[PTMH TOAN 2021] DẠNG-05-CỰC-TRỊ-CỦA-HÀM-SỐ-BIẾT-BXD-F_(X)-GV.docx

(1)

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Định nghĩa: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định và liên tục trên khoảng



^{a b}^;



_{và điểm}x0



a b;



a) Nếu tồn tại số h0 sao cho f x

 

 f x

 

0

với mọi x



x0h x; 0h



và x x ⁰ thì ta nói hàm số

 

y f x

đạt cực đại tại x⁰_.

b) Nếu tồn tại số h0 sao cho f x

 

 f x

 

0

với mọi x



x0h x; 0h



và x x ⁰ thì ta nói hàm số

 

y f x

đạt cực tiểu tại x⁰_.

 Nếu hàm số ^y^ ^{f x}

 

đạt cực đại (cực tiểu) tại x⁰_thìx₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số ; f x

 

0

được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, còn điểm M x f x



0;

 

0



được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Giả sử hàm số ^y^ ^{f x}

 

đạt cực trị tại điểm x⁰. Khi đó, nếu

 

y f x

có đạo hàm tại điểm x⁰_thì f x

 

0 0 .

 Chú ý:

+) ^{f x}^

 

có thể bằng 0 tại điểm x⁰ nhưng hàm số ^f không đạt cực trị tại điểm x⁰. +) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x⁰. Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x⁰ thì ^{f x}^'

 

₀ ^⁰_.

+) Nếu ^{f x}^'

 

^⁰ trên khoảng



^x₀^^{h x}^; ₀



_và ^{f x}^'

 

^⁰ trên khoảng



^{x x}₀^; ₀^^h



_thìx₀ là một điểm cực đại của hàm số ^{f x}

 

_.

+) Nếu ^{f x}^'

 



x0^h x; 0



và ^{f x}^'

 



x x0; 0^h



thì x⁰ là một điểm cực tiểu của hàm số ^{f x}

 

_.

 Giả sử ^y^ ^{f x}

 

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng



x0^h x; 0^h



với ^h^ ^0. Khi đó:

+) Nếu ^{f x}^'

 

₀ ^^0, ^f^

 

^x₀ ^⁰ thì hàm số ^y^ ^{f x}

 

đạt cực đại tại x⁰. +) Nếu ^{f x}^'

 

₀ ^^0, ^f^

 

^x₀ ^⁰ thì hàm số ^y^ ^{f x}

 

đạt cực tiểu tại x⁰. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Nhận dạng bảng biến thiên, nhận dạng hàm số.

 Đếm số điểm cực trị biết đồ thị

 Đếm số điểm cực trị biết bảng biến thiên.

 Tìm điểm cực trị khi biết BBT, đồ thị.

DẠNG TOÁN 5: CỰC TRỊ HÀM SỐ KHI BIẾT BẢNG XÉT DẤU

(2)

BÀI TẬP MẪU Cho hàm số ^{f x}

 

có bảng xét dấu của đạo hàm ^{f x}^

 

_{như sau:}

Hàm số ^{f x}

 

có bao nhiêu điểm cực trị

A. ⁴. B. ¹. C. 2. D. 3 .

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Từ bảng biến thiên đã cho, xét xem hàm số có xác định tại x⁰ và đạo hàm có đổi dấu khi qua x⁰ hay không?

B2: Nếu điểm x⁰ thỏa mãn Bước 1, ta nói điểm x⁰ là điểm cực đại hay điểm cực tiểu (nếu cần).

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Dựa vào bảng xét dấu ^{f x}^

 

_{, ta có:} ^{f x}^

 

đổi dấu khi đi qua các điểm x 2; x1; x3 và x5. Vậy, hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

Khi đó số cực trị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

_là

A. 3 . B. 2 . C. ¹. D. ⁴.

Lời giải Chọn A

Do hàm số xác định trên  và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại x¹; x²; x³ nên hàm số

 

y f x

có ba cực trị.

