tim-dieu-kien-cua-x-de-bat-phuong-trinh-mu-logarit-dung-voi-y-thoa-man-dieu-kien.docx

BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA x ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT ĐÚNG VỚI y THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

PHƯƠNG PHÁP Bước 1 : Biến đổi bất phương trình về dạng

          

^;

   

^;

  

f a  f b f a  f b f a  f b f a  f b

Bước 2 : Xét hàm số ^{y f x} , chứng minh hàm số luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến Bước 3 : Do tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số

+ ^{f a}

 

^{ f b}

 

^{ a b} nếu hàm số đồng biến . + ^{f a}

 

^{ f b}

 

^{ a b} nếu hàm số nghịch biến .

Câu 1. Có bao nhiêu bộ



^{x y;}



_với x y, nguyên và ^{1 x y, 2020} thỏa mãn

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           ?

A. 2017 . B. 4034 . C. ². D. 2017 2020 .

Lời giải Chọn B

+ Điều kiện

*

, : , 2020 *

, : , 2020

2 1 2

0, 0 3, 0

3 2

ìï Î £

ï ìï Î £

ïï Û ï

í + í

ï > > ï > >

ï ïî

ï - +

ïî

¥ ¥

x y x y

x y x y

x y

x y

x y .

BPT đã cho có dạng

   

2

   

3 ^{ *}

4 2

3 2 log 1 4 2 log 1 0

3 2

x y

x y x y

x y

 

 

 

            . Do ^y0, ^y nguyên dương nên:

+ Xét ^y1 thì thành

 

2

 

3

4 2

3 log 1 3 4 log 0

3 3

x x x

x

  

        , rõ ràng BPT này nghiệm

đúng với mọi x3 vì

 

2 2

   

3

4 2

3 0, log 1 log 0 1 0, 3 4 0, log 0

3 3

x x x

x

  

            . Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ



^{x y;}

  

^{ x;1} _{với 4 x 2020,x .}

+ Xét ^y2 thì thành 4



x4 log 1 0



3 

, BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4 x 2020,x .

Trường hợp này cho ta 2017 cặp



^{x y;}



_nữa.

+ Với ^y2,x3 thì ^VT

 

^{* 0} nên không xảy ra.

Vậy có đúng 4034 bộ số



^{x y;}



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



thỏa mãn điều kiện x2020 và

 

3

 

³

3 9^y2y  x log x1 2

?

A. ⁴. B. ². C. ³⁷⁷². D. 3774 .

Lời giải Chọn D

Ta có 3 9



^y2y



 x log3



x1



³ 2 3.9^y6y x 3log3



x 1



2

     

2 1

3 ^y 3 2y 1 x 1 3log3 x 1

      

. (*) Xét hàm số ^{f t}

 

^{ 3t 3t} _có f t

 

3 .ln 3 3 0, ^t   t

. Suy ra hàm số ^{f t}

 

^{ 3t 3t} đồng biến trên  .

Do đó

 

*  f



2y 1



f



log3



x1

 

2y 1 log3



x 1



3^2y1 1 x . Vì x2020 nên

2 1 log 2021 13

3 1 2020 2,9

2

y^    y  

. Với giả thiết ^y nguyên dương suy ra ^y

 

^{1; 2} _.

Với ^y1 có 26 x 2020 suy ra có 1995 cặp số



^{x y;}



thỏa mãn . Với ^y2 có 242 x 2020 suy ra có 1779 cặp số



^{x y;}



thỏa mãn . Vậy có tất cả 3774 cặp số



^{x y;}



thỏa mãn đề bài.

Câu 3. Cho các số nguyên dương x, ^y không lớn hơn 4022 . Biết mỗi giá trị của ^y luôn có ít nhất 2021 giá trị của x thỏa mãn bất phương trình



^{32x y 3 .logy}



^{x y3x2y3x}. Hỏi có bao nhiêu giá trị của ^y?

