CỰC TRỊ CỦA HÀM ẨN - HÀM LIÊN KẾT – File word

Câu 1. Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số ^{y= f x}

( )

_.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số ^{y= f x}

(

^{+ +1}

)

^m có 5 điểm cực trị?

A. 0 . B. 3 . C. ². D. ¹.

Lời giải Chọn B

Đồ thị của hàm số ^y= ^{f x}

(

+ +¹

)

^m

được suy ra từ đồ thị

( )

^C ban đầu như sau:

+ Tịnh tiến

( )

^C sang trái một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống dưới) m đơn vị. Ta được đồ thị

( )

^{C¢:y= f x}

(

^{+ +1}

)

^m_.

+ Phần đồ thị

( )

^C¢ nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục Ox ta được đồ thị của hàm số

(

¹

)

y= f x+ +m .

Ta được bảng biến thiên của của hàm số ^{y= f x}

(

^{+ +1}

)

^m _{như sau.}

Để hàm số ^{y= f x}

(

^{+ +1}

)

^m có 5 điểm cực trị thì đồ thị của hàm số

( )

^{C¢:y= f x}

(

^{+ +1}

)

^m _{phải cắt}

trục Ox tại ² hoặc 3 giao điểm.

+ TH1: Tịnh tiến đồ thị

( )

^{C¢:y= f x}

(

^{+ +1}

)

^m lên trên. Khi đó

0

3 0

6 0

m m m ì >

ïïïï - + ³ íïï - + <

ïïî Û 3£ m<6.

+ TH2: Tịnh tiến đồ thị

( )

^{C¢:y= f x}

(

^{+ +1}

)

^m xuống dưới. Khi đó

0

2 0

m m ì <

ïïíï + £

ïî Û m£ - 2. Vậy có ba giá trị nguyên dương của m là ^{3; 4;5}.

Câu 2. Cho hàm số bậc bay f x

 

có đồ thị như hình dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số

  

^{4 8 2 1}



g x  f x  x  là

A. 5_{. B.} 7_{. C.}9_{. D. 11} Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị y f x

 

ta có: f x

 

0

 

 

1;1 2;3 x a x b

  

 

   . Ta có: ^{g x'}

 

^



^{4x316x f x}

 

^{' 48x21}



_.

( ) 0 g x 

 

 

3 2

4 2

4 16 0 4 0

8 1 0

x x x x

f x x

     



    



   

   

4 2

4 2

2 0 2

8 1 1;2 1

8 1 2;3 2

x x x

x x a

x x b

 

 

  

     

    

 .

Xét hàm số:h x

 

x⁴8x²1

Ta có ^{h x}

 

^4x316x_,

 

⁰



^{2 4}



^{0 0 02}

2 x

h x x x x

x

 

       

  

 .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên

Phương trình

 

¹ có bốn nghiệm phân biệt.

Phương trình

 

² có hai nghiệm phân biệtkhông trùng với ba ngiệm của pt (1).

Vậy phương trình g x

 

0 có ⁹ nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có ⁹ điểm cực trị.

Câu 3. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm trên  . Hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^{ f x( 2018) 2019 x2020} _là

A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 4 .

Lời giải Chọn B

Ta có

 

 

( 2018) 2019

0 ( 2018) 2019 (1)

    

     

g x f x

g x f x

Số nghiệm của phương trình

 

¹ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x( 2018) và đường thẳng y2019.

Đồ thịy f x( 2018) được vẽ bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số ^{y f x}

 

về bên phải 2018 đơn vị theo phương của trục Ox. Do đó, số nghiệm của phương trình

 

¹ bằng số nghiệm của phương trình

'( ) 2019 f x  .

Từ đồ thị hàm số^{y f x}

 

suy ra đường thẳng y2019 cắt đồ thị hàm số ^{y f x}



^2018



_{tại một}

điểm duy nhất, tức là phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Phương trình ( ) 0g x  không có nghiệm bội chẵn nên hàm số y g x ( ) đổi dấu một lần.