Câu 2. Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.

 

_{, ta có:} ^{f x}^

 

đổi dấu từ  sang ^ khi đi qua các điểm x1;

(3)

Vậy, hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.

Câu 3. Cho hàm số ^{f x}

 

có bảng xét dấu của ^{f x}^

 

như hình vẽ

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. x 3. B. x 1. C. x1. D. ^y^{ }¹. Lời giải

Chọn B

 

_{, ta có:} ^{f x}^

 

đổi dấu từ ^ sang  khi đi qua các điểm x 1. Nên hàm số đã cho đạt cực đại tại x 1.

 

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

A. ^y^¹. B. x0. C. ^y^⁰. D. x1. Lời giải

Chọn A

Dựa vào BBT ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho là ^y^¹.

 

xác định trên  và có bảng xét dấu ^{f x}^

 

như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x2. B. Hàm số đạt cực đại tại x 3. C. x1 là điểm cực trị của hàm số. D. Hàm số có hai điểm cực trị.

Lời giải Chọn B

Bảng biến thiên của hàm số x





 

f x

 

f x 0

 3 1 2 

0 0



Dựa theo BBT, ta thấy phương án ^B sai.

Câu 6. Cho hàm số ^y⁼^{f x}

( )

liên tục trên ^¡ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

(4)

A. 0. B. ³. C. ¹. D. ². Lời giải:

Chọn D

Dựa vào đồ thị, ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 7. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số bằng

A. ^¹. B. ^² . C. ¹. D. ⁰.

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có hàm số đạt cực đại tại ^x^⁰ và giá trị cực đại bằng ^¹. Câu 8. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên  và có bảng xét dấu của ^{f x}^

 

_{như sau:}

Tìm số cực trị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng xét dấu của ^{f x}^

 

_{ta thấy} ^{f x}^

 

đổi dấu 2 lần.

Vậy số điểm cực trị của hàm số là ².

Câu 9. Cho hàm số ^y^ ^{f x}^{( )} liên tục trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ.

(5)

  0 0 4



1 x

f'(x)

 

0 0



2



Hàm số ^y^ ^{f x}^{( )} có bao nhiêu điểm cực trị?

A. ⁴. B. ¹. C. ². D. 3 .

 

f x

đổi dấu 4 lần khi qua các điểm ^^{1;0;2; 4} nên hàm số có 4 điểm cực trị.

Câu 10. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

f(x)=x^3-3x^2+4 f(x)=4 x(t)=3 , y(t)=t

x y

-

Trên



^^1;3



đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 .

Lời giải Chọn D

Quan sát đồ thị hàm số trên ta thấy đồ thị hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu trong khoảng



^^1;3



lần lượt là



^{0; 4}



_và



^2;0



. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị trong khoảng



^^1;3



_.

 Mức độ 2

 

có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu ^{f x}^

 

_{như sau}

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

đạt cực trị tại x 2. B. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

đạt cực đại tại x1. C. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

đạt cực tiểu tại x 1. D. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

có hai điểm cực trị.

 

f x

không đổi dấu qua x 2. Suy ra, hàm số không đạt cực trị tại x 2.

 

, có đạo hàm là ^{f x}^

 

liên tục trên  và hàm số ^{f x}^

 

có đồ thị như hình dưới đây.

(6)

Hỏi hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bao nhiêu cực trị ?

A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.

Ta có

 

⁰ ^^ ^

   

  x a

f x x b

x c (Trong đó 2     a 0 b c 2 ) Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số ^y^ ^{f x}

 

có 3 cực trị.

 

_{. Hàm số}^y^ ^{f x}^

 

có đồ thị trên một khoảng ^K như hình vẽ bên.

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.

