51 câu Vận dụng cao - Hình học giải tích Oxyz có lời giải chi tiết ôn thi THPT năm 2021

(1)

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm



^{2; 2; 4 ,}^

 

^^{3; 3; 1}^



 

^P ^{: 2}^{x y}^{ }²^z^{ }^{8 0.}^Xét^M là điểm thay đổi thuộc

 

^P , giá trị nhỏ nhất của 2MA²3MB² bằng:

A. 135 . B. 105 . C. 108 . D. 145 .

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho các điểm ^A



^1;0;0



^,^B



^{0; 2;0}



^,^C



^{0;0; 1}^



. Biết rằng tồn tại duy nhất điểm ^{S a b c}



^{; ;}



khác gốc tọa độ để SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính tổng bình phương giá trị của a,

b và c. A. 16

9 . B. 4

81. C. 4

9. D. 16

81.

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^M



^{2; 3; 4}^



^{. Gọi}

 

^P là mặt phẳng đi qua M và cắt các trục

, ,

x Ox y Oy z Oz   lần lượt tại các điểm D E F, , sao cho ^OD^²^OE^



^m²^²^m^²



^OF^⁰, trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để chỉ có đúng ba mặt phẳng

 

^P thỏa mãn yêu cầu trên.

Tập hợp S có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng?

A. 7. B. 3. C. 15. D. 4.

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1; 4; 2 ,}

 

^B ^^{1; 2; 4}



và đường thẳng 1 2

: 1 1 2



  



x y z

d .

Biết rằng tồn tại điểm ^{M a b c}



^{; ;}



^^d^{sao cho}^MA²^^MB² đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 2a b 3c bằng

A. 10. B. 35

3 . C. 11. D. 1

2.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp .S ABCD với ^S



^{1; 1;6 ,}^

 

^A ^{1; 2; 3 ,}

 

^B ^{3;1; 2 ,}





^{2; 3; 4}



D . Gọi I là tâm mặt cầu

 

^S ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng



^SAD



^.

A. 6

 2

d . B. 21

 2

d . C. 3 3

 2

d . D. 3

 2 d . Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x²y²z²4x4y2z 7 0 và đường thẳng d_m là giao tuyến của hai mặt phẳng ^x^{ }



^{1 2}^{m y}



^⁴^mz^{ }^{4 0}^và²^{x my}^ ^



²^m^¹



^z^{ }^{8 0.}^Khi^m

thay đổi các giao điểm của d_m và

 

^S nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. 142

r 15 . B. 92

r 3 . C. 23

r 3 . D. 586

r 15 .

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm ^A



^1;0;0



^,^B



^{3; 2;0}



^,^C



^^{1; 2; 4}



^{. Gọi}^M^là

điểm thay đổi sao cho đường thẳng MA, MB, MC hợp với mặt phẳng



^ABC



các góc bằng nhau; N là điểm thay đổi nằm trên mặt cầu

  

^: ³

 

² ²

 

² ³



² ¹

S x  y  z 2. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạnMN bằng:

A. 2

2 . B. 5 . C. 2 . D. 3 2

2 .

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có ^A



^{0;0; 3 ,}

 

^B ^{0; 3;0 ,}



^C



^{3;0;0 ,}





^{3; 3; 3}



D . Hỏi có bao nhiêu điểm ^{M x y z}



^{; ;}



^(với^{x y z}^{, ,} nguyên) nằm trong tứ diện.

A. 4. B. 1. C. 10 . D. 7.

Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1

:2 1 1

 

 

 

y

x z

d và điểm ^A



^1;1;1



. Hai điểm

HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ

A B và mặt phẳng

(2)

,

B C di động trên đường thẳng d sao cho mặt phẳng



^OAB



vuông góc



^OAC



. Gọi điểm B là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng AC. Biết quỹ tích các điểm B là một đường tròn cố định, tính bán kính r của đường tròn này.

A. 60

 10

r . B. 3 5

 10

r . C. 70

 10

r . D. 3 5

 5

r .

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba điểm ^A



^{0;1;1 ;}

 

^B ^{1; 2; 1 ;}^

 

^C ^{1; 2; 2}



và mặt phẳng

 

^ ^:^x^²^y^²^z^{ }^{1 0}. Xét điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng

 

^ , giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 22 .

MA MB MB MC bằng A. 25

4 . B. 17

4 . C. 13

2 . D. 11

2 .

Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ^A



^{3; 3;1}^



^và^B



^^{4; 4;1 .}



Xét điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng

 

^{P z}^: ^{ }^2. Giá trị nhỏ nhất của 3MA²4MB² bằng

A. 245. B. 189. C. 231. D. 267.

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^{y z}^{  }^{1 0,}

 

^{Q x}^: ^²^{y z}^{  }^{8 0}^và

 

^{R x}^: ^²^{y z}^{  }^{4 0.} Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng

     

^P ^, ^Q ^, ^R lần lượt tại A B C, , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức TAB² 144 AC

A. 72 3. ³ B. 96. C. 108. D. 72 4. ³

Câu 13: Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1, 2, 4.

Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó bằng

A. 6. B. 14. C. 12. D. 10.

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết rằng tập hợp các điểm ^{M x y z}



^{; ;}



^{sao cho}^x ^{  }^y ^z ³

là một hình đa diện. Tính thể tích V của khối đa diện đó

A. V54. B. V72. C. V36. D. V27.

Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm ^A



^{1;1;1 ,}

 

^B ^{2; 3; 2 ,}^{ }

 

^C ^{0; 1;1 .}^



^{Mặt cầu}

 

^S có bán kính 6

R và tiếp xúc với mặt phẳng



^ABC



tại trọng tâm Gcủa tam giác ABC.Mặt cầu

 

^S nhận điểm nào dưới đây làm tâm?

A. ^M



^{3;1; 4 .}



^B.^N



^^{5; 3; 4 .}^



^C.^P



^{5; 3; 4 .}^



^D.^Q



^{ }^{3; 1; 4 .}



Câu 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có A x



0;0;0



,



 0;0;0 ,

 

0;1;0



B x C và B'



x0;0;y0



, trong đó x y₀, ₀ là các số thực dương và thoả mãn x₀y₀4. Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và 'B C lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính

R bằng bao nhiêu?

A. R 17. B. 29

 4

R . C. R17. D. 29

 2

R .

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết rằng tập hợp các điểm ^{M x y z}



^{; ;}



^{sao cho}^x ^{  }^y ^z ³

là một hình đa diện. Tính thể tích V của khối đa diện đó

A. V54. B. V72. C. V36. D. V27.

(3)

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm ^{A a}



^{;0;0 ,}

 

^B ^{0; ;0 ,}^b

 

^C ^0;0;^c



với a,b,c khác 0 và a2b2c6. Biết rằng khi a,b,c thay đổi thì quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng

 

^P cố định. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

 

^P

A. d1. B. d 3. C. d2. D. d3.

Câu 19: Cho hình chóp .S ABC có SA a SB b SC ,  , c. Một mặt phẳng

 

^ đi qua trọng tâm của ABC, cắt các cạnh SA SB SC, , lần lượt tại A B C  , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1₂ 1₂ 1₂

SA SB SC .

   A. ₂ 3₂ ₂

a b c . B. ₂ ₂2 ₂

a b c . C. ₂ 2₂ ₂

a b c . D. ₂ 9₂ ₂ a b c .

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S x}^: ²^^y²^^z²^^3. Một mặt phẳng

 

^ ^tiếp

xức với mặt cầu

 

^S ^{và cắt} Ox, Oy, Oz tương ứng tại A B C, , . Tính giá trị của biểu thức

2 2 2

1 1 1

. TOA OB OC

A. 1

3.

T B. 1

3.

T C. 1

9.

T D. T 3.

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^A



^{2; 3;0 ,}



^B



^0;^ ^{2;0 ,}



^M^^_⁶₅^;^ ^{2; 2}^^_^{và đường}

thẳng : 0 .

2

  

  

 x t d y

z t

Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất thì độ dài CM bằng

A. 2 3. B. 4. C. 2. D. 2 6

5 .

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  

^S ^: ^x^¹



²^^y²^



^z^²



² ^⁹ ngoại tiếp khối bát diện

 

^H được ghép từ hai khối chóp tứ giác đều S.ABCD và S ABCD. (đều có đáy là tứ giác ABCD).

Biết rằng đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD là giao tuyến của mặt cầu

 

^S và mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^x^²^{y z}^{  }^{8 0.} Tính thể tích khối bát diện

 

^H

A. _{ } 34 9 .

H 

V B. _{ } 665

81.

H 

V C. _{ } 68

9 .

H 

V D. _{ } 1330

81 .