A. 2000. B. 2001. C. 2021. D. 2022.

Lời giải Chọn A

Do x, ^y nguyên dương nên ĐKXĐ là x2.

Ta có:



^{32x y 3 .logy}



^{x y3x2y3x} _



^3x3x



^{.logx y3y3y}

 

¹

+ Nếu ^y1: Không thỏa mãn.

+ Nếu ^y2:

 

¹ _ ³ln^{3 3} ln³

 

²

x x y y

x y

 

 



. Xét hàm số

 

^{3 3}

ln

t t

f t t

 

 trên



^{2; }



_.

     

 

₂

 

₂

 

₂

 

3 3 ln 3.ln 3 3 2.3 .ln 2 3 3 .ln 4 3

0 2;

ln ln ln

t t t t t t t t

t t

f t t

t t t t t t

 

    

        

.

Hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên trên



^2; 



.

Do đó

 

² _ ^{f x}

 

^{ f y}

 

_ x y ^{2   y x 1 4021}



2

4021 1 2021

y

y

 

   

 ^{2 y 2001}.

Vậy có 2000 giá trị nguyên của ^y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4. Có bao nhiêu số nguyên x để không có quá 25 giá trị nguyên của ^y thỏa mãn bất phương trình ^{log32xlog2 x y6y4 2 y21}?

A. 4215. B. ⁴²¹⁴. C. 8413. D. 8412.

Lời giải Chọn C

ĐKXĐ: x1.

+ Nếu x1: không có giá trị ^y thỏa mãn BPT đã cho nên ^y1 thỏa mãn.

+ Nếu x2:

Ta có: log³² xlog²x y⁶y⁴ 2 y² 1 ^{log32xlog2 x}



^y21



^{3 y2 1 1}

 

_.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t3 t} _trên



^{1; }



_.

 

^{3 2 1 0}



^1;



f t  t       t Hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên trên



^{1; }



_.

Do đó

 

² _ ^f



^log2x



^{ f}



^y21



_ log2x y²1   log²²x  1 y log²²x1 .

 log²²x 1 13^{log22 x170}log2x 170  x2 ¹⁷⁰  x84131 x 8413. Vậy có 8413 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để bất phương trình

     

2 2 2 2

3 2 3

log 2 x 2xy y 2 x y  1 log y 2 .log y 2y4 thỏa mãn với mọi ^y ?

A. 3. B. ¹. C. ⁴. D. ².

Lời giải Chọn D

ĐK: ^{2x22xy y 22}



^{x y}



^{  0; y}   ^y22



^x1



^{y2x22x  0; y} 

 ^{ }



^x1



^2



^2x22x



_{ }⁰ _x² _1 ¹1 x x

 

  

 .

ĐK cần: Với ^y0: Bất phương trình có dạng: ^{log 23}



^x22x



^{ 1 log 43}

 ^{log 23}



^x22x



^{log 123} _{ 2x}²_{2x12    2 x 3}

 ^{x }



^2;2;3



_.

ĐK đủ:

+ Với x 2: Bất phương trình có dạng:



²

 

²

 

²



3 2 3

log y 6y12  1 log y 2 .log y 2y4 . Do ^log3



^y26y12



^{log 33}



^y26y12



^{ 1 log3}



^y22y4



^



²

 

²



2 3

1 log y 2 .log y 2y 4 y

      

nên bất phương trình thỏa mãn với mọi ^y .

 x 2 thỏa mãn.

+ Với x2: Bất phương trình có dạng:



²

 

²

 

²



3 2 3

log y 2y4  1 log y 2 .log y 2y4 . Do ^log3



^y22y4



^{log 33}



^y26y12



^{ 1 log3}



^y22y4



^



²

 

²



2 3

1 log y 2 .log y 2y 4 y

      

nên bất phương trình thỏa mãn với mọi ^y .

 x2 thỏa mãn.

