Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 1 

NGUYỄN HOÀNG VIỆTLUYENTHITRACNGHIEM.VN

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA MODUL SỐ PHỨC



DẠNG TOÁN 1. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng :AxBy C 0 và điểm M. Điểm N sao cho NM nhỏ nhất K là hình chiếu của N lên , nghĩa là NMmin NK d



N, 



M K.

 

min 2 2

, C

z OH d N

A B

    



Khi đó M H và tọa độ H  (OH).

 

min 2 2

( ) , Ax By C

z x y i NK d N

A B

 

      

 Khi đó M K và tọa độ K  NK.

BÀI TẬP TẠI LỚP

Câu 1: Cho z x yi thỏa z 2 4i  z 2i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 3x2y bằng

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn A

Ta có: z 2 4i  z 2i

(x 2) (y 4)i x (y 2)i

      

2 2 2 2

(x 2) (y 4) x (y 2)

       4 0 :

x y

    là đường thẳng d.

Khi đó: _min

z OM  zmin OM .

M H

 

Do OH d x:   y 4 0

: 0.

OH x y m

   

(0;0) 0

O OH m OH x:  y 0.

Tọa độ H d OH thỏa 4 0 x y x y

  

  



(2)

2 3 2 2.

2

x x y

y

 

    

Cách 2. Từ d y:  4 x  z  x²y²  x²  (4 x)²  2(x2)² 8 82 2.

Suy ra: z_min 2 2    x 2 y 2 3x2y2.

Cách 3. Sử dụng Cauchy – Schwarz, có

2 2 2 2

2 2 ( ) 4

1 1 1 1 2 2 2.

x y x y

z  x y      



Dấu " " khi xy và x y 4    x y 2 3x2y2.

 Lưu ý. Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính | |z_min, thì nó là | |z_min OH d O d( ; ).

Câu 2: Cho z x yi thỏa mãn z 1 5i z 3 i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm 3x y. A. ⁵

12 B. ¹²

5 C. ¹²

5 D. ⁵

12 Lời giải

Chọn C

Ta có z 1 5i z 3 i x yi 1 5i x yi 3 i

2 2 2 2

1 5 3 1

2 10 26 6 2 10

3 4 0 4 3

x y i x y i

x y x y

Ta có

2 2

2 2 4 3 2 10 2 24 16 10 6 8 8

5 5 5

z x y y y y y y

Suy ra

min

8 6 2 3 12

5 5 5 5

z y x x y .

Câu 3: Cho z x yi thỏa mãn z 3i z 2 i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm ^x ²^y^.

A. 1. B. ¹

5. C. 2. D. ³

5. Lời giải

Chọn A

Ta có z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1i

x² y 3 ² x 2 ² y 1² x 2y 1 0 x 2y 1

Ta có

2 2

2 2 2 1 2 5 2 4 1 5 2 1 1

5 5 5

z x y y y y y y

(3)

Suy ra

min

1 2 1 2 1

5 5 5

z y x x y .

Câu 4: Cho z x yi thỏa mãn z 2 i z 3i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 4x 2y bằng

A. 1. B. ¹

2. C. ⁵

2. D. ³

2. Lời giải

Chọn A

Ta có z 2 i z 3i x 2 y 1 i x y 3 i

x 2 ² y 1² x² y 3 ² x y 1 0 x y 1

Ta có

2 2

2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1

2 2 2

z x y y y y y y

Suy ra _min 1 1 1

2 2 2

z y x .

Vậy 4x 2y 1.

Câu 5: Cho số phức z thỏa z 2 2i z 4 .i Giá trị nhỏ nhất của iz 1 bằng

A. 2 2. B. 2 . C. ²

2 . D. ^{3 2}

2 . Lời giải

Chọn C

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi.

