Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số – Hoàng Xuân Nhàn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

Hoàng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 1

§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa tính đơn điệu:

Cho hàm số y f x= ( ) xác định trên tập K.

 Hàm số y f x= ( ) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x x₁, ₂∈K, x x₁< ₂ ⇒ f x( )₁ < f x( )₂ .

 Hàm số y f x= ( ) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x x₁, ₂∈K, x x₁< ₂ ⇒ f x( )₁ > f x( )₂ .

 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì được gọi là đơn điệu trên K.

 Nhận xét: Trong chương trình lớp 10, để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm f x( ), ta hay

dùng tỉ số : ¹ ² ₁ ₂

1 2

( ) ( ) , f x f x

T x x

x x

= − ∀ ≠

− và x x₁, ₂∈K . Cụ thể là:

•Nếu T >0 thì hàm ( )f x đồng biến trên K. (Tức là f x( )₁ − f x( )₂ cùng dấu với x x1− 2).

•Nếu T <0 thì hàm ( )f x nghịch biến trên K. (Tức là f x( )₁ − f x( )₂ trái dấu với x x₁− ₂).

2. Định lí (tính đơn điệu và dấu của đạo hàm):

Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm trên K.

 Nếu ( ) 0f x′ > với mọi x K∈ thì hàm ( )f x đồng biến trên K.

 Nếu ( ) 0f x′ < với mọi x K∈ thì hàm ( )f x nghịch biến trên K.

 Chú ý:

• Định lí trên được mở rộng với f x′( ) 0≥ (hay f x′( ) 0≤ ) trong trường hợp f x′( ) 0= tại một số hữu hạn điểm; khi đó kết luận hàm số đồng biến (hay nghịch biến) vẫn đúng.

(2)

• Nếu hàm số y f x= ( ) liên tục trên

[ ]

^{a b}^; và có đạo hàm ( ) 0,f x′ > ∀ ∈x a b( ; ) thì hàm số đồng biến trên

[ ]

^{a b}^; . (Tương tự cho trường hợp hàm số nghịch biến trên

[ ]

^{a b}^; ^).

 Bài toán 1: Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và suy ra tính đơn điệu hàm số.

 Phương pháp:

o Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

o Bước 2: Tính y′= f x′( ) ; cho y′ =0 Tìm nghieäm x x₁, ...₂ (nếu có).

o Bước 3: Lập bảng biến thiên.

o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các khoảng của tập xác định.

 Lưu ý:

o Khi lập bảng biến thiên, việc xét đúng dấu cho đạo hàm là bước quyết định, nên học sinh phải tuyệt đối chính xác.

o Ở lớp 10, khi các em xét dấu cho tam thức bậc hai, học sinh đã quen với thuật ngữ

“trong trái ngoài cùng” . Nghĩa là: Khu vực bên trong hai nghiệm thì biểu thức trái dấu a, khu vực ngoài hai nghiệm thì biểu thức cùng dấu a. Tuy nhiên nếu đạo hàm không có dạng bậc hai, thì thuật ngữ “trong trái ngoài cùng” sẽ không thể áp dụng. Vậy có quy tắc nào chung cho việc xét dấu mọi bài toán?

 Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm:

o Để xét dấu đạo hàm y′ trên một khoảng ( ; )α β nào đó, ta chọn một giá trị x₀∈( ; )α β rồi thay vào y′, từ đó suy ra được dấu của y′ trên ( ; )α β _.

o Với quy tắc này, mọi hàm số có đạo hàm phức tạp ta đều có thể được xét dấu chính xác sau khi ta tìm được nghiệm của đạo hàm.

Dạng toán 1

Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số

(3)

Hồng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 3 Ví dụ 1. Cho hàm số y x= ³+3x²−9 15x+ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(

−3;1

)

. B. Hàm số đồng biến trên

(

− −9; 5

)

. C. Hàm số đồng biến trên  . D. Hàm số đồng biến trên

(

5;+∞

)

.

Lời giải:

 Tập xác định: D=.

 Ta cĩ y′ =3x²+6x−9; 0 1 3 y x

x

 =

′ = ⇔  = − .

 Bảng biến thiên:

x −∞ −3 1 +∞

y′ + 0 − 0 +

y −∞

42

10

+∞

 Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng:

(

−∞ −; 3 , 1;

) (

+∞

)

. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(

−3;1

)

. →^Chọn C

Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số y= − +x⁴ 2x²−4 là A. ( 1;0)− và (1;+∞). B. ( ;1)−∞ và (1;+∞).

C. ( 1;0)− và (0;1). D. ( ; 1)−∞ − và (0;1).

Lời giải:

 Tập xác định: D=.

 Ta cĩ: y′ = −4x 4x³+ ; 0

0 1

y x

x

 =

′ = ⇔  = ± .

x −∞ −1 0 1 +∞

y′ ₊ 0 − 0 + 0 −

y −∞

3

−

4

−

3

−

−∞

 Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng:

(

−∞ −; 1 , 0;1

) ( )

. Hàm số nghịch biến trên các khoảng:

(

−1;0 , 1;

) (

+∞

)

. →^Chọn _A

(4)

Hồng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 4 Ví dụ 3. Chọn mệnh đề đúng về hàm số 2 1

2 y x

x

= −

+ .

A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nĩ.

B. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nĩ.

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nĩ.

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nĩ.

Lời giải:

 Tập xác định: D=\ 2

{ }

− .

 Ta cĩ:

(

⁵2

)

² ^0, ²

y x

′ = x > ∀ ≠ −

+ . Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nĩ.

x −∞ −2 +∞

y′ ₊ ₊

y

2

+∞

−∞

2

C

→^Chọn

Ví dụ 4. Cho hàm số y= 3x x− ² . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

A. 0;³ 2

 

 

  . B.

(

0;3 .

)

C. 3 ;3

2

 

 

 . D. ;³

2

−∞ 

 

 . Lời giải:

 Tập xác định: ^D⁼

[ ]

^0;3 ^.

