Bài Tập Trắc Nghiệm Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Có Đáp Án

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình

2cos x  3 0 

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

5 .

6   S

B.

11 .

6   S

C.

13 .

6   S

D.

13 .

6  S

 

Câu 2. Hỏi

7 x  3 

là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

A.

2sin x  3 0. 

_B.

2sin x  3 0. 

C.

2 cos x  3 0. 

_D.

2 cos x  3 0. 

Câu 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

2sin 4 1 0.

x  3

    

 

 

A.

4 . x  

B.

7 . x  24 

C.

8 . x  

D.

12 . x  

Câu 4. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình

tan 2 3 0

x  3

    

 

 

trên đường

tròn lượng giác là?

A.

4

_{. B.}

3

_{. C.}

2

_{. D.}

1

_.

Câu 5. Hỏi trên đoạn

 0; 2018 

, phương trình

3 cot x   3 0

có bao nhiêu nghiệm?

A.

6339.

_B.

6340.

_C.

2017.

_D.

2018.

Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

2 cos

2

x  1

_?

A.

sin 2 . x  2

B.

2sin x  2 0. 

_C.

tan

x

1.

_D.

tan

²

x  1.

Câu 7. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

tan

2

x  3

_?

A.

cos 1 . x   2

B.

4 cos

²

x  1.

_C.

cot 1 . x  3

D.

cot 1 .

x   3

Câu 8. Giải phương trình

4sin

²

x  3

_.

A.

 

3 2 , .

3 2

x k

k

x k

 

 

  

 

    





B.

 

3 2 , .

2 2

3

x k

k

x k

 

 

  

 

   





C.

 

, .

3 3

3 x k

k k

 

  

 

  



 



_D.

 

, .

3 3 x k

k k

  

 

  



 



Câu 9. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

2 2

3sin x  cos x

_?

A.

sin 1 . x  2

B.

cos 3 . x  2

C.

2

3

sin .

x  4

D.

cot

²

x  3.

Câu 10. Với

x

_thuộc

  0;1

, hỏi phương trình

cos 6

²

  3

x 4

 

có bao nhiêu nghiệm?

A.

8.

_B.

10.

_C.

11.

_D.

12.

Câu 11. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

3 cos x m    1 0

có nghiệm?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_{D. Vô số.}

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

  2108;2018 

_{để phương}

trình m

cos

x 

1 0

có nghiệm?

A.

2018.

_B.

2019.

_C.

4036.

_D.

4038.

Câu13. Tìm giá trị thực của tham số

m

để phương trình

 m  2 sin 2  x m   1

_nhận

x  12 

làm nghiệm.

A. m

2.

_B.

 

2 3 1 3 2 .

m 

 

_C. m 

4.

_D. m 

1.

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để phương trình

 m  1 sin  x    2 m 0

_có

nghiệm.

A. m 

1.

_B.

1 . m  2

C.

1 1 .

m 2

  

D. m 

1.

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để phương trình

 m  2 sin 2  x m   1

_vô

nghiệm.

A.

1 ; 2 . m  2 

    

_B.

; 1  2;  .

m      2     

C.

 

1 ; 2 2; .

m     2     

_D.

1 ; . m     2    

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin

^x

và cos x

Câu 16. Gọi S là tập nghiệm của phương trình

cos 2

x

sin 2

x

1

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

4 S .

 

B.

2 S .

 

C.

3 .

4   S

D.

5 .

4   S

Câu 17. Số nghiệm của phương trình

sin 2 x  3 cos 2 x  3

trên khoảng

0; 2

  

 

 

_là?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_D.

4.

Câu 18. Tính tổng

T

các nghiệm của phương trình

cos

²

x  sin 2 x  2 sin 

²

x

_trên

khoảng

 0;2 .  

A.

7 . T  8 

B.

21 . T  8 

C.

11 . T  4 

D.

3 . T  4 

Câu 19. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất

x

⁰ _của

3sin 3

_x

3 cos9

_{x }

1 4sin 3 .

³ _x

A. ⁰

2 . x  

B. ⁰

18 . x  

C. ⁰

24 . x  

D. ⁰

54 . x  

Câu 20. Số nghiệm của phương trình

sin 5 x  3 cos5 x  2sin 7 x

trên khoảng

0; 2

  

 

 

_là?

A.

2.

_B.

1.

_C.

3.

_D.

4.

Câu 21. Giải phương trình

3 cos sin 2sin 2 .

2 2

x  x  x

       

   

   

A.

5 2

6 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  

 

   





B.

7 2

6 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  

 

    





C.

5 2

6 , .

7 2

6

x k

k

x k

 

 

  

 

   





D.