Vậy hàm số ^{g x}

 

^{ f x( 2018) 2019 x2020} có một điểm cực trị.

Câu 4. ) Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^{f x}

 

trên khoảng



^{ ;}



. Đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

như hình vẽ

Đồ thị của hàm số ^y



^{f x}

  

² có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu ?

A. ² điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. ¹ điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

C. ² điểm cực đại, ² điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, ² điểm cực tiểu.

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên

   

²

y f x ^{ y 2f x f x}

   

^{.  0}

 

 

0 0 f x f x



 

 

 .

Quan sát đồ thị ta có

 

0

0 1

3 x

f x x

x

 

  

  và

 

¹

2

0 1

x x

f x x

x x

 

   

  với x1

 

0;1 và x2

 

1;3 .

Suy ra

 

 

 

 

0 0 0

0 0 f x y f x

f x f x

 

  

   





  



 



1

 

2



3;

0; 1;

x

x x x

 

 

 

  x



0;x1

 

 1;x2

 

 3;



Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số ^y



^{f x}

  

²

Suy ra hàm số có ² điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Câu 5. ) Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^{f x}

 

trên khoảng



^{ ;}



. Đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

như hình vẽ

Đồ thị của hàm số ^y



^{f x}

  

² có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu ?

A. ² điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. ¹ điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

C. ² điểm cực đại, ² điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, ² điểm cực tiểu.

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên

   

²

y f x ^{ y 2f x f x}

   

^{.  0}

 

 

0 0 f x f x



 

 

 .

Quan sát đồ thị ta có

 

0

0 1

3 x

f x x

x

 

  

  và

 

¹

2

0 1

x x

f x x

x x

 

   

  với x1

 

0;1 và x2

 

1;3 .

Suy ra

 

 

 

 

0 0 0

0 0 f x y f x

f x f x

 

  

   





  



 



1

 

2



3;

0; 1;

x

x x x

 

 

 

  x



0;x1

 

 1;x2

 

 3;



Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số ^y



^{f x}

  

²

Suy ra hàm số có ² điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Câu 6. Cho hàm số f x( )

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số ( ) ( ) ²⁰¹⁸

g x =f x +

là

A.^2. B.^3. C.^5. D.^7.

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị ta thấy hàm số f x( )

có ² điểm cực trị dương

¾¾® hàm số ^{f x}( ) _{có 5} điểm cực trị

¾¾® hàm số ^{f x}( )⁺²⁰¹⁸ _{có 5} điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm thay đổi số cực trị của một hàm số).

Câu 7. Cho hàm số bậc bốn ^{y f x}

 

có đồ thị như hình dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số

  

^{3 3 1}



g x  f x  x là

A. 5. B. 7 C. 9. D. 11

Lờigiải Chọn C

Dựa vào đồ thị^{y f x}

 

_{ta có:} ^{f x}

 

^0

 

 

2; 1 0

1;2 x a x x b

   



 

  

 .

Ta có: ^{g x}

 

^



^3x23

 

^{f x 33x1}



_.

( ) 0

g x 

 

2 3

3 3 0

3 1 0

x

f x x

  

     

   

 

   

3 3 3

1 1

3 1 2; 1 1

3 1 0 2

3 1 1; 2 3

x x

x x a

x x

x x b

 

  

      

   

    

 .

Xét hàm số:^{h x}

 

^{x33x1}

Ta có^{h x}

 

^3x23_,

 

^{0 2 1 0 1}

1 h x x x

x

 

         . Đồ thị hàm số h(x)

Câu 8. Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số ^{y f}

 

^2x đạt cực đại tại

A.

1 x2

. B. x 1. C. x1. D. x 2.

Lời giải Chọn C

Đặt^{g x}

 

^{ f}

 

^{2x g x'}

 

^{2 ' 2f}

 

^x

   

2 1 1

2

' 0 2 ' 2 0 2 0 0

2 2 1

x x

g x f x x x

x x

     



      

   



Với ^{x  1 g' 1}

 

^{ 2 ' 2f}

 

^{ 0.}

Với

1 1 1

' 2 ' 0.