 Ta cĩ:

(

²

)

2 2

3 3 2

2 3 2 3

x x x

y x x x x

− ′ −

′ = =

− − ; 0 3

y′ = ⇔ =x 2 (nhận).

x 0 3

2 3

y′ + 0 ⁻

y 0

3 2

0

 Kết luận: Hàm số đồng biến trên 0;³ 2

 

 

 , nghịch biến trên 3 ;3 2

 

 

 . →^Chọn A

(5)

Hồng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 5 Ví dụ 5. Cho hàm số y x= + +3 2 2−x. Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2)−∞ −

và nghịch biến trên khoảng ( 2;2).− B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1)−∞ và nghịch biến trên khoảng (1;2).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2)−∞ − và đồng biến trên khoảng ( 2;2).− D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1)−∞ và đồng biến trên khoảng (1;2) .

Lời giải:

 Tập xác định: ^D^{= −∞}

(

^;2

]

^.

 Đạo hàm: 1 1 2 1

2 2

y x

x x

′ = − = − −

− − ; y′ = ⇔0 2− = ⇔ = ⇒ =x 1 x 1 y 6.

x −∞ 1 2 +∞

y′ ₊ −

y

−∞

6

5

 Vậy ta hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

(

−∞;1

)

và nghịch biến trên khoảng

( )

1;2 . B

→^Chọn

Ví dụ 6. Cho hàm số sin ,² 2

y= +x x với ^x^∈

[ ]

^0;^π . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên

[ ]

^0;^π ^. B. Hàm số nghịch biến trên

[ ]

^0;^π ^.

C. Hàm số nghịch biến trên 0;⁷ 12

 π

 

 . D. Hàm số nghịch biến trên ^{7 11}; 12 12

π π

 

 

 . Lời giải:

 Tập xác định: D= −∞

(

;2

]

.

 Đạo hàm: 1 2sin cos 1 sin 2

2 2

y′ = + x x= + x ; 0 sin 2 1 y′ = ⇔ x= −2 .

2 2

6 12 ( )

7 7

2 2

6 12

x k x k

k

x k x k

π π π π

π π π π ^

 = − +  = − +

 

⇔ ⇔ ∈

 = +  = +

 



. Do

[ ]

0; ¹¹12 7 12 x x

k x

π π

 π

 =

 ∈ ⇒ 

 ∈

 

 =



.

(6)

Hồng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 6

x 0 7

12

π 11

12

π π

y′ + 0 − 0 +

y

 Ta thấy mệnh đề đúng là: Hàm số đã cho nghịch biến trên ^{7 11}; 12 12

π π

 

 

 . →^Chọn D

Ví dụ 7. Hàm số y= 2x²−3x−5 đồng biến trên khoảng nào ? A.

(

−∞ −; 1

)

và ^{3 5};

4 2

 

 

  B. 1;⁵

2

− 

 

 . C. ;⁵

2

−∞ 

 

 . D. 1;³

4

− 

 

  và 5 ; 2

 +∞

 

 . Lời giải:

 Tập xác định: ^D^{= −∞}

(

^;2

]

^.

 Áp dụng cơng thức

( ) ( )2 ( )2 2

2 . . 2 2

u u u u u

u u

u

′ ′ ′ ′

′ = = = = , ta cĩ:

(

²

) ( )

2

2 3 5 4 3

2 2 3 5

x x x

y x x

− − −

′ = − − .

Xét

(

²

) ( )

2

1 3

4 1 3

2 3 5 4 3 0 5 4

0 2 3 5 0 2 5

2 1 5

2 x x x x x

y x

x x x

x x

− ≤ ≤

 

 − < ≤

 − − − ≥ 

 

′ ≥ ⇔ − − ≠ ⇔ ≠ − ∧ ≠≥ ⇔ >

.

 Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng: 1;³ 4

− 

 

  và 5 ; 2

 +∞

 

 . →^Chọn D Bài tốn 2: Xét dấu đạo hàm cho sẵn để kết luận về tính đơn điệu hàm số

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN LƯU Ý:

Cho hàm số f x g x

 

,

 

cùng cĩ đạo hàm trên tập D. Khi đĩ:

( ) ( )

. .

k f x ′ =k f x′

 

  với k là hằng số f x

( )

±g x

( )

′= f x′

( )

±g x′

( ) ( ) ( )

.

( ) ( )

.

( ) ( )

.

f x g x ′ = f x g x′ + f x g x′

 

 

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

²

. .

f x f x g x f x g x

g x g x

 ′ ′ − ′

  =

 

   

(7)

( )

.

( )

f u ′ =u f u′ ′

 

  y f x=

( )

Thay x bởi u y f u=

( )

Ví dụ 8. Cho hàm số f x

( )

cĩ đạo hàm trên _ là f x′

( )

=x x²

(

−1

)

. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng:

A.

(

1;+∞

)

. B.

(

−∞ +∞;

)

. C.

( )

0;1 . D.

(

−∞;1

)

. Lời giải:

 Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu:

 Ta cĩ '

( )

0 ²

(

1 0

)

⁰

1 f x x x x

x

 =

= ⇔ − = ⇔  = .

x −∞ 0 1 +∞

y′ − 0 − 0 +

y +∞ +∞

 Ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng

(

1;+∞

)

. →^Chọn A

 Cách 2: Giải bất phương trình (cách này thuận lợi hơn trong trắc nghiệm).

 Ta cĩ: f x'

( )

=x x²

(

− ≥ ⇔ − ≥1 0

)

x 1 0 (do x² ≥0, ∀ ∈x )⇔ ≥x 1.

 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

(

1;+∞

)

.

Ví dụ 9. Cho hàm số y f x=

( )

liên tục trên  và cĩ đạo hàm f x′

( ) (

= x+2

)(

x−1

) (

²⁰¹⁸ x−2

)

²⁰¹⁹. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x=1 và đạt cực tiểu tại các điểm x= ±2. B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

( )

1;2 và

(

2;+ ∞

)

.

