524 CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT –

(1)

524 CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT –

ĐƯỢC TRÍCH HƠN 300 ĐỀ THI THỬ 2017-2018

TÀI LIỆU TỰ HỌC

TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG ‐ 0946798489

Theo dõi facebook: https://www.facebook.com/phong.baovuong để nhận nhiều tài liệu hay từng ngày!

(2)

Mục lục

Chương 1. Lượng giác ... 2

Chương 2. Tổ hợp ... 17

Chương 3. Dãy số ... 30

Chương 4. Giới hạn ... 39

Chương 5. Đạo hàm ... 45

Chương 6. Phép biến hình ... 58

Chương 7. Quan hệ song song ... 59

Chương 8. Quan hệ vuông góc ... 61

Chương 9. Ứng dụng đạo hàm – khảo sát hàm số ... 85

Chương 10. Mũ – Logarit ... 141

Chương 11. Nguyên hàm – tích phân ... 170

Chương 12. Số phức... 201

Chương 13. Khối đa diện ... 221

Chương 14. Khối tròn xoay ... 245

Chương 15. Không gian Oxyz ... 287

(3)

Chương 1. Lượng giác

Câu 1: Hàm số tan cot 1 1 sin cos

y x x

x x

    không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. 2 ; 2

k  2 k 

 

  

 ^. ^B.

2 ;3 2 k 2 k

  

 

 

 

 ^.C. 2 ; 2

2 k k

   

 

 

 

 ^.^D.



^ ^^k^{2 ;2}^{ }^^k²^



^.

Lời giải Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi sin 0

sin2 0 ,

cos 0 2

x x x k k

x

  

    

 

 .

Ta chọn 3 3

k _{  }x 2

nhưng điểm 3 2

 thuộc khoảng



^ ^^k^{2 ;2}^{ } ^^k²^



^.

Vậy hàm số không xác định trong khoảng



^ ^^k^{2 ;2}^{ }^^k²^



^.

Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số 5 2 cot² sin cot

y  x x 2x.

A. \ ,

2

D k k 

 

  . B. \ , 2

D k k 

 

  .C. D. D. ^D^^^\



^{k k}^^, ^^



^.

Lời giải Chọn A

Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời.

5 2 cot 2xsinx0, cot 2 x

  

 

  xác định và cotx xác định.

Ta có

2

5 2cot sin 0 2

5 2cot sin 0, 1 sin 2 0 5 sin 0

x x

x x x

x x

   

     

     

 

.

cot2xxác định sin 0 ,

2 x 2 x k x 2 k k

    

 

           . cotx xác đinh sinx  0 x k k, .

Do đó hàm số xác đinh 2 ,

2

x k k

x k

x k

  



   

   

 



.

Vậy tập xác định \ , 2

D k k 

 

  .

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. 1₂ y sin

 x. B. sin

y _x 4_

   . C. 2 cos

y _x 4_

   . D. y sin 2x. Lời giải

Chọn A

(4)

Viết lại đáp án B ^sin ¹



^sin ^cos



4 2

y x  x x

  .

Kết quả được đáp án A là hàm số chẳn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ.

Xét đáp án D.

 Hàm số xác định ^^{sin 2}^x^{ }⁰ ²^x^



^k^{2 ;}^{ }^^k²^



^{ }^x ^_^k^^;^₂ ^^k^^_

 .

 

; .

D ^k 2 k^ k

     .

 Chọn D

x_{ }4 _nhưng _D.

x 4

    Vậy y sin 2x không chẵn, không lẻ.

Câu 4: Số giờ có ánh sáng của một thành phốA trong ngày thứ ^t của năm 2017được cho bởi một hàm số

 

4sin 60 10

y_ 178 t_ _ _{, với}t Z _và0 t 365. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?.

A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Lời giải.

Chọn B.

Vì ^sin



⁶⁰



¹ ^4sin



⁶⁰



^{10 14}

178 t_ _{  }y 178 t_ _ _ _. Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất

   

14 sin 60 1 60 2 149 356

178 178 2

y  t  t  k  t k

            .

Mà 149 54

0 365 0 149 356 365

356 89

t k k

          .

Vì k nên k0.

Với k  0 t 149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 t 365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28ngày).

Câu 5: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức 3cos 12

7 8 4

h  t   . Mực nước của kênh cao nhất khi:

A. t13(giờ). B. t14(giờ). C. t15(giờ). D. t16(giờ).

Lời giải.