2

18 3 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  

 

    





Câu 22. Gọi

x

⁰ là nghiệm âm lớn nhất của

sin 9 x  3 cos 7 x  sin 7 x  3 cos9 x

_{. Mệnh}

đề nào sau đây là đúng?

A. ⁰

12 ;0 .

x         

_B. ⁰

; . 6 12

x           

_C. ⁰

; .

3 6

x          

_D. ⁰

; .

2 3

x          

Câu 23. Biến đổi phương trình

cos3 x  sin x  3 cos  x  sin 3 x 

về dạng

   

sin ax b   sin cx d 

với b_, d thuộc khoảng

2 2 ;

    

 

 

_{. Tính} b d _.

A.

12 . b d   

B.

4 . b d   

C.

3 . b d    

D.

2 . b d   

Câu 24. Giải phương trình

cos 3 sin 1 0.

sin 2

x x

x

 

 , .

x    6 k  k   2 , .

x    6 k  k  

C.

7 2 , .

x  6   k  k  

D.

7 , .

x  6   k  k  

Câu 25. Hàm số

2sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3

x x

y x x

 

 

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_D.

4.

Câu 26. Gọi

x

⁰ là nghiệm dương nhỏ nhất của

cos 2 x  3 sin 2 x  3 sin x  cos x  2.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ⁰

0; . x  12  

   

_B. ⁰

; . x  12 6   

    

_C. ⁰

; . x    6 3 

   

_D. ⁰

; . x    3 2 

   

Câu 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

  10;10 

để phương trình

sin 3 cos 2

3 3

x  x  m

       

   

   

vô nghiệm.

A.

21.

_B.

20.

_C.

18.

_D.

9.

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để phương trình



²



cos x  sin x  2 m  1

vô nghiệm.

A.

m       ; 1   1;  .

B.

m    1;1 . 

C.

m     ; 

_D.

m    ;0    0;   .

Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

  10;10 

để phương trình

 m  1 sin  x m  cos x   1 m

có nghiệm.

A.

21.

_B.

20.

_C.

18.

_D.

11.

Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

  2018;2018 

_{để phương}

trình

 m  1 sin 

²

x  sin 2 x  cos 2 x  0

có nghiệm.

A.

4037.

_B.

4036.

_C.

2019.

_D.

2020.

Vấn đề 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 31. Hỏi trên

0; 2

  

  

, phương trình

2sin

²

x  3sin x   1 0

có bao nhiêu nghiệm?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_D.

4.

Câu 32. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình

2cos

²

x  5cos x   3 0

trên đường tròn lượng giác là?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_D.

4.

Câu 33. Cho phương trình

cot 3

²

x  3cot 3 x   2 0.

_Đặt

t  cot x

, ta được phương trình nào sau đây?

A.

t

²

   3 t 2 0.

_B.

3 t

²

   9 t 2 0.

_C.

t

²

   9 t 2 0.

_D.

t

²

   6 t 2 0.

Câu 34. Số nghiệm của phương trình

4sin 2

^{2 x}

2 1 

^

2 sin 2 

^x

2 0

^ _trên

 0; 

_là?

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

Câu 35. Số nghiệm của phương trình

sin 2

²

x  cos 2 x   1 0

trên đoạn

    ;4 

_là?

A.

2.

_B.

4.

_C.

6.

_D.

8.

Câu 36. Tính tổng

T

tất cả các nghiệm của phương trình

2sin

2

3cos 0

4 4

x x

 

trên đoạn

 0;8 .  

A. T 

0.

_B. T 

8 . 

_C. T 

16 . 

_D. T 

4 . 

Câu 37. Số nghiệm của phương trình 2

   

1 3 1 cot 3 1 0

sin x

x     

trên

 0; 

_là?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_D.

4.

Câu 38. Tính tổng

T

tất cả các nghiệm của phương trình

2cos 2 x  2cos x  2 0 

_trên

đoạn

 0;3 

_.

A.

17 . T  4 

B. T 

2 . 

_C. T 

4 . 

_D. T 

6 . 

Câu 39. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình

cos 2

x

3sin

x 

4 0

trên đường tròn lượng giác là?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_D.

4.

Câu 40. Cho phương trình

cos cos 1 0

2 x  x  

. Nếu đặt

cos 2 t  x

, ta được phương trình nào sau đây?

A.

2 t

²

  t 0.

_B.

 2 t

²

   t 1 0.

_C.

2 t

²

   t 1 0.

_D.

 2 t

²

  t 0.

Câu 41. Số nghiệm của phương trình

cos 2 4cos 5

3 6 2

x   x

       

   

   

_thuộc

 0; 2 

_là?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_D.

4.

Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để phương trình

tan

x m

cot

x

8

_có nghiệm.