2 2 4

z i z i (x 2) (y 2)i x (y 4)i 2 0

x y là đường thẳng .d

Cóiz 1 i z i z i AM với A(0;1).

min min

1

iz AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó:

min min 2 2

1 2 2

1 ( ; )

1 1 2

iz AM d A d

Câu 6: Cho z thỏa z 1 2i z 3i 1 . Giá trị nhỏ nhất của z 2 2i bằng

A. 1. B. ³

2. C. ⁵

2. D. 5 .

Lời giải Chọn B

(4)

1 2 3 1

z i z i (x 1) (y 2)i x 1 (y 3)i 2y 1 0 là đường thẳng d.

Có z 2 2i AM với A(2; 2).

min min

2 2

z i AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó:

min min 2 2

2. 2 1 3

2 2 ( ; )

0 2 2

z i AM d A d

Câu 7. Cho số phức z thỏa z 2i z 1 2 .i Tìm giá trị nhỏ nhất của (1 i z) 2 . A. ⁵

41. B. ⁵

34 . C. 3 . D. 5 .

2 1 2

z i z i x (y 2)i x 1 (y 2)i 2x 8y 1 0 là đường thẳng d.

Có(1 i z) 2 (1 i z) 1 i 1 i 1 i z 1 i 1 i z 1 i 2AM với ( 1;1).

A

min min

(1 i z) 2 AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó:

min min 2 2

2. 1 8.1 1 5

(1 ) 2 2 2 ( ; ) 2.

2 8 34

i z AM d A d .

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Câu 1: Cho z x yi thỏa z   i z 2 3i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 3xy bằng

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Ta có: z   i z 2 3i



¹

 

²

 

³



x y i x y i

      

  

²

 

²



²

2 1 2 3

x  y  x  y



2 3 0

x y

   

(5)

2

2 2 2 2 2 6 9 3 5

(2 3) 5 12 9 5

5 5 5

 

 z  x y  y y  y  y  y   

min

3 5 6 3

3 3.

5 5 5

z y x x y

         

Câu 2: Cho z x yi thỏa mãn z 1 i z 1 2i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm 5x 10y. A. ³

5 B. ³

10 C. 0. D. ³

5 Lời giải

Chọn C

Ta có z 1 i z 1 2i x yi 1 i x yi 1 2i

² ² ² ²

1 1 1 2

2 2 2 2 4 5

x y i x y i

x y x y

4x 2y 3 0

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d:4x 2y 3 0

Khi đó: _min

z OM zmin OM .

M H

Do OH d:4x 2y 3 0 OH:2x 4y m 0.

( ; )0 0 0

O OH m OH x: 2y 0.

Tọa độ H d OH thỏa 4 2 3

2 0

x y

x y .

3

5 5 10 0

3 10 x

x y

y

Câu 3: Cho z x yi thỏa mãn iz 3 z 2 i và z đạt giá trị nhỏ nhất. Phần thực của z bằng A. ²

5. B. ¹

5. C. ²

5. D. ¹

5. Lời giải

Chọn D

Ta có iz 3 z 2 i 3 y xi x 2 y 1i

y 3 ² x² x 2² y 1² x 2y 1 0 x 2y 1

(6)

Ta có

2 2

2 2 2 1 2 5 2 4 1 5 2 1 1

5 5 5

z x y y y y y y

Suy ra

min

1 2 1

5 5 5

z y x .

Câu 4: Xét số phức z thỏa z z 2 i 4 1i là một số thực. Giá trị nhỏ nhất của z² bằng A. ⁸

5. B. ¹⁶

5 . C. ⁹

6. D. ⁷

5. Lời giải

Chọn B

Gọi z x yi, đk x y, . Ta có z z 2 i 4 1i x yi x yi 2 i 4 1i x² y² 2x y 1 x 2y 4 i

Vì z z 2 i 4 1i là số thực nên x 2y 4 0 x 2y 4

Ta có z x y y y y y y

2 2

2 2 2 4 2 5 2 16 16 5 8 16 16

5 5 5

Suy ra z_min 16 z_min² 16

5 5 .