H 

V

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S x}^: ²^^y²^^z²^⁴^x^²^y^⁶^z^{ }^{5 0} và mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^x^²^{y z}^{ }^{16 0.}^ Điểm M, N di động lần lượt trên

 

^S ^và

 

^P ^. Khi đó giá trị nhỏ nhất của đoạn MN là:

A. 8. B. 3. C. 2. D. 5.

Câu 24: Trong không gian Oxyz cho điểm ^A



^^{1; 2; 3}^



^{, véc}^–^tơ ^u



^{6; 2; 3}^{ }



và đường thẳng d: 1

4 2

3 2 5

    

 y

x z

. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông góc với giá của u và cắt d.

A. 1 1 3

2 3 6



 

 



x y z

. B. 1 5 1

2 3 2



 

y 

x z

.

C. 1 4 5

1 3 4

    

 y

x z

. D. 2 5 1

3 3 4

  y  

x z

.

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

^{P x y}^: ^{ }²^z^{ }^{1 0}^và

 

^Q ^{: 2}^{x y z}^{   }^{1 0.}^Gọi

 

^S là mặt cầu có tâm thuộc Ox, đồng thời

 

^S cắt mặt phẳng

 

^P theo giao

(4)

tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và cắt mặt phẳng

 

^Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có duy nhất một mặt cầu

 

^S thỏa mãn điều kiện bài toán

A. 3 2 2 .

r B. 10

2 .

r C. r 3. D. 14

2 . r

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ^A



^{6; 3; 4 ,}^

 

^{B a b c}^{; ; .}



Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng tọa độ



^Oxy

    

^, ^Oxz ^, ^Oyz ^. Biết rằng M,N,P nằm trên đoạn AB sao cho AM MN NP PB   . Tính giá trị của tổng a b c 

A. a b c  11. _B.a b c   11.

D. a b c  17. D. a b c   17.

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^{x y z}^{   }^{2 0,}

 

^{Q x}^: ^²^{y z}^{  }^{2 0,}

 

^{R x y}^: ^{ }²^z^{ }^{2 0,}

 

^{T x y z}^: ^{  }^0. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc

 

^T

và tiếp xúc với

     

^P ^, ^Q ^, ^R ^?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm ^O



^0;0;0



^,^A



^1;0;0



^,^B



^0;1;0



^{, và}^C



^0;0;1



^.

Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều các mặt phẳng



^OAB



^,



^OBC



^,



^OCA



^,



^ABC



^?

A. 1. B. 4. C. 5. D. 8.

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm ^A



^^{2;0;0 ,}

 

^B ^{0; 4; 2 ,}

 

^C ^{2; 2; 2 .}^



^Gọi^{d là}

đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng



^{ABC S}



^, là điểm di động trên đường thẳng d, G và H lần lượt là trọng tâm của ABC, trực tâm của SBC. Đường thẳng GH cắt đường thẳng d tại S. Tính tích SA S A. 

A. 3

. .

SA S A 2 B. 9

. .

SA S A 2 C. SA S A.  12. D. SA S A.  6.

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình lăng trụ có diện tích đáy bằng 5 (đvdt) và hai đáy là hai tam giác nằm trên hai mặt phẳng

   

^{ }^, có phương trình lần lượt là

 

^ ^:^x^²^y^³^{z a}^{ }⁰^và

 

^ ^{: 3}^x^⁶^y^⁹^{z b}^{ }^{0 ,}



^{a b}^ ^^,^b^^{3 .}^a



Hỏi nếu thể tích khối lăng trụ bằng 5 14 thì khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 3a b  14. B. 42.

3

ab  C. 3a b 14. D. 14.

3

ab 

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 x t d y

z t

   

  



và 2 mặt phẳng

   

^P ^, ^Q ^lần

lượt có phương trình x2y2z 3 0; x2y2z 7 0. Viết phương trình mặt cầu

 

^S có tâm I thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng

 

^P ^và

 

^Q ^.

A.



³

 

² ¹

 

² ³



² ⁴

x  y  z 9 B.



³

 

² ¹

 

² ³



² ⁴

x  y  z 9 C.



³

 

² ¹

 

² ³



² ⁴

x  y  z 9 D.



³

 

² ¹

 

² ³



² ⁴

x  y  z 9

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^M



^{1; 2; 3}



và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức

2 2 2

1 1 1

OA OB OC có giá trị nhỏ nhất

(5)

A.

 

^{P x}^: ^²^y^³^z^^{14 0}^ ^B.

 

^{P x}^: ^²^y^³^z^^{11 0}^

C.

 

^{P x}^: ^²^{y z}^{ }^{14 0}^ ^D.