+ Với x3: Bất phương trình có dạng:



²

 

²

 

²



3 2 3

log y 4y12  1 log y 2 .log y 2y4 . Do ^y1 không thỏa mãn bất phương trình nên x3 không thỏa mãn.

Vậy có ² giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6. Cho ^{a b,} là những số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a b 2. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại

1;10 y  3 

  để

3 .3 .9 2

y

ax by x b

 a 

?

A. ⁴. B. 2_{. C.} ⁷_{. D.} ⁶_.

Lời giải Chọn A

Ta có 2a b    2 b 2 2a.

^{2 2} 

 

^{ 2  2}

3 .3 .9 3 .3 1 .9 3 .3 1 0

2

y ax a y a x y

ax by x b x y x y

a ^{ } a a ^ a a

            

Đặt ^{t x 2y f t}

 

^{3ata.3t  a 1 0,t} .

 

^{.3 ln 3at .3 ln 3t .ln 3. 3}



^{at 3t}



^{0 0}

f t a a a    t . Ta có bảng biến thiên:

Suy ra

 

^{0 2 2;20}

f t   x y 3 . Vậy có 4 số nguyên x là ^x



^{3; 4;5;6}



_.

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của y sao cho tồn tại số thực ^x



^7;



thỏa mãn:

 

log11

11 7

log log x 7

y y x

  

?

A. 10. B. 9_{. C.} 8. D. ¹¹.

Lời giải Chọn A

Ta có: log11 log ^log11x 7



7

 

^log11 7



^log11 7

x y

y y _ x  y   x

Đặt ^{ylog11x 7 t t}



^7



Phương trình trở thành: t^log11y    x 7 x t^log11y7.

Ta có hệ phương trình

11 11

11 11

log log

log log

7 7

7 7

x x

y t

t y t y

x t x y

     

 

   

  .

TH1: Xét thấy y1 thì ^x8 {thỏa mãn}.

TH2: Xét y1.

Suy ra: t x  y^log11xy^log11t  t y^log11t  x y^log11x Xét hàm đặc trưng ^{f u}

 

^{ ylog11u u} _trên



^0;



_.

 

^{log11 . ln 1}

.ln11

u y

f u y

  u 

Xét: y1. Hàm số ^{f u}

 

đồng biến và liên tục trên



^0;



_.

Do đó, ^{f x}

 

^{ f t}

 

^{ x t}_.

Vì thế, ta đưa về xét phương trình: x y^log11x  7 x x^log11y   7 x 7 x^log11y

  

^log11

  

¹¹

   

11 11 11 11 11 11

11

log 7

log 7 log log 7 log .log log *

log

y x

x x x x y y

x

        

Nhận xét: 11

 

11 ¹¹

  

11



11

log 7

log 7 log 1; 7 log 0

log

x x x x x

x

       

suy ra:

log11y  1 y 11.

Xét hàm số

 

11

 

11

log 7

log g x x

x

 

có

   

11 11

 

2 11

1 1

log log 7

7 ln11 ln11

log

x x

x x

g x x

 

  

   

11 11

 

11

 

11

 

1 1

0 log log 7 0 log 7 log 7

7 ln11 ln11

g x x x x x x x

x x

         

 vô

nghiệm nên ^{g x}

 

^{  0, x 7}_.

Từ bảng biến thiên của ^{g x}

 

ta thấy với 1 y 11 phương trình

 

^* luôn có nghiệm nên ta được y



2,3, 4...10



.

Kết luận: y



1, 2,3, 4...10



. Vậy có ¹⁰ giá trị y thỏa mãn.

Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại

1 ;2 y  2 

  thỏa mãn ^{8y2xy  }



^{1 2xy}



^.8y_?

A. ¹. B. 0_{. C.} 2. D. 3.

Lời giải Chọn A

Phương trình đã cho tương đương với

3 2 3 3

2 ^{y xy y}  1 2xy.

Suy ra

1 2 0 1 xy x 2

     y

, mà

1 1

2 2

y   x . + Nếu x0 thay vào phương trình ban đầu ta được

8^y2 8^y y 1 (vì

1 ;2 y  2 

 ) (thỏa mãn).