Dựa vào đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}^

 

, ta có bảng xét dấu:

Như vậy: trên ^K, hàm số ^y^ ^{f x}

 

có điểm cực tiểu là x¹ và điểm cực đại là x², x³ không phải là điểm cực trị của hàm số.z

 

liên tục trên  và có bảng xét dấu ^{f x}^

 

_{như sau:}

(7)

0

0 + + +

4

2 3 +∞

x 1 f '(x)

-∞

Kết luận nào sau đây đúng

A. Hàm số có ⁴ điểm cực trị. B. Hàm số có ² điểm cực đại.

C. Hàm số có ² điểm cực trị. D. Hàm số có ² điểm cực tiểu.

Dựa vào bảng xét dấu, ta có:

 

f x

đổi dấu 3 lần khi qua các điểm ^{1,3, 4}. Suy ra loại phương án A.

 

f x

đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm ^1;4 và đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm 3 . Suy ra hàm số có ² điểm cực tiểu.

 

có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

B. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và có một điểm cực tiểu.

C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

D. Hàm số đã cho không có cực trị.

Lời giải.

Chọn A

Hàm số không xác định tại x¹ nên x¹ không là điểm cực trị.

Tại x² hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn xác định, đồng thời đạo hàm đổi dấu từ ' ' qua ' ' khi qua x² nên x² là điểm cực tiểu.

 

có bảng xét dấu ^{f x}^

 

_{như sau}

Chọn khẳng định sai.

A. Hàm số ^{f x}

 

đạt cực đại tại ^x^³. B. Hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trên



^{ }³



_.

C. Hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên



^3;^



_. _D. ^{f x}

 

^⁰_,_{ }_x _ _.

Từ bảng xét dấu ^{f x}^

 

ta có bảng biến thiên như sau:

(8)

Dựa vào BBT, hàm số ^{f x}

 

đạt cực đại tại ^x^⁰. Suy ra A sai.

 

xác định, liên tục trên  và có bảng xét dấu ^{f x}^

 

như sau. Tìm khẳng định đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu x2. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0 . D. Hàm số có đúng một cực trị.

Lời giải.

Chọn A

Từ bảng xét dấu, ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu x2.

 

xác định, liên tục trên  ^{\ 1}

 

và có bảng biến thiên như hình dưới đây.

. Hãy chọn khẳng định đúng.

A. Hàm số đạt cực đại tại x 1, cực tiểu tại x0. B. Hàm số có GTLN bằng ¹ và GTNN bằng ^¹. C. Hàm số có 3 cực trị.

D. Hàm số đạt cực đại tại x 1, cực tiểu tại x0. Lời giải.

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x 1, cực tiểu tại x0.

 

_{. Biết} ^{f x}

 

có đạo hàm là ^{f x}^

 

và hàm số ^y^ ^{f x}^

 

có đồ thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng?

(9)

A. Đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của trục hoành.

B. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

chỉ có hai điểm cực trị.

C. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

đồng biến trên khoảng

 

^1;3 _.

D. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

nghịch biến trên khoảng



^^;2



_.

Lời giải:

Chọn C

Vì ^{y }⁰ có ba nghiệm phân biệt nên hàm số hàm số ^y^ ^{f x}

 

có ba điểm cực trị. Do đó loại hai phương án A và B .

Vì trên



^^;2



_thì ^{f x}^

 

có thể nhận cả dầu âm và dương nên loại phương án D . Vì trên

 

^1;3 _thì ^{f x}^

 

chỉ mang dấu dương nên ^y^ ^{f x}

 

đồng biến trên khoảng

 

^1;3 _.

Câu 10. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên  và có bảng xét dấu ^{f x}^

 

như sau. Kết luận nào sau đây đúng.

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị.

C. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại.

D. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu.

Lời giải:

Chọn A

Từ bảng xét dấu ^{f x}^

 

, ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, hàm số ^y^ ^{f x}

 

có 2 điểm cực trị là x1 và x2. Lưu ý: Tại x2, hàm số liên tục và đạo hàm ^{f x}^

 

đổi dấu từ âm qua dương.