Chọn B.

Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất

cos 1 2

8 4 8 4

t t k

    

 

       với 0 t 24 và k. Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án Bthỏa mãn.

Vì với t14 thì 2

8 4

t   (đúng với k 1 ).

(5)

Câu 6: Hàm số 2 3 1 tan



²



4 cot 2

tan

y x x

x

   đạt giá trị nhỏ nhất là

A. 0. B. 3 2 3 . C. 2 2 2 . D. 1.

Ta có

1 tan2

cot 2

2 tan x x

x

 

Từ đó suy ra 2 2 3 1 tan



²



2

3cot 2 3cot 2 2 3 cot 2

2 tan

y x x x x

x

    



^{3 cot 2}^x ¹



² ¹ ^1, ^x

      .

Vậy 1

min 1 cot 2

y   x 3. Câu 7: Hàm số 2cos sin

y x x4 đạt giá trị lớn nhất là

A. 5 2 2 . B. 5 2 2 . C. 5 2 2 . D. 5 2 2 . Lời giải

Chọn C

Ta có 1

2cos sin 2cos 2 sin

4 2 4

y_ x_ _x_ __ x_ _x_ _

   

    ^2cos ¹



^sin ^cos



x 2 x x

  

1 1

2 cos sin

2 x 2 x

 

    ^. Ta có

2 2

2 1 1 2

2 5 2 2

2 2

y       y   . Do đó ta có 5 2 2  y 5 2 2 .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2 .

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin⁴xcos⁴xsin cosx x là A. 9

8^. ^B.

5

4^. ^{C. 1.} ^D.

4 3^. Lời giải

Chọn A

Ta có ysin⁴xcos⁴xsin cosx x   y 1 2sin²xcos²xsin cosx x.

1 2 1

1 sin 2 sin 2

2 2

y x x

   

2 2

1 1 1 9 1 1 9

1 sin 2 sin 2

2 2 4 8 2 2 8

y  x   y  x 

              .

Dấu bằng xảy ra khi 1 sin 2

x2.

(6)

Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinx cosxcosx sinx là

A. 0. B. 2. C. ⁴2. D. 6 .

Ta có sinx cosxcosx sinx 2 sin cosx x sin cosx x

1 1

2 sin 2 sin 2 0

2 2

y x x

   . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2x0.

Câu 10: Cho , ,x y z0 và

x y z_{  }2 . Tìm giá trị lớn nhất của

1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan y  x y  y z  z x

A. y_max  1 2 2. B. y_max 3 3. C. y_max  4. D. y_max 2 3. Lời giải

Chọn D

Ta có ^tan

 

^tan

2 2 2

x y z       x y  z x y   z

tan tan 1

1 tan .tan tan

x y

x y z

  

 tan .tanx z tan .tany z 1 tan .tanx y

     tan .tanx ztan .tany ztan .tanx y1

Ta thấy tan .tan ; tan .tan ; tan .tanx z y z x y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:

1. 1 tan .tan x y1. 1 tan .tan y z1. 1 tan .tan z x

2 2 2 1.tan .tan 1.tan .ta

1 1 1 . x z y nz1.tan .tanx y

   



^{tan .tan} ^{tan .tan} ^{tan .ta}ⁿ



²

3 3 x z y z x y 3

  

Vậy y_max 2 3.

Câu 11: Phương trình ²

3 3

tanxtanx^ tanx ^3 3 tương đương với phương trình.

A. cotx 3. B. cot 3x 3. C. tanx 3. D. tan 3x 3. Lời giải

Chọn D.

Điều kiện: ^cos ⁰

cos 0

3

cos 2 0

3 x

x



 

   

  

   

  



 

sin 2

sin sin 2sin 2

pt 3 3 3 3

cos cos cos 2 cos cos 2 cos

3 3 3

x x x x

x x x x x



   

      

         

     

     

(7)

 

sin 4sin 2 3 3 sin 2sin cos 2 4sin 2 cos 3 3

cos 1 2cos 2 cos 1 2cos 2

sin sin 3 sin 2sin 3 2sin

3 3 3tan 3 3 3 tan 3 3

cos cos cos3

x x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

x x x

 

    

 

   

     

 

Câu 12: Phương trình 2cot 2x3cot 3xtan 2x có nghiệm là:

A. x k_ 3

. B. x k  . C. x k 2. D. Vô nghiệm.

Lời giải Chọn D.

