Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

NHÓ M TOÁN V D – VD C NHÓ M T OÁN VD – VD C

Chuyên đề:

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ

CỦA HÀM SỐ

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM SỐ y f x=

( )

Dạng toán 1. Các bài toán về cực trị của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10).

Dạng toán 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y f x=

( )

trong bài toán không chứa tham số.

Dạng toán 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số ^{y f x}⁼

( )

trong bài toán chứa tham số.

Dạng toán 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f x

( )

, tìm cực trị của hàm ^{y f}⁼

(

^ϕ

( )

^x

)

^; ^{y f f x}⁼

( ( ) )

^,...^{y f f f}⁼

( (

^...

( )

^x

) )

trong bài toán không chứa tham số

Dạng toán 5. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f x

( )

, tìm cực trị của hàm ^{y f f x}⁼

( ( ) )

^,...^{y f f f}⁼

( (

^...

( )

^x

) )

trong bài toán chứa tham số.

Dạng toán 6. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f x

( )

, tìm cực trị của hàm y=ln

(

f x

( ) )

,y e= ^{f x}^{( )},sin f x c

( )

, osf

( )

x ... trong bài toán không chứa tham số Dạng toán 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f x

( )

,

tìm cực trị của hàm y=^ln

(

f x

( ) )

^,y e= ^{f x}^{( )}^,sin f x c

( )

^{, osf}

( )

x ^... trong bài toán chứa tham số.

Dạng toán 8. Các dạng khác với các dạng đã đưa ra…

(2)

DẠNG 1. Các bài toán về cực trị của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10).

Câu 1: Cho hàm số ^{f x}

 

^^ax² ^^bx^^c đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số ^g ^ ^{f x}

 

² có mấy điểm cực trị?

x y

O 2

1 3

A. 1 . B. 2 .

C. 3. D. 4 .

Lời giải Chọn C

Xét hàm số ^{g f x}⁼

( )

² ^.

Đặt t x= ² . Khi đó với t≥0, hàm g f t= ( ) có đồ thị là dạng của đồ thị hàm số f x( ) bên phải trục Oy. Hàm số ^{g f x}⁼

( )

² là hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Từ đó ta có đồ thị hàm g t

( )

như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 2: Cho parabol y f x ax bx c a= ( )= ² + + ( ≠0) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng 1 và 2, biết rằng hàm số y f x= ( ) nghịch biến trên khoảng ( ; )x₀ +∞ và khoảng cách từ giao điểm của parabol với trục tung đến điểm O bằng 4. Tìm số điểm cực trị của hàm số y= f x

(

+¹

)

.

A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.

Lời giải Chọn D

Do hàm số y f x=

( )

nghịch biến trên khoảng

(

x₀^;+ ∞

)

nên a<0.

(3)

Biết y f x ax bx c a= ( )= ²+ + ( ≠0) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng 1 và 2 nên

2 2

( ) ( 1)( 2) ( 3 2) 3 2

f x a x= − x− =a x − x+ =ax − ax+ a.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2a, ta có 2

2 4

2 a a

a

 =

= ⇔  = − . Do hàm số y f x= ( )nghịch biến trên khoảng ( ; )x₀ +∞ nên a= −2.

Vậy parabol là y f x= ( )= −2x²+6x−4

Đồ thị hàm số y= f x

(

+1

)

(hình vẽ phần tô đậm) có được bằng cách + Vẽ đồ thị ^{y f x}⁼

(

⁺¹

) ( )

C1

+ Giữ nguyên phần đồ thị

( )

C1 trên trục hoành và lấy đối xứng phần

( )

C1 dưới trục hoành.

Để vẽ

( )

C1 lấy đối xứng phần đồ thị y f x= ( )= −2x²+6x−4 qua trục tung sau đó tịnh tiến sáng trái 1 đơn vị.

Từ đồ thị suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.

Câu 3: Cho hàm số f x

( )

=ax bx c a²+ +

(

≠0

)

có đồ thị là parabol như hình vẽ. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y= f x m

( )

+ −4 trên

[

−2;1

]

đạt giá trị nhỏ nhất.

A. m=5 . B. m=4.

y

-1 O 1 x

(4)

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết suy ra y=

(

x+1

)

²+ −m 5 . Đặt g x

( ) (

= x+¹

)

²+ −m ⁵. Với ∀ ∈ −x

[

2;1

]

ta có g x

( )

∈

[

m−5;m−1

]

.

Giá trị lớn nhất của hàm số ymax =max

{

m−5 ,m−1

}

.

+ Trường hợp 1: m− ≥⁵ m− ⇔¹

(

m−⁵

) (

² ≥ m−¹

)

² ⇔ ≤m ³.

Khi đó y_max = m− = − ≥5 5 m 2 ⇒ GTLN của hàm số đạt GTNN bằng 2, khi m=3. + Trường hợp 2: m− ≥1 m− ⇔ ≥5 m 3.

Khi đó y_max = m− = − ≥1 m 1 2 ⇒ GTLN của hàm số đạt GTNN bằng 2, khi m=3. Vậy m=3.

DẠNG 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y f x=

( )

trong bài toán không chứa tham số.

Câu 1: Cho hàm số y ax bx cx d= ³+ ²+ + . Biết rằng đồ thị hàm số có một điểm cực trị là M

(

1; 1−

)

và nhận I

( )

0;1 làm tâm đối xứng. Giá trị y

( )

2 là

A. y

( )

2 =2. B. y

( )

2 = −2. C. y

( )

2 6= . D. y

( )

2 3= . Lời giải

Chọn D

Ta có: y′ =3ax²+2bx c y+ , '' 6= ax+2b.