4 4 2

x  g   f  

Với ^{1 ' 1 2 ' 1}

 

^0.

2 2

x g     f 

Với ^{x 2 g' 2}

 

^{2 ' 4f}

 

^0.

Ta có BBT sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại

1 x 2

và x1.

Câu 9. Cho hàm số bậc bốn ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^{ f x}



^{3x 4}



_là

A. 5. B. 3. C. 7. D. 11.

Lời giải Chọn C

Tập xác định của hàm số là D

Ta có ^{g x}

 

^



^{3x26x f x}

 

^{ 33x24}



_;

       

2

3 2

3 2

3 6 0 0

0 2

3 4 0

3 4 0 1

x x x

g x x

f x x

f x x

    

     

   

 

     

Mặt khác, từ đồ thị hàm số ta thấy

   

0

0 0; 4

4 x a

f x x b

x c

  

    

  



Do đó

   

   

3 2

3 2

3 2

3 4 2

1 3 4 3

3 4 4

x x a

x x b

x x c

   

   

   



Xét hàm số u x ³3x²4, u 3x²6x, 0 0

2 u x

x

 

     Bảng biến thiên

Từ đó ta có

Với a0, phương trình

 

2 có một nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1

Với ^b



^{0; 4}



, phương trình

 

³ có ba nghiệm lần lượt thuộc các khoảng



1;0 ; 0; 2 ; 2;3

    

Với c4, phương trình

 

⁴ có một nghiệm duy nhất lớn hơn 3 Vậy g x

 

0 có 7 nghiệm đơn nên hàm số có 7 điểm cực trị.

Câu 10. Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm liên tục trên ^¡ và f( )0 <0, đồng thời đồ thị hàm số y=f x¢( ) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g x( )=f x²( ) là

A. ^1. B. ^2. C. ^3. D. ^4.

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị, ta có ^{( ) ( )}

0 2 .

1 nghiem kep f x x

x é =-ê

¢ = Û ê =ë

Bảng biến thiên của hàm số y f x= ( )

Xét

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

theo BBT

2

1 nghiem kep

2 ; 0 0 .

0 2

0

f x

x f x x

g x f x f x g x

x a a f x

x b b é =-ê

é¢ = êê =

¢ = ¢ ¢ = Û êêêë = ¬¾ ¾ ¾ ¾® êêê = <- ê = >

ë

Bảng biến thiên của hàm số g x( )

Vậy hàm số g x( ) có ³ điểm cực trị.

Chú ý: Dấu của g x¢( )

được xác định như sau: Ví dụ chọn x= Î -0 ( 2;b)

 theo do thi '^{( )} ( )

0 ^{f x} 0 0.

x= ¾¾¾¾¾®f¢ > ( )1

 Theo giả thiết f( )0 <0. ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra g¢ <( )0 0 trên khoảng (- 2; .b)

Nhận thấy ^{x=- 2; x a x b= ; =} là các nghiệm đơn nên g x¢( )

đổi dấu khi qua các nghiệm này. Nghiệm

1

x= là nghiệm kép nên g x¢( )

không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm

1

x= vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của g x¢( ).

Câu 11. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình v

Gọi ^m là số nghiệm của phương trình ^{f f x}

   

^1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ^m6. B. m7. C. m5. D. ^m9.

Lời giải Chọn B

Đặt ^{f x}

 

^u khi đó nghiệm của phương trình ^{f f x}

   

^1 chính là hoành độ giao điểm của đồ thị

 

f u với đường thẳng y1.

Dựa vào đồ thị ta có ba nghiệm

 

 

 

1 2 3

f x u f x u f x u





 

 

 với u1 



1;0



, u2

 

0;1 , ³

5;3 u 2 .

Tiếp tục xét số giao điểm của đồ thị hàm số ^{f x}

 

với từng đường thẳng y u ¹, y u ², y u ³.

Dựa vào đồ thị ta có được 7 giao điểm. Suy ra phương trình ban đầu ^{f f x}

   

^1 có 7 nghiệm.