Điều kiện của phương trình sin 2x0,sin3x0,cos2x0. Phương trình tương đương 2cot 2xtan 2x3cot 3x

sin 2 0 cos 2 sin 2 cos3

2 3 cos 2 0

sin 2 cos 2 sin 3

sin 3 0

x x x x

x

 

    

 



2 2

2cos 2 sin 2 3cos3 1 3cos 4 3cos3

sin 2 .cos 2 sin 3 sin 4 sin 3

x x x x x

 

   

3

sin 3 3sin 3 cos4 3cos3 sin 4 sin 3 3sin 3sin 4sin 3sin sin 0

x x x x x x x

x x x x

    

    

x k

  ( loại do sin 2x0₎

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 13: Giải phương trình 4 2

cos cos

3

x  x .

A.

3 4 3

5 3

4 x k

x k



 

 

   



   



. B.

4 5 4 x k

x k



 

 

   



   



. C.

3 4 3 x k

x k



 

 

   



. D.

3

5 3

4 x k

x k



 

 

   



.

4 2 4 1 cos 2 2 2

cos cos cos 2 cos 2. 1 cos 3.

3 3 2 3 3

x  x x   x  x   x

22 32 2 32 22 2

2 2 cos 1 1 4 cos 3cos 4 cos 4cos 3cos 3 0

3 3 3 3 3 3

x x x x x x

 

          

2 2

2 3

cos 1

2

3 2

3 6

2 3

cos 3 2 2 5 2

3 6

x k x

x k

x

x k



 

 

  

 



         



3 4 3

5 3

4 x k

x k



 

 

   



   



.

(8)

Câu 14: Giải phương trình 4 2

cos cos

3

x  x .

A.

3 4 3

5 3

4 x k

x k



 

 

   



   



. B.

4 5 4 x k

x k



 

 

   



   



. C.

3 4 3 x k

x k



 

 

   



. D.

3

5 3

4 x k

x k



 

 

   



.

4 2 4 1 2 2 2.2 1 3.2

3 3 2 3 3

x x cos x x x

cos cos xcos    cos  cos

22 32 2 32 22 2

2 2 1 1 4 3 4 4 3 3 0

3 3 3 3 3 3

x x x x x x

cos cos cos cos cos cos

 

          

2 2

2 1 3

2

3 2

3 6

2 3

2 5

3 2 2

3 6

x k cos x

x k

cos x x

k



 

 

  

 



         



3 4 3

5 3

4 x k

x k



 

 

   



   



.

Câu 15: Hàm số 2sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3

x x

y x x

 

  có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1.. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn B

Ta có ^{2sin 2} ^{cos 2}



^{2 sin 2}

 

^{1 cos 2}



^{3 .}

sin 2 cos 2 3

x x

y y x y x y

x x

       

  .

Điều kiện để phương trình có nghiệm ^



^y^²

 

²^ ^y^¹

 

²^{ }³^y



²^⁷^y²^²^y^{ }^{5 0}^.

 

1 5 1;0

7

y y^ y

    ^   nên có 2 giá trị nguyên.

Câu 16: Phương trình cos 2 cos sin

1 sin 2 x x x

  x

 có nghiệm là:

A.

4 2

8 2

x k

x k

 



   



  



 

. B.

4 2

2

x k

x k

 



  



  

 



. C.

3 4

2 2 2

x k

x k

 



  



   

 



. D.

5 4 3

8 4

x k

x k

 



  



  



 

.

Lời giải Chon C.

ĐK

sin2 x  1

(9)

 

2 2

2

cos 2 cos sin

cos sin cos sin

1 sin 2 sin cos

x x x

x x x x

x x x

     

 

  

 

²

cos sin cos sin cos sin

sin cos

x x x x

x x

 

  



 

cos sin 1

cos sin cos sin 1 0

sin cos sin cos

x x

x x x x

  

          

2 sin 0

cos sin 0 4

sin cos 1

2 sin 1

4 x x x

x x

x



   

  

   

        

     

3

4 4

4

2 2 2 .