Do đồ thị hàm số có một điểm cực trị là M

(

1; 1−

)

và nhận I

( )

0;1 làm tâm đối xứng nên:

( ) ( )

1 1 1 1

1 0 3 2 0 0

2 0 3

'' 0 0

1 1

0 1

= −

  + + + = −  =

 ′ =  + + =  =

 ⇔ ⇔

 =  =  = −

  

 =  =  =



y a b c d a

y a b c b

b c

y

d d

y

.

Vậy:y x= ³−3 1x+ . Suy ra y

( )

2 =2 3.2 1 3³− + = .

Câu 2: Đồ thị của hàm số y ax bx cx d= ³+ ²+ + có hai điểm cực trị là A

( )

1;2 và B

(

−1;6

)

. Giá trị của

2 2 2 2

P a= +b +c +d bằng bao nhiêu?

A. P=18. B. P=26. C. P=15. D. P=23.

(5)

Lời giải

Chọn B

Tập xác định D=.

Ta có y' 3= ax²+2bx c+ và y'' 6= ax+2b . Vì A

( )

1;2 và B

(

−1;6

)

là điểm cực trị nên

( ) ( )

' 1 0 3 2 0 6 2 0 1

1 2 2 4 0

3 2 0 2 2 4 3

' 1 0

6 4 0 4

1 6

y a b c a c a

y a b c d b d b

a b c a c c

y

a b c d b d

y

=

  + + =  + =  =

 =  + + + =  + =  =

 ⇔ ⇔ ⇔

 − =  − + =  + = −  = −

   

 − = − + − + =  =  =



.

Vậy P a= ²+b²+c²+d² =26.

Câu 3: Cho hàm số y f x( )ax³bx² cx d a( 0) xác định trên  và thỏa mãn f(2) 1. Đồ thị hàm số f x'( ) được cho bởi hình bên dưới.

Tìm giá trị cực tiểu y_CT của hàm số f x( ).

A. y_CT  3. B. y_CT 1. C. y_CT  1. D. y_CT  2. Lời giải

Chọn A

Vì đồ thị hàm f x'( ) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1 và x1 nên '( ) ( 1)( 1)

f x k x x với k là số thực khác 0.

Vì đồ thị hàm f x'( ) đi qua điểm (0; 3) nên ta có     3 k k 3. Suy ra f x'( ) 3 x²3.

Mà f x'( ) 3 ax²2bx c nên ta có được a1,b0,c 3.

Từ đó f x( ) x³ 3x d . Mặt khác f(2) 1 nên d 1.

Suy ra f x( )  x³ 3x 1.

Ta có 1

'( ) 0   x . f x

(6)

Bảng biến thiên

Vậy y_CT  3.

Câu 4: Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên _, thỏa mãn

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

3 15 10 5 0

0

x x f x x f x

f x f x

 − ′ + − =



′ + >

   

   



với 0

x

∀ ≠ và f

( )

1 = −4. Tổng cực đại và cực tiểu của hàm số y f x=

( )

bằng A. −3 4³ . B. 3 4 . ³ C. −2 4³ . D. 3 2 . ⁴

Lời giải Chọn A

Từ f x′

( )

²+f x

( )

² >0với ∀ ≠x 0 ta suy ra: Với x≠0 ta có f x

( )

= ⇒0 f x'

( )

≠0. Do đó từ

(

³^x²⁻¹⁵^{x f x}

)

^′

( ) (

⁺ ^{10 5}⁻ ^{x f x}

) ( )

⁼⁰^với^{∀ ≠}^x ⁰, ta suy ra:

Với x≠0 ta có ^{f x}

( )

^{= ⇔}⁰

(

³^x²⁻¹⁵^{x f x}

)

^′

( )

^{= ⇔ =}⁰ ^x ⁵^.

Với các kết quả trên ta được

( )

⁵

(

²

) { }

0;5

3 5

f x x x

f x x x

′ = − ∀ ∉

−

Suy ra

( )

⁵3

(

²5

)

f x x x x

f x x x

′ −

= −

∫

^d

∫

^d ^⇔^ln ^{f x}

( )

⁼ ²₃^ln ^x ⁺^ln ^x^{− +}⁵ ^C

( )

^C

(

⁵

)

³ ²

f x e x x

⇔ = −

Do f

( )

1 = −4 nên C =0 và f x

( ) (

= x−5

)

³ x² với ∀ ∉x

{ }

0;5

Vì f x

( )

liên tục trên _ nên f x

( )

liên tục tại x=0, x=5 suy ra f

( )

0 = f

( )

5 0= Hay f x

( ) (

= x−5

)

³ x² với ∀ ∈x  .

Khi đó f x

( )

⁵₃ ^x₃ ²

x

′ = − .

Ta có f x′

( )

= ⇔ =0 x 2 , f x′

( )

không xác định khi x=0. Bảng biến thiên của f x

( )

:

(7)

Từ đó suy ra y_CD = f

( )

0 =0; y_CT = f

( )

2 = −3 4³ . Vậy y_CD+y_CT = −3 4³ .

DẠNG 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y f x=

( )

trong bài toán chứa tham số.

Câu 1. Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y x= ³−3mx²+4m³ có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là

A. ²

2 . B. ¹

2. C. 0. D. ¹

4. Lời giải

Chọn C

Ta có: y′ =3x² −6mx, 0

0 2

y x

x m

 =

′ = ⇔  = . Để hàm số có cực đại cực tiểu thì m≠0.