Câu 5: Cho z thỏa z 1 2i z 2 i. Giá trị nhỏ nhất của z 2 3i bằng A. 10 . B. 10 . C. ¹¹

10 . D. ¹²¹ 10 . Lời giải

Chọn C

1 2 2

z i z i x 1 (y 2)i x 2 (y 1)i

3 0

x y là đường thẳng d. Có z 2 3i AM với A( 2;3).

min min

2 3

z i AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó:

min min 2 2

1. 2 3.3 11

2 3 ( ; )

1 3 10

z i AM d A d .

Câu 6: Cho z thỏa z 1 i z 1 2 .i Giá trị nhỏ nhất của (3 4 )i z 5 10i bằng A. ^{7 3}

26 . B. ¹⁵

2 . C. ¹⁷

2 . D. ^{25 13}

26 . Lời giải

(7)

Chọn D

1 1 2

z i z i x 1 (y 1)i x 1 (y 2)i 4x 6y 3 0 là đường thẳng d.

Có(3 4 )i z 5 10i (3 4 )i z (3 4 ) 1i 2i (3 4 )i z 1 2i 3 4i z 1 2i 5AM với A( 1; 2).

min min

(3 4 )i z 5 10i AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết).

Khi đó:

min min 2 2

4. 1 6. 2 3 25 25 13

(3 4 ) 5 10 5 5 ( ; ) 5.

52 26

4 6

i z i AM d A d .

Câu 7: Cho các số phức z thỏa z z 1 2 .i Giá trị nhỏ nhất của (1 2 )i z 11 2i là A. ⁵

2 . B. 5

2 . C. ²

5 . D. ⁵

2. Lời giải

Chọn D

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi z x yi. 1 2

z z i x yi x 1 (2 y i) 2x 4y 5 0 là đường thẳng d.

Có(1 2 )i z 11 2i (1 2 )i z (1 2 ) 3i 4i (1 2 )i z 3 4i 1 2i z 3 4i 5AM với A( 3; 4).

min min

(1 2 )i z 11 2i AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết).

Khi đó:

min min 2 2

2. 3 4.4 5 5

(1 2 ) 11 2 5 5 ( ; ) 5.

2 4 2

i z i AM d A d .

(8)

DẠNG 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Cho tập hợp điểm ^{M x y}

 

^; biểu diễn các số phức z x yi là một đường tròn

 

^C ^{có tâm}^{I a b}

 

^;

và bán kính R. Gọi N là điểm biểu diễn số phức z. Phương pháp 1. Hình học

 ^min ^min ¹ ¹

max 2 2

max

khi khi

z OM OM OI R M M

     



    

 .

Khi đó

    

OI  C  M M1; 2



.

 ^min ^min ¹ ¹

max 2 2

max

khi khi

z z MN NN NI R M N

       

       

 .

Khi đó

    

NI  C  N N1; 2



.

 Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm tổng phần thực, phần ảo tương ứng với z_min, z_max thì từ nhận xét I là trung điểm của M M₁ ₂ suy ra: tổng phần thực 2a, tổng phần ảo 2 .b

Phương pháp 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

Giả sử tập hợp điểm là đường tròn

  

^C ^: ^x^^a

 

²^ ^{y b}^



² ^^R² và viết lại:

 

^C ^:^x²^^y²^²^ax^²^{by c}^{  }⁰ ^x²^^y²^²^ax^²^{by c}^ ^.

   

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

z x y z x y ax by c a x a b y b a b c

               

nhằm lợi dụng



^x^^a

 

²^ ^{y b}^



² ^^R² trong bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (điểm rơi):

       

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 ( ) ( ) 2 . 2 . 4 4 ( ) ( )

R R

a b  x a y b  a x a b y b a b  x a y b 

                 

Suy ra ²^a²^²^b²^{ }^c ²^R



^a²^^b²



^ ^z²^²^a²^²^b²^{ }^c ²^R



^a²^^b²



   

2 2 2 2 2 2 2 2

2a 2b c 2R a b z 2a 2b c 2R a b

           .