4 4 2

5 2 32 2 2

4 4

x k x k

x k

x k k x k k x k k

x k x k

x k

     

      

     

  

 

                 

  

Câu 17: Phương trình 1 1

2sin 3 2cos3

sin cos

x x

   có nghiệm là:

A. x 4 k . B.

x12 k. C. 3

x 4 k. D. 3

x  4 k . Lời giải

Chọn A ĐK

sin 2 x  0

 

1 1 1 1

2sin 3 2cos3 2 sin 3 cos3

sin cos cos sin

x x x x

      



³

 

³



^sin ^cos

2 3sin 4sin 4cos 3cos

sin cos

x x

x x x x

x x

  

     

  

³ ³



^sin ^cos

2 3 sin cos 4 sin cos

sin cos

x x

x x x x

x x

  

     

    

² ²



^sin ^cos

2 3 sin cos 4 sin cos sin sin cos cos

sin cos

x x

x x x x x x x x

x x

  

       

    

^sin ^cos

2 3 sin cos 4 sin cos 1 sin cos

sin cos

x x

x x x x x x

x x

       

   

^sin ^cos

2 sin cos 3 4 1 sin cos

sin cos

x x

x x x x

x x

      

(10)



^sin ^cos



6 8 1 sin cos

 

¹ 0 sin cos

x x x x

x x

 

      



^sin ^cos



^{2 8sin cos} ¹ ⁰

sin cos

x x x x

x x

 

     

 

²

2 sin 2sin cos 8 sin cos 1 0

x



4 x x x x

  

       

sin 2sin 22 sin 2 1 0

x



4 x x

  

      

   

4 4

sin 0

4 2 2

2 4

sin 2 1 .

2 2

sin 2 1 6 12

2 7 7

2 2

6 12

x k x k

x x k x k

x k k

x k x k

x

x k x k

   

    

   

      

 

     

        

  

     

        

    

  

      



  Không có đáp án nào

đúng.

Câu 18: Để phương trình

sin

⁶

x  cos

⁶

x a  | sin2 | x

có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:

A. 1

0 a 8. B. 1 3

8 a 8. C. 1

a 4. D. 1 a 4. Lời giải

Chọn D.

 

³

 

6 6 2 2 2 2 2 2

sin xcos x a | sin 2 |x  sin xcos x 3sin xcos x sin xcos x a| sin 2 |x

2 2

1 3sin 2 | sin 2 | 0 3sin 2 4 | sin 2 | 4 0

4 x a x x a x

       

Đặt ^{sin 2}^x ^^{t t}



^

 

^0;1



. Khi đó ta có phương trình³^t²^{  }⁴^t ^{4 0 1}

 

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình

 

¹ ^có ^nghiệm

   

 

4 2 12 0

0;1 0 1 0 1

1 4 1 0 4 a

t f a

f a

    

      

   



.

Câu 19: Cho phương trình:

sin cos x x  sin x  cos x m   0

, trong đó m là tham số thực. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:.

A. 1

2 2

m 2

     . B. 1

2 1

2 m

    . C. 1

1 2

m 2

   . D. 1

2 1

2 m

    . Lời giải

Chọn D.

(11)

Đặt ^sin^x^^cos^{x t t}^



^ ²



^^{sin cos}^x ^x^^t²₂^¹. Khi đó ta có phương trình

2

 

1 2

0 2 2 1 0 *

2

t  t m t t m

       

 

^* ^có ^nghiệm

   

2 2 0

2 1 2 1

2 1

2; 2 2 1 2 2 2 0 12 2 2 2 1.

2 1 2 2 2 0

m

s m

t m

f m m

f m

   



     

 

 

                

    



Câu 20: Cho phương trình: ^{4 sin}



⁴^x^^cos⁴^x

 

^^{8 sin}⁶^x^^cos⁶^x



^^{4 sin 4}² ^x^^m trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

A. m 4hay m0. B. 3 2 m 1

    . C. 3

2 m 2

    . D. m 2hay m0. Lời giải

Chọn A Ta có:

 

   

4 4 2 2 2 2 2 2

6 6 2 2 3 2 2 2 2 2

sin cos sin cos 2 sin cos 1 1sin 2

2

sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin 2

4

x x x x x x x

x x x x x x x x x

     

      

Phương trình đã cho trở thành

2 2 2 2

1 3

4 1 sin 2 8 1 sin 2 16sin 2 cos 2

2 x 4 x x x m

      

   

   

 

2 2 2

4 sin 2x 16 sin 2 1 sin 2x x 4 m

    

4 2

16 sin 2x 12 sin 2x 4 m 0

    

Đặt^{sin 2}² ^x^^{t t}



^

 

^0;1



. Khi đó phương trình trở thành¹⁶^t²^¹²^{t m}^{  }^{4 0 *}

 

^* vô nghiệm khi và chỉ khi:

TH1: 25

100 16 0 m m 4

       .