+ Nếu x1 thay vào phương trình ban đầu ta được ^{8y2y  }



^{1 2 8y}



^{y 8y2  1 2y} _.

Khảo sát hàm số ^{f y}

 

^{8y2 1 2y} _{ta có}

 

^{2 12 1 1}

' 8 .ln 8.2 2 8 .ln 8.2. 2 0,

2 2

f y  y y     y

Do đó hàm số đồng biến trên

1 ;2 2

 

 

 . Khi đó

 

^{1 0}

f y  f  2

  (pt vô nghiệm).

+) Nếu x2, xét phương trình tương đương là

3 2 3 3

2 ^{y  xy y}  1 2xy.

Khi đó ^{3 2 3 3 3 2 3}



¹



^{3. 1 2 1}

y  xy y y  y x   2  .

Xét hàm ^{g t}

 

^{  2t t 1}. Khảo sát hàm số ta thấy ^{g t}

 

^{  0 t 1}_.

Vì vậy 2^t    t 1 t 1. Áp dụng bất đẳng thức này với t3y²3xy3y1. ta có

3 2 3 3 2

2 ^{y xy y} 3y 3xy3y1.

Mà



^{3y23xy3y 1}

 

^{2xy 1}



^{3y2xy3y3y2y x}



^{ 3}



^{3y2   y 0 y 1}₂

. Suy ra

3 2 3 3

2 ^{y xy y} 2xy1 nên phương trình ban đầu vô nghiệm.

Vậy chỉ có x0thỏa mãn đề bài.

Câu 9. Có bao nhiêu số nguyên dương ^y sao cho ứng với mỗi giá trị của ^y, bất phương trình



log3x x 11

 

ylog3x



0

có nghiệm nguyên ^x và có không quá 10 số nguyên ^x thỏa mãn?

A. 0 . B. ¹. C. ². D. 3 .

Lời giải Chọn B

Điều kiện x0

Ta có



log3x x 11

 

ylog3x



0

 

 

3 3 3 3

log 11 0

log

log 11 0

log

x x I

x y

x x II

x y

   



 

    

 



Đặt f x

 

log3x x 11

 

^{1 1 0 0}

.ln 3

f x x

 x

     

Nên hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên



^{0; }



. Mặt khác ^f

 

^{9 0}. Khi đó ta có:

+ Hệ (I) :

3 3

log 11 0

log x x x y

  

 

 

0 9

3^y x x

  

 



Hệ

 

^I có nghiệm nguyên và đồng thời có không quá 10 số nguyên ^x thỏa mãn thì 3^y   9 y 2. Mà ^y nguyên dương nên y1.

+ Hệ (II):

3 3

log 11 0

log x x x y

  

 

 

9 3^y x x

 

 



Hệ

 

^II có nghiệm nguyên và đồng thời có không quá 10 số nguyên ^x thỏa mãn thì

9 3 ^y 20 2 y log 20 2,73  . Mà ^y nguyên dương nên không có giá trị y thỏa mãn.

Vậy có đúng một nguyên dương ^y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dươngyđể bất phương trình



^{2x x 2021}

 

^2xy



^0 có đúng 5 nghiệm nguyên dương của

x

_?

A. 35. B. 32. C. 40. D. 45.

Lời giải Chọn B

Xét hàm số ^{f x}

 

^{2x x 2021} _{với x1}

 

^{2 ln 2 1 0x}



¹



f x     x

. Hàm số đồng biến trên



^1;



_.

Do đó

  x 1

^{ f x}

 

^{ f}

 

^{1 2022 0}

Khi đó bất phương trình:



^{2x x 2021}

 

^2xy



^0

2^x y 0 2^x y x log2 y

      (doynguyên dương).