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: ^A

(

^0;4^m³

)

^,^{B m}

(

^{2 ;0}

)

^.

Ta có ^{I m m}

(

^;2 ³

)

là trung điểm của đoạn thẳng AB. Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là d x y: − =0. Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì:

3 2

3

2 4 0 1 2 0 2

2 0 2 m m

m m

 − =

 ⇔ − = ⇔ = ±

 − =

 .

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0.

Câu 2. Cho hàm số y x= ⁴−2m x^{2 2}+m² có đồ thị

( )

C . Để đồ thị

( )

C có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm A, B, C, O là bốn đỉnh của hình thoi (O là gốc tọa độ) thì giá trị tham số m là

A. m= − 2. B. ²

m= ± 2 . C. m= ± 2. D. ² m= 2 . Lời giải

Chọn B

Ta có y′ =4x³−4m x² ; 0₂

0 x

y x m

 =

′ = ⇔  = .

Điều kiện để hàm số có ba cực trị là y′ =0 có ba nghiệm phân biệt ⇔m≠0.

Khi đó: 0

0 x

y x m

 =

′ = ⇔  = ± .

Tọa độ các điểm cực trị là ^A

(

^0;^m²

)

^,^{B m m}

(

^;⁻ ⁴⁺^m²

)

^,^{C m m}

(

^;⁻ ⁴⁺^m²

)

^.

Ta có OA BC⊥ , nên bốn điểm A, B, C, O là bốn đỉnh của hình thoi điều kiện cần và đủ là OA và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

A O B C

x x x x

y y y y

+ = +

⇔  + = + ^{⇔ }^_^{0 0}^m⁼²^{+ = −}⁰

(

^{m m}⁴⁺ ²

) (

^{+ −}^{m m}⁴⁺ ²

)

4 2

2m m 0

⇔ − = ² ¹

m 2

⇔ = 2

m 2

⇔ = ± . Vậy m= ± ² .

(8)

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm ^{M m m}

(

^{2 ;}³

)

cùng với hai điểm cực trị của đồ

thị hàm số y=2x³−3 2

(

m+1

)

x²+6m m

(

+1

)

x+1 tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

A. m= −1. B. m=2. C. m=1. D. m=0. Lời giải

Chọn D

Tập xác định: D=.

( ) ( )

6 2 6 2 1 6 1

y′ = x − m+ x+ m m+ 0

y′ = ⇔6x²−6 2

(

m+1

)

x+6m m

(

+ =1 0

)

³ ²

3 2

2 3 1

1 2 3

x m y m m

 = ⇒ = + +

⇔  = + ⇒ = + .

Hàm số có 2 cực trị: ∆ > ⇔′ 0 9 2

(

m+1

)

²−36m m

(

+ > ⇔ > ∀ ∈1 0

)

9 0, x . Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

(

^;2 ³ ³ ² ^{1 ,}

) (

^1;2 ³ ³ ²

)

A m m m B m m m

⇒ + + + + ⇒AB=

(

1; 1− ⇒

)

AB= 2

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm cực trị: x y+ −2m³−3m m²− − =1 0

(

,

)

² ³ ² ³ ³ ² ^{1 3} ² ¹

2 2

m m m m m m

d M ∆ = + − − − − = +

( )

² ²

1 , . 1 3. 1. 2 3 1

2 2 2 2

MAB m m

S_∆ = d M ∆ AB= + = + .

min 1 0

S = ⇔ =2 m .

Câu 4. Cho hàm số y x= ⁴−2mx m C²+

( )

. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.

A. m=1. B. m=0. C. m= −2. D. m=2. Lời giải

Chọn D

Ta có y′ =4x³−4mx.

2

0 x 0

y x m

 =

′ = ⇔  = .

Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y′ =0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m>0. Các điểm cực trị của đồ thị là A m ,

(

0;

)

^{B m m m}

(

^;⁻ ²⁺

)

^,^C

(

⁻ ^{m m m}^;⁻ ²⁺

)

Ta có: AB AC= = m m⁴+ , BC=2 m.

Gọi I là trung điểm BC. Suy ra ^I

(

^0;⁻^{m m}²⁺

)

^và^{AI m}⁼ ²^.

1 . .

2 2

AB BC CA S = AI BC=  + + r

  ^⇔^m²^.2 ^m ⁼

(

² ^{m m}⁴^{+ +}² ^m

)

^.1

(

² ³

)

2 m m m 1 1 0

⇔ − + − =

( )

3 2

0

1 1

m loai

m m

⇔  =

 + = −



(9)

2

3 4 2

1 0

1 2 1

m

m m m

 − ≥

⇔ 

+ = − +



( )

1 0

1 2 m

m loai m nhan m nhan

 ≥

 =

⇔ 

 = −



 =



m 2

⇔ = .

Câu 5. Cho

( )

^P là đường Parabol qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số ¹ ⁴ ² ²

y=4x −mx +m . Gọi m_a là giá trị để

( )

P đi qua ^B

(

^{2; 2}

)

^{. Hỏi}^m^a thuộc khoảng nào dưới đây?

A.

(

^{10; 15 .}

)

^B.

(

^{2; 5}⁻

)

^. ^C.

(

^{5; 2}⁻

)

^. ^D.

(

^{8; 2}⁻

)

^.

Lời giải Chọn B

3 2

y x′ = − mx ⁼^{x x}

(

²⁻²^m

)

^.

Để hàm số có ba cực trị thì ab<0 ₀ 4

⇔ −m< ⇔ >m 0.

