Ngân hàng câu hỏi số phức: Phương trình với hệ số thực – Lê Bá Bảo

SỐ PHỨC

LÊ BÁ BẢO

TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

PHƯƠNG TRÌNH VỚI HỆ SỐ THỰC

 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

 CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT

Ngân hàng câu hỏi:

PHƯƠNG TRÌNH VỚI HỆ SỐ THỰC

NỘI DUNG ĐỀ BÀI

Câu 1: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình



^{z 1 a}



^{z 1 a}



^6z (a là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của a để phương trình đó có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn z1² z2 ² 42?

A. 1. B. 2. C. 3_{. D.} 4.

Câu 2: Trên tập hợp số phức xét phương trình z²2mzm²2m 1 0. Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm z z1; 2 thoả mãn z1 2 z2 _?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5_.

Câu 3: Biết phương trình z²2z m 0 (m là tham số thực) có một nghiệm là z1  1 3i. Gọi z2 _là

nghiệm còn lại. Phần ảo của số phức wmz12z2 _bằng

A. 36. B. 24. C. 36. D. 8.

Câu 4: Cho phương trình z²2mz6m 8 0. (^mlà tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^m để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z z1, 2 _{thỏa mãn} z z_{1 1}z z_{2 2} ?

A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm phức z0 thỏa mãn

0 2 6

z   _?

A. 3. _B. 4. _C. 1. _D. 2.

Câu 6: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ^{z22mz3m100} (^mlà tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể phương trình đó có hai nghiệm z z₁, ₂ không phải số thực thỏa mãn z1  z2 8_?

A. 1. B. 2. C. 3_{. D.} 4.

Câu 7: Trên tập số phức, xét phương trình ^z22



^m4



^{zm24m 1 0}, m là tham số thự C.

Có bao nhiêu giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt z z1, 2 thỏa điều kiện z1 z2 2z z1 2  z1 _.

A. 3. B. 2. C. 0. D. 3.

Câu 8: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ^{z22 2}



^m1



^{z4m25m0} (mlà tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm z0 thoả mãn

 

2 2

0 1 4 0 4 5 3 10

z   m z  m  m  _?

A. 1. B. 2. C. 4. D. ³.

Câu 9: Trên tập số phức, xét phương trình ^{z2 2mz  m 1 0 1}

 

(m là tham số thực); z z₁, ₂ là hai nghiệm phức của phương trình

 

¹ ; A B, lần lượt là điểm biểu diễn của hai nghiệm phức đó trên mặt phẳng Oxy. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để OAB vuông tại O_?

A. 2_{. B.} 1_{. C.} 3_{. D.} 4_.

Câu 10: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ^{2 1 1}



^{2 5 6}



⁰⁽

z  m z4 m  m  m là tham số thực).

Có bao nhiêu số nguyên m [ 10;10] đề phương trình trên có hai nghiệm phức

z z

1

,

2 _thỏa

A. 11. B. 10. C. 8. D. 9.

Câu 11: Trên tập số phức, cho phương trình z²az b 0 ( ,a b ). Có bao nhiêu số phức w sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm là z1   (6 i w) 2i _và z₂ (w  5 i) |w|_?

A. 4. B. 3. C. 6. D. 5.

Câu 12: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z²2mz8m120. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1  z2 ?

A. ⁵ B. ⁶. C. ³. D. 4.

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình z²2mz 1 0 có hai nghiệm phức phân biệt

1, 2

z z thỏa mãn z1 3 z23 ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình ^{z2 }



^{a 3}



^{za2 a 0} có hai nghiệm phức

1, 2

z z _{thỏa mãn} z₁z₂  z₁z_{2 ?}

A. 1. B. 2. C. 3_{. D.} 4.

Câu 15: Cho số phức w và hai số thực b_, c. Biết rằng w2 _và 3w4i là hai nghiệm của phương trình 2022z²  bz c 0. Tính giá trị biểu thức P b c _bằng

A. P 4044_{. B.} P8088_{. C.} P4044_{. D.} P 8088_.

Câu 16: Trên tập các số phức, xét phương trình z²mz  m 8 0 (^m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^m để phương trình có hai nghiệm z z1, 2 phân biệt thỏa mãn



²

 

²



1 1 2 8 2

z z mz  m  m z ?