A. m

16.

_B. m

16.

_C. m

16.

_D. m

16.

Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để phương trình

 

cos 2 x  2 m  1 cos x m    1 0

có nghiệm trên khoảng

; 3 2 2

   

 

 

_.

A.   

1

m

0

_{. B.}   

1

m

0

_{. C.}   

1

m

0

_{. D.}

1 1 m 2

  

. Câu 44. Biết rằng khi

m m 

⁰ thì phương trình

2sin

²

x   5 m  1 sin  x  2 m

²

 2 m  0

có đúng

5

nghiệm phân biệt thuộc khoảng

2 ;3

 

  

 

 

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m 

3.

_B.

1 m  2

. C. ⁰

3 7 ; . m  5 10 

   

_D. ⁰

3 2

; .

5 5

m       

 

Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để phương trình

 

2cos 3

2

x   3 2 m cos3 x m    2 0

có đúng

3

nghiệm thuộc khoảng

; . 6 3

    

 

 

A.   

1

m

1.

_B.

1

 m

2.

_C.

1

 m

2.

_D.

1

 m

2.

Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI sin

^x

và cos x

Câu 46. Giải phương trình

sin

²x

 3 1 sin cos





x x

3 cos

²x

0.

A.

2   .

x    3 k  k  

B.

  .

x    4 k  k  

C.

 

3 2 .

4 2

x k

k

x k

 

 

  

 

   





D.

 

3 .

4

x k

k

x k

 

 

  

 

   





Câu 47. Gọi S là tập nghiệm của phương trình

2sin

²x

3 3 sin cos

x x

cos

² x

2

_. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

; .

3 S

 

  

 

 

_B.

; .

6 2 S

    

 

 

_C.

; 5 .

4 12 S

    

 

 

_D.

; 5 .

2 6 S

    

 

 

Câu 48. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

 

2 2

sin

x

3 1 sin cos

 x x

3 cos

x

3

.

A.

sin

x

0

_{. B.}

sin 1

x  2

   

 

 

_.

C.

 cos 1 tan  3 1 0

1 3

x  x  

         

_{. D.}

 tan x   2 3 cos   2x   1  0.

Câu 49. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

sin

2 x

3 sin cos

x x

1

_?

A.

cos x  cot

²

x   3  0

_{. B.}

sin . tan 2 3 0

2 4

x   x  

        

     

     

_.

C.

   cos

²

   x   2     1 . tan     x  3   0

_{. D.}

 sin x  1 cot   x  3   0

_.

Câu 50. Cho phương trình

cos

²

x  3sin cos x x   1 0

. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. x k



không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho

cos

²

x

thì ta được phương trình

tan

2

x  3 tan x   2 0

_.

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho

sin

²

x

thì ta được phương trình

2cot

2

x  3cot x   1 0

_.

D. Phương trình đã cho tương đương với

cos 2

x

3sin 2

x 

3 0

_.

Câu 51. Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình

sin

²

x  4sin cos x x  4cos

²

x  5

_trên

đường tròn lượng giác là?

A.

4

_{. B.}

3

_{. C.}

2

_{. D.}

1

_.

Câu 52. Số nghiệm của phương trình

cos

²

x  3sin cos x x  2sin

²

x  0

_trên

  2 ;2   

_?

A.

2

_{. B.}

4

_{. C.}

6

_{. D.}

8

_.

Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

4sin

² x

3 3 sin 2

x

2cos

²x

4

_là:

A.

12



. B.

6



. C.

4



. D.

3



.

Câu 54. Cho phương trình

 2 1 sin

^



^2x

sin 2

^x

 2 1 cos

^



^2x

2 0

^ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

7 x  8 

là một nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho

cos

²

x

thì ta được phương trình

tan

2

x  2 tan x   1 0

_.

C. Nếu chia hai vế của phương trình cho

sin

²

x

thì ta được phương trình

cot

2

x  2cot x   1 0

_.

D. Phương trình đã cho tương đương với

cos 2

x

sin 2

x

1

_.

Câu 55. Giải phương trình

2sin

^{2x }

 1 3 sin cos 

^{x x }

 1 3 cos 

^2x

1.

A.

6

 

. B.

4

 

. C.

2 3

 

. D.

12

 

.

Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

  10;10 

để phương trình

 

2 2

11sin x  m  2 sin 2 x  3cos x  2

có nghiệm?

A.

16.

_B.

21.

_C.

15.

_D.

6.

Câu 57. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc để phương trình

   

2 2

sin x  2 m  1 sin cos x x  m  1 cos x m 

có nghiệm?

A.

2.

_B.

1.

_C.

0.