Để bất phương trình có đúng 5 nghiệm nguyên dương của x



^x



^1;2;3;4;5

 

_{thì ta cần}

 

 

5 6

5 log2 6 2 2 32 64

33;34;...;64

y y y y

y

         

 



Vậy có 32 giá trị ^y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 11. Có bao nhiêu số nguyên ^ysao cho bất phương trình

log2

2

1 1

4 2log

3 9

y x

x y

     

   

    có nghiệm

đúng với mọi x3.

A. 64 . B. 65 . C. 63 . D. 66 .

Lời giải Chọn C

ĐK: y0.

log2

2

1 1

4 2log

3 9

y x

x y

     

   

   

log2

2

1 1

2log 4

3 9

y x

y x

   

     

    .

log2 2

2

1 1

2log 2.2

3 3

y x

y x

   

     

    .

Xét hàm số:

 

^{1 2}

3

t

f t     t

 

 

^{1 ln1 2 0}

3 3

t

f t   t

      

  

 

.

 f t là hàm số nghịch biến trên  .

log2 2

2

1 1

2log 3.2

3 3

y x

y x

   

        ^{log2 y2x y 22x y 4x}. Bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi x3  y 4³  y 64.



^1;2;...;63



 y .

Vậy có 63 số nguyên ^y thỏa mãn bài toán.

Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên ^x sao cho ứng với mỗi ^x có không quá 728 số nguyên y _{thỏa mãn}



²



4 3

log x  y log (x y )

?

A. 59 . B. 58 . C. 116 . D. 115 .

Lời giải Chọn C

Bất phương trình đã cho tương đương ^{log (3 x y ) log 4}



^x2y



^0₍₁₎

Xét hàm số ^{f y( ) log ( 3 x y ) log 4}



^{x2 y}



_.

Tập xác định D  ( ;x )_.

Với mọi x ta có x² x _nên ^{f y( )(x y1)ln 3}



^x21y



^{ln 40,  x D}

( )

 f y đồng biến trên khoảng ( x; ).

Do y là số nguyên thuộc ( x; ) nên y  x k k, ^.

Giả sử y  x k là nghiệm của bất phương trình (1) thì ( )f y  f( x k) 0 . Mà         x 1 x 2 ... x k và ( )f y đồng biến trên khoảng ( x; ), suy ra

( 1) ( 2) ... ( ) 0

f   x f    x f   x k , nên các số nguyên    x 1, x 2, ...,  x k đều là nghiệm của (1), hay nói cách khác bất phương trình (1) sẽ có k số nguyên y thỏa mãn yêu cầu ứng với mỗi x.

Để có không quá 728 số nguyên y _thì f( x 729) 0 log 729 log3  4



x² x 729



0

2 1 13469 1 13469

3367 0

2 2

x x  x 

      

Mà x nên x 



57, 56, ..., 58



.

Vậy có 116 số nguyên ^x thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 13. Tích các giá trị của a để bất phương trình

 

^{ }

2 2 3 log2 3 1 log2

1 2 2

2 2

a x x

x a

 

   có nghiệm đúng với mọi x thực dương là

A.

3

2. B. ¹. C.

1

2. D. 0 .

Lời giải Chọn C

Logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho, ta được bất phương trình tương đương:

  

2



²

2 2

2

3 1 log 3 log

1 1 log

2 2

a x x

a  x 

     

 

  (1).

Đặt: tlog² x; t thì (1) trở thành:

   

²

 

²

   

2 3 3 1 2

1 1 3 1 2 3 2 1 0

2 2

a t t

a  t  t a a t t

             

 

  (2).

Đặt: ^{f t}

 

^{3 1}



^t



^2



^{2a23a 2 t}

 

^1t



_{, ta có:} ^^{f tf}

   

^{ 1  0,0 t}

 . Suy ra t 1 là điểm cực tiểu của hàm số ^{f t}

 

_{. Do đó:} ^{f  }

 

^{1 0}_.

