

 

^⁴^{f x}

 

^^m

(20)

       

     

' ' '

' '

'

2 4

2 2

0 2 2 0

0 ; 2

h x f x f x f x h x f x f x

h x f x f x x a x b f x

x c c a f x

  

 

    

 

     

    



  

 

   



Pt có 3 nghiệm phân biệt



_có₃ điểm cực trị Xét^{h x}

 

^ ⁰

     

2 4 2

f x f x m

   

Để ^{g x}

 

^ ^{h x}

 

có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi PT

 

² có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt

Xét hàm số ^{t x}

 

^ ^{f x}²

 

^⁴^{f x}

 

Ta có Bảng biến thiên của ^{t x}

 

_:

Từ YCBT ^^{t x}

 

^{ }^mcó hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ pb

   

          

 

          

           



5 5

5 4

4 5 4 5

5 5; 5 5

m t a m t a

m m m

m m m m



5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3 .



m      Cách 2:

Ta có bảng biến thiên của hàm số ^y^ ^{f x}

 

_:

Xét hàm số ^{h x}

 

^ ^{f x}²

 

^⁴^{f x}

 

^^m

(21)

       

     

' ' '

' '

'

2 4

2 2

0 2 2 0

0 ; 2

h x f x f x f x h x f x f x

h x f x f x x a x b f x

x c c a f x

  

 

    

 

     

    



  

 

   



Từ YCBT ^{g x}

 

^ ^{h x}

 

^ ^{f x}²

 

^⁴^{f x}

 

^^mcó 5 điểm cực trị khi:

   

 

      



 

         

 

         

     

 

      

 

0 2 4 (a) 5

4 0 5 5 4

; 5;5 ; 5;5

5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3

h a m f a f

m m m

m m m m

m

Câu 4. Cho hai hàm đa thức y f x  , y g x   có đồ thị là hai đường cong ở hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số y f x  có đúng một điểm cực trị là A, đồ thị hàm số y g x   có đúng một điểm cực trị là B và

7 AB4

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^m thuộc khoảng



5;5



để hàm số y f x g x  m

có đúng 5 điểm cực trị?

A. 1. B. 6 . C. 4 . D. 3 .

(22)

Đặt h x   f x  g x  , ta có: h x   f x g x  ; h x    0 x x₀;

  ₀ ₁

h x   x x hoặc x x ² (x¹ x⁰ x²);

 

0

 

0

 

0

7 h x  f x g x  4

.

Bảng biến thiên của hàm số y h x   là:

Suy ra bảng biến thiên của hàm số _{y k x}_   _ _{f x} __{g x}  là:

Do đó, hàm số y k x  m cũng có ba điểm cực trị.

Vì số điểm cực trị hàm số _y_ _{k x} __m bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y k x  m và số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình k x  m 0, mà hàm số y k x  m cũng có ba điểm cực trị nên hàm số y f x g x  m

có đúng năm điểm cực trị khi phương trình k x   m 0 có đúng hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y k x   , phương trình k x  m 0 có đúng hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) khi và chỉ khi

7 m 4

  7

m 4

   . Vì m ,

7 m 4

và ^m^{ }



^5;5



_nên^m^{   }



^{4; 3; 2}



_.

(23)

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ^{y x}^ ⁸^



^m^²



^x⁵^



^m²^⁴



^x⁴^¹_đạt

cực tiểu tại x0

A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. Vô số.

Ta có ^{y x}^ ⁸^



^m^²



^x⁵^



^m²^⁴



^x⁴^¹ ^^y^^⁸^x⁷ ^⁵



^m^²



^x⁴^⁴



^m²^⁴



^x³_.

y 0 ^ ^x³



⁸^x⁴^⁵



^m^²



^x^⁴



^m²^⁴

 

^⁰

 

⁰ ⁸ ⁴ ⁵



²



⁴



² ⁴



⁰

x

g x x m x m

 

       

Xét hàm số ^{g x}

 

^⁸^x⁴^⁵



^m^²



^x^⁴



^m²^⁴



_có^{g x}^

 

^³²^x³^⁵



^m^²



_.

Ta thấy ^{g x}^

 

^⁰ có một nghiệm nên ^{g x}

 

^⁰ có tối đa hai nghiệm + TH1: Nếu ^{g x}

 

^⁰ có nghiệm x0  m 2 hoặc m 2

Với m2 thì x0 là nghiệm bội 4 của ^{g x}

 

_{. Khi đó}_x_₀ là nghiệm bội 7 của ^y và ^y

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x0 nên x0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy 2

m thỏa ycbt.

Với m 2 thì

 

⁴

3

0

8 20 0 5

2 x

g x x x

x

 

     

 . Bảng biến thiên

Dựa vào BBT x0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 2 không thỏa ycbt.

+ TH2: ^g

 

⁰ ^⁰ _{  }_m ₂. Để hàm số đạt cực tiểu tại x0 ^^g

 

⁰ ^⁰

2 4 0 2 2

m m

       . Do m nên ^m^{ }



^1;0;1



_.

Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

Câu 6. Cho hàm số^y^ ^{f x}

 

liên tục và xác định trên và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham sốmđể hàm số^y^



^{f x}

  

²^²^{mf x}

 

^²^m^³⁵

có đúng 3 điểm cực trị

(24)

A. 5 . B. 6_. _C._{7 .} _D.8_. Lời giải

Chọn B Xét hàm