Câu 12. Cho hàm số bậc năm ^{y f x}

 

có đồ thị ^{y f x}

 

như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số

  

^{3 3 2}



^{2 3 6 2}

g x  f x  x  x  x là

A. ⁵. B. ⁷. C. ¹⁰. D. 11.

Lời giải Chọn C

Ta có ^{g x}

 

^



^{3x26 .x f x}

 

^{ 33x2}



^{6x212x}



^3x26x

 

^_^{f x 33x2}



^2_.

   

2

3 2

3 6 0

0 3 2

x x

g x f x x

  

   

  

 .

Phương trình

2 0

3 6 0

2 x x x

x

 

      .

Phương trình

     

3 2

3 2

3 2

3 2

3 3

3 0

3 0;2

3 2

3 2; 4

3 4

x x a

x x b

f x x

x x c

x x d

   

   

       

   

 .

Hàm số ^{h x}

 

^x33x2 _có

 

^{3 2 6 0 0}

2 h x x x x

x

 

        . Bảng biến thiên của hàm h x

 

:

Dựa vào bảng biên thiên của hàm ^{h x}

 

_{, ta có}

Phương trình x³3x²  a 0 có duy nhất một nghiệm x¹ 3. Phương trình x³3x²  d 4 có duy nhất một nghiệm x² 1.

Phương trình x³3x²  b



0; 2



có ba nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm trên.

Phương trình ^{x33x2  c}



^{2; 4}



có ba nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm trên.

Do đó, phương trình ^{g x}

 

^0 có mười nghiệm đơn phân biệt nên hàm số ^{yg x}

 

có mười điểm cực trị.

Câu 13. Cho hàm số ( )f x có đạo hàm ( )f x có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số

( ) ( ) 2 2

3

g x  f x  x x  x

đạt cực đại tại điểm nào?

A. ^x2 B. ^x0 C. ^x1 D. ^{x 1}

Lời giải Chọn C

Ta có: ^{g x'}

 

^{ f x'}

 

^{x22x1}_.

 

' 0

g x  ^{ f x'}

 

^{x22x1}

0 1 2 x x x

 

 

  ( Như hình vẽ).

Bảng xét dấu của ^{g x'}

 

_:

Từ bảng xét dấu của ^{g x'}

 

ta suy ra hàm số ^{g x}

 

đạt cực đại tại ^x1.

Câu 14. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm ^{f x( ) ( x1)2}



^x24x



.Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số ^m để hàm số ^{g x( ) f}



^{2x212x m}



có đúng 5 điểm cực trị ?

A. 18. B. 17. C. 16. D. 19.

Lời giải.

 18

Chọn B Ta có:

 

2 2

1

( ) 0 ( 1) 4 0 0

4 x

f x x x x x

x

  

        

  , trong đó x 1 là nghiệm kép.



²

     

²



( ) 2 12 4 12 2 12

g x  f x  x m g x  x f x  x m

Xét ^g

 

^{x 0}



^4x12



^f



^{2x2 12xm}



^0 _(*)

 

 

2 2 2 2

2 2

3 3

2 12 1 ( )

2 12 1

2 12 1

2 12 0

2 12 4 2 12 4 2

x x

x x m l

x x m

x x m

x x m

x x m x x m

 

 

         

        

       

 

( Điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình 2x212x m  1)

Xét hàm số y2x²12x có đồ thị (C).

' 4 12 y  x

Ta có bảng biến thiên

Để g x

 

có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình

   

1 ; 2 đều có hai nghiệm phân biệt khác 3 . Do đó, mỗi đường thẳng y 4 m _và y m phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng y 4 m luôn nằm trên đường thẳng ^{y m}.

Ta có: 18  m  m 18. Vậy có 17 giá trị ^m nguyên dương.

Câu 15. Cho hàm số ^{y= f x}( ) có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số ^{g x( )=f}

(

^{- x2+3x}

)

có bao nhiêu điểm cực trị ?