0 y′ =

0, 2

2 , 0 2 , 0

x y m

x m y

 = =

⇔ = =

 = − =



.

Gọi parabol đi qua điểm ^A

(

^0;^m²

)

^,^B

(

^{2 ; 0}^m

)

^,^C

(

⁻ ^{2 ; 0}^m

)

^{có dạng:}^{y ax bx c}⁼ ²⁺ ⁺

Ta có:

2

2 2 0

ma mb c ma mb c c m

 + + =

 − + =

 =

 ²

0 2 a m b c m

 = −



⇔ =

 =



hay ² ²

2

y= −mx +m .

Theo yêu cầu bài toán parabol đi qua ^B

(

^{2; 2}

)

^nên:²^{= −}^m₂^a

( )

² ²⁺^mâ² ^⇔^{m m}â²⁻ â^{− =}^{2 0}

1 2

a a

m m

 = −

⇔  = . Vậy m_a =2.

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ^{y x}⁼ ⁸⁺

(

^m⁻³

)

^x⁵⁻

(

^m²⁻⁹

)

^x⁴⁺¹ ^đạt

cực tiểu tại x=0?

A. 4 . B. 7. C. 6. D. Vô số.

Ta có ^{y x}⁼ ⁸⁺

(

^m⁻³

)

^x⁵⁻

(

^m²⁻⁹

)

^x⁴⁺¹ ^⇒^y^′⁼⁸^x⁷⁺⁵

(

^m⁻³

)

^x⁴⁻⁴

(

^m²⁻⁹

)

^x³^.

0

y′ = ^⇔^x³

(

⁸^x⁴⁺⁵

(

^m⁻³

)

^x⁻⁴

(

^m² ⁻⁹

) )

⁼⁰

( )

⁰ ⁸ ⁴ ⁵

(

³

)

⁴

(

² ⁹

)

⁰

x

g x x m x m

 =

⇔  = + − − − = .

(10)

Xét hàm số ^{g x}

( )

⁼⁸^x⁴⁺⁵

(

^m⁻³

)

^x⁻⁴

(

^m²⁻⁹

)

^có^{g x}^′

( )

⁼³²^x³⁺⁵

(

^m⁻³

)

^.

Ta thấy g x′

( )

=0 có một nghiệm nên g x

( )

=0 có tối đa hai nghiệm.

+) TH1: Nếu g x

( )

=0 có nghiệm x=0 ⇒ =m 3 hoặc m= −3.

Với m=3 thì x=0 là nghiệm bội 4 của g x

( )

. Khi đó x=0 là nghiệm bội 7 của y′ và y′ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x=0 nên x=0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy m=3 thỏa ycbt.

Với m= −3 thì

( )

⁴

3

0

8 30 0 15

4 x

g x x x

x

 =

= − = ⇔  =



. Bảng biến thiên

Dựa vào BBT x=0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m= −3 không thỏa ycbt.

+) TH2: g

( )

0 ≠0 ⇔_m≠ ±₃.

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=0 ⇔g

( )

0 0> ⇔m² − < ⇔ − < <9 0 3 m 3. Do m∈ nên m∈ − −

{

2; 1;0;1;2

}

.

Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

DẠNG 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT, hoặc đạo hàm của hàm f x

( )

, tìm cực trị của hàm ^{y f}⁼

(

^ϕ

( )

^x

)

^; ^{y f f x}⁼

( ( ) )

^,...^{y f f f}⁼

( (

^...

( )

^x

) )

^trong

bài toán không chứa tham số.

( )

xác định, liên tục trên  và có đúng hai điểm cực trị x= −1,x=1,có đồ thị như hình vẽ sau:

Hỏi hàm số ^{y f x}⁼

(

²⁻^{2 1}^x⁺

)

⁺²⁰¹⁹ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4. B. 3. C. 1. D. 2 .

(11)

Lời giải

Chọn B

Do hàm số y f x=

( )

có đúng hai điểm cực trị x= −1,x=1nên phương trình f x′

( )

=0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt x= −1,x=1.

Ta có ^y^′⁼

(

²^x⁻²

)

^f^′

(

^x²⁻^{2 1}^x⁺

)

^.

2 2

2 2 0 1

2 1 1 0

2 1 1 2 0

x x

x x x

x x x y

 − =  =

 

⇔ − + = − ⇔ =

 − + =  =



′ = .

Ta có

2 2

2

1 1

2 2 0

2 1 1 2

'( 2 1) 0 2

2 1 1 0

' 0 2 2 0 0 1

1 1

'( 2 1) 0

0 2

1 2 1 1

x x

x x x x

f x x x x x x

y x x

x x

f x x x x x

 >  >

− >

  − + >  >

 − + >    >

  − + < −  <

> ⇔ − <− + < ⇔− << − + < ⇔< << ⇔ < <

Do đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số ^{y f x}⁼

(

²⁻^{2 1}^x⁺

)

⁺²⁰¹⁹ có 3 cực trị. Chọn phương án B.

Câu 2: Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm f x′( ) trên . Đồ thị của hàm số y f x= ( ) như hình vẽ

Đồ thị hàm số y=

(

f x( )

)

² có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. D. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Lời giải

(12)

Chọn A

Từ đồ thị ta có: f x( ) 0= có nghiệm đơn là x=0;x=3 và nghiệm kép x=1. Và f x'( ) 0= có 3 nghiệm đơn x x= ∈₁ (0;1); x x= ∈₂ (1;3) và x=1.

Ta có:y=

(

f x( )

)

²⇒ y' 2 '( ). ( )= f x f x có các nghiệm đơn là x=0;x=3; ;x x₁ ₂ và nghiệm bội 3 là 1

x= .