TH2:

     

100 16 0 25 4

0 1 4 0 4

0

m m

f f m m

m

 

   

    

 

    

  

.

Vậy các giá trị cần tìmm 4hay m0. Không có đáp án đúng.

(12)

Câu 21: Cho phương trình: sin⁶₂ cos⁶₂

2 .tan 2 cos sin

x x

m x

x x

 

 , trong đó m là tham số. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:

A. 1 1

8 8

m  hay m . B. 1 1

8 8

m  hay m . C. 1 1

2 2

m  hay m . D. m 1hay m1. Lời giải

Chọn B ĐK:

cos2 x  0



² ²



³ ² ²



² ²



6 6

2 2

sin cos 3sin cos sin cos sin cos

2 .tan 2 2 tan 2

cos sin cos 2

x x x x x x

x x

m x m x

x x x

  

   



2

2 2

1 34sin 2 2 tan 2 1 3sin 2 2 sin 2 3sin 2 8 sin 2 4 0.

cos 2 4

x

m x x m x x m x

x

         

Đặt^{sin 2}^{x t t}^



^{ }



^1;1

 

.Khi đó phương trình trở thành: ³^t²^⁸^mt^{ }^{4 0 *}

 

^* ^{có nghiệm}^t^{ }



^1;1



TH1:

 

^* có 1 nghiệm         

1

1;1 1 1 0 8 1 8 1 0 8

1 8 .

m

t f f m m

m

 

           

  



TH2:

 

^* có 2 nghiệm

   

2 1

16 12 0

1 8 1 0 8

1;1 1 8 1 0 18 .

4 3 3

1 1

2 3 4 4

m m

f m

t f m m VN

s m

m

 

     

    

 

          

 

       

 

 

Câu 22: Cho phương trình 1 4 tan₂ cos 4

2 1 tan

x x m

 x

 . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải thỏa mãn điều kiện:.

A. 5 2 m 0

   . B.

0   m 1

. C. 3

1 m 2. D. 5 3

2 2

m  hay m . Lời giải

Chọn D.

ĐK:

cos x  0.

2

1 4 tan 1 4 tan 1

cos 4 cos 4 cos 4 4sin cos

2 1 tan 2 1 2

cos

x x

x m x m x x x m

x

       





²



²

1 1

1 2sin 2 2sin 2 sin 2 2sin 2 0

2 x x m x x m 2

        

Đặt ^{sin 2}^x^^{t t}



^{ }



^1;1

 

. Khi đó phương trình trở thành: ² 2 1 0(*) t    t m 2

(13)

Phương trình (*)vô nghiệm:

TH1: 3 3

0 .

2 m m 2

     

TH2:

   

3 0 2

5 5.

5 3

1 1 0 2 2

2 2 3

2 m

m m

f f m m

m

 

 

 

      

       

    

  

Câu 23: Để phương trình: 4sin .cos ² 3 sin 2 cos2

3 6

x  x  a x x

       

   

    có nghiệm, tham số a phải

thỏa điều kiện:

A.   1 a 1. B.   2 a 2. C. 1 1 2 a 2

   . D.   3 a 3. Lời giải

Chọn B.

Phương trình tương đương 2 sin 2 sin ² 2sin 2

6 2 6

x   a x 

        

     

 

2

2 sin 2 1 2sin 2

6 6

2 sin 2 sin 2 2

6 6

x a x

x x a

 

     

         

    

        

2

4.cos 2 .sin 2

6 cos 2 2

2

x a

   

  

Để phương trìnhcó nghiệm thì 1 ² 2 1 2 2 2

a  a

       .

Câu 24: Để phương trình

2 2 2

2

sin 2

1 tan cos 2

a x a

x x

 

  có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:

A. | | 1a  . B. | | 2a  . C. | | 3a  . D. a 1,a  3. Lời giải

Chọn D.

Điều kiện của phương trình cosx0,cos2x0, tan²x1

Phương trình tương đương

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2

sin 2 sin 2

cos cos cos cos

sin sin

1 1

cos c

1 tan 1 tan

os

x a x a

x x x

a a

x x

x

 

 

  

 

2 tan2 ( 2 2 1 t)( an2 ) ( 2 1 tan) 2 2

a x a x a x

       

(14)

 Nếu a²    1 0 | | 1a (1) vô nghiệm.