 

^{P x y}^: ^{ }³^z^^{14 0}^

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^A



^{0;1;1 ,}

 

^B ^{3;0; 1 ,}^

 

^C ^{0; 21; 19}^



và mặt cầu

  

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^¹

 

²^{ }^z ¹



² ^¹^.^{M a b c}



^{, ,}



là điểm thuộc mặt cầu

 

^S sao cho biểu thức

2 2 2

3 2

T MA  MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b c 

A. 14

a b c   5 B. a b c  0 C. 12

a b c   5 D. a b c  12

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

^{S x}^: ²^



^y^⁴



²^^z²^⁵. Tìm tọa độ điểm A thuộc trục Oy, biết rằng ba mặt phẳng phân biệt qua A có các vec-tơ pháp tuyến lần lượt là các vec-tơ đơn vị của các trục tọa độ cắt mặt cầu theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích là 11

A.

 



^{0; 2; 0}0; 6; 0



A A



 B.

 



^{0; 0; 0}0; 8; 0



A A



 C.

 



^{0; 0; 0}0; 6; 0



A A



 D.

 



^{0; 2; 0}0; 8; 0



A A





Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2

: 1 1 3

x y z

d    

 . Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d?

A. ^Q



^{1; 0; 2}



^B.^N



^{1; 2;0}^



^C.^P



^{1; 1; 3}^



^D.^M



^^{1; 2;0}



Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 59 32 2

; ;

9 9 9

  

 

 

M và mặt cầu

 

^S có phương trình

2 2 22 4 6 11 0.

x y z x y z Từ điểm M kẻ các tiếp tuyến MA MB MC, , đến mặt cầu

 

^S , trong đó , ,

A B C là các tiếp điểm. Mặt phẳng



^ABC



có phương trình là px qy z r   0. Giá trị của biểu thức p q r  bằng

A. 4. B. 4. C. 1. D. 36.

Câu 37: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có ^A



^{2; 3;1 ,}

 

^B ^^{1; 2;0 ,}

 

^C ^{1;1; 2}^



^.

Đường thẳng d đi qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng



^ABC



có phương trình là

A. 1 5 4

1 8 5 .



 

 



x y z

B. 2 13 9

1 8 5 .



 

 



x y z

C. 1 11 6

1 8 5 .

    



x y z

D. 3 21 14

1 8 5 .

    



x y z

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 1 1

: 1 1 2

y

x z

d     

 và

3 1 3

: .

1 1 2

x y z

   Viết phương trình mặt phẳng

 

^P ^chứa^d và tạo với tam giác một góc 30 . có dạng: xaybz c 0 với a b c, ,  khi đó giá trị a b c  là

A. 8 B. -8 C. 7 D. -7

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ^A



^{2; 11; 5}^



và mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^mx^



^m²^¹

 

^y^ ^m²^¹



^z^^{10 0.}^ Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với

 

^P và cùng đi qua A. Tìm tổng bán kính của hai mặt cầu đó.

A. 2 2. B. 5 2. C. 7 2. D. 12 2.

(6)

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng

 

^ ^{: 2}^x^⁴^y^⁵^z^{ }^{2 0}^,

 

^ ^:^x^²^y^²^z^{ }^{1 0}^và

 

^ ^{: 4}^{x my z n}^ ^{  }⁰. Để ba mặt phẳng đó có chung giao tuyến thì tổng m n bằng

A. 4 B. 8. C. 8 D. 4.

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm ^A



^{3;0;0 ,}

 

^B ^{0; 2;0 ,}

 

^C ^{0;0;6 ,}

 

^D ^{1;1;1 .}



^{Kí hiệu}

d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến d là lớn nhất. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

A. ^M



^{ }^{1; 2;1 .}



^B.^N



^{5;7; 3 .}



^C.^P



^{3;4;3 .}



^D.^Q



^{7;13; 5 .}



Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^M



^{8;1;1 .}



Mặt phẳng

 

^P ^qua^M cắt các tia , ,

Ox Oy Oz lần lượt tại A B C, , thỏa mãn OA²OB²OC² đạt giá trị nhỏ nhất có dạng là

 

^P ^:

12 0.

ax by cz    Khi đó a b c  là:

A. 9. B. 9. C. 11. D. 11.

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ^A



^{3; 1; 3 ,}^{ }

 

^B ^^{3;0; 1 ,}^

 

^C ^{ }^{1; 3;1}



và mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^x^⁴^y^³^z^^{19 0.}^ ^{Tọa độ}^điểm^{M a b c}