A. 12. B. 6. C. 5. D. 11.

Câu 17: Biết phương trình ^z2^az ^{b 0}



^{a b,} 



có một nghiệm là z1 3i và nghiệm còn lại là z2. Mô đun của số phức



ab z



2 bằng

A. 10. B. 9. C. 18. D. 27.

Câu 18: Cho số phức w và hai số thực a b, . Biết z1 w 2i và z2 2w3 là hai nghiệm phức của phương trình z²az b 0. Tính giá trị của T  z1  z2 .

A. T 2 13. B. T 4 13. C. 2 97

T  3 . D. 2 85 T  3 .

Câu 19: Cho các số thực b c, sao cho phương trình z²bz c 0 có hai nghiệm phức z z1; 2 với phần thực là số nguyên vàthỏa mãn z1 3 2i 1 _và



z12i



z22



là số thuần ảo. Khi đó, b c bằng

A. 1. B. 12. C. 4. D. 12.

Câu 20: Gọi z z z z₁, ₂, ₃, ₄ là 4 nghiệm phức của phương trình ^{z4 }



^{4 m z}



^24m0. Tìm tất cả các giá trị m để z1  z2  z3  z4 6_.

A. ^{m 1}. B. ^{m 2}. C. ^{m 3} D. ^{m 1}.

Câu 21: Trên tập hợp các số phức, phương trình z²az b 0, với a b,  có nghiệm z0  2 3i. Biết rằng phương trình z²bz a 0 cũng có hai nghiệm phức z z1, 2. Tính S  z1  z2 _.

A. 4. B. 13. C. 25. D. 185.

Câu 22: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z²4az b ² 2 0, (a b, là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực



^{a b;}



sao cho phương trình đó có hai nghiệm

z z

1

,

2 thỏa mãn

1 2 2 3 3 ? z  iz   i

A. 4. _B. 1. _C. 2. _D. 3.

Câu 23: Trên tập số phức, cho phương trình ^z22



^m1



^{z m 22m0}. Có bao nhiêu tham số

m

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z₁;z₂thõa mãn z₁²  z₂ ² 5

A. 1. B. 0_{. C.} 2. D. 4.

Câu 24: Trên tập hợp số phức, xét phương trình z²2zm² 0 (^m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của ^m để phương trình đó có nghiệm z0 thỏa mãn điểm biểu diễn của z0 thuộc đường E-lip có phương trình

2

2 1?

4   x y

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Câu 25: Biết phương trình z²mzm² 2 0 (^mlà tham số thực) có hai nghiệm phức z z1, 2_{. Gọi}

, ,

A B C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z1, 2 _và z₀ i. Có bao nhiêu giá trị của tham số ^m để diện tích tam giác ABC bằng 1?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 6

Câu 26: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ^z22



^m1



^{z8m 4 0} (mlà tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z z1, 2 thỏa mãn z₁²2mz₁8m  z₂²2mz₂8m ?

A. 4. B. ³. C. ⁵. D. ⁶.

Câu 27: Tìm tổng các giá trị của số thực ^a sao cho phương trình z²3za²2a0 có nghiệm phức z0 _thỏa z₀ 2.

A. 0. B. 2. C. 4. D. 6.

Câu 28: Trên tập hợp các số phức, gọi S là tổng các giá trị thực của ^m để phương trình

 

2 2 1 6 0

mz  m z  m có nghiệm z0 _{thỏa mãn} z₀ 1. Tính S.

A. 3_{. B.} 4. C. 1. D. 2.

Câu 29: Cho phương trìnhz²az2a² 0, với ^a là số thực dương. Gọi z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình, trong đó z1có phần ảo dương. Biết rằng



2z1z2



z1 10 2 7i. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 1 a 3. B. a1. C. 5 a 8. D. 3 a 5.