C. Hàm số cĩ ba điểm cực trị.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(

−2;2

)

. Lời giải:

 Ta cĩ f x′

( ) (

= x+2

)(

x−1

) (

²⁰¹⁸ x−2

)

²⁰¹⁹ =

(

x+2

)(

x−1

) (

²⁰¹⁸ x−2

) (

²⁰¹⁸ x−2

)

(

^x² ⁴

) (

^x ¹

) (

²⁰¹⁸ ^x ²

)

²⁰¹⁸

= − − − .

(8)

 Xét ^{f x}^′

( )

^{≥ ⇔}⁰

(

^x²⁻⁴

) (

^x⁻¹

) (

²⁰¹⁸ ^x⁻²

)

²⁰¹⁸ ^{≥ ⇔}⁰ ^x²^{− ≥}^{4 0}^(do

( )

2018

1 0

2 0,

x x

x

 − ≥

 ∀ ∈

 − ≥

 )

2 2 x x

 ≤ −

⇔  ≥ . Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng

(

−∞ −; 2 , 2;

) (

+∞

)

; hàm số nghịch biến trên khoảng

(

−2;2 .

)

→^Chọn _D

Ví dụ 10. Cho y f x=

( )

cĩ đạo hàm f x'

( )

= − +x² 5 6,x− ∀ ∈x . Hàm số y= −5f x

( )

nghịch biến trên khoảng nào?

A.

(

−∞;2

)

và

(

3;+∞

)

. B.

(

3;+∞

)

.

C.

(

2;+∞

)

. D.

( )

2;3 .

Lời giải:

 Đặt g x

( )

= −5f x

( )

,∀ ∈x . Ta cĩ g x′

( )

= −5f x′

( )

mà f x'

( )

= − +x² 5 6,x− ∀ ∈x  nên

( )

⁵

(

² ⁵ ^{6 5}

)

² ²⁵ ³⁰

g x′ = − − +x x− = x − x+ ;

 Xét g x′

( )

≤ ⇔0 5x²−25x+30 0≤ ⇔ ≤ ≤2 x 3. Do đĩ hàm số g x

( )

nghịch biến trên

( )

2;3 . D

→^Chọn

( )

cĩ đạo hàm ^{f x}^′

( ) (

^{= −}³ ^{x x}

) (

²^{− +}^{1 2 ,}

)

^{x x}^{∀ ∈}^. Hỏi hàm số

( ) ( )

² 1

g x = f x x− − đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ? A.

(

3;+ ∞

)

. B.

(

−∞;1

)

. C.

( )

1;2 . D.

(

−1;0

)

.

Lời giải:

 Ta cĩ:^{g x}^′

( )

⁼ ^{f x}^′

( )

⁻²^x^{= −}

(

³ ^{x x}

) (

²^{− +}^{1 2}

)

^x⁻²^x^{= −}

(

³ ^{x x}

) (

² ⁻¹

)

^;

( )

⁰

(

³

) (

² ^{1 0}

)

^x ³₁

f x x x

x

 =

′ = ⇔ − − = ⇔  = ± .

x −∞ −1 1 3 +∞

y′ + 0 − 0 + 0 −

y

ơ

 Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng

(

−∞ −; 1 , 1;3

) ( )

. →^Chọn C

(9)

Hồng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 9 Ví dụ 12. Cho hàm số y f x=

( )

xác định trên  và cĩ đạo hàm y f x= '

( )

thỏa mãn

( ) ( )( ) ( )

' 1 2 2021

f x = −x x+ g x + trong đĩ g x

( )

> ∀ ∈0, x . Hàm số y f=

(

1− +x

)

2021 2020x+ nghịch biến trên khoảng nào?

A.

( )

0;3 . B.

(

−∞;3

)

. C.

(

1;+∞

)

. D.

(

3;+∞

)

. Lời giải:

 Đặt h x

( )

= f

(

1− +x

)

2021 2020x+ ⇒h x′

( ) (

= −1 x f

) (

′. 1′ − +x

)

2021= −f′

(

1− +x

)

2021.

 Theo đề f x′

( ) (

= −1 x x

)(

+2

) ( )

g x +2021⇒ f′

(

1−x

) (

=x 3−x g

) (

1− +x

)

2021.

 Do đĩ h x′

( )

= −x

(

3−x g

) (

1− +x

)

2021 2021+ =x x

(

−3

) (

g 1−x

)

. Mặt khác g x

( )

> ∀ ∈ ⇒0, x  g

(

1−x

)

> ∀ ∈0, x .

 Do đĩ h x′

( )

≤ ⇔0 x x

(

− ≤ ⇔ ≤ ≤3 0

)

0 x 3. →^Chọn _A

( )

cĩ đạo hàm liên tục trên _ và f x′

( ) (

=x x2 1 .+

) ( )

g x +1 trong đĩ

( )

0,

g x > ∀ ∈x . Hàm số y f=

(

2− +x x

)

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. 2; ⁵ 2

 

 

 . B.

(

−∞; 1

)

. C. 1; ³ 2

 

 

 . D.

( )

0; 1 . Lời giải:

 Đặt h x

( )

= f

(

2− +x x

)

, suy ra h x′

( ) (

= 2−x f

) (

′ ′ 2− + = −x

)

x′ f′

(

2− +x

)

1.

 Ta cĩ f x′

( ) (

=x x2 1 .+

) ( )

g x +1

(

2

) (

2

) (

2 2

)

1

(

2

)

1 2

( )(

5 2

) (

2

)

1

f′ x x x g x x x g x

⇒ − = −  − +  − + = − − − + . Do đĩ: ^{h x}^′

( )

^{= −}^_

(

²⁻^x

)(

^{5 2}⁻ ^{x g}

) (

²^{− + + =}^x

)

^{1 1}^_

(

^x⁻^{2 5 2}

)(

⁻ ^{x g}

) (

²⁻^x

)

^.