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy đồ thị hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

( )

có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.

Số điểm cực tiểu của hàm số g x

( )

=2f x

(

+ + +2

) (

x 1

)(

x+3

)

là

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Ta có g x′

( )

=2f x′

(

+ +2 2

)

x+4.

( )

0

(

2

) (

2

)

g x′ = ⇔ f x′ + = − +x . Đặt t x= +2 ta được ^{f t}^′

( )

^{= −}^t.

( )

1

( )

1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ^{f t}^′

( )

và đường thẳng d : y= −t (hình vẽ)

(13)

Dựa vào đồ thị của f t′

( )

và đường thẳng y= −t ta có

ta có ^{f t}^′

( )

^{= −}^t

1 0 1 2 t t t t

 = −

 =

⇔ =

 =

hay

3 2 1 0 x x x x

 = −

 = −

 = −

 = .

Bảng biến thiên của hàm số g x

( )

.

Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.

( )

có đạo hàm trên  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt

( )

³

( ( ) )

⁴

g x = f f x + . Tìm số điểm cực trị của hàm số g x

( )

?

A. 2. B. 8 . C. 10. D. 6 .

1 O

− 1 2 3 4

3 y

x

(14)

( )

3

( ( ) )

.

( )

g x′ = f f x f x′ ′ .

( )

⁰ ³

( ( ) )

^.

( )

⁰

g x′ = ⇔ f f x f x′ ′ =

( ( ) )

( )

0 0 f f x f x

 ′ =

⇔  ′ =

( ) ( )

0 0 f x f x a x

x a

=



 =

⇔  =

 =

,

(

2< <a 3

)

.

( )

0

f x = có 3 nghiệm đơn phân biệt x₁, x₂, x₃ khác 0 và a.

Vì 2< <a 3 nên f x

( )

=a có 3 nghiệm đơn phân biệt x₄, x₅, x₆ khác x₁, x₂, x₃, 0 , a.

Suy ra g x′

( )

=0 có 8 nghiệm đơn phân biệt. Do đó hàm số ^{g x}

( )

⁼³^{f f x}

( ( ) )

⁺⁴có 8 điểm cực trị.

Câu 5: Biết rằng hàm số f x

( )

xác định, liên tục trên có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f f x= 

( )

.

A. 5. B. 3. C. 4 . D. 6 .

(15)

Xét hàm số y f f x= 

( )

, y′= f x f f x′

( )

. ′

( )

;

( )

( ) ( )

( )

0 0

0 2 2

0 0 0 2;

2 ;

x x

f x x x

y f f x f x x a

f x x b a

= =

 

 

′ =

  =  =

′ = ⇔  ′ = ⇔ = ⇔ = ∈ +∞

= = ∈ +∞

 

 

.

Với x∈ −∞

(

;0

) ( )

( )

0⁰

( )

0

f x

f x f f x

′ >

⇒  < ⇒ ′ > ⇒ y′>0.

Với x∈

(

0;2

) ( )

( )

0⁰

( )

0

f x

f x f f x

′ <

⇒  < ⇒ ′ > ⇒ y′<0 .

Với x∈

(

2;a

) ( )

( )

0⁰

( )

0

f x

f x f f x

′ >

⇒  < ⇒ ′ > ⇒ y′>0.

Với x∈

(

a b;

) ( )

( )

⁰

( )

0 2 0

f x

f x f f x

′ >

⇒  < < ⇒ ′ < ⇒ y′<0.

Với x∈

(

b;∞

) ( )

( )

2⁰

( )

0

f x

f x f f x

′ >

⇒  > ⇒ ′ > ⇒ y′>0.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT suy ra hàm số y f f x= 

( )

 có bốn điểm cực trị.

DẠNG 5. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT, hoặc đạo hàm của hàm f x

( )

, tìm cực trị của hàm ^{y f}⁼

(

^ϕ

( )

^x

)

^; ^{y f f x}⁼

( ( ) )

^,...^{y f f f}⁼

( (

^...

( )

^x

) )

trong bài toán chứa tham số.

DẠNG 6. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f x

( )

, tìm cực trị của hàm ^y⁼^ln

(

^{f x}

( ) )

^,^{y e}⁼ ^{f x}^{( )}^,sin ^{f x}

( )

^,cosf

( )

^x ^... trong bài toán không chứa tham số.

Câu 1: Cho hàm số f x

( )

có đồ thị như hình dưới đây

(16)

Hàm số ^{g x}

( )

⁼^ln

(

^{f x}

( ) )

có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

( )

^ln

( ( ) )

g x′ =  f x ′

( )

f x

( )

f x

= ′ .

Từ đồ thị hàm số y f x=

( )

ta thấy f x

( )

>0 với mọi x∈. Vì vậy dấu của g x′

( )

là dấu của

( )

f x′ . Ta có bảng biến thiên của hàm số g x

( )

Vậy hàm số ^{g x}

( )

⁼^ln

(

^{f x}

( ) )

^có³ điểm cực trị.

Câu 2: Cho hàm số y= f(x) có bảng biến thiên sau

Tìm số cực trị của hàm số y g x=

( )

=ln

(

f x

( ) )

.

A. 0. B. 1. C. 2 . D. 4

Điều kiện: f(x)>0⇔ x<−1

(17)

Ta có

( ) ( )

' f x

( )

g x f x

= ′ ; giải phương trình y′= ⇔0 f x′

( )

= ⇔ = −0 x 3 và y′ đổi dấu khi qua 3

− x= .