 Mức độ 3

Câu 1. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định, liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.

(10)

Hàm số ^y^ ^f

 

^^x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 .

Lời giải:

Chọn D

   

y f  x y f x nên số cực trị của hàm ^y^ ^f

 

^^x cũng chính là số cực trị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

(vì số lần đổi dấu của đạo hàm là như nhau)

Quan sát bảng xét dấu của hàm ^y^ ^{f x}

 

ta thấy đạo hàm đổi dấu 5 lần.

Vậy hàm số ^y^ ^f

 

^^x có 5 điểm cực trị.

Câu 2. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ. Hỏi hàm số



² ¹



y f x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .

Lời giải:

Chọn B

Chọn ^{f x}^

  

^ ^x^¹

 

^x^²

 

^x^{ }³



^f^



²^x^{ }¹



^{2 . 2}^x



^x^^{2 . 2}

 

^x^³



Ta có ^y^^²^f^



²^x^{ }¹



^{4 . 2}^x



^x^^{2 . 2}

 

^x^^{3 ;}



y    ⁰ x ^0;1;³2

 

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

 

có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu ^{f x}^

 

_{như sau}



²^²^x



có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 4 . B. 2 . C. ³. D. 1_.

Lời giải:

Chọn D

Đặt ^{g x}

 

^ ^{f x}



²^²^x



_{. Ta có}^{g x}^

  

^ ²^x^²



^{f x}^



²^²^x



_.

 

²₂ ²₂

2 2

1 1 1

2 2 2 2 0 1 2

0 2 1 2 1 0 1

2 3 2 3 0 3

x x x

x x x x x

g x x x x x x

x x x x x

  

  

          

  

            

 

       

  .

(11)

Trong đó các nghiệm ^^{1, 1, 3} là nghiệm bội lẻ và 1 2 là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số

 

g x

chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm ^^{1, 1, 3}. Ta có ^g^

 

⁰ ^{ }²^f^

 

⁰ ^⁰_(do ^f^

 

⁰ ^⁰_).

Bảng xét dấu ^{g x}^

 

Vậy hàm số ^y^ ^{f x}



²^²^x



có đúng 1 điểm cực tiểu là ^x^¹. Câu 4. Cho hàm số ^{f x}

 

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Đặt

  

²



¹ ³ ² ² ³ ²⁰²¹

g x  f x 3x  x  x

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số ^{y g x}^

 

đạt cực đại tại ^x^¹. B. Hàm số ^{y g x}^

 

có 1 điểm cực trị.

C. Hàm số ^{y g x}^

 

nghịch biến trên khoảng

 

^1;4 _.

D. ^g

 

⁵ ^^g

 

⁶ _và^g

 

⁰ ^^g

 

¹ _.

Ta có ^y^^ ^{f x}^



^{ }²



^x²^⁴^x^³



²



⁰



^1;1;3



f x     x

2 4 3 0 1 3

x  x     x x _. Ta có bảng xét dấu:

(kxđ: không xác định)

Dựa vào bảng xét dấu, ta suy ra ^{g x}

 

đạt cực đại tại ^x^¹.

 

liên tục trên  , hàm số ^y^ ^{f x}^'

 

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

 

^

 2020 2021 2020 y f x x

có số điểm cực trị là:

(12)

A. 4 . B.³ . C. 2 . D. 1. Lời giải

Chọn A Ta có:

   

 

 

    

  

2020 2021 2021

' '

2021 2020

' 0 ' 2021

2020

y f x x y f x

y f x

Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy phương trình ^'

 

^ ²⁰²¹

f x 2020

có 4 nghiệm phân biệt Vậy hàm số có 4 điểm cực trị

Lưu ý: Do 2020

1 2

2021 nên dựa vào đồ thị nhìn thấy đường thẳng nằm trong vùng từ 1 đến 2 từ đó quan sát thấy có 4 nghiệm.