 Theo đề, g x

( )

> ∀ ∈ ⇒0, x  g

(

2−x

)

> ∀ ∈0, x , do đĩ:

( )

⁰

(

^{2 5 2}

)( )

⁰ ² ⁵^.

h x′ ≥ ⇔ x− − x ≥ ⇔ ≤ ≤x 2

 Vậy hàm số y f=

(

2− +x x

)

đồng biến trên 2; .⁵ 2

 

 

  →^Chọn A

Bài tốn 3: Dựa vào bảng biến thiên cĩ sẵn để kết luận về tính đơn điệu

 Phương pháp chung:

o Đặt g x

( )

là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm g x′

( )

. Thay x bởi 1 – x

(10)

Hồng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 10 o Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức để cĩ được bảng xét

dấu cho g x′

( )

.

o Dựa vào bảng xét dấu của g x′

( )

để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức:

( )

f x    

( )

g x    

( ) ( )

.

f x g x    

( ) ( )

:

f x g x    

( ) ( )

f x +g x _ _ Chưa biết Chưa biết

( )

cĩ bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y= −2018.f x

( )

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

x  1 ^

y ^ 

y

0

 

0

A.

(

^−∞^{;0 .}

)

B.

(

^1;^+∞

)

^. C.

(

^0;^+∞

)

^. D.

(

^−∞^{;1 .}

)

Lời giải:

 Đặt g x

( )

= −2018.f x

( )

, ta cĩ: g x′

( )

= −2018.f x′

( )

.

 Xét g x′

( )

= −2018.f x′

( )

≥ ⇔0 f x′

( )

≤ ⇔ ≥0 x 1.

 Vậy hàm số y= −2018.f x

( )

đồng biến trên khoảng

(

1;+∞

)

. →^Chọn B Ví dụ 15. Cho hàm số f

( )

x . Hàm số y= f′

( )

x cĩ bảng xét dấu như sau:

x −∞ −2 1 3 +∞

( )

f x′ − 0 + 0 + 0 −

Hàm số ^y= ^f

(

^x² +2^x

)

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

( )

0;1 . B.

(

− −2; 1

)

. C.

(

−2;1

)

. D.

(

− −4; 3

)

. Lời giải:

 Đặt ^{g x}

( )

⁼ ^{f x}

(

²⁺²^x

)

^⇒^{g x}^′

( )

⁼

(

^x²⁺^{2 .}^{x f x}

) (

^′ ^′ ²⁺²^x

)

⁼

(

²^x⁺^{2 .}

)

^{f x}^′

(

²⁺²^x

)

^.

 Xét ^{g x}

( )

⁰

(

²^x ^{2 .}

)

^{f x}

(

² ²^x

)

⁰ ²^{f x}^x

(

²^{2 0}²^x

)

⁰⁽¹⁾ ²^{f x}^x

(

²^{2 0}²^x

)

⁰⁽²⁾

+ ≥ + ≤

 

 

≤ ⇔ + ′ + ≤ ⇔ ′ + ≤ ∨ ′ + ≥

(11)

 Giải (1), ta cĩ:

(

²

)

²₂

1 1

2 2 0

1

2 2

2 0 3

2 3 1

x x

x x x

f x x x

x x x

 ≥ −

 ≥ − 

 + ≥   ∈∅

 ⇔  + ≤ − ⇔ ⇔ ≥

 ′ + ≤   ≤ −

  

  + ≥  ≥

. (*)

 Giải (2), ta cĩ:

(

²

)

²₂

1 1

2 2 0

2 2 3 1

2 0

3 1

2 3

x x

x x x x x

f x x

x x x

 ≤ −  ≤ −

 + ≤ 

 ⇔ + ≥ − ⇔ ∈ ⇔ − ≤ ≤ −

 ′ + ≥  

  

  + ≤ − ≤ ≤

 . (**)

 Hợp hai kết quả (*), (**), ta được: x S∈ = − − ∪ +∞

[

3; 1

] [

1;

)

. Ta thấy

(

− − ⊂2; 1

)

S, do đĩ

(

2; 1

)

x

∀ ∈ − − thì hàm số ^y= ^f

(

^x² +2^x

)

nghịch biến. →^Chọn B

Giải thích ():

o Từ bảng biến thiên, ta dễ dàng cĩ được:

( )

0 ² 3 f t t

t

 ≤ −

′ ≤ ⇔  ≥ .

o Thay t bởi x²+2x, ta cĩ:

2 2

2

2 2

2 0

2 3

t t

t

x x f x x

x x

 + ≤ −

  

′ + ≤ ⇔ + ≥





  .

Ví dụ 16. Cho hàm số ( )f x cĩ bảng xét dấu của đạo hàm như sau

x  4 1 2 4 ^

( )

f x ^ 0  0  0  0 

Hàm số (2 1) 2 ² 8 5

y f x= + +3x − x+ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A.

(

−1;7

)

. B.

(

1;+ ∞

)

. C. 1;¹

2

− 

 

 . D.

(

−∞ −; 2

)

. Lời giải:

 Đặt ^{g x}

( )

⁼ ^{f x}^{(2 1)}^{+ +}²₃^x²⁻⁸^x^{+ ⇒}⁵ ^{g x}^′

( )

⁼^{2 (2 1)}^f^′ ^x^{+ +}⁴₃^x^{− =}^{8 2}^_^f^′^{(2 1)}^x^{+ +}²₃^x⁻⁴^_

 .

 Xét

5 1

4 2 1 2 2 2

(2 1) 0

2 1 4 3

2 x x

f x

x x

− ≤ ≤

− ≤ + ≤ 

′ + ≤ ⇔ + ≥ ⇔  ≥



; do đĩ

5 (2 1) 0 2

1 3

2 2

x f x

x

 ≤ −

′ + ≥ ⇔ 

 ≤ ≤



.

 Xét 2 4 0 6.

3x− = ⇔ =x

 Ta cĩ bảng xét dấu tạm thời như sau:

(12)

x  ^⁵₂ ¹₂ ³₂ 6 

(2 1)

f′ x+  0  0 ^ 0  

2 4

3x     0 

(2 1) 2 4

f′ x+ +3x− ^Chưa_biết

dấu  Chưa

biết

dấu  Chưa

biết dấu

 Từ bảng trên, ta thấy hàm số g x

( )

chắc chắn nghịch biến trên các khoảng: ^{5 1}; , ³;6

2 2 2

−   

   

   . Do đĩ chỉ cĩ đáp án C thỏa mãn vì 1;¹ ^{5 1}; .