Câu 30: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ^{z22 2}



^m1



^{z4m25m0} (mlà tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm z0 thoả mãn

0 3 10

z   ?

A. 1. B. 2. C. 4. D. ³.

Câu 31: Cho số phức z w, khác 0 thỏa mãn z w 0 và 2 3 4 zw  z w

 . Khi đó, z

w bằng

A. 2. B. 6

. C. 3. D. 2

.

Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của ^a sao cho phương trình z² az2aa² 0 có hai nghiệm phức có môđun bằng 1.

A. a 1. B. a1. C. a 1. D. 1 5

a 2 .

Câu 33: Trên tập số phức, xét phương trình z²2mzn² 5 0 (với m, n là tham số thực). Có bao nhiêu cặp số ( ; )m n để phương trình đã cho có hai nghiệm phức z z1, 2 sao cho các điểm biểu diễn của z z z1, 2, 3 1,z4 5 là bốn đỉnh của một hình vuông?

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Câu 34: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z²2mz m 120 (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt

z

1_,

z

_{2 thỏa mãn}

1 2 2 1 2

z  z  z z ?

A.

1

_{. B.}

2

_{. C.} 3_{. D.}

4

_.

Câu 35: Cho phương trình 4z⁴mz² 4 0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z₁, , , z₂ z₃ z₄ là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m _để



^z124



^z224



^z324



^z424



^324.

A. 2

15 m m

 

  

 ^{. B.}

2 15 m m

  

  ^{. C.}

1 35 m m

 

  

 ^{. D.}

1 35 m m

  

  ^.

Câu 36: Cho các số thực

b c ,

sao cho phương trình

z

²

 bz   c 0

có hai nghiệm phức z z₁, _{2 thỏa} mãn z₁ 4 3i 1 và z₂ 8 6i 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^{5b  c 12.} B. ^{5b c 4.} C. ^{5b  c 4.} D. ^{5b c 12.}

Câu 37: Cho phương trình z²bz c 0, có hai nghiệm z z1, 2 thỏa mãn z2  z1 4 2i. Gọi A B, là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình z²2bz4c0. Tính độ dài đoạn AB.

A. 8 5. B. 2 5. C. 4 5. D. 5.

Câu 38: Trên tập hợp các số phức, phương trình ^z2



^a2



^{z2a 3 0} (a là tham số thực) có 2 nghiệm z1, z2. Gọi M , N là điểm biểu diễn của z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có 2 giá trị của tham số a để tam giác OMN có một góc bằng 120. Tổng các giá trị đó bằng bao nhiêu?

A. 6_{. B.} 4. C. 4. D. 6_.

Câu 39: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z²2z  m 2 0 ₍m là tham số thực). Gọi T là tập hợp các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt được biểu diễn hình học bởi hai điểm A B, trên mặt phẳng tọa độ sao cho diện tích tam giác ^ABC bằng 2 2_{, với}



^1;1



C  . Tổng các phần tử trong T bằng

A. 8_{. B.} 4. C. 9_{. D.} 1.

Câu 40: Biết rằng phương trìnhz² 2az b 0 ( ,a b là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên hợp z z1, 2. Gọi A B C, , lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức w2, ,z z1 2. Tính giá trị của

4

T  b a biết rằng ba điểm A B C, , tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 9.

A. 6. B. 8. C. 9_{. D.} 14.

Câu 41: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ^{z22az b 2200 1}

 

với a b, là các tham số nguyên dương. Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt z z₁, ₂ thỏa mãn: z₁3iz₂  7 5i

thì giá trị của biểu thức 7a5b bằng

A. 19. B. 17. C. 32. D. 40.

Câu 42: Cho phương trình ² 4 c 0

x x

  d có hai nghiệm phức. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác ^OAB đều, tính ^{P c 2d}.

A. ^P18. B. ^{P 10}. C. P 14. D. P22.

Câu 43: Cho phương trình 4z⁴mz² 4 0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z z z z₁, ₂, ₃, ₄ là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để



z1²4



z2²4



z3²4



z4²4



324.