Câu 6. Cho hàm số ^{y f x}^

 

có bảng xét dấu ^{f x}^

 

_{. Hàm số}^{y f x}^



^³



có bao nhiêu điểm cực trị

A. 5 . B. 6. C. 3 . D. 1.



^{3 1}

  

y f x 

, Đặt t x 3

, t0. Thì

 

¹ trở thành: ^{y f t}^

  

^t^⁰



_.

Có ^t^



^x^³



²

 

/

2

3

x 3 t x

x

  

 Có y^/x t f tx^/ ^/

 

/ 0

yx  t f tx^/ ^/

 

⁰

 

/ /

0 0 tx

f t

  

 

3

 

2 4 x

t L

t

 

  

 

3 7 1 x x x

 

 

  



Lấy x8 có ^t^/

   

⁸ ^f^/ ⁵ ^⁰, đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên:

(13)

CT 7

CT

+ +∞

+

+∞

-1 3 _

- ∞ +∞

y y ^/ x

_ CĐ

0 0

Dựa vào BBT thì hàm số ^{y f x}^



^³



có 3 cực trị.

Câu 7. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.

Hàm số ^y^ ^f



²⁰²⁰^x^²⁰²¹



có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 .

Lời giải:

Chọn A

Hàm số ^y^ ^{f x}

 

có 2 điểm cực đại  Hàm số ^y^ ^f



²⁰¹⁹^x^²⁰²⁰



có 2 điểm cực đại.

 

có đạo hàm ^{f x}^

 

trên khoảng



^{ }^;



. Đồ thị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

như hình vẽ

Đồ thị của hàm số ^y^



^{f x}

  

² có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A. ² điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. ¹ điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

C. ² điểm cực đại, ² điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, ² điểm cực tiểu.

Lời giải:

Chọn A

Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên

   

²

y f x ^{ }^y^ ²^{f x f x}

   

^. ^ ^⁰

 

0 0 f x f x



 

 

 .

(14)

Quan sát đồ thị ta có ^{ }^^x ³ và ^{ }^^{x x}² với x1

 

0;1

và x2

 

1;3 .

Suy ra

 

0 0 0

0 0 f x y f x

f x f x

 

  

   





  



 



1

 

2



3;

0; 1;

x

x x x

 

 

 

  x



0;x1

 

 1;x2

 

 3;



Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số ^y^



^{f x}

  

²

Suy ra hàm số có ² điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

 

có đồ thị hình bên. Hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 5 .

Lời giải:

Chọn A

Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

được suy ra từ đồ thị

 

^C của hàm số ^y^ ^{f x}

 

_{như sau:}

+ Giữ nguyên phần đồ thị

 

^C năm bên phải trục Oy_. + Bỏ phần đồ thị

 

^C nằm bên trái trục Oy_.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị

 

^C nằm bên phải trục Oy_quaOy_. Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

là hợp của hai phần trên.

(15)

Vậy hàm số ^y^ ^{f x}

 

Câu 10. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5 . B. 3 . C. ². D. 4 .

Lời giải:

Chọn A

Ta có đồ thị hàm ^y^ ^{f x}

 

như hình vẽ sau:

Từ đồ thị ta thấy ngay đồ thị hàm số có năm điểm cực trị.

 Mức độ 4

 

có đạo hàm liên tục trên  , bảng biến thiên của hàm số ^{f x}^'

 

_{như sau:}

Số điểm cực trị của hàm số ^y^ ^{f x}



²^²^x



_là

A. 4 . B. 5 . C. 1. D. 7 .

Lời giải Chọn B

Ta có



² ²

 

² ²



⁰ ^x ^'



²¹ ²



⁰

 

¹

y x f x x

f x x

  

      

 

 .

