Ôn Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Chuyên 13. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

(1)

Chuyên đề 13. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình có dạng:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

  

   

   



Điều kiện a a a b b b c c c₁; ₂; ₃; ; ; ; ; ;₁ ₂ ₃ ₁ ₂ ₃ không đồng thời bằng 0.

Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, chúng ta thường dùng phương pháp thế, phương pháp cộng để giảm bớt ẩn. Đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

 Tương tự như vậy, hệ phương trình bậc nhất n ẩn là hệ phương trình có dạng:

1 1 1 2 1 1

2 1 2 2 2 2

1 2

...

n n

n n n n n

a x b x c x d

   

    



    



Điều kiện a a₁; ₂;...;a b b_n; ; ;...;₁ ₂ b_n;...; ; ;...;c c₁ ₂ c_n không đồng thời bằng 0.

Tương tự như trên, ta cũng làm giảm bớt số ẩn bằng cách dùng phương pháp thế, phương pháp cộng.

Tuy nhiên phụ thuộc vào mỗi bài, ta có những cách giải thích hợp và ngắn gọn.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

11 (1)

2 5 (2)

3 2 14 (3)

x y z x y z

x y z

  

   

   



Giải

Tìm cách giải. Phương trình bậc nhất ba ẩn. Ta có thể khử bớt một ẩn để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế:

 Cách 1. Dùng phương pháp cộng để khử ẩn z, đưa về hệ phương trình hai ẩn x, y.

 Cách 2. Từ phương trình (1) biểu diễn z theo x và y thế vào phương trình (2) và (3) ta cũng được hệ phương trình hai ẩn x, y.

Trình bày lời giải

Cách 1. Từ phương trình (1) và (2) ta có: x2y 6

(2)

Từ đó ta có hệ phương trình: 2 6 5 15 0

3 9 3 9 3

x y y x

x y x y y

    

  

 

       

  

Thay vào phương trình (1) ta tính được z8.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là



^{x y z}^{; ;}

 

^ ^{0;3;8 .}



Cách 2. Từ phương trình (1) ta được : z11 x y.Thay vào phương trình (2) và (3) ta được :

2 11 5 2 6 2 6 0

3 2 11 14 2 3 4 2 6 3

x y x y x y x y x

x y x y x y x y y

           

   

  

             

   

Thay vào phương trình (1) ta tính được z8



^{x y z}^{; ;}

 

^ ^{0;3;8 .}



Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

3 22 (1)

3 20 (2) 3 18 (3) x y z

x y z

  

   

   



Giải

Tìm cách giải. Ngoài cách giải như ví dụ 1. Quan sát đặc điểm các hệ số của mỗi phương trình, ta nhận xét rằng nếu cộng từng vế của ba phương trình, ta được phương trình mới có hệ số của ẩn giống nhau. Do vậy ta có lời giải hay và gọn hơn.

Trình bày lời giải

Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được

 

5 x y z 60   x y z 12 (4)

Từ phương trình (4) thay vào các phương trình (1); (2); (3) ta được:

2 12 22 5

2 12 20 4

2 12 18 3

x x

y y

z z

  

 

    

 

    

 



^{x y z}^{; ;}

 

^ ^{5; 4;3 .}



Ví dụ 3: Giả sử hệ phương trình:

4 3 12 1

3 10 5 1

x y z

   



   



Có nghiệm



^x^{; y;}^z



^. Chứng tỏ x y z không đổi (Thi HSG Toán lớp 9, TP. Đà Nẵng, Năm học 2009 – 2010)

Giải

(3)

Cách 1:

1 3 4 12 (1)

4 3 12

10 3 6 30 (2) 3 10 5 1

x y z

x y z x y z

   

    

 

    

   



Từ phương trình (2) và (1), lấy vế trừ vế ta được:

 

¹⁸

7 18

       7

x y z x y z không đổi.

Cách 2: Từ phương trình (1) ta có: z3x4y12 (3). Thế vào phương trình (2) ta được:

 

10x3y6. 3x4y12 30 10x 3y 18x 24y 72 30

     

102 21

28 21 102

28

x y x  y

    

Thay vào (3) ta có: ^{3. 102 21}

 

49 30 4 12

28 28

y y

z  y z  

    

Xét 102 21 49 30 18

28 28 7

y y

x  y z   y    không đổi.