Do đó hàm số ^{y g x}⁼

( )

⁼^ln

(

^{f x}

( ) )

có một cực trị.

Câu 3: Cho hàm số f x

( )

liên tục trên _ và có bảng biến thiên như sau

Hàm số ^y⁼^ln

(

^{f x}

( ) )

có tất cả bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0. B. 2 . C. 1. D. 3.

Điều kiện : f x

( )

> ⇔ ∈0 x

( )

a b; :0< < <a 3 b . Ta có: ^y⁼^ln

(

^{f x}

( ) )

^⇒^y^′⁼ ^{f x}_{f x}^′

( ) ( )

^.

Dấu của y′ là dấu của f x′

( )

.

Dễ thấy trên

( )

a b; hàm số f x

( )

đạt cực đại tại duy nhất 1 điểm x=3 . Do đó hàm số ^y⁼^ln

(

^{f x}

( ) )

có đúng 1 điểm cực đại.

Câu 4: Cho hàm số y f x⁼

( )

có đồ thị như hình vẽ bên:

. Tìm số điểm cực trị của hàm số y=2^{f x}^{( )}−3^{f x}^{( )}.

A. 6 . B. 5. C. 4. D. 3.

O 1

−

x y

(18)

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số f x

( )

ta thấy f x

( )

≥ − ∀ ∈1, x . Khi đó xét hàm số g x

( )

⁼²^{f x}^{( )}⁻³^{f x}^{( )}

Ta có g x′

( )

= f x′

( )

. 2 .ln 2 3 .ln 3 ^{f x}^{( )} − ^{f x}^{( )} 

( )

0

′ =

g x

( )

( ) ( )

0

2 .ln 2 3 .ln 3 0

′ =

⇔ 

− =

 ^{f x} ^{f x}

f x

Xét phương trình 2 .ln 2 3 .ln 3 0^{f x}^{( )} − ^{f x}^{( )} = trên khoảng

(

−∞ + ∞;

)

.

( ) 2

( )

2

(

2

)

3

2 log 3 log log 3 1,4

3

⇔   = ⇔ = ≈ −

 

f x

f x (loại).

Do đó số điểm cực trị của hàm g x

( )

cũng bằng số điểm cực trị của hàm f x

( )

. Tức là hàm g x

( )

có 3 điểm cực trị.

Câu 5: Cho hàm số y f x= ′

( )

có đồ thị như hình vẽ bên:

Tìm số điểm cực trị của hàm số y=3^{f x}^{( )}+2^{f x}^{( )}.

A. 2 . B. 3. C. 5. D. 4 .

Ta thấy f x′

( )

xác định trên  nên f x

( )

xác định trên . Ta có: y′= f x′

( )

^.3^{f x}^{( )}+ f x′

( )

^.2^{f x}^{( )} = f x′

( )

³^{f x}^{( )}+²^{f x}^{( )}. Xét y′= ⇔0 f x′

( )

=0 (do 3^{f x}^{( )}+2^{f x}^{( )} >0, ∀ ∈x ).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f x′

( )

=0 có 4 nghiệm phân biệt. Vậy y′ =0 có 4 điểm cực trị.

(19)

( )

có đạo hàm liên tục trên _ và có đồ thị f x′

( )

như hình vẽ bên. Số điểm

cực trị của hàm số ^{( ) ( )}

12

e^{f x} ^x2

y= ⁻ ⁻ là

A. 4 . B. 3. C. 2. D. 5.

Xét y=e^{g x}^{( )},

( ) ( ) (

1

)

²

2 g x f x x−

= −

Hàm số xác định trên _, có ^y^′⁼ ^{g x}^′

( )

^e^{g x}^{( )} ⁼^_^{f x}^′

( ) (

^{− −}^x ^{1 .e}

)

^_ ^{g x}^{( )}, trong đó e^{g x}^{( )} > ∀ ∈0, x 

nên

( ) ( ) ( ) ( )

1

0 0 1 0 1 1

2 3 x

y g x f x x f x x x

x x

 = −

 =

′= ⇔ ′ = ⇔ ′ − − = ⇔ ′ = − ⇔

 = =



(Vì đường thẳng y x= −1 cắt đồ thị f x′

( )

tại 4 điểm có hoành độ x= −1;x=1;x=2;x=3) và dấu của y′ là dấu của g x′

( )

.

Bảng biến thiên:

(20)

Suy ra hàm số y=e^{g x}^{( )}có ba điểm cực trị là x= −1;x=2;x=3.

Câu 7: Cho hàm số y f x= ( )có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y f x= ( ) như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y=2019^{f f x}⁽ ^{( )}⁻¹⁾.

A. 13. B. 11. C. 10. D. 12.

Ta có ^y^'⁼ ^{f x f f x}^'

( )

^'

( ( )

⁻^{1 2019}

)

^{f f x}⁽ ^{( )}⁻¹⁾^{ln 2019}^.

' 0

y =

( )

( ( ) )

' 0 (1)

' 1 0 (2)

f x f f x

=

⇔ 

 − = .

Giải (1) :

( )

1 2 3 4

1 ' 0 1

3 6 x f x x

x x

 = −

 =

= ⇔ =

 =



.

(21)

Giải (2) :

( )

( ) 1 1

( ) 1 1 ' ( ) 1 0

( ) 1 3 ( ) 1 6 f x

f f x f x

f x f x

− = −

 − =

− = ⇔

 − =



( ) 0 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 7 f x f x f x f x

 =

 =

⇔

 =



.