2 2 2

−  ⊂ − 

   

    →^Chọn C

Đúc kết: Qua bài trên, ta thấy việc xét dấu tổng, hiệu các biểu thức vốn là bài tốn khơng quen thuộc của đa số học sinh (các em chỉ quen xét dấu tích, thương các đa thức mà thơi). Vì vậy, ta cần rút ra thuật tốn cho loại tốn này.

Bài tốn: Xét dấu g x′

( )

=k f x h x. ′

( ) ( )

+ khi đã biết bảng xét dấu của f x′

( )

, k là hằng số.

o Cho h x

( )

=0 để tìm các nghiệm x x₁, ...₂ (nếu cĩ).

o Lập bảng xét dấu với mỗi hàng lần lượt dành cho x k f x h x kf x h x, . ′

( ) ( )

, , ′

( ) ( )

+ theo quy tắc: Tổng hai số dương là một số dương, tổng hai số âm là một số âm, tổng hai số trái dấu thì chưa xác định được dấu.

( )

cĩ bảng xét dấu của đạo hàm như sau

x  1 1 2 ⁵ 

( )

f x ^ 0  0 ^ 0 ^ 0 

Hàm số y=³f x

(

− + + +²

)

x³ ³x²−⁹x+²⁰¹⁸ nghịch biến trên khoảng nào dưới đấy?

A. ; ³

2

−∞ − 

 

 . B. 0;³ 2

 

 

 . C.

(

2;+∞

)

. D. 3 ;1 2

− 

 

 . Lời giải:

 Đặtg x

( )

=3f

(

− + + +x 2

)

x³ 3x²−9x+2018; đạo hàm: g x′

( )

= −3f′

(

− + +x 2 3

)

x²+6x−9.

 Xét 3

(

2 0

) (

2 0

)

¹ ^{2 1} ³ ¹ ³ ¹

2 5 3 3

x x x

f x f x

x x x

− ≤ − + ≤ − ≤ − ≤ − ≥ ≥

  

′ ′

− − + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔− + ≥ ⇔− ≥ ⇔ ≤ − .

Do đĩ 3

(

2 0

)

³ ¹

3 f x x

x

− ≤ ≤

′ 

− − + ≤ ⇔  ≥ .

Xét ² 1

3 6 9 0

3 x x x

x

 =

+ − = ⇔  = − .

(13)

 Bảng xét dấu tạm thời như sau:

x  ^³ 1 3 

( )

3f′ x 2

− − +  0  0  0 

3x2+6x−9  0  0  

+ ³₂

(

²

) ( )

3 6 9

f x x x g x

− ′ − +  ′

+ −   0  0  Chưa

biết dấu

 Ta thấy hàm số g x

( )

chắc chắn nghịch biến trên

(

−3;1

)

mà ^_⁻^{3 ;1}₂ ^_^{⊂ −}

(

^3;1

)

  ^{nên hàm}g x

( )

nghịch biến trên 3 ;1 2

− 

 

 . →^Chọn D

 Bài tốn 1: Tìm tham số m để hàm số y ax bx cx d= ³ + ²+ + đơn điệu trên.

 Phương pháp:

o Bước 1: Tập xác định: D=.

o Bước 2: Đạo hàm y′ =3ax² +2bx c+ . o Bước 3: Điều kiện đơn điệu (khi a≠0).

 Hàm số đồng biến trên 0, ⁰

0

y y

y x a ^′

′

 >

⇔ ′≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤

  ^{Giải tìm} m.

 Hàm số nghịch biến trên 0, ⁰

0

y y

y x a ^′

′

 <

⇔ ′≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤

  ^{Giải tìm} m.

 Lưu ý: Nếu hàm bậc ba y ax bx cx d= ³+ ²+ + cĩ a chứa tham số thì ta cần xét a=0 để kiểm tra xem hàm số cĩ đơn điệu trên  hay khơng.

 Bài tốn 2: Tìm tham số m để hàm số y ax b cx d

= +

+ (c≠0, ad bc− ≠0) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nĩ.

 Phương pháp:

o Tập xác định: D \ d c

 

= − 

 

 .

o Đạo hàm: ₂

( )

ad bc y cx d

′ = −

+ . o Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định⇔ > ∀ ∈ ⇔y′ 0, x D ad bc− >0 ^{Giải tìm} m.

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định⇔ < ∀ ∈ ⇔y′ 0, x D ad bc− <0 ^{Giải tìm} m. Dạng tốn 2

Tìm tham số thỏa mãn tính đơn điệu của hàm số

(14)

 Lưu ý: Nếu hàm sốy ^{ax b} cx d

= +

+ cĩ c chứa tham số thì ta nên xét c=0 để kiểm tra xem hàm số cĩ đơn điệu trên từng khoảng xác định của nĩ hay khơng.

 Bài tốn 3: Tìm tham số m để hàm số y ^ax² ^{bx c} dx e

+ +

= + (ad ≠0) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nĩ.

 Phương pháp:

o Tập xác định: D \ e

  d

= − 

 .

o Đạo hàm: ² ₂

( )

Ax Bx C y dx e

+ +

′ = + với 0

0 A a b

= d ≠ , 2 , 0

a c b c

B C

e d e

= = .

o Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định⇔ ≥ ∀ ∈y′ 0, x D

2 0, 0

0 Ax Bx C x  A>

⇔ + + ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤

Giải tìm m

 .

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định⇔ < ∀ ∈y′ 0, x D

2 0

0, 0

Ax Bx C x  A<

⇔ + + ≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤

Giải tìm m

 .

 Lưu ý:

 Nếu gặp câu hỏi tương tự dành cho hàm số y ^{ax bx c}₂² dx ex f + +

= + + thì ta cũng làm theo phương pháp nêu trên.