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2y3zbiết x, y, z không âm và thỏa mãn hệ phương trình: 2 4 3 8

3 3 2

x y z

  

   



(Thi HSG Toán lớp 9, TP. Hồ Chí Minh, Năm học 2011 – 2012) Giải

 Tìm cách giải: Từ giả thiết ta thấy hệ phương trình bậc nhất ba ẩn mà chỉ có hai phương trình, do đó hệ phương trình có vô số nghiệm. Suy luận, ta có thể coi một ẩn nào đó là tham số, biểu diễn hai ẩn còn lại theo tham số đó. Chẳng hạn biểu diễn x, y theo z. Cũng từ đó biểu thức A viết dưới dạng đa thức chứa z. Từ điểu kiện x, y, z không âm, ta xác định được miền giá trị của z.

Từ đó ta có lời giải sau:

 Trình bày lời giải

Ta có: 2 4 8 3 (1) 3 2 3 (2)

x y z

  

   



Từ (2) ta có: y3z 2 3 .x Thay vào phương trình (1) ta được:

3

(4)

Do đó 9 3

3 2 2 .

2 2

y z  z  z

Kết hợp với

3 0

0 2

3 4

0 2 0 0 (3)

2 3

0 0

z x

y z z

z z

 

 

 

       

 

  

  



Suy ra: 3 3 15

- 2 3 2 2 3 4.

2 2 2

Ax y z z   z z z

 

Kết hợp với (3) ta có: 15 15

4 .0 4 4

2 2

A z    

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi z0,x0,y2;

C. Bài tập vận dụng

13.1. Giải hệ phương trình sau:

a)

2 3 4 (1) 3 2 2 3 (2) 5 4 9 (3)

x y z

x y

  

   

  



b)

2 3 5 0 (1) 2 5 4 3 0 (2) 3 4 2 7 0 (3)

x y z

   

    

    



c)

2 4 (1) 2 3 3 6 (2) 3 4 6 (3)

  

   

   



x y z

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Từ phương trình (1) và (2) ta có 4 2 6 8

5 4 1

9 6 6 9

x y z

x y

x y z

  

   

   



Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ phương trình:

5 4 1 10 10 1

5 4 9 5 4 9 1.

x y x x

x y x y y

   

  

 

        

  

Thay vào phương trình (1) ta tính được z1.

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là



^{x y z}^{; ;}

 

^ ^{1;1;1 .}



b) Từ phương trình (1) ta có: x2y3z5 thay vào phương trình (2), (3) ta được:

 

2. 2 3 5 5 4 3 0 2 7 3

2 7 8 2.

3. 2 3 5 4 2 7 0

y z y z y z y

y z z

y z y z

     

     

  

  

   

       



Từ phương trình (1) ta có: x2.3 3.2 5  5.



^{x y z}^{; ;}

 

^ ^{5;3; 2 .}



c) Từ phương trình (1) ta có: x  4 y 2z thay vào phương trình (2), (3) ta được:

 

2. 4 2 3 3 6 5 2 1

4 2 10 3.

4 2 3 4 6

y z y z y z y

y z z

y z y z

    

     

  

            

  



(5)

Từ phương trình (1) ta có: x  4 1 2.( 3) 9.



^{x y z}^{; ;}

 

^ ^{9;1; 3 .}^



2 11 (1)

2 12 (2)

2 13 (3) 2 14 (4) x y z t

x y z t

   

    

    

    



Hướng dẫn giải – đáp số Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được:

 

5 x   y z t 50    x y z t 10 (5)

Từ phương trình (5) thay vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta được:

10 11 1

10 12 2

10 13 3.

10 14 4

x x

y y

z z

t t

  

 

    

 

 

  

 

    

 



x y z t^{; ; ;}

 

 1; 2;3; 4 .



13.3. Giải hệ phương trình:

a)

4 (1) 8 (2) 12 (3) 16 (4) x y z t

x y z t x y z t x y z t

   

    

    

    



b)

8 (1) 6 (2) 4 (3) 2 (4)

   

    

    

    



x y z t y z t x z t x y t x y z

Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (1) và (2) cộng vế với vế: ^2.



^x^^y



^¹²^{  }^x ^y ^6.

Từ phương trình (3) và (4) cộng vế với vế: ^2.



^x^^y



^²⁸^{  }^x ^y ^14.

Từ đó ta có hệ phương trình: 6 10

14 4

  

 

     

 

x y x

x y y

Thay vào phương trình (1) và (3) ta được:

6 4 2 2

14 12 2 0 .

z t z t z

z t z t t

       

  

 

         

  

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:



x y z t^{; ; ;}

 

 10; 4; 2; 0 . 



b) Từ hệ phương trình, cộng vế với vế ta được:

 

2 x   y z t 20    x y z t 10 (*)

(6)

10 2 8 1

10 2 6 2

10 2 4 3.