^{; ;}



^thuộc

 

^P ^{sao cho} ^MA^²^MB^⁵^MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a b c  bằng:

A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

 

^ ^{: 2}^x^²^{y z}^{ }^{14 0,}^ mặt cầu

 

^{S x}^: ²^^y²^^z²^²^x^⁴^y^⁶^z^^{11 0.}^ Mặt phẳng

   

^P ^// ^ ^cắt

 

^S theo thiết diện là một hình tròn có diện tích 16 . Khi đó phương trình mặt phẳng

 

^P ^là:

A. 2x2y z 14 0. B. 2x2y z  4 0. C. 2x2y z 16 0. D. 2x2y z  4 0.

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm ^A



^{1; 2; 3 ,}^

 

^B ^^{1;1; 2 ,}

 

^C ^{0; 3; 5 .}^{ }



^{Xác định}

điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho: MA MB MC  đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó là:

A. 0. B. 5. C. 5. D. 6.

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^H



^{2; 1; 2}^



là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng

 

^P ^. Số đo góc giữa mặt phẳng

 

^P và mặt phẳng

 

^Q có phương trình   y z 0 là:

A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 .

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm ^A



^{2; 1; 1 ,}^

 

^B ^{0; 3; 1}



và mặt phẳng

 

^{P x y z}^: ^{   }^{3 0.} Tìm tọa độ điểm M thuộc

 

^P sao cho 2MA MB có giá trị nhỏ nhất.

A. ^M



^{ }^{4; 1; 0 .}



^B.^M



^{ }^{1; 4; 0 .}



^C.^M



^{4; 1; 0 .}



^D.^M



^{1; 4; 0 .}^



Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 1 2

: 1 1 1

x y z

d   

 

  và

3

: 2 , .

5

x t

d y t t z

   

     

 

Viết

phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d.

A. 1 2 3

1 1 1 .

x y z

  B. 1 2 1

1 1 2 .

x  y z

 

C. 1 2 3

1 2 2 .

x y z

 

  D. 1 2 3

1 1 2 .

x y z

 



(7)

Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1;0; 2 ,}



^B



^{0; 1; 2}^



và mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^y^²^z^^{12 0.}^ Tìm tọa độ điểm M thuộc

 

^P ^{sao cho}^{MA MB}^ nhỏ nhất?

A. ^M



^{2; 2;9 .}



^B. ⁶^; ^{18 23}^; ^.

11 11 11 M  

 

C. 7 7 31

; ; .

6 6 4

M 

 

  D. 2 11 18

; ; .

5 5 5

M  

 

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1 2 2

: , : 1 2

1 3 2

x t x t

d y t d y t

z t z t

       

       

 

       

 

và mặt

phẳng

 

^{P x y z}^: ^{   }^{2 0.} Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

 

^P ^,^{cắt d và}^d có phương trình là

A. 3 1 2

1 1 1 .

y

x    z B. 1 1 1

1 1 4 .

y

x   z

 

C. 2 1 1

1 1 1 .

x y z

  D. 1 1 4

2 2 2 .

x y z

 

Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

^P ^:^{x y z}^{   }^{3 0} và các điểm ^A



^{3; 2; 4 ,}





^{5; 3;7}



B . Mặt cầu

 

^S thay đổi đi qua A, B và cắt mặt phẳng

 

^P theo giao tuyến là đường tròn

 

^C ^có

bán kính r2 2.Biết tâm của đường tròn

 

^C luôn nằm trên một đường tròn cố định

 

C1 . Bán kính của

 

C1 là

A. r₁ 14. B. r₁12. C. r₁2 14. D. r₁6.

(8)

(9)



^{2; 2; 4 ,}^

 

^B ^^{3; 3; 1}^



^{và mặt}

phẳng

 

^P ^{: 2}^{x y}^{ }²^z^{ }^{8 0}^{. Xét}^M là điểm thay đổi thuộc

 

^P , giá trị nhỏ nhất của 2MA²3MB² bằng:

A. 135 . B. 105 . C. 108 . D. 145 .

Lời giải

Lấy điểm I thoả mãn 2IA3IB0. Ta có

   

2 2 3 3 0 1

2 4 3 1 0 1

        

       

 

       



I I I

x x x

y y y

z z z

Suy ra ^I



^^1;1;1



^.

