Chuyên đề cực trị của hàm số – Hoàng Xuân Nhàn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

Hoàng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 1

§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Những khái niệm cơ bản về cực trị:

Điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị: Xét đồ thị hàm số trong hình vẽ bên, ta có điểm A được gọi là điểm cực đại của đồ thị, hai điểm

,

B C là các điểm cực tiểu của đồ thị. Điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số được gọi chung là điểm cực trị của đồ thị hàm số đó.

Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số:

Giả sử hàm số y f x( ) xác định trên D.

 Ta nói x₀ là một điểm cực đại của hàm f x( ) nếu tồn tại khoảng ( ; )a b D và x₀( ; )a b sao cho f x( ) f x( ),0  x ( ; ) \a b

 

x0 . Khi đó f x( )₀ được gọi là giá trị cực đại của hàm số y f x( ) ; điểm M x



0; ( )f x0



được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số

( ).

y f x

 Ta nói x₀ là một điểm cực tiểu của hàm f x( ) nếu tồn tại khoảng ( ; )a b D và x₀( ; )a b sao cho f x( ) f x( ),0  x ( ; ) \a b

 

x0 . Khi đó f x( )₀ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

( ) ;

y f x điểm M x



0; ( )f x0



được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y f x( ).

 Lưu ý:

 Điểm cực đại hay điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị; giá trị cực đại hay giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.

 Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f x( )₀ không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên tập xác định D, f x( )₀ chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trên một khoảng

( ; )a b D nào đó chứa x₀ mà thôi. Chẳng hạn, trong hình vẽ trên, ta thấy điểm A là điểm cực đại của đồ thị, nên y_A là giá trị cực đại của hàm số, tuy nhiên y_A y_D nên giá trị cực đại y_A chưa phải là giá trị lớn nhất của hàm số đó. Tương tự điểm B là điểm cực tiểu của đồ thị nên

yB là giá trị cực tiểu của hàm số, tuy nhiên y_B y_E nên y_B chưa phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.

Hoàng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 2 2. Điều kiện có cực trị của hàm số:

a) Điều kiện cần: Nếu hàm số y f x( ) có đạo hàm trên ( ; )a b và đạt cực trị tại x₀( ; )a b thì ( )0 0.

f x  b) Điều kiện đủ:

 Định lí 1: Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng ( ; )a b chứa x₀, đồng thời có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b hoặc ( ; ) \a b

 

x0 . Khi đó:

 Nếu ⁰

0

( ) 0, ( ; )

( ) 0, ( ; )

f x x a x

f x x x b

   

    

 thì hàm số y f x( ) đạt cực đại tại điểm xx₀.

 Nếu ⁰

0

( ) 0, ( ; )

( ) 0, ( ; )

f x x a x

f x x x b

   

    

 thì hàm số y f x( ) đạt cực tiểu tại điểm xx₀. BBT 1:Hàm số đạt cực đại tại xx₀ .

x a

x0 ^b ( )

f x  0 ^ ( )

f x ^yCÑ

Nhận thấy: f x( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x₀.

BBT 2: Hàm số đạt cực tiểu tại xx₀ . x a

x0 ^b ( )

f x ^ 0 ^ ( )

f x

yCT

Nhận thấy: f x( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x₀.

 Định lí 2: Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( ; )a b chứa x₀. Khi đó:

 Nếu ⁰

0

( ) 0 ( ) 0 f x f x

 

  

 thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại xx₀.

 Nếu ⁰

0

( ) 0 ( ) 0 f x f x

 

  

 thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại xx₀.

Hoàng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 3

 Bài toán 1: Tính đạo hàm để tìm cực trị của hàm số y f x( ).

 Phương pháp:

Quy tắc I Quy tắc II

 Tìm tập xác định.

 Tính y f x( ). Tìm x khi f x( )0 hoặc f x( ) không xác định.

 Tính các giới hạn cần thiết.

 Lập bảng biến thiên.

 Kết luận các điểm cực trị.

 Tìm tập xác định.

 Tính y f x( ). Giải phương trình ( ) 0

f x  để tìm các nghiệm x x₁, ₂, ...

(nếu có) của nó.

 Tính f( )x và suy ra f( ),x₁ f( ),...x₂

 Dựa vào dấu của f( ),x₁ f( ),...x₁ để kết luận.

 Ghi nhớ : Quy tắc II không dùng được trong trường hợp f x( )0 vô nghiệm hoặc

0 0

( ) 0 ( ) 0 f x f x

 

  

 .