10 2 2 4

t t

x x

y y

z z

  

 

    

 

 

  

 

    

 



^{x y z t}^{; ; ;}

 

^ ^{2;3; 4;1 .}



a)

6 (1) 9 (2) 12 (3) 10 (4)

8 (5) x y z

y z t z t u t u x u x y

  

   

   

   

   



b)

4 (1) 5 (2) 6 (3) 12 (4) 8 (5) x y z

y z t z t u t u x u x y

  

   

   

   

   



Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ hệ phương trình đã cho, cộng vế với vế ta được:

 

3 x   y z t u 45     x y z t u 15 (6) Từ (6) và (1) suy ra: 6  t u 15  t u 9 Thay vào (4) ta có: x1

Thay vào (3) ta có: z3 Thay vào (1) ta được: y2

Thay x1;z3 vào (3) ta được: t4 Thay z3;t4 vào (4) ta được: u5



x y z t u^{; ; ; ;}

 

 1; 2;3; 4;5 .



b) Từ hệ phương trình cộng vế với vế ta được:

35 (6) x    y z t u

Từ phương trình (1) ta có: x  y 4 z Từ phương trình (4) ta có: t u 12x

Thay vào phương trình (6) ta có: 4  z z 12 x 35 x 19 2 z Thay vào phương trình (1) ta có: 19 2 z    y z 4 y 3z15 Thay vào phương trình (2) ta có: 3z15    z t 5 t 4z20 Thay vào phương trình (3) ta có: z4z20   u 6 u 5z26 Thay vào phương trình (4) ta có: 4z20 5 z26 19 2  z12 z 7 Từ đó ta tính được: x19 2 z5

3 15 6

y z 

(7)

4.7 20 8

t  

5.7 26 9

u  



x y z t u^{; ; ; ;}

 

 5; 6; 7;8;9 .



13.5. Giải hệ phương trình sau:

a)

3 5 3 34 (1) 2 13 (2) 2 5 4 36 (3) 3 8 5 51 (4)

x y z t

   

    

    

    



b)

10 (1) 2 6 (2) 3 6 (3) 2 2 13 (4) x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

   

    

    

    



Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình (1) và (2) ta có: 2y3z2t21 (5)

Từ phương trình (1) và (3) ta có: y t  2 (6) Từ phương trình (1) và (4) ta có: 3z2t17 (7)

Từ phương trình (6)   y t 2 thay vào phương trình (5) ta được:

 

2 t2 3z2t213z4t25 (8)

Từ phương trình (7) và (8) ta có hệ phương trình :

3 2 17 3

3 4 25 4.

z t z

z t t

  

 

    

 

 Từ đó ta tính được: y    t 2 4 2 2.

 Thay vào phương trình (1) ta có: x3.2 5.3 3.4  34 x 1.



x y z t^{; ; ;}

 

 1; 2;3; 4 .



b) Từ phương trình (1) và (2) ta có: y2z 4 (5)

Từ phương trình (1) và (3) ta có: 2y2t     4 y t 2 (6) Từ phương trình (1) và (4) ta có: 2y   z t 3 (7)

Từ phương trình (5)  y 2z4 thay vào phương trình (6):

2z     4 t 2 t 2z2 thay vào phương trình (7) ta có:

   

2 2z4  z 2z2    3 z 3

Từ đó ta tính được: y2.3 4 2; t2.3 2 4.

Thay vào phương trình (1) ta có: x   2 3 4 10 x 1.



x y z t^{; ; ;}

 

 1; 2;3; 4 .



(8)

a) 5 7 3

2 4 30

x y z

  



   



b)

2 1

3 4 7

4 3

x y z

 

  



   



Hướng dẫn giải – đáp số

a) Đặt

5 7 3

x y z

  k suy ra x5 ; k y7 ; k z3k

Mà 2x y 4z30 nên 10k7k123015k 30 k 2

5.2 10 7.2 14.

3.2 6 x

y z

 

  

  



b) Đặt 2 1

3 4 7

x y z

    k suy ra x3k2; y4k1; z7 .k Mà 4x  y z 3 nên ^{4 3}



^k^²

 

^ ⁴^k^{ }¹



⁷^k^{   }³ ^k ^6.

Suy ra

3.( 6) 2 16 y 4.( 6) 1 25 . z 7.( 6) 42 x    

     

    





x y z^{; ;}

 

 16; 25; 42 . 