 Nếu ² ₂2

1: (1) tan

a x 1

   a

 . Phương trình có nghiệm khi ₂2

1 3

1 a

a   

 .

Vậyphương trình đã cho có nghiệm khi a 1,a  3

Câu 25: Tìm m để phương trình



^cos^x^^{1 cos 2}



^{x m}^ ^cos^x



^^m^sin²^x có đúng 2 nghiệm ;²

0 3^

 

  

x .

A.   1 m 1. B. 0 1

 m 2. C. 1 1

   m 2. D. 1 1

  2 m . Lờigiải

Chọn C.

Ta có



^cos^x^^{1 cos 2}



^{x m}^ ^cos^x



^^m^sin²^x



^cos^x ^{1 cos 2}



^{x m}^cos^x



^m



^{1 cos}^x



^{1 cos}^x



     

cos 1 cos 1

cos 2 cos cos cos 2

x x

x m x m m x x m

   

 

     

Với cosx    1 x  k2: không có nghiệm ;²

0 3^

 

  

x .

Với cos 2 cos² 1

2 x m  xm .

Trên 2 0; 3

 

 

 , phương trình cosx a có duy nhất 1 nghiệm với 1 2;1 a  

Do đó, YCBT

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2

1 1

2 2 1

m m m

m m m m

m

  

       

  

              



.

Câu 26: Tìm m để phương trình ^cos2^x^



²^m^^{1 cosx}



^{  }^m ^{1 0} có đúng 2 nghiệm ;

x ^^{ }2 2. A.   1 m 0. B. 0 m 1. C. 0 m 1. D.   1 m 1.

Lời giải Chọn B

   

²

 

⁰ ¹2^.

c

cos2 2 1 cosx 1 0 1 2 1

os 2

x m m cos x m cosx

cosx m

x m

 

          

 





Vì ;

x ^{ }2 2 nên 0cosx1. Do đó 1

cosx 2 (loại).

Vậy để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm ;

x ^^{ }2 2 khi và chỉ khi 0cosx   1 0 m 1.

(15)

Câu 27: Tìm m để phương trình 2sinx m cosx 1 m có nghiệm ; x   2 2.

A.   3 m 1. B.   2 m 6. C. 1 m 3 D.   1 m 3. Lời giải

Chọn D Đặt tan

2

t x, để ;

x_{ }_  2 2_

 

  thì ^t^{ }



^1;1



^.

 

2

2 2

2 1

2 1 4

t 1 1

p 1 1

t t

m m t m mt m m t

t t

           

 

2 4 1 2

t t m

  

Vậy để yêu cầu bài toán xảy ra thì ^{f t}

 

^{  }^t² ^{4 1}^t _trên



^^1;1



Ta có ^{f t}^'

 

^{ }²^t ^{4; '}^{f t}

 

^{  }⁰ ^t ²

Vậy để yêu cầu bài toán xảy ra thì  2 2m    6 1 m 3

Câu 28: Gọi x₀ là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x 3 sin 2x 3 sinxcosx2. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ₀ 0; . x _ 12 _

  ^B. ⁰ ; . x _12 6 _

   ^C. ⁰ ; . x _ 6 3_

  ^D. ⁰ ; . x _ 3 2_

  Lời giải

Chọn B

Phương trình 1 3 3 1

cos 2 sin 2 sin cos 1

2 x 2 x 2 x 2 x

     .

sin 2 sin 1

6 x x 6

 

   

       ^.

Đặt 2 2 2 2 .

6 6 3 6 2

t_{  }x  _{   }x t  x_{  }t  x_{ } t_ Phương trình trở thành sin 2 sin 1 cos 2 sin 1

t 2 t t t

 

        ^.

 

2sin2t sint 0 sin 2sint t 1 0.

     

 sin 0 0 1 _min 0 .

6 6 6

t  t k   x  k     k k^^k   x 

 ^min

min

2 2 0 1 0 .

1 6 3 6 3

sin 2 5 2 2 0 1 0 .

6 2

k

t k x k k k x

t

t k x k k k x

    



             

  

             





.

(16)

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là ; . 6 12 6 x   

   

Câu 29: Phương trình 2sin 3 1 8sin 2 .cos 2²

x



4 x x

   

 

  có nghiệm là:.

A. 6

5 6

x k

 

  



  



. B. 12

5 12

x k

 

  



  



. C.