_{D. Vô số.}

Câu 58. Tìm điều kiện để phương trình

a sin

²

x a  sin cos x x b  cos

²

x  0

_với a

0

_có nghiệm.

A. a

4

b_{. B.} a 

4

b_{. C.}

4 b 1 a 

. D.

4 b 1 a 

.

Câu 59. Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để phương trình

2sin

²

x m  sin 2 x  2 m

_vô

nghiệm.

A.

0 4 m 3

 

. B. m

0

_,

4 m  3

. C.

0 4 m 3

 

. D.

4 m   3

, m

0

_.

Câu 60. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

  3;3 

để phương trình

 m2 2 cos 

²

x  2 sin 2 m x   1 0

có nghiệm.

A.

3

_{. B.}

7

_{. C.}

6

_{. D.}

4

_.

Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA sin

^x

cos

^x

và sin cos .

^{x x}

Câu 61. Giải phương trình

sin cos x x  2 sin  x  cos x   2

_.

A.

, . x 2 k

k x k

 



  

 

 





B.

2 , . 2

2

x k

k x k

 



  

 

 





C.

2 , . 2

2

x k

k x k

 



   

 

 





D.

, .

x 2 k

k x k

 



   

 

 





Câu 62. Cho phương trình

3 2 sin  x  cos x   2sin 2 x   4 0

_{. Đặt t}

sin

_x

cos

_{x, ta}

được phương trình nào dưới đây?

A.

2 t

²

 3 2 t   2 0.

_B.

4 t

²

 3 2 t   4 0.

C.

2 t

²

 3 2 t   2 0.

_D.

4 t

²

 3 2 t   4 0.

Câu 63. Cho phương trình

5sin 2

x

sin

x

cos

x 

6 0

. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho?

A.

sin 2 .

4 2

x 

   

 

 

_B.

cos 3 .

4 2

x 

   

 

 

C.

tan

x

1.

_D.

1 tan 

²

x  0.

Câu 64. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình

sin cos 1 1 sin 2 x  x   2 x

là:

A.

2 .

 

B.

  .

_C.

3

2 .

 

D.

 2 . 

Câu 65. Cho

x

thỏa mãn phương trình

sin 2

x

sin

x

cos

x

1

_{. Tính}

sin . x  4

  

 

 

A.

sin 0

x  4

   

 

 

_hoặc

sin 1

x  4

   

 

 

_{. B.}

sin 0

x  4

   

 

 

hoặc

sin 2

4 2

x 

   

 

 

_.

C.

sin 2

4 2

x 

    

 

 

_{. D.}

sin 0

x  4

   

 

 

_hoặc

sin 2

4 2

x 

    

 

 

_.

Câu 66. Từ phương trình

5sin 2 x  16 sin  x  cos x   16 0 

, ta tìm được

sin    x   4   

_có

giá trị bằng:

A.

2 .

2

_B.

2 .

 2

C.

1.

_D.

2 .

 2

Câu 67. Cho

x

_{thỏa mãn}

6 sin  x  cos x   sin cos x x   6 0

_{. Tính}

cos    x   4    .

A.

cos 1.

x  4

    

 

 

_B.

cos 1.

x  4

   

 

 

C.

cos 1 .

4 2

x 

   

 

 

_D.

cos 1 .

4 2

x 

    

 

 

Câu 68. Từ phương trình

 1

^

3 cos  

^x

sin

^x



^

2sin cos

^{x x}

3 1 0

^{ } , nếu ta đặt

cos sin

t x x thì giá trị của

t

nhận được là:

A. t

1

_hoặc

t  2

_{. B.} t

1

_hoặc

t  3

_.

C. t

1

_{. D.}

t  3

_.

Câu 69. Nếu

 1

^

5 sin  

^x

cos

^x



^

sin 2

^{x }

1 5 0

^ _thì

sin

_x bằng bao nhiêu?

A.

sin 2 x  2

. B.

sin 2 x  2

hoặc

sin 2 x   2

. C.

sin

x 

1

_hoặc

sin

x

0

_{. D.}

sin

x

0

_hoặc

sin

x

1

_.

Câu 70. Nếu

 1 sin  x   1 cos  x   2

_thì

cos    x   4   

bằng bao nhiêu?

A. 

1.

_B.

1.

_C.

2 .

2

_D.

2 .

 2

Câu 71. Cho

x

_{thỏa mãn}

2sin 2 x  3 6 sin x  cos x   8 0

. Tính

sin 2 .

x

A.

sin 2 1 . x   2

B.

sin 2 2 . x   2

C.

sin 2 1 . x  2

D.

sin 2 2 . x  2

Câu 72. Hỏi trên đoạn

 0; 2018 

, phương trình

s in x  cos x  4sin 2 x  1

có bao nhiêu nghiệm?