Phương pháp 3. Lượng giác

(9)

Giả sử tập hợp điểm là đường tròn

  

^C ^: ^x ^a

 

² ^{y b}



² ^R² ^x ^a ² ^{y b} ² ¹

R R

 

   

         ,

gợi ta đến công thức sin²tcos²t1 nên đặt

sin cos

x a t

R

y b t

R

  

 

  



sin cos x a R t y b R t

  

  

 ^.

Do đó ^z  ^x²^y²  ^z² ^x²^y² 



^a^R^sin^t

 

² ^b ^R^cos^t



².

 

2 2 2 2 2 2

sin cos 2 .sin 2 .cos

z a b R t t aR t bR t

       .

 

2 2 2 2 2 2

2 .sin

z a b R R a b t 

       và luôn có ^{ }^{1 sin}



^t^^



^¹

nên suy ra:  a²b²2R a²b²  z  a²b²2R a²b² .

Phương pháp 4. Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối z₁ z₂ z₁ z₂ z₁ z₂ . Ví dụ minh họa: Xét các số phức z x yi thỏa mãn z 2 3i 1.

a) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z . Ứng với

z min là số phức z a bi và ứng với z max là số phức z c di. Tìm tổng a b c d.

Ta có z 2 3i 1 (x 2) (y 3)i 1 (x 2)² (y 3)² 1 ( )

Do đó tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn ( )C có tâm I(2;3) và bán kính R 1.

Cách 1. Hình học

₁

min 13 1 13 1.

z OM OI R

₂

max 13 1.

z OM OI R

Vì I(2;3) là trung điểm M M₁ ₂ nên:

1 2

2 4

2 6.

M M I

x x x a c

y y y b d Suy ra a b c d 10.

(10)

Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm số phức tương ứng với

zmin và

max,

z tức là tìm hai điểm biểu diễn

1, 2,

M M nó cũng chính là tọa độ giao điểm của đường thẳng d OI và đường tròn ( ).C Cách 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

Ta có: (x 2)² (y 3)² 1 x² y² 4x 6y 12.

Ta lại có: z² x² y² 4x 6y 12 4.(x 2) 6.(y 3) 14

Mà (4² 6 ) (² x 2)² (y 3)² 4(x 2) 6(y 3) (4² 6 ) (² x 2)² (y 3)²

14 2 13 z2 14 2 13 13 1 z 13 1.

Cách 3. Lượng giác

Đặt 2 sin ² ² ²

(2 sin ) (3 cos ) 14 4 sin 6 cos 3 cos

x t

z t t t t

y t

2 14 42 6 .sin(2 ) 14 2 13 sin( )

z t t và do 1 sin(t ) 1 nên:

14 2 13 z2 14 2 13 13 1 z 13 1.

Cách 4. Sử dụng bất đẳng thức z₁ z₂ z₁ z₂ z₁ z₂

Ta có z 2 3i z 2 3i z 2 3i

13 1 13 1 13 1 13

z z z .

 Nhận xét. Tùy vào cấu trúc bài toán, yêu cầu câu hỏi và sự thành thạo về kiến thức mà học sinh chọn phương pháp giải cho phù hợp.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 i. Ta có: P z 1 i (x 1) (y 1).i

2 2

(x 1) (y 1) MA với A( 1;1).

Từ hình vẽ, suy ra: ^min ¹

max 2

13 1 13 1.

P AM AI R

Kết luận: P_min 13 1 và P_max 13 1.

(11)

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 i.

Ta có: P z 1 i (x 1) (y 1).i

(x 1)² (y 1)² MA với A( 1;1).

Từ hình vẽ, suy ra: ^min ¹

max 2

13 1 13 1.

P AM AI R

Kết luận: P_min 13 1 và P_max 13 1.