12 2

7 2

12

x k

 

  



   



. D. 24

5 24

x k

 

  



  



.

Lời giải Chọn C

 

2

2 2

sin 3 0

2sin 3 1 8sin 2 .cos 2 4

4 4sin 3 1 8sin 2 .cos 2 *

4 x

x x x



   

  

     

 

      

 

^* ⁴^{1 cos 6} ² ^{1 8sin 2} ^{1 cos 4}

2 2

x x

x

  

    

  

 

2 1 sin 6x 1 4sin 2x 4sin 2 cos 4x x

    

 

2 2sin 6x 1 4sin 2x 2 sin 6x sin 2x

     

2sin2 x 1 0

  

   

2 2 1

1 6 12

sin 2

5 5

2 2 2 2

6 12

x k x k

x k k

x k x k

   

     

 

     

     

 



 

+

k

chẵn thì

 

¹ ² ^{sin 3} ^{1 0}

12 4

x



n



^ x



^

       

 

+ k lẻ thì

 

¹



² ¹



¹¹ ² ^{sin 3} ^{1 0}

12 12 4

x



n

 

n



^ x



^

            

 

+ k chẵn thì

 

² ⁵ ² ^{sin 3} ^{1 0}

12 4

x



n



^ x



^

        

 

+

k

lẻ thì

 

² ⁵



² ¹



⁷ ² ^{sin 3} ^{1 0}

12 12 4

x



n

 

n



^ x



^

           

Vậy tập nghiệm là

12 2

7 2

12

x k

 

  



   



.

(17)

Câu 30: Phương trình: 2

4sin .sin .sin cos3 1

3 3

x x



 x



 x

    có các nghiệm là:

A.

2

6 3

2 3

x k

x k

 



  



 

. B. 4

3

x k

x k

 



  



 

. C. 2

x 3 k x k

 



  



 

. D.

2 2

4

x k

x k

 



  



 

.

Lời giải Chọn A.

4sin .sin .sin 2 cos3 1

3 3

x x



 x



 x

   

 

2sin cos cos 2 cos3 1

x^ ^ 3^ x  ^ x

       2sin 1 cos2 cos3 1

x2 x x

    

 

sinx sin 3x sin x cos3x 1

     

sin3 x cos3 x 1

  

2 sin 3 1

x



4

 

   

sin 3 sin

4 4

x

 

 

   

 

2

3 .

2

6 3

x k

k

x k



 

 

 

  





Câu 31: Giải phương trình

10 10 6 6

2 2

sin cos sin cos

4 4cos 2 sin 2

  



x x x x

x x. A. x k 2,

2 2

 

 

x k . B.

2

 ^k x . C. 2

 

 

x k . D. x k  ,

2 2

 

  x k .

Lời giải Chọn B.

Ta có 4 cos 2² xsin 2² x3cos 2² x   1 0, x .

 

10 10 6 6 10 10 6 6

2

2 2 2 2 2 2

sin cos sin cos sin cos sin cos

4 4cos 2 sin 2 4 4 cos sin 4sin .cos

x x x x x x x x

x x x x x x

      

  

(18)

  

 

2 2 4 2 2 4

10 10

4 2 2 4

sin cos sin sin .cos cos

sin cos

4 4 cos sin .cos cos

x x x x x x

x x

x x x x

  

  

 

10 10

sin x cos x 1

  

 

¹ ^.

Ta có

10 2

10 10 2 2

10 2

sin sin

sin cos sin cos 1

cos cos

x x

x x x x

x x

 

     

 



Do đó

 

2

10 2 2 2

2

sin 1

sin 0

sin sin sin 0

1 sin 2 0 2

cos cos cos 1 cos 0 2

cos 0

x

x x x x k

x x k x

x x x x

x

 

 

 

    

 

        

   

  

 



.

Câu 32: Cho phương trình: sin 3 cos3 3 cos2

sin 1 2sin 2 5

x x x

x x

 

  

  

  . Các nghiệm của phương trình thuộc

khoảng



^0;2^



^là:

A. 5 12 12,

  . B. 5

6 6,

  . C. 5

4 4,

  . D. 5

3 3,

  . Lời giải

Chọn C.