A. m1; m 35_{. B.} m 1;m 35_{. C.} m 1;m35_{. D.} m1;m35_. Câu 44: Tìm m để các nghiệm của phương trình sau đều là số ảo:



^m3



^{z46z2  m 3 0}.

A. 3m3 2. B. 3m3 2. C. 3 2 3 .

3 3 2

   

  



m

m D. 3 2 m 3. Câu 45: Gọi S là tổng các số thực m thỏa mãn z³7z²16z12mz3m0 có nghiệm phức z0

thỏa mãn |z₀| 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. S 24. B. S 25. C. S 18. D. S 16.

Câu 46: Trên tập hợp số phức cho phương trình z²bz c 0, với b c,  . Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng z1 w 3 và z2 3w 8i 13 với w là một số phức. Tính b c _.

A. 9_{. B.} 10. C. 11. D. 12.

Câu 47: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: ^z22



^m1



^{zm23m 5 0 (m}là tham số thực). Tính tổng các giá trị của mđể phương trình trên có nghiệm z0 thỏa mãn

3

0 125 0 .

z z

A. 9. B. 12. C. 10. D. 8.

Câu 48: Cho phương trình z²bz c 0 có hai nghiệm z z₁, ₂ thỏa mãn z₂  z₁ 3 4i. Gọi A B, là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình z²2bz4c0. Tính độ dài đoạn AB.

A. 20. B. 2 5. C. 10. D. 5.

Câu 49: Cho m là số thực, biết phương trình z²2mz 9 0 có hai nghiệm phức z z1, 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho z z_{1 2} z z_{2 1} 16_?

A. 3_{. B.} 4. C. 5_{. D.} 6_.

Câu 50: Gọi Slà tập hợp tất cả các số thực a sao cho phương trình z² (a 2)z2a 3 0có hai nghiệm phức z z1, 2 và các điểm biểu diễn của z z1, 2 cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Số phần tử của S_là?

A. 1. B. 4. C. 2. D. 3_.

____________________HẾT____________________

Huế, 15h15’ Ngày 19 tháng 3 năm 2023

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình



^{z 1 a}



^{z 1 a}



^6z (a là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của a để phương trình đó có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn z1² z2 ² 42?

A. 1. B. 2. C. 3_{. D.} 4.

Lời giải:

Ta có:



^{z 1 a}



^{z 1 a}



^{6zz22}



^a3



^{za2 1 0}

 

¹ có   6a10_.

+ Trường hợp 1: 5

0 a 3

     . Khi đó phương trình

 

¹ có hai nghiệm thực z1, z2.

Suy ra 1² 2 ²

 

²



²



²

6 38

42 2 3 2 1 42 2 24 4 0

6 38

z z a a a a a

a

   

                . Kết hợp với điều kiện 5

a 3, nhận a  6 38.

+ Trường hợp 2: 5

0 a 3

     . Khi đó phương trình

 

¹ có hai nghiệm phức z1, z2 thỏa mãn z1 z2 _.

Suy ra 1² 2 ² 1 1 2 2 1 2 ²

42 42 21 22 0 22

22

z z z z z z z z a a

a

            

   . Kết hợp với điều kiện 5

a 3, nhận a  22_. Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn.

Câu 2: Trên tập hợp số phức xét phương trình z²2mzm²2m 1 0. Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm z z₁; ₂ thoả mãn z₁ 2 z₂ ?

A. 2. B. ³. C. 4. D. 5_.

Lời giải:

TH1. ^{0 2}



^{2 2 1}



^{0 2 1 0 1}

m m m m m 2

            . Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm thực.Theo định lý Vi-et ta có

 

 

1 2

2 1 2

2 1

. 2 1 2

z z m

z z m m

 



  

 . Xét

 

 

1 2

1 2

1 2

2 3

2

2 4

z z

z z

z



  

   .