Ta có ²^MA²^³^MB²^²



^{MI IA}^

 

²^³ ^{MI IB}^



²

 

2 2 2 2 2 2

5 2 3 2 . 2 3 5 2 3

 MI  IA  IB  MI IA IB  MI  IA  IB (do 2IA3IB0).

Với điểm ^I



^^1;1;1



^thì^IA²^và^IB² không đổi. Suy ra 2MA²3MB² nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất ^^MI^

 

^P ^hay

     

 

²

2 2

2 1 1 2.1 8

; 3.

2 1 2

   

  

  

MI d I P

Có IA² 27 và IB² 12.

Vậy giá trị nhỏ nhất của 2MA²3MB² bằng

2 2 2 2

5MI 2IA 3IB 5.3 2.27 3.12 135. 

Bài toán tổng quát: Trong không gian cho n điểm A A₁, ₂,...,A_n. Tìm điểm M sao cho biểu thức P ₁MA₁² ₂MA₂²  ... _nMA_n²

a. Đạt giá trị nhỏ nhất, với       ₁ ₂ ... n 0.

b. Đạt giá trị lớn nhất, với       ₁ ₂ ... _n 0.

Phương pháp giải:

Gọi I là điểm thỏa mãn ₁.IA₁ ₂.IA₂  ... _n.IA_n0. Điểm I tồn tại và duy nhất nếu

1

0.

n i i



  ^{Khi đó}^P^{ }¹



^{MI IA}^ ¹



²^{ }²



^{MI IA}^ ²



²^{  }^... ⁿ



^{MI IA}^ ⁿ



²



¹ ²



²



¹ ¹ ² ²



²

1

... . 2 . . ... . .

n

n n n i i

i

MI IA IA IA IA



              





Do ²

1

.

n

i i

i

IA





 không đổi nên

a. Nếu       ₁ ₂ ... n 0 thì P nhỏ nhất MI nhỏ nhất.

b. Nếu       ₁ ₂ ... _n 0 thì P lớn nhất MI lớn nhất.

Đáp án A.

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho các điểm ^A



^1;0;0



^,^B



^{0; 2;0}



^,^C



^{0;0; 1}^



^.

Biết rằng tồn tại duy nhất điểm ^{S a b c}



^{; ;}



khác gốc tọa độ để SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính tổng bình phương giá trị của a, b và c.

A. 16

9 . B. 4

81. C. 4

9. D. 16

81.

Lời giải

DISCOVERY

Ta áp dụng phương pháp giải của bài toán tổng quát để giải các bài toán tương tự ở dưới đây.

Trong không gian với hệ

tọa độ Oxyz, cho ba điểm

mặt phẳng

Gọi điểm nằm

trên mặt phẳng sao cho

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng

A. B.

C. D.

Đáp án: C.

HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ

(10)

Cách 1: Ta có ^AS^{ }



^a ^{1; ;}^{b c}



^,^BS^



^{a b}^; ^^2;^c



^,^CS^



^{a b c}^{; ;} ^¹



^.

Theo giả thiết, ta có

   

 

         

  

        

     

          



2 2 2

. 0 2 0 ; ; 0; 0; 0

. 0 0 8 4 8

; ; ; ;

2 0 9 9 9

. 0

AS BS a b c a b a b c

BS CS a b c a c

a b c a b c b c

CS AS

Do S O nên chọn

 

^^ ^ ^

 

8 4 8

; ; ; ;

9 9 9

a b c . Suy ra ² ² ² 16 9 . a b c

Cách 2: Ta có

 

^: ^{   }¹

 

^:2 ^{ }² ^{ }^{2 0}

1 2 1

x y z

ABC ABC x y z .

OABC là tứ diện vuông tại O. Gọi O là điểm đối xứng với O qua mặt phẳng



^ABC



^thì^O^ chính là điểm S. Khi đó, dễ dàng tính được   

 

8 4 8

9 9; ; 9

S .

Do vậy, ² ² ² 16 9 . a b c

Đáp án A.

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^M



^{2; 3; 4}^



^{. Gọi}

 

^P là mặt phẳng đi qua M và cắt các trục x Ox y Oy z Oz ,  ,  lần lượt tại các điểm D E F, , sao cho



²



2 2 2 0

    

OD OE m m OF , trong đó m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để chỉ có đúng ba mặt phẳng

 

^P thỏa mãn yêu cầu trên. Tập hợp S có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng?

A. 7. B. 3. C. 15. D. 4.

Lời giải

 

^P có phương trình ^{a x}



^{ }²

 

^{b y}^{ }³

 

^{c z}^{  }⁴



⁰ ^{ax by cz}^ ^{ }²^a^³^b^⁴^c^.