 

^{6 1}

  

¹

 

^{2 2 3 2}



f x     t t a  a t

;

 

¹



^{2 2 3 1}



^{0 1}1

2 a

f a a

a

 

       

  .

Thử lại: với 1

1 2 a a

 

 

 thì (2) trở thành ²



^t1



^{2 0} _{đúng với  t  .}

Vậy a¹ 1 và ² 1 a 2

là các giá trị thỏa mãn ycbt. Do đó: ^{1 2} . 1 a a 2

.

Câu 14. Có bao nhiêu bộ



^{x y;}



_với x y, nguyên và 1x y, 2020 thỏa mãn

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           ?

A. 2017 . B. 4034 . C. ². D. 2017 2020 .

Lời giải Chọn B

+ Điều kiện

*

, : , 2020 *

, : , 2020

2 1 2

0, 0 3, 0

3 2

ìï Î £

ï ìï Î £

ïï Û ï

í + í

ï > > ï > >

ï ïî

ï - +

ïî

¥ ¥

x y x y

x y x y

x y

x y

x y .

BPT cho có dạng

   

2

   

3

4 2

3 2 log 1 4 2 log 1 0

3 2

x y

x y x y

x y

 

 

 

            .

+ Xét y1 thì thành

 

2

 

3

4 2

3 log 1 3 4 log 0

3 3

x x x

x

  

        , rõ ràng BPT này nghiệm

đúng với mọi x3 vì

 

2 2

   

3

4 2

3 0, log 1 log 0 1 0, 3 4 0, log 0

3 3

x x x

x

  

            . Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ



^{x y;}

  

 ^x;1 với 4 x 2020,x .

+ Xét y2 thì thành 4



x4 log 1 0



3  , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4 x 2020,x .

Trường hợp này cho ta 2017 cặp



^{x y;}



_nữa.

+ Với y2,x3 thì ^VT

 

^{* 0} nên không xảy ra.

Vậy có đúng 4034 bộ số



^{x y;}



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 15. Gọi Slà tập tất cả các giá trị nguyên của ^y để bất phương trình

 

^log32

2 2 2

3 3

log 3 ^y log

xy  xy   y

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để tập hợp S có đúng 9 phần tử?

A. 6 . B. 3 .

C. Không tồn tại giá trị x. D. 9 . Lời giải Chọn C

Điều kiện: x0;y0.

Bất phương trình tương đương với:

 

^{log32 log23}

   

^log23

 

2 2 2

3 3

log 3 ^y log 3 ^y 3 ^y 1

xy  xy    f xy  f

Xét hàm đặc trưng f t

 

 t log3t, t 0. Ta có:

 

^{1 1 0}

f t ln 3

  t 

với t 0 nên hàm số

 

f t đồng biến trên



^{0; }



. Khi đó ta được:

(1)xy² 3^log23y log3x2log3 ylog²3 ylog3xlog²3 y2log3y g y

 

Ta có:

 

3



3



2 2 2

log log 1

ln 3 ln 3 ln 3

g y y y

y y y

    

 

0 log3 1 3 .

g y   y  y (nhận).

Để S có đúng 9 nghiệm nguyên (gồm các nghiệm là:1;2;3;...;9 ) thì

32 3

log 10 2log 10 2

3 3 3

0 log xlog 10 2log 10   1 x 3 ^ 1, 247. Do x nên không tồn tại giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x sao cho x2022 và ứng với mỗi giá trị của x có đúng 6 giá trị nguyên của ^y để



^{2y22y8 3}



^{y2 x}



^0_.

A. 2021 . B. 4040 .

C. Không tồn tại giá trị x. D. 2022 . Lời giải Chọn C

+ Trường hợp 1: x0

Ta có: 3^y2  x 0 nên bất phương trình tương đương với

2 2 2

2^{y  y}  8 y 2y     3 0 1 y 3.

Do y nên ta chọn ^{y }



^{1;0;1; 2;3}



, có 5 giá trị nguyên của ^y (không thỏa đề bài).