A.

4037.

_B.

4036.

_C.

2018.

_D.

2019.

Câu 73. Từ phương trình

2 sin  x  cos x   tan x  cot x

, ta tìm được

cos x

có giá trị bằng:

A.

1.

_B.

2 .

 2

C.

2 .

2

_D.

 1.

Câu 74. Từ phương trình

3 3

3

1 sin cos sin 2

x x 2 x

  

, ta tìm được

cos    x   4   

có giá trị bằng:

A.

1.

_B.

2 .

 2

C.

2 .

2

_D.

2 .

 2

Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

sin cos

x x

sin

x

cos

x m 

0

có nghiệm?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_D.

4.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình

2cos x  3 0 

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

5 .

6  S



B.

11 .

6  S



C.

13 .

6  S



D.

13 .

6  S

 

Lời giải. Ta có

 

6 2

2cos 3 0 cos cos .

6 2

6

x k

x x k

x k

 



 

  

       

   





Nhận thấy với nghiệm

1

11

2 .

6 6

x     k  

k^

  x   S

Chọn B

Câu 2. Hỏi

7 x  3 

là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

A.

2sin x  3 0. 

_B.

2sin x  3 0. 

C.

2 cos x  3 0. 

_D.

2 cos x  3 0. 

Lời giải. Với

7 x  3 

, suy ra

7 3

sin sin 3 2 2sin 3 0

7 1 2cos 1 0

cos cos

3 2

x x

x x





  

   

  

 

  

  



_{. Chọn A}

Cách 2. Thử

7 x  3 

lần lượt vào từng phương trình.

Câu 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

2sin 4 1 0.

x  3

    

 

 

A.

4 . x  

B.

7 . x  24 

C.

8 . x  

D.

12 .

x  

sin

O

cos C

D

A B

Lời giải. Ta có

2sin 4 1 0 sin 4 1 sin 4 sin

3 3 2 3 6

x  x  x  

              

     

     

 

4 2 4 2

3 6 2 8 2 .

7 7

4 2

4 2

3 6 6 24 2

x k x k x k

k k

x k

x k x

      

       

         

  

      

          

    





TH1. Với

Cho 0

min

0 1 0 .

8 2 8 2 4 8

k k

x     



         k k    x 

TH2. Với

Cho 0

7 7 7

min

7

0 0 .

24 2 24 2 12 24

k k

x     



        k  k    x 

So sánh hai nghiệm ta được

x   8

là nghiệm dương nhỏ nhất. Chọn C

Câu 4. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình

tan 2 3 0

x  3

    

 

 

trên đường

tròn lượng giác là?

A.

4

_{. B.}

3

_{. C.}

2

_{. D.}

1

_.

Lời giải. Ta có

tan 2 3 0 tan 2 3 tan 2 tan

3 3 3 3

x  x  x  

                  

       

       

 

2 2 .

3 3 2

x   k  x k  x k  k

          

Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D. Chọn A

Cách trắc nghiệm. Ta có

2

2 4

x  k   k   

có

4

vị trí biểu diễn.

Câu 5. Hỏi trên đoạn

 0; 2018 

, phương trình

3 cot x   3 0

có bao nhiêu nghiệm?

A.

6339.

_B.

6340.

_C.

2017.

_D.

2018.

Lời giải. Ta có

cot 3 cot cot   .

6 6

x   x      x  k  k  

Theo giả thiết, ta có

xap xi

1

0 2018 2017,833

6 k 6 k

  

     

 

3 

^k

  k 0;1;...;2017

. Vậy có tất cả

2018

giá trị nguyên của k tương ứng với có

2018

nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D

Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

2cos

2

x  1

_?

A.

sin 2 . x  2

B.

2sin x  2 0. 

_C.

tan

x

1.

_D.

tan

²

x  1.

Lời giải. Ta có

2 2

1

2 cos 1 cos x   x  2

. Mà

2 2 2

1

sin cos 1 sin .

x  x    x  2

Do đó 2 2

2

tan sin 1

cos x x

 x 

. Vậy

2 cos

²

x   1 tan

²

x  1.

_{Chọn D}

Câu 7. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

tan

2

x  3

_?

A.

cos 1 . x   2

B.

4 cos

²

x  1.

_C.

cot 1 . x  3

D.

cot 1 .

x   3

Lời giải. Ta có

2 2 2 2

2

tan 3 sin 3 sin 3cos

cos

x x x x

  x   

2 2 2

1 cos x 3cos x 4cos x 1.

    

_Vậy

tan

²

x   3 4cos

²

x  1

_{. Chọn B}

Câu 8. Giải phương trình

4sin

²

x  3

_.