A.^3. B.^4. C.^5. D.^6.

Lời giải Chọn C

Ta có

( ) ( ^{2 3 .})

(

^{2 3 ;}

)

g x¢ = - x+ f¢- x + x

( )

( )

theo do thi ^{( )} 2 2

2

3 2

2 3 0 2 3 17

0 3 2 .

3 0 2

3 0 0

3

f x

x x

g x x x x x

f x x

x x x

x ê

é =

ê = êê

é- + = êê ê ±

ê ê ê

¢ = Û êêë ¢- + = ¬¾ ¾ ¾ ¾® -êêêêë- ++ =-= Û êêêêê =ë ==

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

Câu 16. Cho hàm số ^{f x( )}, bảng biến thiên của hàm số ^{f x( )} như sau:

Số điểm cực trị của hàm số ^{y f x}



^22x



_là

A.3. B.9. C.5. D.7.

Lời giải Chọn D

Ta có ^{y(2x2)f x}



^22x



_.

Cho ^{y 0}



²



2 2 0

2 0

x

f x x

  

    

2 2 2 2

1

2 ( ; 1)

2 ( 1;0)

2 (0;1)

2 (1; )

x

x x a

x x b

x x c

x x d

  

     



    

   

    

 .

* ^{x22x a 0} có     1 a 0^{   a ( ; 1)} nên phương trình vô nghiệm.

* ^{x22x b 0} có     1 b 0^{  b ( 1;0)} nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

* ^{x22x c 0} có     1 c 0^{ c (0;1)} nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

* ^{x22x d 0} có     1 d 0 ^{  d (1; )} nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Nhận xét: 7 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình ^{y 0} có 7 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số ^{y f x}



^22x



có 7 cực trị.

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng



^2019;2019



để hàm số

3 2

sin 3cos sin 1

y x x m x đồng biến trên đoạn 0; 2

 

 

 .

A. ^2020. B. ^2019. C. ^2028. D. ^2018.

Lời giải Chọn A

 

3 2

3 2

3 2

sin 3cos sin 1

sin 3 1 sin sin 1

sin 3sin sin 4

y x x m x

x x m x

x x m x

   

    

   

Đặt tsinx, với ^0;

 

^0;1

x 2 t .

Bài toán trở thành tìm m để hàm số ^{y t 3 3t2mt4} đồng biến trên

 

^0;1 _.

TXĐ: ^D . Ta có ^{y' 3 t2 6t m}. Để hàm số đồng biến trên

 

^0;1

     

   

_{ }

 

2 2

2

0;1

' 0 t 0;1 3 6 0 0;1 3 6 0;1

3 6 0;1 min

y t t m t m t t t

m f t t t t m f t

              

       

Xét hàm số ^{f t}

 

^3t26t ta có TXĐ:

Kết hợp điều kiện đề bài



^2019;0



m m

  

 

  Có 2019 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 18. Cho hàm số

3 2

1 1.

y= 3x - mx - x m+ +

Tìm ^m để khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất?

A. ^{m 1} B. ^m1 C. ^m0 D. ^m2

Lời giải Đáp án C

Ta có:

' 2 2 1 0 .

y =x - mx- > "mÎ ¡

Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

Gọi hai điểm cực trị là:

2 2

1 1 2 2

2 2 2 2

, ( 1) 1 , , ( 1) 1 .

3 3 3 3

A xæççççè - m + x + m+ ö æ÷÷÷÷ø èB xçççç - m + x + m+ ö÷÷÷÷ø

2

2 2 2 2 2

2 1 2 1

2 4

( ) ( 1)( ) 2 ( 1) 1 ( 1)

3 9

AB = x - x + -æççççè m + x - x ö÷÷÷÷ø = m + æççççè + m + ö÷÷÷÷ø

Đặt

2 1 1 2 4 3 .

t =m + ³ Þ AB = 9t +t Xét hàm số

4 3

( ) 9 g t = t +t

liên tục trên nửa khoảng ^[1;+¥).