Từ

 

¹ và

 

³ ta có hệ phương trình

 

 

2

1 2

1 2

1

2 6

2 3

2 0 4

3 7 z m

z z m

z z m

z

 

 

 

   

  



.

Thế

 

⁶ và

 

⁷ vào phương trình

 

² ta được

 

 

2 2 9 6 2

2 4

. 2 1 18 9 0

3 3 9 6 2

m TM

m m

m m m m

m TM

  

       

  



.

Từ

 

¹ và

 

⁴ ta có hệ phương trình

 

 

1 2 2

1 2 1

2 10 2

2 0 4 9

z m

z z m

z z z m

 

  

 

    

  . Thế

 

⁹ và

 

¹⁰ vào phương trình

 

² ta được



^2m

 

^{4m m22m 1 9m22m 1 0}

 

^VN .

TH2. ^{0 2}



^{2 2 1}



^{0 2 1 0 1}

m m m m m 2

            . Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt. Giả sử z1   a bi z2  a bi. Khi đó

2 2 2 2 2 2

1 2

2 2 0 0

0

z z a b a b a b a

b

 

           ^{. Suy ra z1z2  0 0i} mẫu thuẫn với điều kiện đề bài là phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ^{z2 2}



^m1



^{z  m 3 0} (m là tham số thực).

Câu 3: Biết phương trình z²2z m 0 (m là tham số thực) có một nghiệm là z1  1 3i_{. Gọi} z_{2 là} nghiệm còn lại. Phần ảo của số phức wmz12z2 _bằng

A. 36. B. 24. C. 36. D. 8.

Lời giải:

Từ giả thiết z₂    1 3i z z_{1 2} 10 m 10_.

Vậy phần ảo của số phức w10z12z2 10



 1 3i

 

  2 1 3i



  8 36i là 36.

Câu 4: Cho phương trình z²2mz6m 8 0. (^mlà tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^m để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z z1, 2 _{thỏa mãn} z z_{1 1}z z_{2 2} ?

A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.

Lời giải:

Ta có   m²6m8

Trường hợp 1: 4

0 2

m m

 

     

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt z z1, 2 _và z z_{1 1}z z_{2 2}z₁² z₂²

   

1 2

1 2

1 2

0 2 0 0

z z loai

z z m m tm

z z



         

Trường hợp 2:      0 2 m 4

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt z z1, 2 1 1 2 2 1. 2 1 1.

z z z z z z z z ( luôn đúng) mà ^{m  m}

 

³

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số ^m thỏa mãn bài toán.

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm phức z0 thỏa mãn

0 2 6

z   _?

A. 3. _B. 4. _C. 1. _D. 2.

Lời giải:

Xét phương trình ^z22



^m1



^{z  m 3 0 1}

 

Ta có ^{ }



^m1



^{2  m 3 m2 m 2.}.

Nếu ² 2

0 2 0

1 m m m

m

  

         thì phương trình

 

¹ có nghiệm thực:

0 0

0

2 6 4

8 z z

z

 

     

Với z0 4: thay vào

 

¹ , được: 11 m 7 Với z0  8: thay vào

 

¹ , được: 83

m 17

Nếu    0 m²      m 2 0 2 m 1 thì phương trình

 

¹ có nghiệm phức

2 0

2 0

1 2

1 2

z m i m m

z m i m m

     

     



Khi đó z0  2 6



m3



²



m² m 2



362m²7m290: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy có 4 giá trị của tham số m để bài toán thỏa mãn.

Câu 6: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ^{z22mz3m100} (mlà tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của ^mđể phương trình đó có hai nghiệm z z1, 2 không phải số thực thỏa mãn z1  z2 8_?

A. 1. B. 2. C. 3_{. D.} 4.

Lời giải:

Ta có ^{  m23m10}.

Phương trình không có nghiệm thực khi    0 m²3m10    0 2 m 5 (1).

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt z1  m m²3m10. ,i z2   m m²3m10.i Vậy z1  z2  8 2 3m10 8 3m1043m 10 16 m 2_.