 Một điều khác nhau mà học sinh cần phân biệt giữa bài tốn 2, bài tốn 3 là: Đối với bài tốn 2, đạo hàm y′chỉ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ khơng được cho y′≥0, y′≤0. Lý do là nếu ta cho y′ =0 thì sẽ cĩ vơ số giá trị x thỏa mãn (mà định nghĩa nêu rõ y′ =0 tại một số hữu hạn điểm x mà thơi).

Ví dụ 18. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số ¹ ³ ²

(

8 2

)

3

y=3x mx− + − m x m+ + đồng biến trên .

A. m=2. B. m= −2. C. m=4. D. m= −4. Lời giải:

 Ta cĩ y x′ = ²−2mx+ −

(

8 2m

)

. Nhận thấy a= ≠1 0.

 Hàm số đồng biến trên  0 1 0₂

0, 4 2.

0 8 2 0

y x a m

m m

  >  ≥

⇔ ′≥ ∀ ∈ ⇔∆ ≤′ ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ≤

 Ta thấy m=2 thỏa mãn đề bài. →^Chọn A

(15)

Hồng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 15 Ví dụ 19. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y=

(

m−¹

)

x³+

(

m−¹

)

x²−

(

²m+¹

)

x+⁵ nghịch

biến trên tập xác định.

A. ⁵ 1

4 m

− ≤ ≤ . B. ² 1

7 m

− ≤ < . C. ⁷ 1 2 m

− ≤ < . D. ² 1 7 m

− ≤ ≤ . Lời giải:

 Ta cĩ: y′ =3

(

m−1

)

x²+2

(

m−1

) (

x− 2m+1

)

.

 Xét m− = ⇔1 0 m=1, ta cĩ: y′ = − < ∀ ∈3 0, x  nên hàm số đã cho nghịch biến trên . Do đĩ 1

m= thỏa mãn. (*)

 Xét m− ≠ ⇔1 0 m≠1. Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

( )

²

( )( )

²

1 0 1 2 1

7 5 2 0 7

1 3 1 2 1 0

m m

m m m

− <

  <

 ⇔ ⇔ − ≤ <

∆ =′ − + − + ≤  − − ≤

 

 . (**)

 Hợp các kết quả của (*) và (**), ta cĩ ² 1 7 m

− ≤ ≤ thỏa mãn đề bài. →^Chọn D

 Nhận xét: Hai ví dụ trên cĩ sự khác nhau về lời giải bởi một trường hợp thì a luơn khác 0; trường hợp cịn lại thì a chứa tham số m, khi đĩ ta phải xét thêm a=0 để kiểm tra xem đạo hàm cĩ luơn mang một dấu thỏa mãn đề bài khơng.

Ví dụ 20. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mđể hàm số ² 4 y x m

x

= +

+ đồng biến trên từng khoảng xác định của nĩ?

A. 5. B. 2. C. 3. D. 1.

Lời giải:

{ }

− . Đạo hàm:

( )

2 2

4 .

4 y m

x

′ = − +

 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nĩ ⇔ > ∀ ≠ −y′ 0, x 4

2 2

4 m 0 m 4 m ( 2;2)

⇔ − > ⇔ < ⇔ ∈ − . Vì m∈ ⇒ ∈ − m

{

1;0;1 .

}

 Vậy cĩ 3 giá trị của m thỏa mãn. →^Chọn C

Ví dụ 21. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ⁹ 1 y x m

mx

= +

+ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nĩ?

A. 5. B. Vơ số. C. 7 . D. 3.

Lời giải:

 Nhận thấy c m= chưa chắc khác 0 nên ta xét c m= =0 trước. Khi đĩ y=9x cĩ y′ = >9 0 (khơng thỏa mãn đề bài).

(16)

 Xét c m= ≠0, ta cĩ

( )

2 2

9 1 y m

mx

′ = −

+ . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

2 3

0, 1 9 0

3

y x m m

m m

< −

′ 

⇔ < ∀ ≠ − ⇔ − < ⇔  > . Vì m nguyên nên cĩ vơ số giá trị m thỏa mãn đề bài. →^Chọn B

Ví dụ 22. Hàm số ²

(

1

)

1 2

x m x

y x

+ + −

= − (m là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ khi các giá trị của m là

A. m≥1. B. m= −1. C. ⁵

m≤ −2. D. − < <1 m 1. Lời giải:

{ }

. Đạo hàm:

( )

2

2 2

4 2 1

2 2

x x m g x

y x x

− + + +

′ = =

− − .

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ khi và chỉ khi y′ ≤0,∀ ∈x D (Dấu " "= chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D)⇔ g x

( )

= − +x² 4x+2m+ ≤1 0, ∀ ∈x D

( ) ( )

⁵

0 4 1 . 2 1 0 2 5 0

g m m m 2

⇔ ∆ ≤ ⇔ − −′ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ − . →^Chọn C

 Bài tốn 4: Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên .

 Phương pháp:

 Cách giải 1: Cơ lập m về một vế.

o Tính đạo hàm ^y^′⁼ ^{f x}^′

( )

^{, cho}y′= f x′

( )

≥0 nếu đề bài yêu cầu hàm số đồng biến trên . Ngược lại: y′= f x′

( )

≤0 nếu đề bài yêu cầu hàm số nghịch biến trên .

o Cơ lập m để cĩ được dạng ^{g m}

( ) ( )

^≥^{h x} ^(hoặcg m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

>h x g m; ≤h x g m; <h x ).

o Tìm Max-Min cho hàm số ^{h x}

( )

^trên^. (Hoặc lập bảng biến thiên cho hàm ^{h x}

( )

^).

o Dựa vào giá trị Max-Min hoặc bảng biến thiên để kết luận về điều kiện của m.

 Cách giải 2: Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất o Đặt t =sinx (hoặc t=cosx) với điều kiện t∈ −

[

1;1 .

]

o Bất phương trình:

[ ] ( )

sin

.1 0

sin 0, 0, 1;1

. 1 0

t x

a b

a x b x at b t

a b

=

 + ≥

+ ≥ ∀ ∈ ⇔ + ≥ ∀ ∈ − ⇔  − + ≥ .

o Hồn tồn tương tự:

[ ] ( )

cos

.1 0

cos 0, 0, 1;1

. 1 0

t x

a b

a x b x at b t

a b

=

+ <

+ < ∀ ∈ ⇔ + < ∀ ∈ − ⇔  − + < .