4 2

'( ) 1 0 1.

g t = 3t + > " ³t Suy ra ^{g t( )} đồng biến trên nửa khoảng ^{[1;+¥ ).}Do đó: ^{[1; )}

min ( ) (1) 13. g t g 9

+¥ = =

Vậy

13 2 13

min 2 1 0.

9 3

AB = = Û t = Û m=

Câu 19. Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số ^{g x}

 

^2f

 

^{x 6f}

 

^{x 1} có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. ³. B. 4. C. ⁵. D. ⁶.

Lời giải Chọn A

Có

         

 

 

 

2

0

0 6 12 0 0

2 f x

g x f x f x f x f x f x

f x

 



        

 

 .

Phương trình ^{f x}

 

^0 có hai nghiệm ⁰; ³, phương trình ^{f x}

 

^0 có nghiệm x⁴ 3 và phương trình ^{f x}

 

^2 có ba nghiệm ^{x1 0 x2  3 x3 x4}.

Hàm số ^{g x}

 

có xét dấu của ^{g x}

 

_{như sau:}

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số ^{g x}

 

có 3 điểm cực tiểu và 3 điểm cực đại.

Câu 20. Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^m để hàm số ^{g x( )= f x( +2018)+m2} có ⁵ điểm cực trị ?

A.1. B. 2. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn B

Vì hàm ^{f x}( ) đã cho có ³ điểm cực trị nên f x( +²⁰¹⁸)+m² cũng luôn có ³ điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).

Do đó yêu cầu bài toán ^Û số giao điểm của đồ thị ^{f x}( ⁺²⁰¹⁸)^+m2 với trục hoành là ^2.

Để số giao điểm của đồ thị f x( +2018)+m² với trục hoành là ^2, ta cần

 Tịnh tiến đồ thị f x( ) xuống dưới tối thiểu ² đơn vị ^{¾¾®m2£ - 2 :} vô lý

 Hoặc tịnh tiến đồ thị f x( ) lên trên tối thiểu ² đơn vị nhưng phải nhỏ hơn ⁶ đơn vị { }

2 2 6

2 6 2;2 .

6 2

é £ < Î

¾¾® £ < Û êêêë- < £ - ¾¾¾® Î -

¢

m m

m m

m Chọn B

Câu 21. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số ^{g x}

 

^{ f}



^{ x2 3x}



_{có bao}

nhiêu điểm cực đại?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải Chọn A

Ta có

  

^{2 3 .}

 

^{2 3}



g x   x f  x x

  

²



²

2

3 2 3

2 3 0 2 3 17

0 3 0 3 2 2

3 0 0

3 x x x

g x x

x x

f x x

x x x

x

 

   

     

 

              

  Bảng biến thiên

Vậy hàm số ^{g x}

 

đã cho có 3 điểm cực đại.

Câu 22. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên ^R và có đồ thị ^{f x}

 

như hình vẽ. Đặt ^{g x}

 

^{ f x}

 

^x_{. Hàm}

số ^{g x}

 

đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

1

O

1 1 2x 1

2 y

A. x2. B. x 1. C. x0. D. x1.

Lời giải

Ta có ^{g x}

 

^{ f x}

 

^1. Do đó đồ thị của hàm số ^{g x}

 

có được bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số

 

f x đi xuống ¹ đơn vị.

O y

1 2

1 2

1

1

x

2

 

y  f x

 

y g x

Quan sát đồ thị g x^

 

ta thấy g x^

 

đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x 1. Do đó ^{g x}

 

đạt cực đại tại x 1.

Câu 23. Cho hàm số bậc năm ^{y f x}

 

có đồ thị ^{y f x}

 

như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số

  

^{3 3 2}



g x  f x  x là

A. 4_{. B.} 7. C. ⁶. D. 11_.

Lời giải Chọn C

Ta có ^{g x}

 

^



^{3x26 .x f x}

 

^{ 33x2}



_.

   

2

3 2

3 6 0

0 3 0

x x

g x f x x

  

   

  

 .

Phương trình

2 0

3 6 0

2 x x x

x

 

      .