Dựa vào đồ thị ta có:

+) ( ) 0f x = có 1 nghiệm x₅>6 là nghiệm bội l,

+) ( ) 2f x = có 5 nghiệm x₆ < − − <1; 1 x₇ <1;1<x₈<3;3<x₉ <6;6<x₁₀ <x₅ là các nghiệm bội 1, +) ( ) 4f x = có 1 nghiệm x₁₁<x₆ là nghiệm bội 1.

+) ( ) 7f x = có 1 nghiệm x₁₂ <x₁₁ là nghiệm bội 1.

Suy ra y' 0= có 12 nghiệm phân biệt mà qua đó y' đổi dấu.

Vậy hàm số y=2019^{f f x}⁽ ^{( )}⁻¹⁾ có 12 điểm cực trị.

DẠNG 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị của hàm f x

( )

, hoặc đạo hàm của hàm f x

( )

,tìm cực trị của hàm y=ln

(

f x

( ) )

,y e= ^{f x}^{( )},sin f x c

( )

, osf

( )

x ...

trong bài toán chứa tham số.

DẠNG 8. Các dạng khác với các dạng đã đưa ra…

Câu 1. Cho hàm số y f x=

( )

có đạo hàm cấp ba liên tục trên _thỏa mãn

( )

.

( ) (

1

) (

² 4 ,

)

³

f x f′′′ x =x x− x+ ∀ ∈x . Hàm số ^{g x}

( )

⁼

(

^{f x}^′

( ) )

²⁻²^{f x f x}

( ) ( )

^. ^′′ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 6 .

.

( )

2

( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( )

2

( ) ( )

2

(

1

) (

² 4

)

³

g x′ = f x f x′ ′′ − f x f x′ ′′ + f x f′′′ x = − f x f′′′ x = − x x− x+ . Suy ra g x′

( )

đổi dấu khi qua hai điểm x=0,x= −4.

Câu 2. Cho hàm số f x

( )

có đạo hàm cấp hai liên tục trên  thỏa mãn

(

^{f x}^′

( ) )

²⁺ ^{f x f x}

( ) ( )

^. ^′′ ⁼¹⁵^x⁴⁺^{12 ,}^{x x}^{∀ ∈}. Hàm số g x

( )

= f x f x

( ) ( )

. ′ có bao nhiêu điểm cực trị?

(22)

Lời giải

Chọn C

( ) ( ( ) )

²

( ) ( )

15 ⁴ 12 g x′ = f x′ + f x f x′ ′′ = x + x

( )

0 0; ³ ⁴

g x′ = ⇔ =x x= 5 .

Suy ra hàm số g x

( )

= f x f x

( ) ( )

. ′ có hai điểm cực trị.

(23)

Chuyên đề:

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ

CỦA HÀM SỐ

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN 2: BIẾT BIỂU THỨC CỦA HÀM SỐ y f x= '

( )

.

Dạng toán 1. Biết biểu thức hàm số ^{y f x}⁼ ^′

( )

xét cực trị của hàm số ^{y g x}⁼

( )

⁼ ^{f x h x}

( ) ( )

⁺

trong bài toán không chứa tham số.

Dạng toán 2. Biết biểu thức hàm số y f x= ′

( )

xét cực trị của hàm số y g x=

( )

= f x h x

( ) ( )

+ trong bài toán chứa tham số.

( )

⁼ ^{f u x}

( ( ) )

^trong

bài toán không chứa tham số .

( )

⁼ ^{f u x}

( ( ) )

^trong

bài toán chứa tham số .

( )

⁼ ^{f u x}

( ( ) )

⁺^{h x}

( )

trong bài toán không chứa tham số.

( )

⁼ ^{f u x}

( ( ) )

⁺^{h x}

( )

trong bài toán chứa tham số.

( )

_{= }^^{f u x}

( ( ) )

^_^k

trong bài toán không chứa tham số.

( )

_{= }^^{f u x}

( ( ) )

^_^k

trong bài toán chứa tham số .

Dạng toán 9. Biết biểu thức hàm số ^{y f u x}⁼ ^′

( ( ) )

xét cực trị của hàm số y f x=

( )

trong bài toán không chứa tham số.

Dạng toán 10. Biết biểu thức hàm số ^{y f u x}⁼ ^′

( ( ) )

xét cực trị của hàm số y f x=

( )

trong bài toán chứa tham số.

(24)

DẠNG 1. Biết biểu thức hàm số y f x= ′

( )

xét cực trị của hàm số

( ) ( ) ( )

y g x= = f x h x+ trong bài toán không chứa tham số.

( )

có đạo hàm

( )

² ³ ² ² 3

9 9

f x′ = x − x − +x . Khi đó số điểm cực trị của hàm số y g x=

( )

=2f x

( ) (

− x+1

)

² là

A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.

Ta có y g x=

( )

=2f x

( ) (

− +x 1

)

² ⇒g x′

( )

=2f x′

( ) (

−2 x+ =1 2

)

f x′

( ) (

− +x 1

)

. Vẽ hai hàm số y f x= ′

( )

và y x= +1 trên cùng một hệ trục tọa độ, ta có

( )

⁰ ¹³

3 x

g x x

x

 = −

′ = ⇔  =

 = .

Bảng xét dấu của hàm g x′

( )

:

Từ bảng xét dấu ta có đáp án đúng là hàm số y g x=

( )

có đạo hàm ^{f x}^'

( ) (

^{= −}³ ^{x x}

) (

²^{− +}^{1 2 ,}

)

^{x x}^{∀ ∈}. Hỏi hàm số

( ) ( )

² 1

g x = f x x− − đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?