Kết hợp với điều kiện ta có   2 m 2. Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 7: Trên tập số phức, xét phương trình ^z22



^m4



^{zm24m 1 0}, m là tham số thự C.

Có bao nhiêu giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt z z₁, ₂ thỏa điều kiện z1 z2 2z z1 2  z1 _.

A. 3. B. 2. C. 0. D. 3.

Lời giải:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt trong đó z1 là nghiệm có phần ảo

âm là:



⁴



²



^{2 4 1}



^{0 4 15 0 15}

m m m m m 4

             . Khi đó: z1 z2 2z z1 2 2



m4



2



m²4m  1



2m²10m10 Và z1  b i     m 4 i 4m15

Ta có: z1 z2 2z z1 2  z1  2m²10m10 



m4

 

² 4m15



2 2

2m 10m 10 m 4m 1

      

Vì 15

m 4 nên m²4m 1 0, do đó:

2 2 2

2 2 2

2 10 10 4 1 3 14 11 0 1, 11

(*) 3

2 10 10 4 1 6 9 0

3

m m m m m m m m

m m m m m m

m

            

             Đối chiếu điều kiện 15

m 4 suy ra không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán.

Câu 8: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ^{z22 2}



^m1



^{z4m25m0} (mlà tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm z0 thoả mãn

 

2 2

0 1 4 0 4 5 3 10

z   m z  m  m  ?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.

Lời giải:

Cách 1: Ta có ^{  m1}.

Trường hợp 1: ^{m  1 0 m 1}.

Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực z0 thoả mãn ₀ ⁰

0

3 10 7

13 z z

z

 

      .

Từ đó suy ra

 

    

2 2

2 2

7 2 2 1 7 4 5 0

13 2 2 1 13 4 5 0

m m m

m m m

     

       



2 2

4 33 63 0

4 47 143 0

m m

m m

   

    

 

 

3 21

4

m tm

m tm





  



. Trường hợp 2: m  1 0 m 1.

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là z0 và z0 và thoả mãn z0 3 10



z0 3



z0 3



100 z0² 3



z0 z0



9 100 4m² 5m 3.2 2



m 1



91 0

              

 

 

2

7 1601 4 7 97 0 8

7 1601 8

m tm

m m

m ktm

 

  

    

   



.

Vậy có 3 giá trị của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: Ta có ^{z22 2}



^m1



^{z4m25m 0}



^z2m1



^{2  m 1 1}

 

. Trường hợp 1: ^{m  1 0 m 1}.

Khi đó

 

^{1 2 1 1}

2 1 1

z m m

z m m

    

      .

Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm z0 thoả mãn z₀ 3 10. Do đó

 

 

3

2 2 1 10

2 2 1 10 21

4

m tm

m m

m tm

m m



     

  

     

 

 

. Trường hợp 2: ^{m  1 0 m 1}

Khi đó

 

^{1 2 1 1}

2 1 1

z m i m

z m i m

    



    



.

Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm z0 thoả mãn z₀ 3 10.

Do đó 2m 2 i m 1 104m²8m   4 m 1 1004m²7m970

 

 

7 1601 8 7 1601

8

m tm

m ktm

   



 

  



.

Vậy có 3 giá trị của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Trên tập số phức, xét phương trình ^{z2 2mz  m 1 0 1}

 

(m là tham số thực); z z₁, ₂ là hai nghiệm phức của phương trình

 

¹ ; ^{A B,} lần lượt là điểm biểu diễn của hai nghiệm phức đó trên mặt phẳng Oxy. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để OAB vuông tại O_?

A. 2_{. B.} 1_{. C.} 3_{. D.} 4_.

Lời giải:

Xét phương trình ^{z2 2mz  m 1 0 1}

 

Phương trình có hai nghiệm phức khi ² 1 5 1 5

0 1 0

2 2

m m  m 

        

 

^*

Ta có các nghiệm z₁   m i m² m 1; z₂    m i m² m 1 ,

A B lần lượt là điểm biểu diễn của hai nghiệm phức z z₁, ₂ nên^A



^{m; m2  m 1}



^;B



^{m; m2  m 1}



^.