Phương trình

 

3 2

3 2

3 2

3 2

3 3

3 0

3 0

3 0

3 4

3 4

x x a

x x

f x x

x x

x x b

   

  

      

   

 .

Ta thấy: ^{x33x2  0 x x2}



^3



^{  0 x 0;x 3}

Và ^{x33x2  4}



^x1

 

^x2



^{2   0 x 1;x 2}_.

Hàm số ^{h x}

 

^x33x2 _có

 

^{3 2 6 0 0}

2 h x x x x

x

 

        . Bảng biến thiên của hàm ^{h x}

 

_:

Dựa vào bảng biên thiên của hàm ^{h x}

 

_{, ta có}

Phương trình ^{x33x2  a 0} có duy nhất một nghiệm x¹ 3. Phương trình ^{x33x2  c 4} có duy nhất một nghiệm x² 1.

Do đó, phương trình ^{g x}

 

^0 có bốn nghiệm đơn phân biệt và hai nghiệm bội ba nên hàm số

 

yg x có sáu điểm cực trị.

Câu 24. Cho hàm số ^{y  f x}

 

có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm ^{f x'}

 

_{như sau :}

Hỏi hàm số ^{g x}

 

^{ f x}



^22x



có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1. B. 2 . C. ³. D. 4 .

Lời giải Chọn A

Ta có ^{g x'( ) (2 x2) '(f x2 2 )x}

2

2 2

2

2 2 0 1

2 2 0 2 2 1 2

'( ) 0

'( 2 ) 0 2 1 1

2 3 3

x x

x x x x

g x f x x x x x

x x x

  

 

 

    

    

         

 

   



Do x 1 2 là nghiệm kép nên ta có bảng biến thiên sau

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A Câu 25. Cho hàm số bậc bốn ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^{ f x}



^{3x 4}



_là

A. ^6. B. ^9. C. ^7. D. ^12.

Lời giải Fb: Võ Đức Toàn

Chọn B

Ta có ^{g x'( ) (3 x2 6 ). 'x f x}



^{33x2 4}



_.

 

2

3 2

3 6 0

'( ) 0

' 3 4 0

x x

g x f x x

  

  

  

 

3 2

1 1

3 2

2 2

3 2

3 3

2 0

3 4 ( 1.5 1) (1)

3 4 ( 1 0) (2)

3 4 (0 0.5) (3) x

x

x x t t

x x t t

x x t t

  

 

       

      

     



Xét hàm số h x( )x³3x²4. '( ) 3 2 6

h x  x  x.

'( ) 0 2

0 h x x

x

  

    . Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên:

Phương trình (1) có ³ nghiệm phân biệt ^{x1   2, 2 x20, x3 0}.

Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt ^{x4    2, 2 x5 0, x6 0}.

Phương trình (3) có 1 nghiệm ^{x7 0}.

Vậy phương trình g x'( ) 0 _{có 9} nghiệm phân biệt (^{x1x4   2 x5x2  0 x3 x6 x7}) và đều là nghiệm đơn. Suy ra hàm số g x( ) _{có 9} điểm cực trị.

Câu 26. Cho hàm số ^{y f x( )} có đồ thị ^{y f x( )} cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a b c  như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. ^{f c( ) f a( ) f b( ).}

B. ^{f c( ) f b( ) f a( ).}

C. ^{f a( ) f b( ) f c( ).}

D. ^{f b( ) f a( ) f c( ).}

Lời giải Chọn A

Đồ thị của hàm số ^{y f x( )} liên tục trên các đoạn

 

^{a b;} _và

 

^{b c;} _{, lại có} f x( ) là một nguyên hàm của ^{f x( )}.

Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( ) 0 y f x y x a x b

 

 

 

 

 là:

     

1 ( )d ( )d

b b

b a

a a

S 



f x x  



f x x  f x  f a  f b . Vì S1  0 f a

 

 f b

   

¹

Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( ) 0 y f x y x b x c

 

 

 

 

 là:

     

2 ( )d ( )d

c c

c b

b b

S 



f x x 



f x x  f x  f c  f b .