(17)

 Nhận xét: Ý tưởng của cách giải 2 là tận dụng tính chất của hàm số y ax b= + . Vì đạo hàm của nĩ khơng đổi dấu trên

[

α β;

]

bất kì nên chỉ cần y( ) 0, ( ) 0α ≥ y β ≥ thì y≥ ∀ ∈0, x

[

α β;

]

; tương

tự như thế:

( ) ( )

( )

0 . 0

0, ; .

. 0

0

y a b

y ax b x

a b y

α α

α β β β

<

  + <

= + < ∀ ∈ ⇔ < ⇔ + <

Ví dụ 23. Tìm tất cả các giá trị của m∈ để hàm số y=sinx+cosx mx+ đồng biến trên . A. − 2≤ ≤m 2. B. − 2< <m 2. C. m≥ 2. D. m≥ 2.

Lời giải:

 Ta cĩ: y′ =cos sinx− x m+ .

 Hàm đồng biến trên _ ⇔ y′ ≥ ∀ ∈0, x ⇔cos sinx− x m+ ≥ ∀ ∈0, x 

sin cos , 2 sin ,

m_≥ x₋ x x_{∀ ∈ ⇔ ≥}m _x₋π4_ _{∀ ∈}x

 

 

 . (*)

 Ta thấy giá trị lớn nhất của 2 sin x π4

 − 

 

  bằng 2 nên (*)⇔ ≥m 2. →^Chọn _C

Ghi nhớ:

o Giả sử hàm g x

( )

tồn tại Max-Min trên . Ta cĩ:

( )

^,

( )

m g x x m Max g x

 

≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ m g x

( )

^, x m Max g x

( )

 

> ∀ ∈ ⇔ >

( )

,

( )

m g x x m Min g x

 

≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ m g x

( )

, x m Min g x

( )

 

< ∀ ∈ ⇔ <

o Nếu hàm g x

( )

khơng tồn tại Max-Min trên , tuy nhiên thơng qua bảng biến thiên ta tìm được điều kiện bị chặn:M1<g x

( )

<M2, khi đĩ:

( )

, 2

m g x≥ ∀ ∈ ⇔ ≥x  m M m g x>

( )

, ∀ ∈ ⇔ ≥x  m M2

( )

, 1

m g x≤ ∀ ∈ ⇔ ≤x  m M m g x<

( )

,∀ ∈ ⇔ ≤x  m M1

Ví dụ 24. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số y= 3 sin 2x+cos 2x−

(

2m−1

)

x+2021 đồng biến trên tập xác định .

A. 5

m≤ 2. B. 5

m< 2. C. 5

m≥ 2. D. 3 . m≤ −2 Lời giải:

 Ta cĩ: y′ =2 3 sin 2x−2cos 2x−

(

2m−1

)

. Hàm số đồng biến trên _ ⇔ ≥ ∀ ∈y′ 0, x 

( )

2 3 sin 2x 2cos 2x 2m 1 0, x

⇔ − − − ≥ ∀ ∈

3 1

2 1 4 sin 2 cos 2 , 2 1 4sin 2 ,

2 2 6

m ^ x x^ x m _ x π _ x

⇔ − ≤  −  ∀ ∈ ⇔ − ≤  −  ∀ ∈ (*)

(18)

 Ta thấy giá trị nhỏ nhất của 4sin 2 x π6

 − 

 

  bằng −4 nên (*) 2 1 4 ³.

m m 2

⇔ − ≤ − ⇔ ≤ − D

→^Chọn

Ví dụ 25. Cho hàm số y=(2m+1)sinx+ −(3 m x) . Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số đã cho đồng biến trên .

A. 1 .

m= −2 B. ^{1 2}; .

m∈ − 2 3 C. 4; .²

m∈ − 3 D. 4; ¹ . m  2

∈ − −   Lời giải:

 Đạo hàm: y′ =(2m+1)cosx+ −3 m .

 Hàm số đồng biến trên _ ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔y′ 0, x  (2m+1)cosx+ − ≥ ∀ ∈3 m 0, x  (*)

 Đặt ^t⁼^{cos ,}^{x t}^{∈ −}

[

^1;1

]

. (*) được viết lại:

[ ]

( )

(2 1) 3 0, 1;1

g t

m+ t+ − ≥m ∀ ∈ −t



( 1) 0 2 1 3 0 2

(1) 0 2 1 3 0 34

g m m m

− ≥ − − + − ≥  ≤

  

⇔ ≥ ⇔ + + − ≥ ⇔ ≥ −

. Vậy 4;²

m∈ − 3 thỏa mãn đề bài.

C

→^Chọn

 Bài tốn 5: Tìm tham số m để hàm số nhất biến y ax b

(

c 0,ad bc 0

)

cx d

= + ≠ − ≠

+ đơn điệu trên

một khoảng K cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

 Phương pháp:

o Bước 1: Tập xác định: D \ d c

 

= − 

 

 .

oBước 2: Đạo hàm ₂

( )

ad bc y cx d

′ = −

+ . o Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên ⁰ ⁰

,

y ad bc

K x d x K d K

c c

′ > − >

 

 

⇔ ≠ − ∀ ∈ ⇔− ∉

Giải tìm m

 .

 Hàm số nghịch biến trên ⁰ ⁰

,

y ad bc

K x d x K d K

c c

′ < − <

 

 

⇔ ≠ − ∀ ∈ ⇔− ∉

Giải tìm m

 .

(19)

Mở rộng Bài tốn 5: Tìm tham số m để hàm số

( )

( ) ( )

. 0, 0

.

a u x b

y c ad bc

c u x d

= + ≠ − ≠

+ đơn điệu

trên khoảng K cho trước.

Cách tính nhanh đạo hàm loại này Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của (1) và (2).

Đặt t u x=

( )

⇒ =t u x′ ′

( )

(1)

( )

₂^.