OAB _{vuông tại}O ^{. 0 2 2 1 0 1} 1



^*



2 m

OA OB m m thõa mãn

m

 

      

  



. Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên m1 thõa mãn yêu cầu.

Câu 10: Trên tập hợp số phức, xét phương trình ^{2 1 1}



^{2 5 6}



⁰⁽

z  m z4 m  m  m là tham số thực).

Có bao nhiêu số nguyên ^{m [ 10;10]} đề phương trình trên có hai nghiệm phức

z z

1

,

2 _thỏa

mãn z1z2  z1z2 _?

A. 11. B. 10. C. 8. D. 9.

Lời giải:

Điều kiện m    1 0 m 1_.  m²4m5

+ Trường hợp 1: ² 5

0 4 5 0

1 m m m

m

 

          phương trình có 2 nghiệm thực

z z

1

,

2

Theo định lý Viet 1 2



²



1 5 6

. 4

z z   m  m .

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 4 .1 2 0

z z  z z  z z  z z  z z 



^{2 5 6}



^{0 2 5 6 0 6}

1

m m m m m

m

 

           

Do m _và m [ 10;10] nên số giá trị m thỏa mãn là



^{10 6   }



^{1 1 6}. + Trường hợp 2: ^{  0 m24m    5 0 1 m5}.

phương trình có 2 nghiệm phức

z z

1

,

2

1

2

2 2

1 2 1 2

2

2 1 2 2

5 6 0 6

1 4 5 1

3 4 0

1 4

z z z z z m

m m

z m

m

z z m m m

m m

 

    

         

      

  

   

Do m _,  1 m 5_và m [ 10;10] nên số giá trị m thỏa mãn là ^{m0,m1,m2,m3}. Vậy có 10 giá trị của m.

Câu 11: Trên tập số phức, cho phương trình z²az b 0 ( ,a b ). Có bao nhiêu số phức w sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm là z1   (6 i w) 2i _và z₂ (w  5 i) |w|_?

A. 4. B. 3. C. 6. D. 5.

Lời giải:

Trường hợp 1: z z1, 2 .

1 (6 ) 2 (6 )( ) 2

z  i w i i xyi  i là số thực nên  x 6y 2 0.

2 2

2 ( 5 ) | | [( 5) (1 ) ]

z  w i w  x y x  y i là số thực nên (1y) x²y² 0. Ta có hệ phương trình _{2 2}

6 2 0 4

1 4

(1 ) 0

x y x

w i

y x y y

   

  

    

     

 .

Trường hợp 2: z z1, 2 . Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm là liên hợp với nhau.

1 2 (6 ) 2 ( 5 ) | | . 5 . ( | |)

z z  i w i w i w t w t t i t w [( 6) ] 5 ( 2)

w t i t t i

      . (1)

2 2 2 2

( 6) 1 25 ( 2)

t  t  t t

      

4 3 2

12 11 4 4 0

t t t t

     

1

0, 62079 10, 967 t

t t

 

 

 

.

Thay mỗi giá trị của t vào (1), ta được một số phức wtương ứng.

Vậy có tất cả 4 số phức w thoả mãn.

Câu 12: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z²2mz8m120. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1  z2 ?

A. ⁵ B. ⁶. C. ³. D. 4.

Lời giải:

Ta có: ^{z22mz8m120 *}

 

thì   m²8m12.

TH1: ² 6

0 8 12 0

2 m m m

m

 

         . Khi đó phương trình

 

^* có 2 nghiệm thực phân

biệt z z₁, ₂ và theo yêu cầu bài toán:

 

 

1 2

1 2

1 2 1 2 0 0

z z KTM z z

z z z z m TM



  

      



TH2: ^{    0 2 m6}. Phương trình

 

^* khi đó có 2 nghiệm z1,2  m i  luôn thỏa mãn z1  z2 _{. Nên:} ^m



^{3; 4;5}



.