(16)

Từ BBT ta thấy phương trình ^_^x²^²^{x c}^{ }¹

 

⁴

. Đồ thị hàm số ^y^^x²^²^x có dạng

Từ đồ thị hàm số ^y^^x²^²^x ta thấy phương trình (2) vô nghiệm; phương trình (3) ; phương trình (4) đều có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó ^{y }⁰ có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số ^y^ ^{f x}



²^²^x



Câu 2. Cho hàm số bậc bốn ^{f x}

 

có bảng xét dấu như sau:

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^x⁴^{f x}



¹



² là

A. 11_. _{B. 9 .} _C._{7 .} _{D. 5 .}

Ta chọn hàm ^{f x}

 

^⁵^x⁴^¹⁰^x²^³_.

Đạo hàm

 

⁴ ³



¹



² ² ⁴



¹

 

¹



² ³



^{1 2}

 

¹

 

¹



g x  x f x   x f x f x   x f x  f x xf x  .

Ta có

   

     

   

3 0

2 1 0

0 1 0

2 1 1 0

x f x x

g x f x

f x xf x

    

               .

+) ^{f x}



^{ }¹



⁰

 

^* _ ⁵



^x^¹



⁴^¹⁰



^x^{  }^{1 3 0}



_

1 1, 278 1 0,606 1 0,606 1 1, 278 x

x x x

  

  

   

   



Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 .

   

¹



⁴ ²

   

³



2f x 1 xf x   1 0^{t x}^{ } 2 5t 10t   3 t 1 20t 20t 0

(17)

4 3 2

30t 20t 40t 20t 6 0

      

1,199 0,731

0, 218 1,045 t

t t t

 

 

  



Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình

 

^* _.

Vậy số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

_{là 9 .}

 

liên tục trên ¡ có đạo hàm ^{f x}^

 

liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu như hình vẽ bên



²^² ^x



A. 4 . B. 7 . C. 9 . D. 11.

Tập xác định của hàm số: D .

* ^{y h x}^

 

^ ^{f x}



²^² ^x



   2 2 . x . 2 2 .

y h x f x x x

     x 

 

²

2 2

1 1 1

1 2

2

0 2 0 1 2

2 1 1 2

2 2 1 3

1 3

x x x

x x

x

h x x x x

x x x

x

 

  

  

  

     

 

        

 

    

 

 

   

 

  

 .

Ta thấy phương trình ^{h x}^

 

^⁰ có 8 nghiệm đơn

 

¹ _.

 

h x

không tồn tại tại x0 mà x0thuộc tập xác định đồng thời qua đó ^{h x}^

 

_{đổi dấu}

 

² _.

Từ

 

¹ _và

 

² suy ra hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.

 

là một hàm đa thức có bảng xét dấu ^{f x}^

 

_{như sau}

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^ ^{f x}



² ^ ^x



A. 5 . B. 3 . C. ¹. D. 7 .

(18)

Ta có ^{g x}

 

^ ^{f x}



²^ ^x



^ ^{f x}



^ ^x



. Số điểm cực trị của hàm số ^{f x}

 

bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số ^{f x}

 

cộng thêm 1.

Xét hàm số

  

²

     

²



²

2

1 1

2 2

2 1 0 1

1 5

1 2

x x

h x f x x h x x f x x x x

x x x

  

  

   

            

 

    

 

 .

Bảng xét dấu hàm số ^{h x}

 

^ ^{f x}



²^^x



Hàm số ^{h x}

 

^ ^{f x}



²^^x



có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số

  

²

  2 

g x  f x  x  f x  x

Câu 5. Hình vẽ là đồ thị hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

_.

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

^- ¹

)

⁺^m_{có 5}

điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

A. 9 . B. 12 . C. 15 . D. 18 .

Lời giải Chọn B

Tịnh tiến đồ thị hàm số y= f x

( )

sang phải 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y=f x

(

- 1 .