Ví dụ 1. Cho hàm số Hàm số y x⁴ 2x²1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .

Lời giải:

 Tập xác định: D .

 Đạo hàm: ^{y 4x34x4x x}



^21



^{; 0 0, 1}

1, 0

x y

y x y

 

       .

 Giới hạn: lim

x y

  .

 Bảng biến thiên:

x 1 0 1

y 0 0 0

y

0

1

0 Dạng toán 1

Xét dấu đạo hàm để tìm cực trị của hàm số

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 4

 Ta thấy: Hàm số đạt cực tiểu tại x 1, giá trị cực tiểu là y_CT 0; hàm số đạt cực đại tại 0

x , giá trị cực đại là y_CĐ 1. Do đĩ hàm số cĩ ba cực trị. ^Chọn

B

Ví dụ 2. Tìm điểm cực đại x₀ của hàm số y  x³ 3x 1.

A. x₀ 2. B. x₀ 1. C. x₀  1. D. x₀ 3. Lời giải:

 Tập xác định: D .

 Đạo hàm: y 3x²3, 1 1

0 1 3

x y

y x y

   

        .

 Giới hạn: lim , lim

x y x y

     .

 Bảng biến thiên:

x  1 1 

y  0  0 

y



3

1



 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x₀  1. ^Chọn

C

Ví dụ 3. Hàm số ^{1 2} 2 y x

x

 

  cĩ bao nhiêu cực trị?

A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.

Lời giải:

 Tập xác định: ^{D \ 2}

 

^.

 Ta cĩ:

 

²

3 0

2 y

x

   

  ,  x D.

 Giới hạn:

2 2

lim 2, lim , lim

x x x

y _ y _y

       .

x 2

y

y 2

2

 Ta thấy hàm số đã cho khơng cĩ cực trị. ^Chọn

B

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 5 Ví dụ 4. Gọi A B, là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x ¹

 x. Tính khoảng cách AB. A. AB3 2. B. AB4. C. AB2 5. D. AB2 2.

Lời giải:

 Tập xác định: ^{D \}

 

^{0 .}

 Đạo hàm:

2

2 2

1 1

1 x

y x x

     ; y    0 x 1.

 Giới hạn:

0 0

lim , lim , lim , lim

x x x x

y y _y _ y

           

 Bảng biến thiên:

x  1 0 1 

y  0   0 

y



2





2



 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là ^A



^{ 1; 2 ;}

  

^{B 1; 2 ,}

Do đĩ:AB2 5. ^Chọn

C

Ví dụ 5. Cho hàm số

5 4

3 1

5 2 5

x x

y   x . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. Hàm số đạt cực đại tại x 3, đạt cực tiểu tại x1.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 3, đạt cực đại tại x0.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 3 và x1, đạt cực đại tại x0. D. Hàm số đạt cực đại tại x 3 và x1, đạt cực tiểu tại x0.

Lời giải:

 Tập xác định: D . Đạo hàm: ^{y x42x33x2 x2}



^x22x3



^.

 Xét

0 1

5

0 1 1

2 3 187

10

x y

y x y

x y

    



      

    



.

 Giới hạn: lim , lim

x y x y

     

Nhắc lại: Khoảng cách hai điểm A x



A^;yA

 

^;B xB^;yB



là:



B A

 

² B A



²

AB x x  y y

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 6

 Bảng biến thiên:

x  3 0 1 

y  0  0  0 

y



187

10 1

5

1

2



 Ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 3, đạt cực tiểu tại x1. ^Chọn

A

Ví dụ 6. Cho hàm sốy x²1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x0. B. Hàm số khơng cĩ cực trị.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x0. D. Hàm số cĩ hai điểm cực trị.

Lời giải:

 Tập xác định: D .

 Ta cĩ:



²



2 2

1

2 1 1

x x

y

x x

 

  

  , y   0 x 0. Giới hạn: lim

x y

  .

 Bảng biến thiên:

x  0 _

y _ 0 _

y



1



 Ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x0. ^Chọn

C

Ví dụ 7. Cho hàm số y x 12 3 x² . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Hàm số đạt cực đại tại x 1. B. Hàm số đạt cực đại tại x1. C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x1.

Lời giải:

 Tập xác định ^{D }



^{2; 2}



^.

 Ta cĩ



²



2 2

12 3 3

1 1

2 12 3 12 3

x x

y

x x

 

    

  ; ² 0 _{2 2}

0 12 3 3 1

12 3 9

y x x x x

x x

 

          .