( )

.

ad bc

y u x

c u x d

′= − ′

+

 

 

( ) ( )

( )

²

at b ad bc

f t f t

ct d ct d

+ ′ −

= ⇒ =

+ + (2)

Nếu học sinh thực hiện cách tính như trên vài lần thì những bài sau đĩ các em cĩ thể nhẩm được đạo hàm rất nhanh chĩng và chính xác.

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số

(

1 cos

)

2cos

m x m

y x m

+ −

= + . Ta thực hiện như bảng sau:

Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của (1) và (2).

Đặt t=cosx⇒ = −t′ sinx (1)

(

² ³

)

₂^{. sin}

( )

2cos

m m

y x

x m

′ = + −

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

1 1 2 3

2 2 2

m t m m m m m m

f t f t

t m t m t m

+ − ′ + − − +

= ⇒ = =

+ + + (2)

Ví dụ 26. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ⁶ 5 y x

x m

= +

+ nghịch biến trên khoảng

(

10;+∞

)

?

A. 3. B. Vơ số. C. 4. D. 5.

Lời giải:

 Tập xác định : D=\ 5

{

− m

}

.

 Ta cĩ

(

⁵ 5 ⁶

)

²

y m

x m

′ = −

+ . Hàm số nghịch biến trên khoảng

(

10;+∞

)

⇔ y′< ∀ ∈0, x

(

10;+∞

)

( )

55 6 010; 5 65 10 2 65.

m m m

m m

− < 

 <

 

⇔− ∉ +∞ ⇔− ≤ ⇔ − ≤ <

 Do m∈⇒ ∈ − −m

{

2; 1; 0; 1

}

. →^Chọn C

(20)

Hồng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 20 Ví dụ 27. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y ^mx ⁴

m x

= −

− nghịch biến trên khoảng

(

−3;1

)

?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Lời giải:

 Tập xác định: D=\

{ }

m ;

( )

2 2

4 y m

m x

′ = −

− .

 Hàm số nghịch biến trên khoảng

(

−3;1

)

⇔ y′ < ∀ ∈ −0, x

(

3;1

)

( )

2 4 0

3;1 m

m

 − <

⇔ 

 ∉ − ^⇔

2 2

3 1 m m m

− < <

 ≤ −



 ≥



⇔1≤ <m 2.

 Do m∈ nên m=1. Vậy cĩ một giá trị m thỏa mãn đề bài. →^Chọn C

Ví dụ 28. (Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ^tan ² tan x

y x m

= −

− đồng biến trên 0;

4

 π 

 

 .

A. m<2. B. m≤0 hoặc 1≤m<2.

C. 1≤m<2. D. m≤0.

Lời giải:

 Điều kiện: tan 0, 0; tan , 0;

4 4

x m x _ π _ m x x _ π_

− ≠ ∀ ∈ ⇔ ≠ ∀ ∈ 

   

( ) ( )

⁰

tan , tan 0;1 0;1

1

m x x m m

m

 ≤

⇔ ≠ ∀ ∈ ⇔ ∉ ⇔  ≥ . (*)

 Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:

Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của (1) và (2).

Đặt tan 1₂

t x t cos

′ x

= ⇒ = (1)

(

tan ²

)

²^._^cos¹²

y m

x m x

+ +

′ = − +

−

( ) ( )

( )

²

2 2

t m

f t f t

t m t m

− ′ − +

= ⇒ =

− − (2)

 Ta cĩ 0, 0; 2 0 2

y′ > ∀ ∈x  π4⇒ − + > ⇒ <m m . (**)

 Từ (*) và (**) suy ra 0

1 2

m m

 ≤

 ≤ <

 . →^Chọn B

(21)

Hồng Xuân Nhàn__________________________thayxuannhan@gmail.com 21 Ví dụ 29. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số ^{sin 2 1}

sin 2 y x

x m

= −

+ đồng biến trên ; 12 4

π π

− 

 

 . A. m≥ −1. B. m> −1. C. ¹

m≥2. D. m>1. Lời giải:

 Ta cĩ:

12π x π4

− < < 2 6π x π2

⇒− < < 1 sin2 1

2 x

⇒ − < < . Học sinh dùng đường trịn lượng giác để kiểm chứng.

 Điều kiện: sin 2 0, ;

x m+ ≠ ∀ ∈x −12 4π π 

1 1

sin 2 , sin 2 12;1 1 2 21

m m

m x x

m m

− ≤ −  ≥

   

⇔ − ≠ ∀ ∈ − ⇔− ≥ ⇔ ≤ − (*)

 Đạo hàm:

Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của (1) và (2).

Đặt t =sin 2x⇒ =t′ 2cos 2x (1)

(

sin 2 ¹

)

²^{.2cos 2}

y m x

x m +

+

′ = +

+ 



( ) ( )

( )

²

1 1

t m

f t f t

t m t m

− ′ +

= ⇒ =

+ + (2)

 Ta cĩ: m+ > ⇒1 0 m> −1 (**). Từ (*) và (**) ta cĩ ¹

m≥ 2 thỏa mãn đề bài.

C

→^Chọn

 Bài tốn 6: Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước (với

K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

 Phương pháp:

 Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm ^y^^ ^{f x}^^{( )}.

 Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên ^K ^ ^y^^^0,^{ }^{x K}.

 Hàm số nghịch biến trên K  y0, x K.

 Bước 3:

Cách 1:  Biến đổi theo dạng ^m ^{g x}^{( ),} ^{x K} (hoặc ^m ^{g x}^{( ),} ^{x K}).

 Lập bảng biến thiên của hàm số g x( ) với mọi x K .

 Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m. Cách 2:  Tìm nghiệm (đẹp) của phương trình ^y ⁰ (x phụ thuộc m).

 Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo hàm).

Bài tốn mở rộng: Tìm tham số m để hàm số y ax³ bx² cxd đơn điệu trên một khoảng cĩ độ dài p.

(22)

 Phương pháp:

o Bước 1: Đạo hàm ^y^{ }³^ax²^²^{bx c}^ . o Bước 2:

 Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài p^