)

Do đó đồ thị hàm số y= f x

(

- 1

)

có 3 cực trị và có 4 giao điểm với Ox.

Để được đồ thị hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

⁺^m với m nguyên dương ta phải tịnh tiến đồ thị hàm số

(

1

)

y= f x- lên trên m đơn vị

Để thỏa mãn điều kiện đề bài thì đồ thị hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

^- ¹

)

⁺^m_cắt_Ox tại đúng 2 điểm

(19)

Câu 6. Cho hàm số y= f x

( )

xác định trên  và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

⁺^m có 11 điểm cực trị A. m0. B. m0. C. 0 m 1. D. 0 m 1.

Xét đồ thị ^y⁼ ^{f x}

( )

⁺^m khi m thay đổi thì đồ thị hàm số sẽ tịnh tiến dọc theo trục ^Oy. Từ bảng biến thiên ta thấy ^y⁼ ^{f x}

( )

đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục

Oy. Suy ra hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

⁺^m có 5 điểm cực trị.

Để hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

⁺^m có 11 điểm cực trị thì phương trình ^{f x}

( )

^{+ =}^m ⁰ phải có 6 nghiệm phân biệt 1      m 0 0 m 1.

 

liên tục và xác định trên  có đồ thị đạo hàm ^y^ ^{f x}^

 

như hình vẽ.



^{ }^x ¹



A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 .

Đặt

 

     

     

1 2 , ;0

1 , 0;1

2 1 1;

f x x

y g x f x

f x x

   

  

   



 

     

 

 

     

2 1 2 , ;0

0, 0;1

2 2 1 , 1;

f x x

g x x

f x x

    

 

  

    



Xét ^{g x}^

 

^{ }⁰

( )

( ) ( ) ( )

[ ) ( )

( ) [ ) ( )

2 1 2 0 ;0 1

0 0;1 2

2 2 1 0 1; 3

f x khi x

g x khi x

f x khi x

ì- ¢ - = Î - ¥

ïïïï

Þ ¢ =íï Î

ïï ¢ - = Î +¥

ïî

(20)

vào đồ thị hàm số ta thầy phương trình có 1 nghiệm duy nhất và

( )

f¢ -1 2x đổi dấu tạ nghiệm đó.

Xét phương trình ( )2 , phương trình này có vố số nghiệm bằng 0 trên nửa đoạn [0 1^; ), do đó hàm số không có cực trị.

Xét phương trình ( )³ _,^{g x}^

 

^²^f^



²^x^{ }¹



⁰_với



^x^{ }



^1;

 

_thì²^x^{- Î}^{1 1}( ^;^+¥ ) _{. Dựa vào} bảng biến thiên ta thấy phương trìn ^{g x}^

 

^²^f^



²^x^{ }¹



⁰ có 1 nghiệm duy nhất và

( )

f¢2x- 1đổi dấu tại nghiệm đó.

Do đó hàm số ^{y g x}^

 

^ ^{f x}



^{ }^x ¹



Câu 8. Cho hàm số ^y⁼ ^{f x}

( )

có đạo hàm ^{f x}^'

( ) (

^{= -}^x ¹

)

²

(

^x²^- ^{2 ,}^x

)

_{với mọi}_x_{Î ¡} . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số ^y⁼ ^{f x}

(

²^- ⁸^{x m}⁺

)

có 5 điểm cực trị?

A. 15 . B. 17 . C. 16 . D. 18

Ta có:

( ) ( ) (

²

) (

²

)

' 2 8 . ' 8 0 4 .

' 8 0 (*)

g x x f x x m x

f x x m é =ê

= - - + = Û êêë - + = (I)

Mà ^{f x}^'

( ) (

^{= -}^x ¹

)

²

(

^x²^- ²^x

)

^{= -}

(

^x ¹

) (

²^{x x}^- ^{2 ;}

)

^{" Î}^{x R}^.