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 7

 Bảng biến thiên:

x  2 1 2 

y  0 

y

2

4

2

 Ta thấy hàm số đạt cực đại tại x1. ^Chọn

B

Ví dụ 8. Hàm số y x²4x3 cĩ bao nhiêu cực trị?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

 Xây dựng cơng thức: Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

được hình thành bởi hai bước:

o Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị ^{y f x}

 

nằm trên trục hồnh Ox.

o Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị ^{y f x}

 

nằm dưới Ox qua Ox. Bỏ phần đồ thị ^{y f x}

 

nằm dưới trục Ox.

Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

[[

Từ các bước trên, ta thấy số cực trị ban đầu của hàm ^{y f x}

 

được giữa nguyên, bên cạnh đĩ là sự phát sinh của các cực trị tại giao điểm của đồ thị ^{y f x}

 

với trục hồnh.

Kết luận: Số cực trị hàm số ^y ^{f x}

 

bằng số cực trị hàm số ^{y f x}

 

cộng với số giao điểm của hai đồ thị

 

^:

 

: 0

C y f x Ox y

 

 

 .

Lời giải:

 Cách 1: Tự luận

 Tập xác định: D .

 Áp dụng cơng thức

   2  2 2

. 2

u u u

u u

u u

  

    , ta cĩ:



²

  

2

4 3 2 4

4 3

x x x

y x x

  

    ;

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 8



²

  

2

1 2 3

4 3 2 4 0

0 1 2

4 3 0

3

x x x

x x x

y x x

x x

x

    

     

 

      

  

 

  

.

 Bảng biến thiên:

x _ 1 2 3 

y   ⁰  

y 

0

1

0



 Ta thấy hàm số đạt cực đại tại x2, đạt cực tiểu tại các điểm: x1, x3. ^Chọn

D

 Cách 2: Trắc nghiệm

 Xét hàm số ^{f x}

 

^{x24x3}, đồ thị của hàm cĩ dạng parabol nên hàm số cĩ đúng 1 cực trị.

 Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm ^{f x}

 

^{x2 4x3} với trục hồnh:

2 1

4 3 0

3 x x x

x

 

      (ứng với 2 giao điểm).

 Vậy số cực trị của hàm số ^y ^{f x}

 

 ^x2^4x³ là: 1 + 2 = 3.

Ví dụ 9. Cho hàm số ycos 2xx. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Tại 2

x π hàm số khơng đạt cực đại. B. Hàm số đạt cực đại tại điểm ¹¹ 12 x π.

C. Hàm số đạt cực đại tại điểm 13 12

x π. D. Tại 5 12

x π hàm số đạt cực tiểu.

Nhận xét : Đối với hàm số lượng giác, sự biến thiên của nĩ luơn cĩ tính chu kỳ, vì vậy mà việc lập bảng biến thiên sẽ trở nên khơng thuận tiện. Cách đơn giản nhất để tìm cực trị của chúng là sử dụng Quy tắc II (xem mục Phương pháp), tức là ta xét dấu đạo hàm cấp hai để suy ra cực trị hàm số.

Lời giải:

 Tập xác định D .

 y  2sin 2x1; ^{0 sin 2 1 2 6 2 12}

 

5 5

2 2 2

6 12

π π

x k π x kπ

y x x

π π

x k π x kπ

     

 

      

     

 



.

 y  4cos 2x ;

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 9

4 cos 2 2 3 0

12 6

π π

y kπ   k π   12 x π kπ

   là điểm cực đại của hàm số.

5 5 5

4 cos 2 2 3 0

12 6 12

π π π

y kπ   k π   x kπ là điểm cực tiểu của hàm số.

 Điểm cực đại của hàm số là

 

12

x π kπ k ; với 1 ¹¹

12

k    x  π. ^Chọn

B

Ví dụ 10. Hàm số

3 1

sin 2

3 2 4

 x  x

y x cĩ bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0;

2

  

 

 ?

A. Vơ số. B. 1. C. 0 . D. 2 .

Lời giải:

 Ta cĩ ^{2 1 1cos 2 2 1 1}



^{1 2sin2}



^{sin2 2}



^sin



^sin



2 2 2 2

y    x x   x  x  xx  xx xx .

 Xét hàm ^{f x}

 

^{sinxx trên 0;}

2

  

 

 . Ta cĩ ^f

 

^{x cosx 1 0, 0;}

x _ 2_

  

 ^{ f x}

 

^sinxx nghịch biến trên 0;

2

  

 

 

   

^{0 0}

 f x  f  , 0;

2

 

  

 

x . Vậy sin 0, 0;

x x x _ 2_

    

 .