A. x= −1 . B.x=1. C. x=3. D. x=0. Lời giải

Chọn B

Ta có ^{g x}^'

( )

⁼ ^{f x}^'

( )

⁻²^x^{= −}

(

³ ^{x x}

) (

²^{− +}^{1 2}

)

^x⁻²^x^{= −}

(

³ ^{x x}

) (

²⁻¹

)

^.

(25)

( ) ( ) (

²

)

³

' 0 3 1 0

1

g x x x x

x

 =

= ⇔ − − = ⇔  = ± . Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số g x

( )

đạt cực tiểu tại x=1 .

Câu 3: Cho hàm số f x( ) liên tục và có đạo hàm trên

(

0;+∞

)

và f x'( ) ln= x x− . Hỏi hàm số ( ) ( ) 2019

g x = f x x+ + có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng

(

0;+∞

)

?

A. 3. B.

2. C.

1. D. 0 .

Ta có: g x'( )= f x'( ) 1 ln+ = x x− +1.

Xét hàm số h x( ) ln= x x− +1trên

(

0;+∞

)

. Ta có: h x'( ) ¹ 1 ¹ x

x x

= − = − . Có h x'( ) 0= ⇔ =x 1.

Bảng biến thiên của hàm h x( )như sau:

x 0 1 +∞

'( )

h x + -

h x( )

0

−∞ −∞

Vậy h x( ) 0,≤ ∀ ∈x

(

0;+∞ ⇔

)

g x'( ) 0,≤ ∀ ∈x

(

0;+∞

)

Do đó g x'( ) không đổi dấu trên

(

0;+∞

)

nên hàm số g x

( )

không có cực trị trên khoảng đó.

( )

liên tục trên  và có ^{f x}^'

( ) (

⁼ ^x⁺^{1 2}

) (

^x²⁻³^x⁻⁹

)

. Hỏi hàm số

( ) ( )

³ 3 ² 9 6

g x = f x x+ − x − x+ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.

(26)

Vì hàm số y f x=

( )

liên tục trên _nên hàm số g x

( )

= f x x

( )

+ ³−3x²−9x+6cũng liên tục trên _.

Có g x^'

( )

= f x^'

( )

+³x² −⁶x− =⁹

(

x+^{1 2}

) (

x²−³x− +^{9 3}

) (

x+¹

)(

x− =³

) (

x+¹

)(

x−^{3 2}

)(

x+⁶

)

( )

¹

' 0 3

3 x

g x x

x

 = −

= ⇔ =

 = −



Ta có bảng biến thiên

x −∞ −3 −₁ 3 +∞

( )

'

g x − 0 + 0 − 0 +

( )

g x

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g x

( )

liên tục trên _ và có đạo hàm f x'

( )

=x x²

(

+1

) (

² x−2

)

. Hỏi hàm số

( ) ( )

² ³ ² 9

g x = f x + 3x +x − có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3 2

2

' ' 2 1 1 2 2

0 1

' 0 1 1 2 0 1

2 2

g x f x x x x x x x x

x x

g x x x x x x

x x

= + + = + − − +

 =

 = −

 =

= ⇔ + − − = ⇔

 = −

 =

 Lập bảng biến thiên của hàm số y g x=

( )

(27)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y g x=

( )

có 3 điểm cực tiểu.

Câu 6: Cho hàm số ^{y f x}⁼

( )

có đạo hàm ^{f x}^′

( )

⁼^3.

(

^x²⁻¹

) (

^x⁻²

)

. Khi đó hàm số

( ) ( )

³ 3

g x = f x x− + x đạt cực đại tại

A. x=1. B. x=2. C. x= −1. D. x=3. Lời giải

Chọn A Ta có:

( ) ( )

³ ² ^{3 3.}

(

² ^{1 .}

) (

^{2 3}

) (

² ^{1 3}

) (

² ^{1 .}

) (

³

)

g x = f x′ − x + = x − x− − x − = x − x−

( )

0 ² ^{1 0} ¹1

3 0 3

x x

g x x

x x

 =

 − = 

′ = ⇔ − = ⇔ = = −

Bảng biến thiên:

x −∞ −1 1 ³ +∞

( )

g x′ − ⁰ + ⁰ − ⁰ +

( )

g x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số ^{y g x}⁼

( )

đạt cực đại tại x=1. Câu 7: Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm thỏa mãn

( ) (

1

)(

2

) ( )

2019

f x′ = −x x+ g x + với g x

( )

<0 với ∀ ∈x . Hàm số y f=

(

1−x

)

+2019x+2020 đạt cực đại tại

A. x₀ =1 . B. x₀ =2. C.x₀ =0. D. x₀ =3. Lời giải

Chọn D

Đặt h x

( )

= f

(

1−x

)

+2019x+2020

( )

y f x=  f x'

( )

(28)

Ta có: h x′

( )

= −f′

(

1−x

)

+2019 = − − −1 1

(

x

) (

  1−x

)

+2g

(

1−x

)

−2019 2019+

; h x

( )

⁰ ^x ⁰₃

x

 =

′ = ⇔  = . Bảng biến thiên của hàm số h x

( )

.

Vậy hàm số đạt cực đại x₀ =3.

Câu 8: Cho hàm số y f x= ( )có tập xác địnhD=

(

0;+∞

)

và có đạo hàm f x'( ) 2 ln= x x x+ , x 0.

Hàm số ( ) ( ) 1 ³ ²

y g x= = f x +3x x− có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1 B. 0 . C. 2. D. 3.

Ta có: g x'( )= f x x<