BÀI TẬP TẠI LỚP

Câu 1: Cho các số phức z thỏa z 3 4i 4. Giá trị lớn nhất của z bằng

A. 9 . B. 5 . C. 12 . D. 3 .

3 4 4 ( 3) ( 4) 4

z i x y i

Suy ra tập hợp điểm M x y( ; ) là đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R 4 zmax OI R 9

Câu 2: Xét các số phức z thỏa z 2 4i 5. Giá trị nhỏ nhất của z bằng

A. 1. B. 2. C. 5. D. 6.

Lời giải Chọn C

2 4 5 ( 2) ( 4) 5

z i x y i

Suy ra tập hợp điểm M x y( ; ) là đường tròn tâm I(2;4) bán kính R 5

min 5

z OI R

Câu 3: Xét các số phức z thỏa z 3 4i 2. Gọi z z₁, ₂ là hai số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất.

Tổng phần thực của z z₁, ₂ bằng

A. 8. B. 6. C. 8. D. 6.

(12)

2 2

3 4 2 ( 3) ( 4) 2 ( 3) ( 4) 4

z i x y i x y

Suy ra tập hợp điểm M x y( ; ) là đường tròn ( )C tâm I( 3; 4) bán kính R 2

(0;0) 3

: :

(3;4) 4

quaO x t

OI OI

y t

u

Tọa độ giao điểm của ( )C và OI là nghiệm của hệ phương trình

2 2

9 125 3

4 5

( 3) ( 4) 4 21

285 5 x

x t y

y t

x y x

y

Vậy tổng phần thực của z z₁, ₂ bằng ⁹ ²¹ 6

5 5

Câu 4: Xét các số phức z thỏa mãn iz 1 1. Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P z. Giá trị của biểu thức 2020 M m bằng

A. 2014. B. 2016. C. 2018. D. 2022.

2 2

1 1 (1 ) 1 ( 1) 1

iz y xi x y

Suy ra tập hợp điểm M x y( ; ) là đường tròn tâm I(0;1) bán kính R 1 Tọa độ giao điểm của ( )C và OI là (0;0),(0;2)

min 0, max 2

m z M z

Vậy 2020 M m 2018

Câu 5: Xét các số phức z thỏa mãn z 2 3i 1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

z  i lần lượt là

A. 142, 142. B. 13 1, 13 1 . C. 134, 134. D. 14 1, 14 1 .

Đặt z x yi với x y,  .

Khi đó ^z^{ }^{2 3}ⁱ ^{ }¹



^x^²

 

²^ ^y^³



² ^¹^.

(13)

Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có ^M^

 

^I^;1 ^với^I

 

^2;3 ^.

Có ^z^{  }¹ ⁱ



^x^¹

 

²^{  }^y ¹



² ^



^x^¹

 

²^ ^y^¹



² ^.

Gọi ^A



^^1;1



^{suy ra} ^z^{  }¹ ⁱ



^x^¹

 

²^ ^y^¹



² ^^AM^.

Dễ thấy AI  13 1 nên A nằm ngoài

 

^I^;1 ^.

Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn

 

^I^;1 ^tại^{B C}^, như hình vẽ.

Có ABAMAC nên ^max

min

13 1 13 1

AM AC AI IC

AM AB AI IB

     



    

 .

Câu 6: Xét các số phức z thỏa mãn z 2. Số phức w z 3i có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là m và M. Tổng m M bằng

A. 5 . B. 7 . C. 8. D. 6 .

Lời giải Chọn D

Đặt z x yi với x y,  . Khi đó z  2 x²y² 4.



^O^{; 2}



^.

Xét ^w ^{ }^z ³ⁱ ^ ^x²^



^y^³



²

Gọi ^A



^{0; 3}^



^{suy ra} ^w ^{ }^z ³ⁱ ^ ^x²^



^y^³



² ^^AM^.