Đặt p m ²2m2, p0. Do , ,D E F khác O nên abc0 và k2a3b4c0.

Do vậy  ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 

     

     

k k k

D E F

a b c . Lại do OD2OE pOF nên

1  2  p a b c hay

1  2  a b c

p . Xảy ra các trường hợp sau:

+) , ,a b c cùng dấu. Do đó

1a 2b c

p. Suy ra ^k^⁴



^p^¹



^a^.

+) ,a b cùng dấu nhưng trái dấu với c. Khi đó

1  2 a b c

p .

Suy ra ^k^{ }⁴



^p^¹



^a^{  }^0, ^a ⁰ nên trường hợp này tồn tại một mặt phẳng

 

^P

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) ,a c cùng dấu nhưng trái dấu với b. Khi đó

1a  2b c p .

Suy ra ^k^⁴



^p^²



^a^{  }^0, ^a ⁰ nên trường hợp này cũng tồn tại một mặt phẳng

 

^P thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) ,b c cùng dấu nhưng trái dấu với a. Khi đó

1 2

  a b c

p . Suy ra ^k^^{4 2}



^^{p a}



^.

1) Trong không gian, cho tam giác có ba góc nhọn. Khi đó, tồn tại đúng hai điểm và sao cho các tứ diện và là các tứ diện vuông tại và . Đồng thời, và đối xứng với nhau qua mặt phẳng . 2) Trong không gian ,

cho điểm và

mp .

Gọi H và M’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên và điểm đối xứng với M qua . Khi đó:

với .

STUDY TIP

Cho ba số dương p, q, r và

điểm với

. Để đếm số mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho

thì ta đếm số giá trị khác 0 trong các giá trị sau:

. STUDY TIP

(11)

Do p1 và 2p không đồng thời bằng không nên để chỉ có đúng 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ^{1 0} ²₂ ² ^{1 0}



^{0;1; 2}



2 0 2 0

      

  

     

 

p m m

p m m S .

Suy ra số tập hợp con khác rỗng của S là 2³ 1 7.

Đáp án A.



^{1; 4; 2 ,}

 

^B ^^{1; 2; 4}



^{và đường}

thẳng 1 2

: 1 1 2

   

 y

x z

d . Biết rằng tồn tại điểm ^{M a b c}



^{; ;}



^^d sao cho

2 2

MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 2a b 3c bằng A. 10. B. 35

3 . C. 11. D. 1

2.

Lời giải

Cách 1: M d nên ^M



¹^^{t t}^; ^^{2; 2}^t



^.

Ta có ^MA²^^MB² ^¹²^t²^⁴⁸^t^^{76 12}^



^t^²



²^^{28 28}^ ^.

Dấu bằng xảy ra khi t2 hay ^M



^^{1;0; 4}



. Suy ra 2a b 3c10. Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn AB thì ^I



^{0; 3; 3}



^và

2 2 2 1 2

2 2

  

MA MB MI AB .

Ta có MA²MB² đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I trên d.

M d nên ^M



¹^^{t t}^; ^^{2; 2}^t



^{. Ta có}IM^{ }d IM u^. d ^⁰

     

1 1 1 5 2 2 3 0 2

   t t  t   t . Suy ra ^M



^^{1;0; 4}



^.

Cách 3: Gọi P là điểm thỏa mãn PA PB 0 (tương ứng với biểu thức

2 2

MA MB ) thì ^P



^{0; 3; 3}



^{. Khi đó}^MA²^^MB² ^²^MP²^^PA²^^PB²^.

Ta có MA²MB² đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MP đạt giá trị nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của P trên d.

Làm như cách 2, ta cũng tìm được ^M



^^{1;0; 4}



^.

Đáp án A.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp .S ABCD với



^{1; 1;6 ,}^

 

^{1; 2; 3 ,}

 

^{3;1; 2 ,}



S A B ^D



^{2; 3; 4}



. Gọi I là tâm mặt cầu

 

^S ngoại tiếp hình chóp. Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng



^SAD



^.

A. 6

 2

d . B. 21

 2

d . C. 3 3

 2

d . D. 3

 2 d .

Lời giải

Cách 1: Ta có ^AS



^{0; 3; 3 ,}^



^AB



^{2; 1; 1 ,}^{ }



^AD



^1;1;1



^.

Nhận xét rằng ASAB AS, AD AB, AD.