Suy ra

( )

^* ^Û

(

^x²^- ⁸^{x m}^{+ -} ¹

) (

² ^x²^- ⁸^{x m x}⁺

)(

²^- ⁸^{x m}^{+ -} ²

)

⁼⁰

2 2 2

8 1 0 (1) 8 0 (2) . 8 2 0 (3) x x m

x x m x x m é - + - = êê

Û ê - + =

ê - + - =

êë

Qua các nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì ^{g x}^'

( )

đều không đổi dấu. Do đó ta không xét phương trình (1).

Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2);(3) có 2 nghiệm phân biệt khác 4.

16 0

16 2 0

16 0 16

18 0

m

m m

m m ì - >

ïïïï - + >

Û ïíï- + ¹ïïï -ïî + ¹ Û <

Kết hợp ^{m Z}^Î ⁺^Þ có 15 giá trị m cần tìm.

 

có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}^

 

như hình vẽ bên.

Hàm số ^y^ ^{f x}



² ^⁴^x



^{ }^x² ⁴^x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng



^^5;1



_?

(21)

A. 5 . B. 4_. _C._{6 .} _D._{3 .} Lời giải

Chọn A

Đặt ^{g x}

 

^ ^{f x}



² ^⁴^x



^^x²^⁴^x

  

² ⁴

 

² ⁴

 

² ⁴

 

² ⁴

 

² ⁴



¹

g x x f x x x x f x x 

           .

Ta có

 

2 2 2

2 4 0

4 4 (1)

0 4 0 (2)

4 1;5 (3)

x

x x

g x x x

x x a

  

   

     

   

 .

Xét phương trình ^x²^⁴^{x a}^{ }

 

^1;5 , ta có BBT của hàm số y x ²4x trên



^^5;1



_{như sau:}

Suy ra (1) có nghiệm kép x 2, (2) có 2 nghiệm phân biệt x 4;x0, (3) có 2 nghiệm phân biệt x x x x ¹;  ² khác 2; 0; 4 . Do đó phương trình ^{g x}^

 

^⁰ có 5 nghiệm trong đó có x 2 là nghiệm bội ba, các nghiệm x 4;x0_;^{x x x x}^ ₁^; ^ ₂ là các nghiệm đơn.

Vậy ^{g x}

 

Câu 10. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

, hàm số ^y^ ^{f x}^

 

có đồ thị như hình bên. Hàm số 5sin 1 (5sin 1)2

( ) 2 3

2 4

x x

g x  f      có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng ^{(0; 2 )} .

(22)

A. 9 . B. 7 . C. 6 . D. 8 . Lời giải

Chọn B

Ta có: ^{( ) 5cos} ^5sin ¹ ⁵^{cos 5sin}



¹



2 2

g x  xf x  x x

  .

 

5sin 1 5

( ) 0 5cos cos 5sin 1 0

2 2

g x   xf x  x x 

cos 0

5sin 1 5sin 1

2 2

x

x x

f

 

       

cos 0

5sin2 1 3 5sincos 01 6 sin 1

5sin 1 1

1 5sin 1 2 sin

2 5

5sin2 1 13 5sin 1 23 sin 13 5sin 1 2

5sin 1 3

1 sin

2 5

x

x x x

x x

x x x

x x

x

 

  

 

     

      

     

   

         

 

  

       

  

    

    

 

(23)

3

2 2

cos 0 3

sin 1 2

1 1 1

sin sin 2 sin

5 5 5

1 1 1

sin 3 sin 3 sin 3

3 3 3

sin 5 sin 5 sin 5

x x

x

x x arc x arc

x x arc x arc

 



 



    

 

  

    

 

     

           

      

        

     

      

        

      , ( Vì 0 x 2).

Suy phương trình ^{g x}^

 

^⁰ có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm 3 x 2

là nghiệm kép.

Vậy hàm số ^{y g x}^

 

có 7 cực trị.