Dễ thấy AO 3 2 nên A nằm ngoài



^O^{; 2}



^.

B I C

A

M

B O C

A

M

(14)

Kẻ đường thẳng AO cắt đường tròn



^O^{; 2}



^tại^{B C}^, như hình vẽ.

Có ABAMAC nên ^max

min

3 2 5 5

1 6 3 2 1

AM AC AO OC M

M m

AM AB AO OB m

      

 

   

        

 .

Câu 7: Xét các số phức z w, thỏamãn z 5 và w (4 3 )i z 1 2 .i Giá trị nhỏ nhất của w bằng

A. 3 5. B. 4 5. C. 5 5. D. 6 5.

Ta có: 1 2 1 2

(4 3 ) 1 2

4 3 4 3

w i w i

w i z i z z

i i

1 2

5 1 2 5 5

4 3

w i

i

Lại có: w 1 2i w 1 2i 5 5 w 5 w 4 5

Vậy wmin 4 5.

Câu 8: Cho số phức z thỏa z² 4 z² 2 .iz Tìm giá trị nhỏ nhất của z i.

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Giả sử ^z^{ }^x ^{yi x y}^;



^, ^



^.

Ta có:

2 2 2

4 2 2 . 2 . 2 .

2

z i

z z iz z i z i z z i

z i z

Với z 2i thì z i i 1.

Với z 2i z x² y 2 ² x² y² y 1.

thì z i x² y 1² x² 4 2.

So sánh hai trường hợp ta được

min 1

z i đạt được khi z 2i. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Câu 1: Cho các số phức thỏa mãn z 2 2i 1. Giá trị lớn nhất của z bằng

A. 4 2 2. B. 2 2. C. 2 2 1. D. 3 2 1.

2 2 1. ( 2) ( 2) 1

z i x y i

(15)

Suy ra tập hợp điểm M x y( ; ) là đường tròn tâm I(2; 2) bán kính R 1

max 2 2 1.

z OI R

Câu 2: Xét các số phức z thỏa iz 4 3i 1. Giá trị nhỏ nhất của z bằng

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

2 2

4 3 1 ( 4) ( 3) 1

( 4) ( 3) 1

iz i y x i

y x

min 4

z OI R

Câu 3: Xét các số phức z thỏa z 2 4i 2. Gọi z z₁, ₂ là hai số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất.

Tổng phần ảo của z z₁, ₂ bằng

A. 8. B. 4. C. 8. D. 4.

2 2

2 4 2 ( 2) ( 4) 2 ( 2) ( 4) 4

z i x y i x y

Suy ra tập hợp điểm M x y( ; ) là đường tròn ( )C tâm I(2;4) bán kính R 2

(0;0) 2

: :

(2;4) 4

quaO x t

OI OI

y t

u

2 2

10 2 5 5 20 4 5 2

4 5

10 2 5

( 2) ( 4) 4

5 20 4 5

5 x

x t y

y t

x y x

y

Vậy tổng phần ảo của z z₁, ₂ bằng 20 4 5 20 4 5

5 5 8

Câu 4: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i z) 1 7i 2. Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P z. Giá trị của M m bằng

(16)

A. 4. B. 10. C. 2. D. 24.

2 2

(1 i z) 1 7i 2 x y 6x 8y 24 0

(0;0) 3

: :

(3;4) 4

quaO x t

OI OI

y t

u

2 2

18 245 3

4 5

6 8 24 0 12

165 5 x

x t y

y t

x y x y x

y

min 4, max 6

m z M z

2

M m

Câu 5: Cho các số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 và cho số phức w2z 1 i. Khi đó w có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. 16 74. B. 2 130. C. 4 74. D.4 130. Lời giải

Chọn D

Khi đó ^z^{ }^{3 4}ⁱ ^{ }²



^x^³

 

²^ ^y^⁴



² ^⁴^.

 

^I^{; 2} ^với^I



^{3; 4}^



^.