 Mặt khác: sinx x 0 0;

2

 

  

 

x . Do đĩ y sinx x sinx x 0

 

  

     

   , 0;

2

  

  

 

x .

Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên 0;

2

  

 

  Hàm số đã cho khơng cĩ cực trị trên 0;

2

  

 

 .

Chọn

C



 Bài tốn 2: Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên hoặc đạo hàm (cho sẵn).

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN LƯU Ý:

Cho hàm số f x , g x cùng cĩ đạo hàm trên tập D. Khi đĩ:

. .

k f x k f x với k là hằng số f x g x f x g x

. . .

f x g x f x g x f x g x f x f x g x. f x g x₂ .

g x g x

.

f u u f u ^{y f x}

 

Thay x bởi u ^{y f u}

 

 Phương pháp chung:

o Đặt ^{g x}

 

là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm ^{g x}

 

^.

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 10 o Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức để cĩ được bảng xét

dấu cho ^{g x}

 

^.

o Dựa vào bảng xét dấu dành cho ^{g x}

 

để kết luận về cực trị của hàm số.

 Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức:

 

f x

 

g x

   

^.

f x g x

   

^:

f x g x

   

f x g x Chưa biết Chưa biết

Ví dụ 11. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và cĩ bảng biến thiên

x  0 1 _

 

f x   0 

 

f x



0

1



Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số y f x cĩ giá trị cực tiểu bằng 1.

B. Hàm số y f x cĩ giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1.

C. Hàm số y f x đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1. D. Hàm số y f x cĩ đúng một cực trị.

Lời giải:

 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x1.

 Tại x0 mặc dù đạo hàm ^f

 

^x khơng tồn tại nhưng hàm số ^{f x}

 

vẫn xác định và liên tục nên hàm số đạt cực đại tại x0. ^Chọn

C

Ví dụ 12. Cho hàm số ^{y f x}

 

cĩ bảng biến thiên:

x  ⁰ 4 _

y   

y



5

2 2

3

Khẳng định nào sau đây sai?

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 11 A. Hàm số ^{y f x}

 

nghịch biến trên khoảng

 

^{0; 4 .}

B. Hàm số ^{y f x}

 

đạt cực đại tại điểm x0.

C. Hàm số ^{y f x}

 

đồng biến trên các khoảng



^{; 0}



^và



^4;



^.

D. Hàm số ^{y f x}

 

cĩ hai điểm cực trị.

Lời giải:

 Tại x0 dù đạo hàm khơng xác định nhưng hàm số ^{y f x}

 

vẫn xác định và liên tục nên hàm số đạt cực đại tại x0. Tại x4 thì hàm số ^{y f x}

 

khơng xác định, vì vậy hàm số khơng cĩ cực trị tại x4.

 Do đĩ hàm số chỉ cĩ duy nhất một cực trị. ^Chọn

D

Ví dụ 13. Cho đồ thị

 

^C của hàm số ^{y f x}

 

^{cĩ y= 1}



^x



^x2

 

^{2 x3}



³



^1x2



^{. Trong}

các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:

A.

 

C cĩ một điểm cực trị. B.

 

C cĩ hai điểm cực trị.

C.

 

^C cĩ ba điểm cực trị. D.

 

^C cĩ bốn điểm cực trị . Lời giải:

 Xét đạo hàm:^{y  }



^{1 x}



^x2

 

^{2 x3}



³



^1x2



^{= 1}



^x

 

^{2 x2}

 

^{2 x3}

 

^{3 1x}



^.

 1 2

' 0

1 3

x x

y x x

    

      .

 Vì x 1,x 2là các nghiệm kép của y nên y khơng đổi dấu khi qua hai điểm này;

1, 3

x x là nghiệm kép của y nên y đổi dấu khi qua các điểm x1,x3.

 Do đĩ hàm số cĩ hai điểm cực trị x1,x3. ^Chọn

B

Cần nhớ: Cho n là số nguyên dương.

 ( ₁)²ⁿ 0 ( ₁)² 0 ₁

mũ chẵn

x x x x x x (ta nĩi x₁ là nghiệm kép của phương trình).

 ( ₂)^{2n 1} 0 ( ₂)¹ 0 ₂

mũ lẻ

x x x x x x (ta nĩi x₂ là nghiệm đơn của phương trình).

Ví dụ 14. Cho hàm số ^{y f x}

 

cĩ đạo hàm trên và cĩ bảng xét dấu ^f

 

^{x như sau}

x  2 1 3 _

( )

f x  0  0  0 

Hỏi hàm số ^{y f x}



^22x



cĩ bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1.