A.

 

3 2 , .

3 2

x k

k

x k

 

 

  

 

    





B.

 

3 2 , .

2 2

3

x k

k

x k

 

 

  

 

   





C.

 

, .

3 3

3 x k

k k

 

  

 

  



 



_D.

 

, .

3 3 x k

k k

  

 

  



 



Lời giải. Ta có

2 2

3 3

4sin 3 sin sin

4 2

x   x   x  

.

 Với

 

3 3 2

sin sin sin .

2

2 3

3 2

x k

x x k

x k

 



 

  

      

  





 Với

 

3 3 2

sin sin sin .

4

2 3

3 2

x k

x x k

x k

 



 

   

  

              





Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác (hình vẽ).

sin

O

cos 3 2 p

3 p

3 - p 2

3 - p

B A

Nếu tính luôn hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm này thành

một họ nghiệm, đó là

x k   3

.

Suy ra nghiệm của phương trình

 

3 3 , .

3 3

x k x k

k k l k

 

 

  

 

   

 

    



 



Chọn D

Câu 9. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình

2 2

3sin x  cos x

_?

A.

sin 1 . x  2

B.

cos 3 . x  2

C.

2

3

sin .

x  4

D.

cot

²

x  3.

Lời giải. Ta có

3sin

²

x  cos

²

x

. Chi hai vế phương trình cho

sin

²

x ,

_{ta được}

cot

²

x  3

_.

Chọn D

Câu 10. Với

x

_thuộc

  0;1

, hỏi phương trình

cos 6

²

  3

x 4

 

có bao nhiêu nghiệm?

A.

8.

_B.

10.

_C.

11.

_D.

12.

Lời giải. Phương trình

cos 6

²

  3 cos 6   3 .

4 2

x x

     

 Với

cos 6 3 cos 6 cos 6 2

2 6 6

x x  x  k

          

.

 

 

 

 

1 1 35

0;1 0;1; 2

36 3 12 12

1 1 37

0;1 1; 2;3

36 3 12 12

k

k

x k k k

x k k k





          

 

    

          

 







có

6

_nghiệm.

 Với

3 5 5

cos 6 cos 6 cos 6 2

2 6 6

x x  x  k

           

.

 

 

 

 

5 5 31

0;1 0;1; 2

36 3 12 12

5 5 41

0;1 1; 2;3

36 3 12 12

k

k

x k k k

x k k k





          

 

    

          

 







có

6

_nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có

12

nghiệm. Chọn D

Câu 11. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

để phương trình

3 cos x m    1 0

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_{D. Vô số.}

Lời giải. Ta có

3 cos 1 0 cos 1

3 x m     x   m

.

Phương trình có nghiệm

 

1 1 1 1 3 1 3 0;1;2 .

3 m

m

m

^

m

           

^

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số

m

_{. Chọn C}

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

thuộc đoạn

  2108; 2018 

_{để phương}

trình m

cos

x 

1 0

có nghiệm?

A.

2018.

_B.

2019.

_C.

4036.

_D.

4038.

Lời giải. Ta có

cos 1 0 cos 1 .

m x x

     m

Phương trình có nghiệm



_2018;2018

  

1 1 1 1

^m

1; 2;3;...; 2018

m

m

m

m



       

  ^

 

. Vậy có tất cả

2018

giá trị nguyên của tham số

m

_{. Chọn A}

Câu13. Tìm giá trị thực của tham số

m

để phương trình

 m  2 sin 2  x m   1

_nhận

x  12 

làm nghiệm.

A. m

2.

_B.

 

2 3 1 3 2 .

m 

 

_C. m 

4.

_D. m 

1.

Lời giải. Vì

x  12 

là một nghiệm của phương trình

 m  2 sin 2  x m   1

nên ta có:

 2 .sin  2 1 2 1 2 2 2 4

12 2

m      m m       m m m     m

. Vậy

m   4

là giá trị cần tìm. Chọn C

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để phương trình

 m  1 sin  x    2 m 0

_có

nghiệm.

A. m 

1.

_B.

1 . m  2

C.

1 1 .

m 2

  

D. m 

1.

Lời giải. Phương trình

 1 sin  2 0  1 sin  2 sin 2 .

1

m x m m x m x m

m

          



Để phương trình có nghiệm

1 2 1

1 m m

    



2 2 1 1

0 1 0

2 1

1 1

2 3 1 2

1 0 0

1 1 1

m m m

m m m m

m

m m m

  

      

 

     

                            

là giá trị cần tìm. Chọn B

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để phương trình

 m  2 sin 2  x m   1

_vô

nghiệm.

A.

1 ; 2 . m  2 

    

_B.