Vậy các giá trị m thỏa mãn là: ^m



^{0;3; 4;5}



.

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình z²2mz 1 0 có hai nghiệm phức phân biệt

1, 2

z z thỏa mãn z1 3 z23 ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải:

+) Với   m² 1 0, phương trình z²2mz 1 0 có hai nghiệm phức liên hợp

1 , 2

z  a bi z  a bi_.

Khi đó, hiển nhiên z1 3



a3



²b²  z23 _.

+) Với   m² 1 0, phương trình z²2mz 1 0 có hai nghiệm thực phân biệt z z1, 2_.

Đẳng thức z1 3 z23 tương đương với z₁  z₂ 6 0, điều này nghĩa là 2m 6 0 tức 3

m .

Tóm lại các số nguyên m cần tìm là m0,m3.

Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình ^{z2 }



^{a 3}



^{za2 a 0} có hai nghiệm phức

1, 2

z z thỏa mãn z1z2  z1z2 _?

A. 1. B. 2. C. 3_{. D.} 4.

Lời giải:

Ta có ^{   }



^{a 3}



^^24



^a2a



^{ 3a210a9}

Trường hợp 1: ^{0 3 2 10 9 0 5 2 13 5 2 13}

 

^*

3 3

a a   a  

         

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm thực z z₁, ₂, thỏa mãn ^{1 2}

1 2

3 . z z a z z

  

   



Suy ra z1z2  z1z2 ^{    a 3}



^a3



^{2  }



^{a 3}



^{2 3a2 10a 9}

      ² 0

4 4 0

1 a a a

a

 

       đều thỏa mãn

 

^* .

Trường hợp 2: ²

 

5 2 13

0 3 10 9 0 3 **

5 2 13 3 a

a a

a

   



       

   



Khi đó phương trình có hai nghiệm phức z z₁, ₂, thỏa mãn

1 2

1 2

3 . z z a z z i

  

   



Suy ra z1z2  z1z2 ^{  a 3 i  }



^a3



^{2  }



^{a 3}



^{2 3a2 10a 9}

     ² 1

2 16 18 0

9 a a a

a

 

        đều thỏa mãn

 

^** . Vậy có 4 số nguyên a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 15: Cho số phức w và hai số thực b_, c. Biết rằng w2 _và 3w4i là hai nghiệm của phương trình 2022z²  bz c 0. Tính giá trị biểu thức P b c _bằng

A. P 4044_{. B.} P8088_{. C.} P4044_{. D.} P 8088_. Lời giải:

Nhận xét: Trong tập số phức, phương trình bậc hai az²  bz c 0 có hai nghiệm phức z z1, 2

thì z₁z_2.

Đặt w x yi



^{x y, }



. Vì b c,  và phương trình 2022z²  bz c 0 có hai nghiệm là

1 2

z  w _, z₂ 3w4i nên 2 nghiệm z z1, 2 là 2 nghiệm phức có phần ảo khác 0.

Do đó z1 z2   w 2 3w    4i x yi 2 3



xyi



4i

 

^{2 3 1}

2 3 4 3

4 3 1

x x x

x yi x y i

y y y

  

 

           ^.

1 2

2 3

1 3 4 3

z w i

w i

z w i i

   

         ^.

Theo định lý Viet:

1 2

2 2

2022 . 2022 z z b

z z c

   



 



, từ đó suy ra

6 6.2022

2022 8088

10.2022 2022 10

b

b b c

c c

 

   

    

  

 



Vậy P  b c 8088_.

Câu 16: Trên tập các số phức, xét phương trình z²mz  m 8 0 (^m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^m để phương trình có hai nghiệm z z1, 2 phân biệt thỏa mãn



²

 

²



1 1 2 8 2

z z mz  m  m z ?

A. 12. B. 6. C. 5. D. 11.

Lời giải:

Ta có  m²4m32 là biệt thức của phương trình.

Trường hợp 1: Xét ² 8

0 4 32 0

4 m m m

m

 

          khi đó phương trình có hai nghiệm