+ Trường hợp 2: x1 (do x )

2 2 2 1

2 8 0 2 3

3

y y y

y y

y

   

        .

2 2

3^y   1 0 y   0 y 0. Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy các giá trị nguyên của ^y thỏa mãn bất phương trình là ^{y }



^{1;0;1; 2;3}



, có 5 giá trị nguyên của ^y (không thỏa đề bài).

+ Trường hợp 3: x2 (do x )

2 2 3 3

3

3 0 log log

log

y y x

x y x

y x

  



    

 

Do số giá trị nguyên của ^y thỏa mãn bất phương trình là 6 nên ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, để bất phương trình có 6 giá trị nguyên của ^y thỏa mãn bất phương trình thì

16 25

3 3

4 log x 5 16 log x253  x 3

Do x và x2022 nên không tồn tại giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn

ln 1 ln

, 0, 1

1 1

y y

y y

y y

x

y y

     

  ?

A. 5 . B. 3 . C. 1. D. Vô số.

Lời giải Chọn D

Bất phương trình đã cho tương đương với ²

2 ln 1, 0, 1

1 y y

x y

y y

     

 .

 

¹

Xét hàm số

 

^{2 ln}₂ ^{, 0, 1}

1 y y

f y  y  y y

 .

Ta có:

2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 ln 1 2[( 1) ln 1] 1

( ) ( 1) ( 1)( 1)

y y y y

f y y y y

y y

  

   

    

  

   .

Xét hàm số

2 2

( ) ln 1, 0

g y 1

y y

y  y

  

 .

Ta có:

2 2

2 2

( 1)

( ) 0, 0, 1

( 1)

g y y y y

y y

      

 . ^{g y( ) 0  y 1}. Suy ra ^{g y( )g(1) 0} khi ^y1 và ^{g y( )g(1) 0} khi ^y1. Do đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra ⁽¹⁾     ^{x 1 1 x 0}.

Vậy có vô số giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18. Cho các số ^{x y a, ,} thoả mãn ^{1 x 2048, y1, a} và

 

¹

 

2

log2 1 ^x 2^a 2^a 1

x xy x y  ^ x a  y  a

. Có bao nhiêu giá trị của a100 để luôn có 2048 cặp số nguyên



^{x y;}



_?

A. 89. B. 90. C. 11. D. 10.

Lời giải Chọn B

Ta có: x²xylog2



x y 1



^x1x



2^a   a



y 2^a a 1

 

¹



^{x 1}

 

^{x y 1}

 

^{x 1 log}



²



^{x y 1}

 

^{x 1 2}

 

^{a a}



          

 

 

log2 1

2 ^{x y } log2 x y 1 2^a a

      (do ^{x 1 2, x 1}).

 

^*

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ 2t t t}



^0



_.

Vì f t

 

2 .ln 2 1 0,^t    t 0

nên hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên



^0;)_.

 

* log2



x y      1



a x y 1 2^a  x 2^a y 1 .

Mà 1 x 2048 nên suy ra: 1 2 ^a   y 1 20482^a2047 y 2^a.

Do ^y1, mỗi giá trị của ^y có một giá trị của x và trong đoạn 2^a2047; 2^a có 2048 số nguyên nên để có 2048 cặp số nguyên



^{x y;}



_{thoả mãn}

 

¹ _{thì 2}^a_{2047 1  a 11.}

Mà ^{a100, a} nên a



11;12;...;100



.

Vậy có 90 giá trị của a thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 19. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



thỏa mãn ^{1 x 106} và



²



^{2 2 2}

log 10x 20x20 10^y y x 2x1

?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn B

Điều kiện:^{10x220x20 0} , luôn đúng  x  . Ta có ^{log 10}



^{x220x20}



^{10y2 y2x22x1}



^{x2 2x 1}



^{log 10}



^{x2 2x 2}



^{ 10y2 y2}

         ^



^{x22x 2}



^log



^x22x2



^{10y2 y2}

 ² 

 

²

log 2 2 2 2

10 ^{x x} log x 2x 2 10^y y

     

(1) Xét hàm số ^{f t}

 

^10t ^t trên  .