Lời giải:

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 12

 Đặt ^{g x}

 

^{ f x}



^22x



^{. Ta cĩ g x}

  

^{ 2x2}



^f



^x22x



^.

 Xét ^{g x}

 

^{ 0}



^2x2



^f



^x22x



^{ 0 }_^2fx



^{ x2220x}



^{0(1)}_^2fx



^{ x2220x}



^0(2)

(1) ²

2

1 1

2 2 1 3

1 3

2 3

x x

x x x x

x x x

   

 

        

     



. (*)

(2)



²



²2

1 1 1

1

2 2

2 0 1

2 3

3 x x

x x

x

x x

f x x x

x x

x

 

  

    

  

              

. (**)

 Hợp nghiệm của (*), (**) ta cĩ

 

^{0 1}

1 3

g x x

x

  

      ; do đĩ:

 

^{0 1 1}

3 g x x

x

  

     .

 Ta cĩ bảng biến thiên:

x  1 1 3 

( )

g x  0 _ 0 _ 0 

 Vậy hàm số ^{yg x}

 

^{ f x}



^22x



^{cĩ đúng 1} điểm cực tiểu là x1. ^Chọn

D

Ví dụ 15. Cho hàm số bậc bốn ^{y f x}

 

. Bảng xét dấu bên dưới là của đạo hàm ^{f '}

 

^{x . Hàm số}

   2 2 2

g x  f x  x cĩ bao nhiêu điểm cực trị ?

x  1 1 3 _

( )

f x  0 _ 0 _ 0 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải:

 Ta cĩ

 

2



²



1 2 2

2 2

g x x f x x

x x

     

  .

 

^{0 x}



^{1 20 2 2}



⁰

g x f x x

  

  

   



2 2 2

1 0

2 2 1

2 2 1

2 2 3

x

x x

x x

x x

  

    

 

  

   



1 1 2 2 1 2 2 x

x x

  

   

   



.

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 13

 Bảng xét dấu:

x   1 2 2 1  1 2 2 

1

x   0 _{ }



^{2 2 2}



f x  x  0  0  0 + ( )

g x  0  0  0 _

 Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số ^{g x}

 

^{ f}



^{x2 2x2}



^{cĩ 3} điểm cực trị. ^Chọn

C

Lưu ý : Để xét dấu g x( ), ta chọn một giá trị x₀ thuộc khoảng đang xét rồi thay vào lần lượt các hàm x1, ^f



^x22x2



để xét dấu chúng. Sau cùng sẽ suy ra dấu của g x( ) là tích của hai hàm trên. Chẳng hạn:

 Để xét dấu ( )g x trên khoảng



^{ 1 2 2;}



, ta chọn giá trị ^{x0    2}



^{1 2 2;}



^,

thay số 2 vào x1, ta được dấu dương (+), thay 2 vào x²2x2, ta được 10 3

nên ²

3

2 2

f x x



 

    mang dấu dương (+) (xem bảng biến thiên ban đầu). Vì vậy mà dấu của g x( ) cũng là dấu dương (+).

 Để xét dấu ( )g x trên khoảng



^{  1; 1 2 2}



^{, ta chọn x0     1}



^{1; 1 2 2}



, thay số 1 vào x1 ta được dấu dương (+), thay số 1 vào x²2x2 ta được ^5

 

^{1;3 do đĩ}

 

2 1;3

2 2

f x x



 

 

  

 

 

mang dấu âm () (xem bảng biến thiên ban đầu). Vì vậy mà dấu của ( )

g x là dấu âm (). Bằng cách thức này, ta cĩ thể xét dấu g x( ) trên các khoảng cịn lại và cĩ được bảng xét dầu như lời giải trên.

Ví dụ 16. Cho hàm số f x( ) cĩ bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

x  1 ^{3 5} _

( )

f x  0  0  0 

Đặt

  

²



^{1 3 2 2 3 2019}

g x  f x 3x  x  x . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số ^{yg x}

 

đạt cực đại tại x1.

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 14 B. Hàm số ^{yg x}

 

cĩ 1 điểm cực trị.

C. Hàm số ^{yg x}

 

nghịch biến trên khoảng

 

^{1; 4 .}

D. Hàm số ^{yg x}

 

đồng biến trên khoảng

 

^{1;3 .}

Lời giải:

 Ta cĩ ^{g x}

 

^{ f}



^{x 2}



^{x24x3. Xét:}

 

2 1 1

2 0 2 3 1

2 5 3

x x

f x x x

x x

   

 

 

       

    

 

;

Xét x²4x     3 0 x 1 x 3.