    

²



² ¹ ² ¹ ²

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4

2 2

w z  i x  y i w  x  y  x  y  

   

 

 .

Gọi ^{1 1}; A2 2

  suy ra

2 2

1 1

w 4 2

2 2

x y AM

    

         .

Dễ thấy

2 2

1 1 130

3 4 2

2 2 2

AI           nên A nằm ngoài

 

^I^{; 2} ^.

(17)

B I C

A

M

 

^I^{; 2} ^tại^{B C}^, như hình vẽ.

Có AM AC nên AM_max  AC.

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi M C khi đó ¹³⁰ 2 ¹³⁰ ⁴

2 2

ACAIIC    . Vậy wmax 2AC 1304.

Câu 6: Xét các số phức z thỏa mãn z 1 3i 2. Số phức z mà có z1nhỏ nhất có dạng z₀  a bi. Giá trị của tổng 2a3b bằng

A. 2 . B. 5 . C. 7. D. 9 .

Khi đó ^z^{ }^{1 3}ⁱ ^{ }²



^x^¹

 

²^ ^y^³



² ^⁴^.

 

^I^{; 2} ^với^I

 

^1;3 ^.

Có ^z^{ }¹



^x^¹



²^^y² ^.

Gọi ^A

 

^1;0 ^{suy ra} ^z^{ }¹



^x^¹



²^^y² ^ ^AM^.

Dễ thấy AI  3 2 nên A nằm ngoài

 

^I^{; 2} ^.

B I C

A

M

 

^I^{; 2} ^tại^{B C}^, như hình vẽ.

Có AM ABAM_min  ABAIIB1.

(18)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi ¹

3 AB ABAI AB AI

 AI   , với ^AI

 

^0;3 ^{suy ra}

 

^0;1

 

^1;1

AB B .

Khi đó z 1 i hay 1

2 3 5

1

a a b

b

 

  

  .

Câu 7: Xét các số phức z w, thỏamãn w iz và (1 i z) 2 2i 2. Giá trị lớn nhất của z w bằng

A. 3. B. 2 3. C. 3 2. D. 3 3.

Từ giả thiết:

(1 i z) 2 2i 2 2 (1 i z) 2 2i 2 2 z 2 2 z 3.

Lại có: z w z iz z . 1 i 2.z 3 2.

Vậy:

max 3 2.

z w

Câu 8: Cho z² 2z 5 (z 1 2 )(i z 3i 1) . Giá trị nhỏ nhất của z 2 2i bằng A. ¹.

2 B. 1. C. 3

2. D. 2.

Giả sử ^z^{ }^x ^{yi x y}^;



^, ^



^.

Ta có:

2 2 5 ( 1 2 )( 3 1) 1 2 . 1 2 1 2 . 1 3

1 2 .

1 2 1 3

z z z i z i z i z i z i z i

z i

z i z i

Với z 1 2i thì z 2 2i 1 1.

Với 1 2 1 3 1² 2 ² 1 ² 3 ² ¹.

z i z i x y x y y 2

thì ² ² ² 9 3

2 2 2 2 2 .

4 2

z i x y x

So sánh hai trường hợp ta được

2 2 min 1

z i đạt được khi z 1 2i.

DẠNG TOÁN 3. ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Câu 1: Xét các số phức z₁, z2 thỏa mãn z1 4 1 và iz₂ 2 1. Giá trị nhỏ nhất của z₁2z₂ bằng A.2 52 B. 4 2 C. 4 23 D. 4 23

(19)

Đặt z₃  2 ,z₂ suy ra P z₁2z₂  z₁ ( 2 )z₂  z₁z₃ .

Và ₂ ¹ ₃

z  2z thế vào ₂ 2 1 ¹ ₃ 2 1

iz    2iz    z₃4i 2.

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z₃, .z₁

34  2

z i Athuộc đường tròn tâm I(0; 4), R₃ 2.