Ta có f t

 

10 .ln10 1 0^t  

,  t  . Do đó ^{f t}

 

đồng biến trên  . Khi đó (1)



²

  

²

log 2 2

f  x x  f y

     ^log



^x22x2



^{ y2}

2 2 2 10^y2

x x

    ^



^x1



^{2 1 10y2}_.

Vì ^{1 x 106} nên ^1



^x1



^{2 1 10y2 }



^1061



^{21 0 y2 log 10}_



^61



^21_

. Vì y^ nên ^y



^{1; 2;3}



_.

Với ^{y1x22x 2 10 x22x 8 0}

2 4 x x

  

   . Ta được



^{x y;}

  

^{ 4;1} _{thỏa mãn.}

Với ^{y2x22x 2 104 x22x9998 0} (không có x nguyên nào thỏa mãn).

Với ^{y3x22x 2 109}x²²x999999998 0 (không có x nguyên nào thỏa mãn).

Vậy có một cặp nguyên dương



^{x y;}

  

 ^4;1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 20. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



_{thỏa mãn 1}x y, 2020 và

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           ?

A. 4034. B. 2017. C. 2020. D. 4040.

Lời giải Chọn A

Từ giả thiết kết hợp điều kiện xác định, ta có: 1 y 2020 và 4 x 2020 với ,x y .

Ta có

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           

   

3

   

2

2 2 1

4 2 log 3 2 log 0

2 3

y x

x y x y

y x

    

          

 

^*

Xét

 

2 2

 

2 1 7

log log 2 0, 4;2020

3 3

f x x x

x x

    

         

 Với y1:

Thay vào

 

^* _{, ta được}

 

3

 

2

2 2 1

3 4 log 3 log 0

3 3

x x x

x

    

        luôn đúng ^{ x}



^{4; 2020}



 có 2017 bộ số nguyên



x y;



.

 Với y2:

Thay vào

 

^* , ta thấy luôn đúng ^{ x}



^{4; 2020}



_ có 2017 bộ số nguyên



^{x y;}



_.

 Với 3 y 2020: Ta có y 2 0.

Xét

 

3 3 3

2 2

log log log 0, 3

2 2 2

y y y y

g y y

y y y

       

            

 

* vô nghiệm.

Vậy có 4034 bộ số nguyên



^{x y;}



_.

Câu 21. Có bao nhiêu cặp số thực



^{x y;}



_{thỏa mãn 3}^{x2  2x 3 log 53} _5^{ y 4} _và ^{4 y   y 1}



^y3



^{2 8}_?

A. ¹. B. ². C. 3. D. ⁴.

Lời giải Chọn B

Ta có: ^{   }

2 2

2 3 log 53 4 3 2 3

3^{x   x} 5^{ y} 5^{ y} 3^{x  x}

 

^*

Vì ^{ }

2 2 3 0 3

3^{x  x} 3 5^{ y}       1 y 3 0 y 3. Lại có ^{4 y   y 1}



^y3



^{2 8}

   

^{2 2}

4y y 1 y 3 8 y 3y 0 3 y 0

              Vậy y 3.

Thế y 3 vào

 

^* _{ta được:}

2 2 3 2 1

3 1 2 3 0

3

x x x

x x

x

    

        . Vậy các cặp số thực thỏa mãn là



^{ 1; 3}



_và



^{3; 3}



_.

Câu 22. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá ²⁴² số nguyên ^y thỏa mãn



²

  

4 3

log x y log x y

?

A. 55 . B. 28 . C. 29 . D. 56 .

Lời giải Chọn D

Điều kiện

2

0 0 ,

x y x y x y

  

  

 

  .

Khi đó ^log4



^x2y



^log3



^{x y}



x² y 4^{log3x y }  x² y



x