   

2 0

S   f c  f b

 

² _.

Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1S2  f a

 

 f b

 

 f c

 

 f b

 

 f a

 

 f c

   

³ _.

Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án#A.

( có thể so sánh ^{f a}

 

_với ^{f b}

 

dựa vào dấu của ^{f x( )} trên đoạn

 

^{a b;} và so sánh ^{f b}

 

_với ^{f c}

 

dựa vào dấu của ^{f x( )} trên đoạn

 

^{b c;} ₎

Câu 27. Cho hàm số bậc bốn ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^{ f x}



^3x



_là

A. 5. B. 3. C. 7. D. 9.

Lời giải Chọn C

Đặt ^{tx33x2  t' 3x2 6x}. Trước hết xét ^{f t}

 

có ba cực trị, hoành độ các điểm cực trị tương ứng là ^{t a  4,t b  }



^{4;0 ,}



^{t c 0}_.

Ta có ^'

 

^{ '. '}

 

_{  }^{0  ' 0}_{    }^

 g x t f t t

t a t b t c Đồ thị t(x) là

Từ đó suy ra ^{f t'}

 

^0 có 5 nghiệm x khác nhau và đều khác 0; 2 nên ^{g x'}

 

đổi dấu 7 lần nên có 7 cực trị.

Câu 28. Cho hàm số bậc bốn ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^{ f x}



^33x2



_là

A. 5. B. 3. C. 7. D. 9. Lời giải

Chọn C

Đặt ^{tx33x2  t' 3x2 6x}. Trước hết xét ^{f t}

 

có ba cực trị, hoành độ các điểm cực trị tương ứng là ^{t a  4,t b  }



^{4;0 ,}



^{t c 0}_.

Ta có ^'

 

^{ '. '}

 

_{  }^{0  ' 0}_{    }^

 g x t f t t

t a t b t c Đồ thị t(x) là

Từ đó suy ra ^{f t'}

 

^0 có 5 nghiệm x khác nhau và đều khác 0; 2 nên ^{g x'}

 

đổi dấu 7 lần nên có 7 cực trị.

Câu 29. Cho hàm số bậc bốn ^{y f x}

 

có đồ thị như hình dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^{ f x}



^33x2



_là

A. 5. B. 6. C. 7. D. 9.

Lời giải Chọn C

Xét hàm số

u = - x

³

3 x

² có bảng biến thiên nhua sau:

Ta có ^{g x'}

( )

⁼

(

^{3x2- 6x f x}

) (

^{' 3- 3x2}

)

( ) ( )

'

'

;

x x x x

g x f x x

é - = Û = =

= Û ê ê ê ë - =

2

3 2

3 6 0 0 2

0 3 0

Từ đồ thị hàm số

y = f x ( )

_{, ta có:}

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

u = - x

³

3 x

² _{ta thấy:}

(1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó

x = 0

là nghiệm kép.

(2) có 3 nghiệm phân biệt khác với các nghiệm trên.

(3) có nghiệm duy nhất khác với tất cả các nghiệm trên.

Suy ra

g x ( ) =0

có 7 nghiệm phân biệt và

g x ( )

đổi dấu qua các nghiệm này ( trong đó

x = 0

_là

nghiệm bội 3) nên hàm số

g x ( )

có 7 điểm cực trị.

Câu 30. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm ^{f x}

 

^



^x21

 

^x4



_{với mọi x . Hàm số}

  

³



g x  f x có bao nhiêu điểm cực đại?

A.^0. B. 1. C.^2. D. ^3.

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số ^{f x}

 

Ta có ^{g x}

 

^{ f}



^3x



_ ^{g x}

 

^{  f}



^3x



_.

Từ bảng biến thiên của hàm số^{f x}

 

_{ta có}

 

0

g x   f



3x



0

3 1 4

1 3 4 1 2

x x

x x

   

 

       . Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g x

 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g x

 

có một điểm cực đại.

Câu 31. Cho hàm số ^{y f x}

 <