 Ta cĩ bảng xét dấu:

x  1 1 3 _



²



f x  0  0  0 

2 4 3

x  x  + 0  0 +

( )

g x Chưa rõ dấu  0  0 

 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ^{g x}

 

đạt cực đại tại x1. ^Chọn

A

Ví dụ 17. Cho hàm số f x cĩ bảng biến thiên như hình sau.

x  0 3 _

 

f x  0 _ 0 

 

f x



1

5



Hàm số g x 2f³ x 6f² x 1 cĩ bao nhiêu điểm cực đại?

A. 3. B. 4 . C. 6. D. 8.

Lời giải:

 ^{g x}

 

^6f2

   

^{x f x 12f x f}

   

^{ x 6f x f}

     

^{ x}



^{f x 2}



^;



1 2 3

4 5 6

0

0 0 0 3

2

f x x x x x x x

g x f x x x

x x x x x x

f x

(cả 8 nghiệm trên đều là nghiệm đơn phân biệt).

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 15

 Từ bảng biến thiên, ta thấy khi x thì 0 lim 0

2

x

f x

f x g x

f x

.

 Giả sử thứ tự giá trị của 8 nghiệm phân biệt trên là a a₁, ₂,...,a₈), ta cĩ bảng xét dấu g x( ): x  a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ 

( )

g x  0  0  0  0  0  0  0  0 

 Ta thấy đạo hàm g x( ) đổi dấu từ dương (+) sang âm () bốn lần, do đĩ hàm g x cĩ bốn điểm cực đại. ^Chọn

B

 Bài tốn 1: Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của hàm số y ax³ bx² cx d (*). 3 2 2

y ax bx c

 Phương pháp:

1. Điều kiện để hàm số cĩ n cực trị hoặc khơng cĩ cực trị.

Ta xét bảng sau (a và  là của đạo hàm y):

Điều kiện của a Điều kiện đi kèm Kết luận

0

a b0 Hàm số trở thành ybx² cx d (parabol)

nên cĩ một cực trị.

0

a b0 Hàm số trở thành y cx d (đường thẳng)

nên khơng cĩ cực trị.

0

a  0 (hoặc   0) Hàm số cĩ hai cực trị (một cực đại và một cực tiểu).

0

a  0 (hoặc   0) Hàm số khơng cĩ cực trị nào.

Từ bảng trên, ta khẳng định:

o Hàm số (*) cĩ hai cực trị 0 0 a

   . Ta cĩ thể thay  0 bởi   0.

o Hàm số (*) cĩ một cực trị 0 0 a b

 

   . o Hàm số (*) cĩ cực trị 0

0 a b

 

  

0 0 a

   .

o Hàm số (*) khơng cĩ cực trị 0 0 a b

 

   . Dạng tốn 2

Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của hàm số

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 16 2. Điều kiện cực trị cơ bản:

o Hàm số cĩ cực trị tại x x₀:

Ta cĩ:y x

 

0 0. Sau khi tìm được m thì thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số rồi kết luận nhận hay loại giá trị m này.

o Hàm số đạt cực đại tại x x₀ (hoặc hàm số đạt cực tiểu tại x x₀):

Ta cĩ:y x

 

0 0. Sau khi tìm được m thì thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số rồi kết luận nhận hay loại giá trị m này (hoặc cĩ thể thay m tìm được vào đạo hàm cấp hai để xét dấu xem cĩ phù hợp khơng).

o Đồ thị hàm số cĩ điểm cực trị là M x y



0; 0



: Ta cĩ:

 

 

0

0 0

0 y x y x y

 



 

Tìm được m. Thay m trở lại đạo hàm để kiểm tra đạo hàm cĩ đổi dấu khi

x đi qua x₀?

o Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị là A x



A^;yA

 

^,B xB^;yB



:

Ta cĩ:

   

   

0; 0

;

A B

A A B B

y x y x

y x y y x y

   



 

 ^{, ...}

Tìm được m n 3. Điều kiện cực trị liên quan đến các trục tọa độ:

o Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm khác phía trục Oy

1 2

0, 0

0 0

a ac

x x

  

    .

o Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm cùng phía trục Oy

1 2

0, 0 0, 0

0 0

a a

x x ac

     

 

     .

Để ý: Trong điều kiện trên, ta đã thay điều kiện _{1 2} c 0

x x  a bởi ac0. Lý do là hai số trái dấu đồng nghĩa với tích và thương của chúng là một số âm. Một khi a, c trái dấu rồi thì điều kiện a 0, b² 4ac 0



     luơn được thỏa mãn, vì vậy

1 2

0, 0

0 0

a ac

x x

  

  

 

 .