1  4 1

z B thuộc đường tròn tâm J(4;0), R₁1.

min 1 3

1 3

max 1 3

4 2 3 . 4 2 3

P IJ R R

P z z AB

P IJ R R

     

     

    



Câu 2: Xét các số phức z₁, z₂ thỏa mãn z₁  3i 5 2 và iz₂ 1 2i 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2

2 3

P iz  z bằng

A. 313 16 . B. 313 . C. 313 8 . D. 3132 5. Lời giải

Chọn A

Đặt z₃ 2iz₁ và z₄  3z₂ suy ra P 2iz₁3z₂  z₃ ( 3 )z₂  z₃z₄ . Và ₁ ¹ ₃

z 2 z

 i thế vào ₁ 3 5 2 ¹ ₃ 3 5 2

z i 2 z i

    i     z3  



6 10i



4.

Và ₂ ¹ ₄

 3

z z thế vào ₂ 1 2 4 ¹ ₄ 1 2 4

iz   i   3 iz   i   z4 



6 3i



12.

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z₃, .z₄

 

3 6 10 4

z    i  A thuộc đường tròn tâm I( 6; 10),   R₃ 4.

 

4 6 3 12

z   i  B thuộc đường tròn tâm J(6;3), R₄ 12.

min 3 4

4 3

max 3 4

313 16 . 313 16

     

     

    



P IJ R R

P z z AB

P IJ R R

Câu 3: Xét các số phức z w, thỏa z3 2  2 và w4 2i 2 2. Biết z w đạt giá trị nhỏ nhất khi zz₀ và ww₀. Giá trị của 3z₀w₀ bằng

A. 2 2. B. 6 2. C. 4 2. D. 1.

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z, w.

3 2 2

 z  A thuộc đường tròn tâm ^I¹



^{3 2;0}



, bán kính R₁  2.

(20)

4 2 2 2

 w i  B thuộc đường tròn tâm ^I²



^{0; 4 2}



, bán kính R₂ 2 2. Ta có hình vẽ:

Ta có:I I_{1 2}  9 2 16 2   5 2.

min 1 2 1 2

max 1 2 1 2

w 2 2.

8 2

    

     

   



P I I R R

P z AB

P I I R R

 

1 2 3 2; 4 2

I I   , phương trình đường thẳng I I_{1 2}: 4x3y12 20.

•

 

² ² ²

12 2 4

4 3 12 2 0

3

3 2 2 25 50 2

48 0

9 3

y x x y

x y

x x

  

    

 

 

  

 

   



18 2 4 2

5 5

12 2 4 2

5 5

    





  



x y

.

Điểm A là điểm nằm bên trong I I_{1 2} nên có toạ độ là: 12 2 4 2 5 ; 5

 

 

 .

• ²

 

²

28 2 6 2

4 3 12 2 0

5 5

4 2 8 12 2 6 2

5 5

    

    

 

    

    



y x

x y

y x

.

Điểm B là điểm nằm bên trong I I_{1 2} nên có toạ độ là: 6 2 12 2 5 ; 5

 

 

 .

Theo đó A B, lần lượt biểu diễn cho z w₀, ₀. Suy ra ₀ 12 2 4 2

5 5

 

z i, ₀ 12 2 4 2

w  5  5 i. Vậy: 3z₀w₀ 6 2.

Câu 4: Xét các số phức z₁, z₂ thỏa z₁ 12 và z₂ 3 4i 5. Giá trị nhỏ nhất của z₁z₂ bằng

A. 0. B. 2. C. 7. D. 17.

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z₁, .z₂

1 12

z  A thuộc đường tròn tâm I(0;0), R₁ 12.

(21)

 

2 3 4 5

z   i  B thuộc đường tròn tâm J(3; 4), R₂ 5.

Ta có hình vẽ:

min 1 2

1 2

max 1 2

2 12 10 2

.

2 5 12 5 22

P R R

P z z AB

P R R

     

   