Điều kiện: 1 2sin 2 x0

Phương trình tương đương sin 2sin sin 2 sin 3 cos3

5 3 cos2

1 2sin 2

x x x x x

x x

  

   

  

 

 

2

sin cos cos3 sin 3 cos3

5 3 cos 2

1 2sin 2 1 2sin 2 cos

5 3 cos 2

1 2sin 2

5cos 3 cos 2 2cos 5cos 2 0

cos 1

2 3

cos 2 ( )

x x x x x x

x

x x

x x x x

x x k

x loai

 

   

 

    



 

    

      

 

    

 



Vì



^0;2



^, ⁵

3 3

x   x  x  (thỏa điều kiện).

Chương 2. Tổ hợp

Câu 33: Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9.

A.

2011 2010

9 2019.9 8

9

 

B.

2011 2010

9 2.9 8

9

 

C.

2011 2010

9 9 8

9

 

D.

2011 2010

9 19.9 8

9

 

Lời giải Chọn A.

(19)

Đặt X là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.



A { các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

Với mỗi số thuộc A có m chữ số (m2008) thì ta có thể bổ sung thêm 2011m số 0 vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng

 

1 2... 2011; _i 0,1,2,3,...,9 a a a a

0 



 |

A a A mà trong a không có chữ số 9}

1



 |

A a A mà trong a có đúng 1 chữ số 9}

 Ta thấy tập A có

92011 1

1 9

  phần tử

 Tính số phần tử của A₀

Với x A 0 x a a1... 2011;a_i



0,1,2,...,8



i1,2010 và a₂₀₁₁ 9 r với

 

²⁰¹⁰

1

1;9 ,



 



ⁱ

i

r r a . Từ

đó ta suy ra A₀ có 9²⁰¹⁰ phần tử

 Tính số phần tử của A₁

Để lập số của thuộc tập A₁ ta thực hiện liên tiếp hai bước sau

Bước 1: Lập một dãy gồm 2010 chữ số thuộc tập



0,1, 2...,8 và tổng các chữ số chia hết cho 9.



Số các dãy là 9²⁰⁰⁹

Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9

Do đó A₁ có 2010.9²⁰⁰⁹ phần tử.

Vậy số các số cần lập là:

2011 2011 2010

2010 2009

9 1 9 2019.9 8

1 9 2010.9

9 9

  

    .

Câu 34: Từ các số 1,2,3, 4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị.

A. 104 B. 106 C. 108 D. 112

Lời giải Chọn C.

Cách 1: Gọi x a a a a 1 2... , 6 _i



1, 2,3, 4,5, 6



là số cần lập Theo bài ra ta có: a a₁     ₂ a₃ 1 a₄ a₅ a₆ (1)

Mà a a a a a a₁^{, , , , ,}₂ ₃ ₄ ₅ ₆



1, 2,3, 4,5, 6



và đôi một khác nhau nên

1           2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21

a a a a a a (2)

(20)

Từ (1), (2) suy ra: a₁  a₂ a₃ 10

Phương trình này có các bộ nghiệm là: ( , , ) (1,3,6); (1, 4,5); (2,3,5)a a a₁ ₂ ₃  Với mỗi bộ ta có 3!.3! 36 số.

Vậy có 3.36 108 số cần lập.

Cách 2: Gọi x abcdef là số cần lập

Ta có: 1 2 3 4 5 6 21

1

           

      



a b c d e f a b c d e f

   a b c 11. Do a b c^{, ,} 



1, 2,3, 4,5, 6



Suy ra ta có các cặp sau: ( , , ) (1, 4,6); (2,3,6); (2,4,5)a b c 

Với mỗi bộ như vậy ta có 3! cách chọn a b c, , và 3! cách chọn d e f, , Do đó có: 3.3!.3! 108 số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 35: Có m nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra k người trong đó có ít nhất a nam và ít nhất b nữ (k m n a b k a b , ;   ; , 1) với S₁ là số cách chọn có ít hơn a nam, S₂ là số cách chọn có ít hơn b_nữ.

A. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: C_{m n}^k_ 2(S₁S₂). B. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: 2C_{m n}^k_ (S₁S₂). C. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: 3C_{m n}^k_ 2(S₁S₂). D. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: C_{m n}^k_ (S₁S₂).

Số cách chọn k người trong m n người là: C_{m n}^k_ .

*Số cách chọn có ít hơn a nam là: 1 -10 1. 1

    

 

a a i k a i

S Cm Cn

i .

*Số cách chọn có ít hơn b nữ là: ₂ ¹ ¹ ¹

0

.

     





^b ⁿ^{b i} ^m^{k b i}

i

S C C .

Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: C_{m n}^k