Lấy điểm C trong mặt phẳng



^ABD



^{sao cho}^ABCD là hình chữ nhật.

Khi đó, ^BC^



^{SAB CD}



^, ^



^SAD



. Các điểm A B D, , cùng nhìn SC dưới góc 90º

Cho là một điểm cố định và là điểm thay đổi. Khi đó

(1): Nếu di động trên đường thẳng cố định thì ngắn nhất khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của trên .

(2): Nếu di động trên mặt phẳng cố định thì ngắn nhất khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của trên . (3): Nếu di động trên mặt cầu cố định thì ngắn nhất hoặc dài nhất khi và chỉ khi là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu , trong đó I là tâm của .

STUDY TIP

S

A

B C

I

D

(12)

Do vậy, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm 5 1 9 2 2 2; ;

 

 

 

I của SC.

Khoảng cách ^{d d I SAD}^



^;

  

^¹₂^{d C SAD}



^,

  

^¹₂^CD^ ₂⁶ ^.

Cách 2: Gọi ^{I a b c}



^{; ;}



là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD. Ta có

           

2 2 2 2 2 2

1 1 6 1 2 3

1 1 6 3 1 2

1 1 6 4 2 3

           

  

             

 

  

            

a b c a b c

IS IA

IS IB a b c a b c

IS IC a b c a b c

5 6 6 24 2

4 4 8 24 1

6 6 6 9 92

2

 

    

 

      

     

  



a b c

a b c b

a b c

c

 5 1 9

2 2 2; ;

 

 

 

I .

Ta lại có ^SA^



^{0; 3; 3 ,}^



^AD^



^1;1;1



. Suy ra, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng



^SAD



^làⁿ^^_^{SA AD}^, ^_^



^{6; 3; 3}^{ }



. Phương trình mặt phẳng



^SAD



^là

     

2 x 1 y    2 z 3 0 2x y z   3 0.

Do đó,

   

5 1 9

2. 3

2 2 2 6

, 6 2

  

  

d d I SAD .

Đáp án A.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

2 2 2

( ) :S x y z 4x4y2z 7 0 và đường thẳng d_m là giao tuyến của hai mặt phẳng ^x^{ }



^{1 2}^{m y}



^⁴^mz^{ }^{4 0}^và²^{x my}^ ^



²^m^¹



^z^{ }^{8 0.}^Khi^m^thay

đổi các giao điểm của d_m và

 

^S nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. 142

r 15 . B. 92

r 3 . C. 23

r 3 . D. 586 r 15 .

Lời giải  

^S ^{có tâm}^I



^{2; 2;1}^



, bán kính R4.

Các điểm trên d_m có tọa độ thỏa mãn ^x^{ }



^{1 2}^{m y}



^⁴^mz^{ }^{4 0}^và

 

2x my  2m1 z 8 0

Do đó x (1 2 )m y4mz42 2 x my (2m1)z80 5x y 2z 20 0

     .

Suy ra d_m luôn nằm trong mp

 

^P ^{: 5}^{x y}^{ }²^z^^{20 0}^ cố định khi m thay đổi.

Mà



^,

  

¹⁴ ⁴

d I P  30  ^

 

^P ^cắt

 

^S theo giao tuyến là đường tròn tâm H bán kính ² ²



^,

  

¹⁶ ¹⁹⁶ ¹⁴²

225 15

r R d I P    .

Đáp án A.

Khi xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hoặc lăng trụ ta có thể làm theo hai hướng:

+ Hướng 1: Dùng điều kiện tâm cách đều các đỉnh đi đến giải hệ phương trình.

+ Hướng 2: Dựa vào tính đặc biệt của hình như: Hình chóp đều, hình chóp có các đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông.

STUDY TIP

Với hai mặt phẳng

khi đó, giao tuyến của luôn nằm trên mặt phẳng có phương trình:

với .

STUDY TIP

(13)

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm ^A



^1;0;0



^,^B



^{3; 2;0}



^,



^{1; 2; 4}



C  . Gọi M là điểm thay đổi sao cho đường thẳng MA, MB, MC hợp với mặt phẳng



^ABC



các góc bằng nhau; N là điểm thay đổi nằm trên mặt cầu

  

^: ³

 

² ²

 

² ³



² ¹

S x  y  z 2. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạnMNbằng:

A. 2

2 . B. 5 . C. 2 . D. 3 2

2 .

Lời giải

Do đường thẳng MA, MB, MC hợp với mặt phẳng



^ABC



các góc bằng nhau nên hình chiếu của M lên