; 1  2;  .

m      2     

C.

 

1 ; 2 2; .

m     2     

_D.

1 ; . m     2    

Lời giải. TH1. Với m

2

, phương trình

 m  2 sin 2  x m     1 0 3

_{: vô lý.}

Suy ra m

2

thì phương trình đã cho vô nghiệm.

TH2. Với m

2

, phương trình

 2 sin 2  1 sin 2 1 .

2

m x m x m

m

     



Để phương trình

  

vô nghiệm

 

1 1 2

1 1;1 2 1 .

1

2 2 1 2 2

m m

m m

m

m m

m

    

   

                 

Kết hợp hai trường hợp, ta được

1 m  2

là giá trị cần tìm. Chọn D

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin

^x

và cos x

Câu 16. Gọi S là tập nghiệm của phương trình

cos 2

x

sin 2

x

1

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

4 S .

 

B.

2 S .

 

C.

3 .

4   S

D.

5 .

4   S

Lời giải. Phương trình

2 cos 2 1 cos 2 1

4 4 2

x  x 

   

         

   

2 2

4 4

cos 2 cos , .

4 4

2 2 4

4 4

x k x k

x k

x k

x k

   

 

    

     

   

                     



Xét nghiệm

x     4 k 

, với k

1

_{ta được}

3 . x  4 

Chọn C

Câu 17. Số nghiệm của phương trình

sin 2 x  3 cos 2 x  3

trên khoảng

0; 2

  

 

 

_là?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_D.

4.

Lời giải. Phương trình

1 3 3 3

sin 2 cos 2 sin 2

2 x 2 x 2  x  3  2

         

2 2

3 3

sin 2 sin , .

3 3

2 3 3 2 6

x k x k

x k

x k

x k

   

 

     

     

   

                    





0 0 1

2 2

k   k

k^

     

^



không có giá trị k _{thỏa mãn.}



1 1

0 0 .

6 2 6 3 6

k k

k

k x

  

^



       

^

   

Chọn A

Câu 18. Tính tổng

T

các nghiệm của phương trình

cos

²

x  sin 2 x  2 sin 

²

x

_trên

khoảng

 0; 2 .  

A.

7 . T  8 

B.

21 . T  8 

C.

11 . T  4 

D.

3 . T  4 

Lời giải. Phương trình

 cos

²

x  sin

²

x  sin 2 x  2  cos 2 x  sin 2 x  2

 

cos 2 1 2 2 .

4 4 8

x  x  k  x  k  k

 

               

Do

1 7

1 17 8

0 2 0 2

15

8 8 8

2 8

k

k x

x k k

k x



   





    

             

   





7 15 11

8 8 4 .

T   

    

Chọn C

Câu 19. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất

x

⁰ _của

3sin 3

_x

3 cos9

_{x }

1 4sin 3 .

³ _x

A. ⁰

.

x   2

B. ⁰

.

x  18 

C. ⁰

.

x  24 

D. ⁰

.

x  54 

Lời giải. Phương trình 

3sin 3

x

4sin 3

³ x

3 cos 9

x 

1 sin 9

x

3 cos9

x

1

1 3 1 1

sin 9 cos 9 sin 9

2 x 2 x 2  x  3  2

         

9 2 2

3 6 18 9

sin 9 sin

7 2

3 6

9 2

3 6 54 9

x k x k

x k

x k x

    

 

     

      

 

 

                      

Cho 0 min

min

2 1

0 0

18 9 4 18 .

7 2 7 7

0 0

54 9 12 54

k

k

k k k x

k k k x

  

  







          

   

          







So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là

18 . x  

Chọn B

Cách trắc nghiệm. Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn.

Câu 20. Số nghiệm của phương trình

sin 5 x  3 cos5 x  2sin 7 x

trên khoảng

0; 2

  

 

 

_là?

A.

2.

_B.

1.

_C.

3.

_D.

4.

Lời giải. Phương trình

1 3

sin 5 cos 5 sin 7 sin 5 sin 7

2 x 2 x x  x  3  x

       

 

 

7 5 2

3 6

sin 7 sin 5 .

3 7 5 2

3 18 6

x x k x k

x x k

x x k x k

   



  

 

      

 

  

                           





1 1

0 0 .

6 2 6 3 6

k k

k

k x

  

^



       

^

   



0 18

1 8 2

0 1 .

18 6 2 3 3 9

2 7

18

k

k x

k k k x

k x



   





   

 

             

    





Vậy có

4

nghiệm thỏa mãn. Chọn D

Câu 21. Giải phương trình

3 cos sin 2sin 2 .

2 2

x  x  x

       

   

   

A.

5 2

6 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  

 

   





B.