Ta cĩ biến đổi tương đương sau đây (phù hợp trắc nghiệm):

0 0; 0 0.

0

0 0; 0 0.

0

A A AB

AB B

B B

A A AB

AB B

B B

 

       

 

        o Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm khác phía trục Ox

1 2

0, 0

0 a

y y

  

   .

o Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm cùng phía trục Ox

1 2

0, 0

0 a

y y

  

   .

Hoàng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 17 (trong hai điều kiện trên thì y y₁, ₂ là hai giá trị cực trị của hàm số bậc ba).

o Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục Ox ^{a 0, 0}

Ñieåm uoán I Ox. o Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục Oy ^{a 0, 0}

Ñieåm uoán I Oy.

 Lưu ý: Cách tìm điểm uốn I đồ thị bậc ba yax³bx² cx d là : y 3ax²2bx c ,

6 2 0

3 ^I

y ax b x b x

a

       , thay

I 3 x b

a

  vào hàm số ban đầu để tìm yI I x y



I^; I



. 4. Các công thức giải tích liên quan:

a) Đình lí Vi-ét: Cho phương trình ax²  bx c 0 (*) có hai nghiệm x x₁, ₂. Ta có:

1 2 b, 1 2 c.

S x x P x x

a a

     

b) Công thức nghiệm của phương trình ax²bx c 0 (*):

 (*) có hai nghiệm phân biệt 0 0 a

   .

 (*) có hai nghiệm trái dấua c. 0 .

 (*) có hai nghiệm dương phân biệt 0, 0 0, 0. a

S P

  

   

 (*) có hai nghiệm âm phân biệt 0, 0

0, 0

a

S P

  

    . c) Công thức hình học giải tích trong mặt phẳng:

 Nếu ABC có ^{1 2}

1 2

( ; ) ( ; ) AB b b AC c c

 



  thì 1 _{1 2 2 1}

ABC 2

S_  b c b c .

 ABC tại A AB AC. 0b c_{1 1}b c_{2 2}0.

 AB (x_Bx_A)²(y_By_A) .²

 Khoảng cách từ điểm M x( _M;y_M) đến :ax by c  0 là ^{d M}



^;



^axM ₂^byM₂ ^c

a b

 

   .

Đặc biệt: d M Ox



^;



 yM ^, d M Oy



^;



 xM .

Ví dụ 18. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số 1 ^{3 2}

( 6) (2 1)

y3x mx  m x m có cực đại, cực tiểu.

A. m   ( ; 3) (2;). B. m     ( ; 3) ( 2; ).

C. m    ( ; 2) (3; ). D. m ( ;2) (3; ).

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 18 Lời giải:

 Tập xác định : D . Đạo hàm : y x²2mx m 6.

 Ta thấy a 1 0. Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu yđổi dấu hai lần trên tập xác định

2 2

0 ( 6) 0

3 m m m

m

  

          . ^Chọn

C

Ví dụ 19. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y(m2)x³3x²mx6 cĩ 2 cực trị ?

A.^{m ( 3;1) \}

 

^{2 . B.m ( 3;1).}

C.m    ( ; 3) (1; ). D.^{m }



^3;1



^.

Lời giải:

 Tập xác định : D . Đạo hàm : y 3(m2)x²6xm.

 Hàm số cĩ hai cực trị 0 ₂ 2 0 2

0 3 3( 2) 0 3 1

a m m

m m m

     

 

         . ^Chọn

A

Ví dụ 20. Tập hợp tất cả giá trị của m để hàm số ¹



¹



^{3 2 5}

y3 m x mx mx cĩ cực trị là:

A. 1

0 m m

 

  . B. m1. C. m0. D. m0. Lời giải:

 Tập xác định : D . Đạo hàm : y (m1)x²2mxm.

 Hàm số đã cho cĩ cực trị khi và chỉ khi 0 0

0 0

a a

b

 

 

    

 

 

2

1 0

1 0 1

1 0

2 0 1 0 0

m m m

m m

m m m m m

  

  

  

            . ^Chọn

C

Ví dụ 21. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm sốyx³2x²(m3)x1 khơng cĩ cực trị ?

A. 5

m 3. B. 5

m 3. C. 8

m 3. D. 8 m 3. Lời giải:

 Tập xác định : D . Đạo hàm : y 3x²4x m 3.