7 2

6 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  

 

    





C.

5 2

6 , .

7 2

6

x k

k

x k

 

 

  

 

   





D.

2

18 3 , .

2

18 3

x k

k

x k

 

 

  

 

    





Lời giải. Ta có

cos sin

x  2 x

    

 

 

_và

sin cos

x  2 x

    

 

 

_.

Do đó phương trình

  3 sin x  cos x  2sin 2 x  3 sin x  cos x   2sin 2 x

 

3 1

sin cos sin 2 sin sin 2 sin sin 2

2 x 2 x x  x  6  x  x  6  x

                   

 

2 2 2

6 18 3 .

2 2 5 2

6 6

x x k x k

k

x x k x k

   

    

        

 

    

        

 

 



Xét nghiệm

1 ' , '

5 7

2 '2

6 6

k k

k k

x     k  

_^{ }_

  x   k 

  .

Vậy phương trình có nghiệm

2 , 7 '2 , '   .

18 3 6

x     k  x    k  k k  

Chọn B Câu 22. Gọi

x

⁰ là nghiệm âm lớn nhất của

sin 9 x  3 cos 7 x  sin 7 x  3 cos9 x

_{. Mệnh}

đề nào sau đây là đúng?

0

;0 .

x      12    

⁰

; . 6 12

x           

⁰

; .

3 6

x          

⁰

; .

2 3

x          

Lời giải. Phương trình

 sin 9 x  3 cos9 x  sin 7 x  3 cos 7 x

9 7 2

3 3

sin 9 sin 7 5

3 3 9 3 7 3 2 48 8

x x k x k

x x k

x x k x

   

 

 

   

      

      

                               

Cho 0 max

max

0 0 1

5 5 .

0 1

48 8 6 48

k

k

k k k x

k k k x

 

  







          

                





So sánh hai

nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là

48 12 ;0 .

x            

_{Chọn A}

Câu 23. Biến đổi phương trình

cos3 x  sin x  3 cos  x  sin 3 x 

về dạng

   

sin ax b   sin cx d 

với b_, d thuộc khoảng

2 2 ;

    

 

 

_{. Tính} b d _.

A.

12 . b d   

B.

4 . b d   

C.

3 . b d    

D.

2 . b d   

Lời giải. Phương trình

 3 sin 3 x  cos3 x  sin x  3 cos x

3 1 1 3

sin 3 cos3 sin cos sin 3 sin .

2 x 2 x 2 x 2 x  x  6   x  3 

           

   

Suy ra

6 3 2 . b d       

Chọn D

Câu 24. Giải phương trình

cos 3 sin 1 0.

sin 2

x x

x

 



A.

, . x    6 k  k  

B.

2 , . x    6 k  k  

C.

7 2 , .

x  6   k  k  

D.

7 , .

x  6   k  k  

Lời giải. Điều kiện

 

1 1 6 2

sin 0 sin sin sin .

5

2 2 6

6 2

x k

x x x k

x k

 



 

  

         

  





O sin

6

cos

5 p 6

p

Hình 1

O sin

6cos p

Hình 2

Điều kiện bài toán tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường tròn lượng giác (Hình 1).

Phương trình

 cos x  3 sin x   0 cos x  3 sin x

 

cot 3 cot cot .

6 6

x x  x  l  l

        

Biểu diễn nghiệm

x    6 l 

trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2.

Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm

6 2 x    k 

. Do đó phương trình có nghiệm

 

7 2 .

x  6   l  l  

Chọn C

Câu 25. Hàm số

2sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3

x x

y x x

 

 

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A.

1.

_B.

2.

_C.

3.

_D.

4.

Lời giải. Ta có

2sin 2 cos 2  2 sin 2   1 cos 2  3 .

sin 2 cos 2 3

x x

y y x y x y

x x

       

 

Điều kiện để phương trình có nghiệm

 y 2  

²

y 1  

²

3 y 

²

7 y

²

2 y 5 0

         

 

1 5 1;0

7

y

y^

y

    

^

  

nên có

2

giá trị nguyên. Chọn B

Câu 26. Gọi

x

⁰ là nghiệm dương nhỏ nhất của

cos 2 x  3 sin 2 x  3 sin x  cos x  2.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ⁰

0; . x  12  

   

_B. ⁰

; . x  12 6   

    

_C. ⁰

; . x    6 3 

   

_D. ⁰

; . x    3 2 

   

Lời giải. Phương trình

1 3 3 1

cos 2 sin 2 sin cos 1

2 x 2 x 2 x 2 x

    

sin 2 sin 1

6 x x 6

 

   

            

_.

Đặt

2 2 2 2 .

6 6 3 6 2

t x         x t  x  