 Ta thấy a 1 0. Vậy hàm số khơng cĩ cực trị    0

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 19

2 5

( 2) 3( 3) 0 3 5 0

m m m 3

            . ^Chọn

A

Ví dụ 22. Giá trị của m để hàm số ^{yx33mx23}



^m21



^xm đạt cực đại tại x1 là A. m 1. B. m 2. C. m2. D. m0.

Lời giải:

 Tập xác định: D . Đạo hàm: ^{y 3x26mx3}



^m21



^.

 Hàm số cĩ cực đại tại x1 nên

 

^{1 0 3 6 3}



^{2 1}



^{0 0.}

2

y m m m

m

 

         

 Xét m0. Ta cĩ y 3x²3; y 6x. Khi đĩ ^y

 

^{1  6 0} suy ra hàm số đạt cực tiểu tại 1

x (loại m0 vì trái giả thiết).

 Xét m2. Ta cĩ y 3x²12x9; y 6x12. Khi đĩ ^y

 

^{1   6 0}. Do đĩ hàm số đã cho đạt cực đại tại x1. Vậy m2 thỏa mãn đề bài. ^Chọn

C

Ví dụ 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^{ymx3x2}



^m26



^{x1 đạt}

cực tiểu tại x1.

A. 1

4 m m

 

  

 . B. m1. C. m 4. D. 1 m 3. Lời giải:

 Tập xác định: D . Đạo hàm: y 3mx²2x m ²6.

 Hàm số đạt cực tiểu tại ¹

 

^{1 0 3 2 2 6 0 1}

4

x y m m m

m

 

             .

 Xét m1, ta cĩ y3x²2x5,y6x2. Khi đĩ ^y

 

^{1  8 0}, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x1. Vì vậy m1 thỏa mãn.

 Xét m 4, ta cĩ y 12x²2x10, y 24x2. Khi đĩ ^y

 

^{1   22 0}, suy ra hàm số đạt cực đại tại x1. Điều này trái với giả thiết nên ta loại m 4. ^Chọn

B

Ví dụ 24. Đồ thị hàm số y x³ 3x² 2ax b cĩ điểm cực tiểu là A 2; 2 . Tính a b

A. 4. B. 2. C. 4. D. 2.

Lời giải:

 Tập xác định: D . Đạo hàm: y 3x² 6x 2a.

Hồng Xuân Nhàn___________________https://www.facebook.com/tuhoctoancapba/ 20

 Đồ thị hàm số cĩ điểm cực tiểu 2 0 12 12 2 0 0

2; 2 .

8 12 4 2 2

2 2

y a a

A y a b b

 Khi đĩ y 3x² 6 ,x y 6x 6. Ta thấy y 2 12 6 6 0, do đĩ hàm số đạt cực tiểu tại x 2 (thỏa mãn). Vậy 0

2 a

b , suy ra a b 2. ^Chọn

D

Ví dụ 25. Cho hàm số y  x³ ax²bx c . Biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm ^A



^{0; 1}



^và

cĩ điểm cực đại là ^M

 

^{2;3 .Tính Q a 2b c .}

A. Q0. B. Q 4. C. Q1. D. Q2. Lời giải:

 Tập xác định: D . Đạo hàm: y  3x²2ax b .

 Đồ thị hàm số cĩ điểm cực đại ^M

 

^2;3 và đi qua ^A



^{0; 1}



^{suy ra}

 

 

 

2 0 12 4 0 3

2 3 8 4 2 3 0

1 1

0 1

y a b a

y a b c b

c c

y

 

      

         

  

        



.

 Thay các hệ số trên vào đạo hàm:^{y 3x26 ,x y   6x 6 y}

 

^{2   6 0}, do đĩ hàm số đạt cực đại tại x2 (thỏa mãn đề bài). Vậy a3,b0,c    1 Q a 2b c 2.

Chọn

D



Ví dụ 26. Đồ thị hàm số yax³bx² cx d cĩ hai điểm cực trị là A(1; 7) , B(2; 8) . Hãy tính y( 1) .

A. ^y

 

^{ 1 7. B. y}

 

^{ 1 11. C. y}

 

^{  1 11. D. y}

 

^{  1 35.}

Lời giải:

 Ta cĩ: y 3ax²2bx c .

 Theo đề bài ta cĩ hệ:

   

     

3 2 0

1 3 2 0 2

12 4 0

2 12 4 0 9

7 3 1 .

1 7 12

2 8 4 2 8 7 12

a b c

y a b c a

a b c

y a b c b

a b c

y a b c d c

d a b c

y a b c d d

       

   

            

  

             

  

               



 Vậy y2x³9x²12x12 ^y

 

^{  1 35. Chọn}